10個例題快速掌握初中數(shù)學最值問題（精編版）

1、10個例題快速掌握初中數(shù)學最值問題XX 指導： 日期：10個典型例題掌握初中數(shù)學最值問題解決幾何最值問題的通常思路 兩點之間線段最短;直線外一點與直線上所有點的連線段中.垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重 合時取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù),根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最 值問題的關鍵.通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個定理藏進而解決 問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段.幾何最值問題中的基本模型舉例軸原兩點之間線段最短兩點之間線三角形三邊關系優(yōu)選-段最短At 8為定點，/為定直線，P為直線/上=1的一個動點-求4冉明的最小值"為定點/為定直線

2、,MN為直線/=1上的一條動線段，求Af B為定點,為定直線，P為直線/上的一個動點，求AP-BF的最大值1 ,如圖：點Q是勇內(nèi)一定點，點M、N分別在邊04 上運動，若品。氏45七O卜疋貝腴PMN的周長的 最小值為 .【分析】作戶關于OAf 08的對稱點C D.連接OCt OD.則 當M /V是匚。與04。8的交點時,"億/V的周長最短, 最短的值是匚。的長，根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：COD是等 腰直角三角形.據(jù)此即可求解.【解答】解：作?關于04的對稱點C D.連接0C OD.則當M, N是CD與OAt 08的交點時，財/以V的周 長最短最短的值是生的長,.代關于"對稱，,

3、M0T/A0P, OC-OP 同理，ADOP=2BOPt OPOD wCOD 二匕 COP+匕 D。&2(匕 AOP+zBOP) =2匕AOB二 90> 0C OD.AM+BN 的 最小值先平移AM 或B/V使Mt作其中一個定點關于定直線/的對稱點/V重合,然后 作其中一個 定點關于定作其中一個定點關于定直線/的對稱點直線/的對稱 點折原'理兩點之間線段最短在以如中:仇/V兩點分別是邊上的動點; 將WMN沿 伽翻折,3點的對應點為硏連接48： 求48的最小值.轉(zhuǎn)化成求ABWN+ /VC的最小值 典型戦型AC0Z?是等腰直角三角形. 則 CD y/2 OC 2 x 3 V2

4、 二6,優(yōu)選-【題后思考】本題考查了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解厶W/V周長最小的條件是解題的關鍵!1!2.如圖，當四邊形徹8也的周長最小時，K【分析】因為AB, /W的長度都是固定的，所以求出PA+NB 的長度就行了,問題就是徹+価什么時候最短，【題后思考考查關于X軸的對稱點，兩點之間線段最短等 知識.3 .如圖,九g兩點在直線的兩側點4到直線的距離AMA, 點8到直線的距離8N=，且MN=A,為直線上的動點, PA -縮的最大值為 【分析】作點8于直線/的對稱點fft則 用=尸3因而|必PPA- PBt則當A,療在f散上時，|徹-繼的值最大,根據(jù)平行線分線段定理即可求得所和W的值然 后根

5、據(jù)勾股定理求得以、圖的值，進而求得|加國的最大 值.【解答】解：作點8于直線/的對稱點Bt連48并延長交直 線/于P.把8點向左平移2個單位8點;作9關于x軸的對稱點B 連接43,交*軸于月從而確定/V點位置，此時PA+NB 最短.設直線4g的解析式為y= k燈bt待定系數(shù)法求直線解析 式.即可求得a的值.【解答】解：將/V點向左平移2單位與重合，點8向左平移2單位到8 (2, -1),作廿關于x軸的對稱點根據(jù)作法知點(2, 1),設直線的解析式為戶奴仍, 卩=2A + b則 -3 = A + b，解得燈 b= - 7 7_.戶4x7.當 y=0 時，4，即 P 3，°)，3= 4

6、,7故答案填：利用勾股定理求出AB = 5 二|必-所|的最大值二5.【題后思考】本題考查了作圖軸對稱變換，勾股定理等，熟 知“兩點之間線段最短"是解答此題的關鍵.4.動手操作：在矩形紙片川化。中，AB=3t AD=5.如圖F=l所示，折疊紙片，使點川落在8C邊上的4處，折痕為RZ 當點A在伊7邊上移動時，折痕的端點尺Q也隨之移動,若 限定點尺Q分別在 砧.血?邊上移動，則點4在 配邊上可移動的最大距離為 【分析】本題關鍵在于找到兩個極端即 以取最大或最小值 時，點月或。的位置.經(jīng)實驗不難發(fā)現(xiàn)，分別求岀點P與8 重合時，84取最大值3和當點Q與口重合時.跡'的最小值 1.所以

