論高等數(shù)學中的反例

1、論高等數(shù)學中的反例摘要 高等數(shù)學是培養(yǎng)學生抽象概括能力、邏輯思維能力、運算能力和空間想象能力的重要課程,而重視和恰當?shù)氖褂梅蠢梢杂行У膸椭鷮W生學習高等數(shù)學。因此,本文主要對高等數(shù)學中的反例進行了一定程度的探究,論述了反例的來源和構(gòu)造,圍繞高等數(shù)學中一些典型的反例進行分析,詳細說明了反例在高等數(shù)學學習中的重要作用及應用,為學生學習高等數(shù)學提供了一種輔助方法。 關鍵詞 高等數(shù)學,數(shù)學研究,反例.Abstract The higher maths is an important curriculum of training studentsabstract including capability

2、 、logic ideation capability 、operation capability and space fancy capability ,moreover it is attaching important to and using contrary cases that can effectively help students study higher mathematics.Hence ,This paper holds an exploration on opposite case by focusing on the functions and applicatio

3、n of constructing contrary cases in higher maths studying. it is claimed that constructing contrary cases is an effective aid to higher mathematics studying.KeyW ords higher mathematics, mathematics research, contrary cases0 前言“以例外證明規(guī)律”,這是一句人所共知的格言。通常一個例外足以反駁任何自封為規(guī)律或普遍性的命題。否定這類命題最常用、而且最好的方法就是舉出一個和它不

4、一致的對象,這種對象通常稱之為反例。數(shù)學中的反例通常是指符合某個命題的條件,但又與該命題結(jié)論相矛盾的例子,也即指出某命題不成立的例子。在數(shù)學的發(fā)展史中,反例和證明有著同等重要的地位。一個正確的數(shù)學命題需要嚴密的證明,謬誤則靠反例即可否定。最簡單而最優(yōu)秀的反例莫過于歐拉發(fā)表的世界上最短的一篇數(shù)學論文:6700417641429496729712123225=+=+它推翻了獨步數(shù)壇百余年的費馬猜想:“n 為非負整數(shù)時,一切形如 122+n的數(shù)是素數(shù)?！倍覀冎?高等數(shù)學是培養(yǎng)學生抽象概括能力、邏輯思維能力、運算能力和空間想象能力的重要課程,也是學生進入大學后第一門重要的基礎課,在大學學習中占有及

5、其重要的地位。但是由于其內(nèi)容的高度抽象與概括性,嚴密的邏輯性,獨特的“公式語言”,簡練的表達方式,高等數(shù)學常常成為大學生入學學習的第一個難關。如何幫助學生度過這一難關,學好高等數(shù)學?首要問題是幫助,促使學生掌握好基本概念和基本性質(zhì)。解決這一問題的有效方式之一,是重視和恰當?shù)氖褂梅蠢?。因?在高等數(shù)學的學習中,反例有著極為重要的意義,舉反例的方法在大學數(shù)學學習中應經(jīng)常為同學們所用,它會使同學們對概念、定理、公式的理解更全面、透徹,它在發(fā)現(xiàn)和認識數(shù)學真理,強化數(shù)學基礎的理解和掌握,以及培養(yǎng)學生的思維能力和創(chuàng)造能力等方面的意義和作用是不可低估的。1 本論下面就從反例的來源與構(gòu)造,反例在高等數(shù)學學習中

6、的作用兩個方面進行分析。1.1反例的來源與構(gòu)造對于數(shù)學學科,證明一個猜想是真實的,必須經(jīng)過嚴格的推理論證;證明一個猜想是假的,只須找到猜想命題的反例。在數(shù)學學習中,出現(xiàn)了這樣一種現(xiàn)象,教師為了說明一個命題為假命題,舉出一個反例,說明反例雖然滿足命題的條件,卻無命題的結(jié)論,但反例怎樣得到呢?教師很少分析甚至不做分析。學生感到老師確實高明,從肚子里能掏出一個一個非常具有說服力的反例,就象舞臺上的魔術師,能從帽子里掏出一個又一個白鴿,雖然非常精彩,卻是觀眾學不會的。與獲得證明的方法一樣,反例的獲得也需要經(jīng)過一系列深層次的思維活動,其方法包括:觀察與實驗、歸納、分析與綜合、概括與抽象等,反例決不能憑空

