由高考試題淺談如何提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率蔡飛

1、由高考試題淺談如何提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率揚中市第二高級中學(xué) 蔡飛高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題以及高考試題浩如煙海，層出不窮，有的似曾相識，有的耳目一新。這些題目從何而來？揭開神秘的面紗，其實根在課本，法在腦中，弄清原理、本質(zhì)往往手到擒來?，F(xiàn)以解析幾何試題為例，扼要剖析如何提高復(fù)習(xí)效率。一試題改編先看兩道試題:1.2010年全國高考數(shù)學(xué)卷I（理）第21題。已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關(guān)于軸的對稱點為D .（）證明：點F在直線BD上；（）設(shè), 求的內(nèi)切圓M的方程。2.2013年陜西高考數(shù)學(xué)（理）卷第20題已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8. () 求動圓圓心的軌跡C的

2、方程; () 已知點B(1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點. 剖析1:在第1題中，若連結(jié)可知軸即為的平分線。與問題2的條件吻合，問題1的結(jié)論換一種說法就是直線BD過定點F，這一結(jié)論作一般推廣仍然成立，即對任一拋物線，過軸負半軸上任一點作直線交拋物線C于A，B兩點，點A關(guān)于軸的對稱點為D，則BD過定點，對比第2題由（1）可求得軌跡C的方程為，當(dāng)直線與拋物線交于不同的兩點滿足軸是的角平分線時，Q點關(guān)于軸的對稱點即在直線BP上，因此PQ一定經(jīng)過B點關(guān)于原點的對稱點。啟示1：對于原有試題，只要弄清其本質(zhì)規(guī)律，就可以通過改變問題情境、表

3、述方式改編成新問題，其解題方法完全相同或相似。因此在平時的高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師首先要搜集大量的試題信息，將情境不同，方法相同或者相似的試題歸類到一起，以便于在課堂教學(xué)中靈活的作出變式，指引學(xué)生將遇到的問題與已經(jīng)掌握的問題進行比較，力求發(fā)現(xiàn)共同點和相似之處，以便舉一反三，以一當(dāng)十。二原理拓展先看一個有趣的變形，對于橢圓方程：從以上變形可以挖掘一個幾何結(jié)論：橢圓上異于長軸端點的任一點與橢圓上兩點的連線斜率（ 假設(shè)斜率存在）之積為。將此原理推廣到雙曲線或特殊化可命制許多問題，如：3.2011年高考湖北卷第20題平面內(nèi)與兩定點連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所在 的曲線C可以

4、是圓、橢圓或雙曲線.()求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的位置關(guān)系；()當(dāng)m=-1時，對應(yīng)的曲線為C1：對給定的，對應(yīng)的曲線為C2，設(shè)F1、F2是C2的兩個焦點，試問：在C1上，是否存在點N，使得F1NF2的面積，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.4.2011年江西卷第20題已知：點P（x0，y0）（x0±a）是雙曲線E：上一點，M，N分別是雙曲線E的左右頂點，直線PM，PN的斜率之積為（1）求雙曲線的離心率； （2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值5.2010年北京卷第19題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點

5、A（-1,1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。剖析2：.第3，4，5題都是圓，橢圓，雙曲線的一個特殊性質(zhì)的具體表現(xiàn)。在高中數(shù)學(xué)教科書（人教版、蘇教版）都有相應(yīng)的練習(xí)與習(xí)題。其中第一題中，當(dāng)時，軌跡為圓，當(dāng)時為橢圓，當(dāng)時軌跡為雙曲線，第4題的結(jié)論求離心率，若能想到雙曲線的特殊性質(zhì)，兩直線的斜率之積為，則離心率立即求得。第5題則是原性質(zhì)的直接運用。啟示2：從一個已證的結(jié)論、性質(zhì)出發(fā)進行具體化、一般化、類比等變換

6、，可以得到一系列新的試題，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師有必要將圓、橢圓、雙曲線中一些比較類似的定點，定值等重要幾何性質(zhì)問題在復(fù)習(xí)時與學(xué)生一起探討清楚。弄清楚一些重要性質(zhì)和經(jīng)典結(jié)論，以此破解高考試題一招見血，簡單實用。三逆向探究一些數(shù)學(xué)結(jié)論如果探究它的逆命題往往就能得到新的試題。對比以下問題：6.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。過F任作直線交橢圓于M，N兩點，連結(jié)AM與BN交于P點。證明P在一條定直線上。7.2010年江蘇高考卷第18題在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點、，其中m>

7、;0,。（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設(shè)，求點T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐 標(biāo)與m無關(guān)）。剖析3：第:6題揭示了一個一般命題，即：在橢圓長軸AB上任取一點K（異于端點）作直線交橢圓于M，N兩點，連結(jié)AM，BN交于點T，則點T在一條定直線上。此命題的逆命題特殊化即為第7題。啟示3：在平時的教學(xué)中，對于我們已解決的問題，如果教師再適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和鼓勵學(xué)生探究一下它的逆命題是否成立，它的更一般的命題是否成立，往往會讓學(xué)生的思維得到進一步的拓展和延伸，思維的能力和水平得到進一步的提高，同時也培養(yǎng)了學(xué)生多動腦，勤動腦的好習(xí)慣。學(xué)生在取得更多收獲的同時距離高考試題可能又

8、走近了一步，也許已經(jīng)掌握了高考試題的解題方法。四構(gòu)造圖形解析幾何試題離不開圖形特征，基本圖形是直線、圓與圓錐曲線。只要固定它們的位置、形狀和大小，就可以設(shè)置一系列問題。如求基本量等，求曲線方程，判斷直線與曲線的位置關(guān)系，求交點、長度和面積。8.2010年遼寧卷（理）第20題設(shè)橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,.(I) 求橢圓C的離心率；(II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.剖析4：此試題中，基本的曲線元素是橢圓與直線，確定一條直線應(yīng)有兩個條件，題目設(shè)定了過焦點及傾斜角為（每一個條件都可以改變），因而直線位置已經(jīng)確定。確定橢圓同樣需要兩個基本條件。先給出了一個條件，此時可獲得a,b,c滿足的一個等量關(guān)系（方程），此關(guān)系式若為偶次齊次式，則可求出離心率，故試題設(shè)置了第I小題求基本量，若再給出一個條件可求出橢圓的方程。若此條件很簡單，如已知a的值則求方程也簡單，為增加難度，可設(shè)置一個較復(fù)雜的條件。如題中或的面積為定值等等。啟示4：在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，特別要跟學(xué)生強調(diào)：必須弄清試題的條件，尤其要弄清這些條件對應(yīng)的幾何特征，準(zhǔn)確判斷幾何元素之間的相互關(guān)系，并準(zhǔn)確的用數(shù)學(xué)符號語言表示出來，就不難找到解題思路?？傊?，高考試題就是日常教學(xué)工作的指揮棒，在日常的教學(xué)中一定要注意對高考的特點進行仔細分析，把握