7、可求點4在8。邊上移動的最大距離為2.【解答】解：當點戶與8重合時，&T取最大值是3,當點Q與。重合時（如圖），由勾股定理得4U4,此時 BA取最小值為1.則點4在邊上移動的最大距離為3 1 =2.%)故答案為：2【題后思考】本題考査了學生的動手能力及圖形的折疊、勾股 定理的應用等知識，難度稍大，學生主要缺乏動手操作習慣, 單憑思象造成錯誤,5. 如圖，直角梯形紙片 ABCDt ADABt AB=8f AD=CD=At 點丘盧分別在線段川反4。上，將沿樣翻折.點4 的落點記為P,當尸落在直角梯形川伊刀內(nèi)部時，夕的最小值等于 優(yōu)選-=1【分析】如圖，經(jīng)分析、探究，只有當直徑&最大

8、，且點， 落在上時，如最小；根據(jù)勾股定理求岀8。的長度.問 題即可解決.【解答】解：如圖，'當點P落在梯形的內(nèi)部時，代加90)四邊形PFAEX。為直徑的圓內(nèi)接U!邊形,二只有當直徑&最大，且點4落在8。上時 R?最小, 此時E與點8重合;由題意得：PE二AB二8, 由勾股定理得:8。二位+6J80,二"話-8 ,【題后思考】該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法, 以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應用為核心構造而成;解題的關鍵是抓住圖形在運動過程中的某一瞬間動中求靜，以 靜制動.6, 如圏，匕MON二矩形的頂點4召分別在邊 OMt CW上'當8在邊ON上運動

9、時丄隨之在。材上運 動，矩形礎匚。的形狀保持不變，其中 礎=2, 8仁1,運動 過程中點。到點。的最大距離為 .【分析】取48的中點E連接。公DEt根據(jù)直角三 角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE*8,利用勾股定 理列式求出DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可 得。過點f時最大.【解答】解：如圖,48的中點g連接OQ OE. DE,/zW/V=90 AB=21 OE=AE=2ABt- SCt四邊形48CP是®巳UiADBC f根據(jù)三角形的三邊關系，OD< OEDEt 二當QQ過點f是最大，最大值為“ +L【題后思考】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中 線等于斜

10、邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關系，勾股定理,確 定出。過48的中點時道最大是解題的關鍵.7. 如圖，線段砧的長為4, C為 砧上一動點.分別以>4匚BC為斜邊在Ng的同側作等腰直角ACD和等腰直角，氣BCEr 那么QE長的最小值是 .【分析】設配=4 *,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得 22出CD= (4F ,根據(jù)勾股定理然后用配方 法即可求解.【解答】解：設ACxt BC=4 - xf鬼。均為等腰直角三角形,723呉(4x),優(yōu)選-ACD=45ot /BCD=45、,NOC&90。I 1：.DR=eHCB=奪 (4-x) 2=終一4肝8= x-2) 2+4,根據(jù)二次函數(shù)的最值，二當

11、x取2時.産取最小值，最小值為：4.故答案為：2.題后思考】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形.難 度不大，關鍵是掌握用配方法求二;欠函數(shù)最值.題后思考】本題考查了菱形的質(zhì)，軸對稱確定最短路線問 題,熟記菱形的軸對稱性和利用軸對稱確定最短路線的方法是 解題的關鍵.9.如圖所示，正方形48CQ的邊長為1,點為邊BC±l的 任意一點（可與戻C重合），分別過8、C Z?作射線AP 的垂線，垂足分別為& C D,則BB*CC*DD的取值范 圍是D【分析】首先連接4G 必,由正方形ABCD的邊長為1,II1即可得：ShADP= 2 S 正方形 ABCD- 2，SABP- 51 AC

12、P= 51ABC 2， 1 1正方形ABCD- 2 , 繼而可得2 EB8+CC+DD） =1,又由1 <AP<42t即可求得答案.【解答】解：連接川G DP.:四 W ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長為1,:AB- CD, S正方形 abcd- 1'8.如圖，ABCD中，AB=2t 蜀=120> 點尺 Q K 分別為線段CDf位?上的任意一點，則冰+CX的最小 值為B=:分析根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,作點P關于8。的對 稱點，連接戶Q與80的交點即為所求的點K然后根據(jù) 直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P 。丄CD時PK+ QK的最小值，然后

13、求解即可【解答】解：如圖,眾二2,4=120、二點到匚。的距離為2xf =右,'PK+QK的最小值為打.故答案為：右，QCD_L L1' Sa略 2 $ 正方2Smb葉 S、acp= S：abc= 2 $ 正方形ABCO= 2 /:SADP- SABP SACP 1 ,1211:& AKBB互 ABCC +3 AKDD =% APBBCC+ DD) f2則跡+« +。，<AP<42 t.當尸與g重合時，有最大值2; 當P與。重合時，有最小值亜.,二卜BB + dDDG 故答案為：2<Bff + CC + DD<2.【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問 題.此題難度較大，解題的關鍵是連接億 必根據(jù)題意得.2到 Sg葉$"時Sacp- 1,繼而得至U BB+CC-DD ,10.如圖，菱形 ABCD中，A=60 AB=3, OA。召的半徑分別為2和L P、E、產(chǎn)分另（J是邊口Z。71和。8上的 動點.則戶&跌的最小值是【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的注質(zhì)得出P與D重 合