7、得到。1.1.1從定義入手獲得反例概念是數(shù)學學科的細胞,是反映事物本質(zhì)的思維形式。在邏輯學中,定義是明確概念內(nèi)涵的邏輯方法。在數(shù)學問題中,若首先給出一個概念的定義,然后判斷一個猜想是否正確,則反例的獲得常常需要從定義入手。例1 2002年上海市高考(理工農(nóng)醫(yī)數(shù)學試卷第22題第(2小題規(guī)定(!11mmxxxc mx+-=,其中mRx,是正整數(shù),且10=xc,這是組合數(shù)(n m m n c mn 是正整數(shù),且,的一種推廣。組合數(shù)的性質(zhì):是正整數(shù)是否能推廣到m R x c c c mx mn nm n ,(=-的情形?若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,說明理由。本題生動的給出了m x c

8、 的發(fā)生式定義,問題清楚的提出能否作出滿足題意的推廣。 猜想推廣命題為n m x m x c c -=,按照m x c 的定義,觀察、分析推廣命題的形式知,m x m R x -,是正整數(shù),但m R x ,是正整數(shù),m x -一定是正整數(shù)嗎?顯然不能。這樣我們將陌生的問題轉(zhuǎn)化熟悉的以后,反例就容易獲得了。事實上,反例有無數(shù)個。如:323513535,1,35c c m x =-無意義;或133,1,3-=cm x 無意義,所以性質(zhì):n m x m x c c -=不能作滿足條件的推廣。上述反例是從定義出發(fā)獲得。1.1.2運用特殊化、運動變化的思想獲得反例特殊化一般是從考慮一組給定的對象集合過渡

9、到考慮該集合中一上較小的集合或僅僅一個對象,特殊化在求解問題時常常用到。例2在一張對稱的桌面上,兩人玩放圍棋子的游戲,直到桌面上無法放棋子為止,棋子放得多的一方為勝者。問:該游戲規(guī)則對先放棋子者是否有利? 圖一 放棋演示設想:見圖一,如果將桌面特殊化成一張充分小的桌面,僅能放下一顆棋子,顯然,先放者必勝。如果再讓桌面具有對稱性地向外延拓,那么后放棋子的選手將棋子無論放在桌面上的哪個位置,先放者總可在桌面上找到相應的對稱位置放棋子。因此,最終在桌面上無法放下一顆棋子的是后放者。規(guī)則對先放者有利。特殊化的方法在數(shù)學的許多猜想的證明與推導過程中經(jīng)常用到。往往是先解決特殊化后的問題,再把一般問題轉(zhuǎn)化到

10、特殊化問題上來。當一個猜想給出后,我們可以根據(jù)猜想命題的題型特點,運用運動變化的觀點 考慮變化中的特殊情況獲得反例。例3 下面有兩個猜想:猜想1 已知+R b a ,證明或否定(1133+a b b a ;(213131+ab ba ;(31717133+ab ba ;(417733+ab ba ;猜想2 已知,=+xyz R z y x ,證明或否定(523311311311+zyx;(623711711711333+zyx;觀察式(1左側(cè)的結(jié)構(gòu),運用運動變化的觀點,讓=b a ,則(1式左側(cè)2,所以(1式不可能成立,取1=b a 代入(1式左側(cè),得等號成立,再取2=b a 試驗,有1522

11、33=+ab ba ,于是我們獲得了(1式不成立的反例;用同樣的方法,可以得到(4式不成立的反例, 取2=b a ,有 192277333>=+ab ba即猜想1中式(4不成立;再觀察(2的左側(cè),讓+=0b a 則(2式的左側(cè)0,所以(2式不可能成立, 取31=b a ,有16123131<=+ab ba即猜想1中式(2不成立;用同樣的方法可以得到(3式不成立的反例, 取71=b a ,有114127171333<=+ab ba即猜想1中不等式(3不成立;觀察(5式的結(jié)構(gòu),當1,0=+xyz z y x 時,(5式的左側(cè)1,所以(5式不可能成立, 取8,641=z y x ,

12、于是1=xyz ,但2357521523648311311311<=+<+=+zyx,即猜想2中不等式(5不成立;同樣的方法分析可得,取9,811=z y x ,于是1=xyz ,但23211427818171171171133333=+<+=+zyx,于是我們獲得了猜想2中(6式不成立的反例。1.2反例在高等數(shù)學中的作用1.2.1反例的尋找為新興學科的發(fā)展提供了源泉 被譽為大自然的幾何學的分形(Fractal 理論,是現(xiàn)代數(shù)學的一個新分支,但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。它與動力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合,相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中,在某一方面(形態(tài)

13、,結(jié)構(gòu),信息,功能,時間,能量等表現(xiàn)出與整體的相似性,它承認空間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以是連續(xù)的,因而拓展了視野。雖然分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學家曼德爾布羅特(B.B.Mandelbrot 1975年首先提出的,但最早的工作可追朔到1875年,德國數(shù)學家維爾斯特拉斯(K.Weierestrass 構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù),集合論創(chuàng)始人康托(G.Cantor ,德國數(shù)學家構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。1890年,意大利數(shù)學家皮亞諾(G.Peano 構(gòu)造了填充空間的曲線。1904年,瑞典數(shù)學家科赫(H.von Koch 設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年,波蘭數(shù)學家

14、謝爾賓斯基(W.Sierpinski 設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例,但它們正是分形幾何思想的源泉。以后,這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意,先驅(qū)們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。1.2.2利用反例,有助于學生全面正確的理解、掌握高等數(shù)學的基本知識 1.2.2.1概念教學中利用反例可幫助學生深入對概念的理解數(shù)學概念本身是抽象的,引入概念之后,還必須有一個去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、深化過程,必須在感性認識的基礎上對概念作辨證的分析,用不同的方式進一步揭示概念的本質(zhì)屬性。通過列舉或構(gòu)造反例,往往能夠

15、從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認識,讓學生嚴格區(qū)分那些相近易混的概念,把握概念的要素和本質(zhì),從而達到學好的效果。例1 在學習數(shù)列極限的-N 定義之后,我們可以提出這樣的問題:若>0,N>0,當n>N 時,n x 中有無窮多項滿足A x n -<,是否A x n n =lim ?答案是否定的。我們可設n x =1+(-1n-1,對0,有|k x 2 -0|=0<,但因為0lim ,2lim 212=+k k k k x x ,該數(shù)列顯然無極限。用這個小小的反例就可以簡潔的駁斥這種錯誤的認識,因為雖有無窮多項滿足A x n -<,但也有無窮多項不滿足A x n -

16、<,而極限的定義要求當n>N 時,所有的Xn 都滿足A x n -<,即不滿足A x n -<的項至多有X 1,X 2,X N 有限項。經(jīng)過這一反例的判斷和分析,學生自然對-N 定義的本質(zhì)有了進一步的認識,對定義的要求也有了更明確的理解。例2 對于導數(shù)定義的理解,有些同學僅停留在形式的背誦上,而沒有領會其精神實質(zhì)。為此,我們可以提出這樣的問題:若已知極限n lim(nnx f x f 11-+存在,其中n為自然數(shù),問(x f 是否可導?我們知道對于定義中的x lim(xx f x x f -+A=,是要求自變量X 的增量x 0的過程是以任意方式進行的。初學者往往容易對這

17、一點理解不清或容易忽視,從而錯誤的認為:令xn =1,則有n lim(nnx f x f 11-+=x lim(xx f x x f -+A=(既導數(shù)定義,因此(x f 可導。我們可先舉一個反例幫助同學們分析,如:設(=為無理數(shù),為有理數(shù)x x x f 0,1,則因為,x x nx 與1+同為有理數(shù)或無理數(shù),故恒有 n lim(nnx f x f 11-+=0,但是(x f 顯然在(+-,內(nèi)處處間斷,因而在任何一點都不可導。然后在此基礎上再和學生分析導致錯誤的原因,并進一步強調(diào):在求函數(shù)一點處的導數(shù)時,自變量X 的增量x 0的過程必須以任意方式進行,而不能只按照某種特定的方式(如此處逐點跳躍式

18、趨于0。這樣處理,學生更易接受,并對定義要求有更深刻的理解。例3 學習完無窮小量的概念之后,可列舉出兩個問題讓學生判斷正誤:無窮小量是越來越小的變量;無窮小量是絕對值越來越小的變量。通過列舉數(shù)列( ,121,215161314112111-n n nn,和數(shù)列說明這兩個命題都是錯誤的,從而使學生對無窮小量概念中的“無限趨于0”的實質(zhì)有了準確的理解。 1.2.2.2命題學習中利用反例可幫助學生正確掌握基本定理和命題 1.2.2.2.1反例可以幫助學生明確定理的正確使用范圍。在命題學習中,用生動的反例駁斥錯誤的命題是非常簡潔、有效的。更重要的是,反例可用來說明正確命題的使用范圍。這對我們初學者非常

19、有益,不僅能澄清一些錯誤的認識,對基本定理和基本性質(zhì)作出正確的理解,也能促使學生形成嚴密推理、重視條件的習慣,避免發(fā)生“失之毫厘,謬之千里”的錯誤。例4 由導數(shù)的定義我們知道,“可導函數(shù)必連續(xù)”,那么“連續(xù)函數(shù)必定是可導函數(shù)嗎”?我們只須一個簡單的例子0=x xy 就可以說明連續(xù)函數(shù)不一定可導。我們還可以舉出一個在無窮多個點上沒有導數(shù)的連續(xù)函數(shù)的例子:(x x f sin =,說明:(.1,1,'''不存在故有k f k f k f z k =-=+- 。 函數(shù)論中由維爾斯特拉斯構(gòu)造的一個處處不可微的連續(xù)函數(shù)(=cos n nnxb ax f ,(b ab a ,231

20、,10+><<為奇整數(shù)結(jié)束了連續(xù)與可微的紛爭。正是這“嚴密的證明”和“巧妙的反例”推動了整個數(shù)學向前發(fā)展。例5 學習微分中值定理時,我們可以提出這樣的命題讓學生判斷正誤:若(x f 在(b a ,內(nèi)可導,則在(b a ,內(nèi)必定存在,使得(ab a f b f f -='。通過構(gòu)造反例,如:(=<=010,x x x x f , 易知該命題不成立。因為雖然(x f 在(1,0內(nèi)可導,但在1,0上不連續(xù)。但由于(0101,01101=-=-=-f f f f ,而在(1,0內(nèi)(1'=x f ,所以在(1,0內(nèi)不存在,使得(0'=f 。這表明拉格朗日中

21、值定理中,(x f 在b a ,上上連續(xù)的條件不能少。類似,可通過反例(x x f =說明該定理中(x f 在(b a ,內(nèi)的條件不可缺少。通過這種方式,強調(diào)該定理中的兩個條件缺一不可,相信會給同學們留下非常深刻的印象。反例:函數(shù)(-=5.015.05.02x x x x f ,它在(5.0,1-內(nèi)可導,并存在61-=使得(15.015.03161261'-=-=-=-f f f ,但顯然(x f 在5.0,1-上不連續(xù)。這說明連續(xù)是定理的非必要條件。事實上對中值定理的條件稍加改變之后可以引出許多反例。這些反例能有效的幫助同學們掌握定理的條件,結(jié)論及相互間的關系。 1.2.2.2.2反

22、例可以加強定理運用時對條件的正確理解和掌握例6 我們知道夾逼定理的內(nèi)容是:若滿足對任意的x ,總有(x x f x (A x x x x =lim lim ,則有(A x f x =lim 。有些學生想當然的將條件換成(0lim =-x x x 。我們只須令(241xx x -=,(2421,xx x x x f +=,則有(x x f x ,且(0lim =-x x x ,但是(=x f x lim ,即(x f x lim 不存在,由此我們用嚴密的邏輯推理推翻了這種想當然,說明條件2不能改換,運用定理應重視條件的掌握。1.2.3利用反例糾正錯誤,發(fā)現(xiàn)問題反例在辨析命題真?zhèn)问?具有直觀、明顯

23、、說服力強等突出的特點,所以利用反例在揭示命題錯誤時具有特殊的威力。1644年,法國修道士馬林莫森宣布12-=ppM型的數(shù),當257,127,67,31,17,13,7,5,3,2=p 時都是素數(shù)(稱為“莫森素數(shù)”,其實他只演算了前面7個。1903年美國數(shù)學家科爾坐了一次無聲的學術報告,他在黑板上先算出,1267-接著又把877618382572193707721用豎式算了一遍,兩個結(jié)果完全相同,他沒有說一句話,就回到自己的座位上,會場上響起了雷雨般的掌聲,就因為這個反例糾正了人們200多年的錯誤。例7 學習多元函數(shù)微分學時,有些同學因為一元函數(shù)有“可導必連續(xù)”的性質(zhì),常有錯誤的知識遷移,認為

24、“多元函數(shù)若偏導數(shù)存在則必連續(xù)”。我們也可以通過舉反例及時有效的糾正這類認識上的偏差。如:設 (+=+=0,0,0,222222y x yx xy y x y x f z , 利用定義易知偏導數(shù)(00,0,00,0=y x f f 存在,但是(2222220,0,1limlimkk kxx kxyx xy x kxy y x +=+=+=,但是隨著k 的值的不同而改變,所以(y x f ,當(0,0,y x 時的極限不存在,所以函數(shù)在點(0,0不連續(xù)。所以正如數(shù)學家維奧拉所說:反例“可以檢驗你是否已經(jīng)正確而深入的了解了數(shù)學的真諦,還可以鍛煉你的智力,并將你的判斷和推理嚴格的約束在一種秩序之中”

25、。例8 “如果二元函數(shù)在有界閉域D 內(nèi)有唯一的極小值點0M ,那么該函數(shù)是否必在0M 處取得最小值。答案是不一定。反例:(.16:,33,22322+-+=y x D x y x y x f z 令236xx xz -=0解得y=0.故得倆駐點:(0,01M ,(0,22M .另外6,0,6622222=-=yz yx z x xz ,容易判定(0,01M 是唯一的極小值點,而(0,22M 不是極小值點。但在D 上,(y x f ,的最值均在邊界上取得,最大值為(.160,4-=f 故(00,0=f 不是(y x f ,在D 上的最小值。由此我們注意到,解多元函數(shù)極值的應用題時,?？梢钥吹饺缦?/p>

26、說法:“根據(jù)問題的實際意義,存在最小值,0M 是唯一的極小值點。由這個例子,在多元函數(shù)這一說法并不正確,而應該著重說明“(y x f ,在D 內(nèi)存在最大(小值,而且(y x f ,在D 內(nèi)只有唯一的極值點”,這樣才能判定極大(小值點就是最大(小值點。由反例我們可以從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題。1.2.4 反例有助于激發(fā)學生的求知欲有些問題稍作變化,再交給學生,在新舊的比較和思索中,往往能引起學生的興趣。而通過教師有效的引導和學生積極的討論,許多反例將被指出。例9 對于絕對值函數(shù),我們可以提出下面一系列命題讓學生判斷: (1 若(x f 在0x 連續(xù),則(x f 在點0x 連續(xù)。 (是 (2 若(x f 在

27、點0x 連續(xù),則(x f 在0x 連續(xù)。 (非 (3 若(x f 在0x 可導,則(x f 在點0x 可導。 (非 (4 若(x f 在點0x 可導,則(x f 在0x 可導。 (非 (5 若(x f 在b a ,可積,則(x f 在b a ,可積。 (是 (6 若(x f 在b a ,可積,則(x f 在b a ,可積。 (非例10 學習洛比達法則時,我們可以提出這樣的問題:若符合洛比達法則的條件,則通過該法則是否就一定能求得極限呢?只須舉出一個反例即可:xx x xx ee e e -+lim,在連接使用該法則的過程中總是出現(xiàn)不定式且發(fā)生循環(huán)的現(xiàn)象。學生一旦發(fā)現(xiàn)這一反例中的惡性循環(huán),便感到

28、驚奇,引起解題的興趣。前面所提的無窮小量的第二個錯誤說法,相當多的同學會認為是正確的。象這樣易犯而又意識不到的錯誤,一經(jīng)提出,就會激發(fā)學生強烈的了解“為什么”的愿望,激發(fā)他們的求知欲. 1.2.5 通過反例,誘發(fā)學生的創(chuàng)造力,提高學生的思維能力. 如前面所分析,反例的尋找與構(gòu)造過程是一項積極的,創(chuàng)造性的思維活動,是一個 探索發(fā)現(xiàn)的過程.在高等數(shù)學的教學中,恰當開發(fā)和利用反例,將能有效的提高學習質(zhì) 量. 1.2.5.1 例 11 通過解題尋找反例來提升解題能力,培養(yǎng)學生思維的嚴密性. 設 f ( x , (x 在 ( ,+ 上有定義, f ( x , 是連續(xù)函數(shù),且 f ( x 0 , (x 有

29、 間斷點,下列各函數(shù)是否必有間斷點,為什么? f ( x ( x 2 f ( x (x f (x 0, x > 1 不一定.設 (x = , x = + 1 顯然是 (x 的間斷點.又設 f ( x , 在 ( ,+ 上連 1, x 0 續(xù),而 f ( x =1,所以 f ( x 在 ( ,+ 上連續(xù). 1, x 0 2 不一定. (x = 設 , 顯然 x = 0 是間斷點. ( x 而 1, x < 0 上連續(xù). 1, x 0 不一定.設 (x = , f ( x = x + 1 0 且在 ( ,+ 上連續(xù).而 f ( x 1, x < 0 故 f ( x 在 ( ,+

30、上連續(xù). =2 =1, ( x 在 ( ,+ 故 2 一定有間斷點.用反證法即可. 通過設置上述例題,引導學生構(gòu)造反例,對激發(fā)大學生學習數(shù)學的興趣是大有裨益 的. 1.2.5.2 反例有助于提高學生的數(shù)學思維能力,增強數(shù)學素養(yǎng) 數(shù)學由證明和反駁兩大類組成, 數(shù)學的發(fā)展也是朝著提出證明和構(gòu)造反例這兩個主 要目標前進的.構(gòu)造反例具有一定的技巧性,有時也是費力的.它不僅與基礎知識的掌 握程度有關, 還涉及知識面的寬窄等. 所以在學習中在適當?shù)臅r候讓學生自己構(gòu)造反例, 這是一種很好的鍛煉.重視和體驗這樣的過程,不僅能增強知識,拓寬思路,活躍思維, 第 11 頁(共 13 頁 提高自學能力,也能提高分析

31、問題,解決問題的能力,增強數(shù)學素養(yǎng). 1.2.6 反例是進一步提出問題的動力之源 例 12 當動點 ( x, y 沿著任意直線無限趨近于(0,0時,函數(shù) f ( x, y 的極限存在 且都等于 A,能否說函數(shù) f ( x, y 當動點 ( x, y (0,0 時二重極限也等于 A? 我們易知道答案是不能. 例如: x2 y f ( x, y = 4 , x2 + y2 0 , 2 x +y kx 2 kx = lim 2 = 0. 4 2 2 x 0 x + k 2 x +k x (0, 時, 0 都有 lim f ( x, y = lim 當動點 ( x, y 沿著 Y 軸無限趨于 x 0 x =0 x 0 但是當動點 ( x, y 沿著拋物線 y = x 2 無限趨于(0,0時有 lim f ( x, y = lim x0 y = x 2 0 x 0 x4 1 = . 4 4 2 x +x x2 y 所以函數(shù) f ( x, y = 4 , x 2 + y 2 0 當 ( x, y (0,0 時極限不存在. 2 x +y 由此我們提出:判定二重極限不存在有哪些常用方法呢? 按照二重極限的定義, lim f ( x, y 存在,要求 p(x, y 以任何方式無限趨于 p 0 ( x0 , y 0