論高等數(shù)學(xué)中的反例

1、論高等數(shù)學(xué)中的反例摘要 高等數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力和空間想象能力的重要課程,而重視和恰當(dāng)?shù)氖褂梅蠢梢杂行У膸椭鷮W(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。因此,本文主要對(duì)高等數(shù)學(xué)中的反例進(jìn)行了一定程度的探究,論述了反例的來(lái)源和構(gòu)造,圍繞高等數(shù)學(xué)中一些典型的反例進(jìn)行分析,詳細(xì)說(shuō)明了反例在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用及應(yīng)用,為學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提供了一種輔助方法。 關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)研究,反例.Abstract The higher maths is an important curriculum of training studentsabstract including capability

2、 、logic ideation capability 、operation capability and space fancy capability ,moreover it is attaching important to and using contrary cases that can effectively help students study higher mathematics.Hence ,This paper holds an exploration on opposite case by focusing on the functions and applicatio

3、n of constructing contrary cases in higher maths studying. it is claimed that constructing contrary cases is an effective aid to higher mathematics studying.KeyW ords higher mathematics, mathematics research, contrary cases0 前言“以例外證明規(guī)律”,這是一句人所共知的格言。通常一個(gè)例外足以反駁任何自封為規(guī)律或普遍性的命題。否定這類命題最常用、而且最好的方法就是舉出一個(gè)和它不

4、一致的對(duì)象,這種對(duì)象通常稱之為反例。數(shù)學(xué)中的反例通常是指符合某個(gè)命題的條件,但又與該命題結(jié)論相矛盾的例子,也即指出某命題不成立的例子。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中,反例和證明有著同等重要的地位。一個(gè)正確的數(shù)學(xué)命題需要嚴(yán)密的證明,謬誤則靠反例即可否定。最簡(jiǎn)單而最優(yōu)秀的反例莫過(guò)于歐拉發(fā)表的世界上最短的一篇數(shù)學(xué)論文:6700417641429496729712123225=+=+它推翻了獨(dú)步數(shù)壇百余年的費(fèi)馬猜想:“n 為非負(fù)整數(shù)時(shí),一切形如 122+n的數(shù)是素?cái)?shù)?！倍覀冎?高等數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力和空間想象能力的重要課程,也是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后第一門重要的基礎(chǔ)課,在大學(xué)學(xué)習(xí)中占有及

5、其重要的地位。但是由于其內(nèi)容的高度抽象與概括性,嚴(yán)密的邏輯性,獨(dú)特的“公式語(yǔ)言”,簡(jiǎn)練的表達(dá)方式,高等數(shù)學(xué)常常成為大學(xué)生入學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)難關(guān)。如何幫助學(xué)生度過(guò)這一難關(guān),學(xué)好高等數(shù)學(xué)?首要問(wèn)題是幫助,促使學(xué)生掌握好基本概念和基本性質(zhì)。解決這一問(wèn)題的有效方式之一,是重視和恰當(dāng)?shù)氖褂梅蠢?。因?在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,反例有著極為重要的意義,舉反例的方法在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)經(jīng)常為同學(xué)們所用,它會(huì)使同學(xué)們對(duì)概念、定理、公式的理解更全面、透徹,它在發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)真理,強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理解和掌握,以及培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力等方面的意義和作用是不可低估的。1 本論下面就從反例的來(lái)源與構(gòu)造,反例在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中

6、的作用兩個(gè)方面進(jìn)行分析。1.1反例的來(lái)源與構(gòu)造對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科,證明一個(gè)猜想是真實(shí)的,必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證;證明一個(gè)猜想是假的,只須找到猜想命題的反例。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,出現(xiàn)了這樣一種現(xiàn)象,教師為了說(shuō)明一個(gè)命題為假命題,舉出一個(gè)反例,說(shuō)明反例雖然滿足命題的條件,卻無(wú)命題的結(jié)論,但反例怎樣得到呢?教師很少分析甚至不做分析。學(xué)生感到老師確實(shí)高明,從肚子里能掏出一個(gè)一個(gè)非常具有說(shuō)服力的反例,就象舞臺(tái)上的魔術(shù)師,能從帽子里掏出一個(gè)又一個(gè)白鴿,雖然非常精彩,卻是觀眾學(xué)不會(huì)的。與獲得證明的方法一樣,反例的獲得也需要經(jīng)過(guò)一系列深層次的思維活動(dòng),其方法包括:觀察與實(shí)驗(yàn)、歸納、分析與綜合、概括與抽象等,反例決不能憑空

7、得到。1.1.1從定義入手獲得反例概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的細(xì)胞,是反映事物本質(zhì)的思維形式。在邏輯學(xué)中,定義是明確概念內(nèi)涵的邏輯方法。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中,若首先給出一個(gè)概念的定義,然后判斷一個(gè)猜想是否正確,則反例的獲得常常需要從定義入手。例1 2002年上海市高考(理工農(nóng)醫(yī)數(shù)學(xué)試卷第22題第(2小題規(guī)定(!11mmxxxc mx+-=,其中mRx,是正整數(shù),且10=xc,這是組合數(shù)(n m m n c mn 是正整數(shù),且,的一種推廣。組合數(shù)的性質(zhì):是正整數(shù)是否能推廣到m R x c c c mx mn nm n ,(=-的情形?若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,說(shuō)明理由。本題生動(dòng)的給出了m x c

8、 的發(fā)生式定義,問(wèn)題清楚的提出能否作出滿足題意的推廣。 猜想推廣命題為n m x m x c c -=,按照m x c 的定義,觀察、分析推廣命題的形式知,m x m R x -,是正整數(shù),但m R x ,是正整數(shù),m x -一定是正整數(shù)嗎?顯然不能。這樣我們將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化熟悉的以后,反例就容易獲得了。事實(shí)上,反例有無(wú)數(shù)個(gè)。如:323513535,1,35c c m x =-無(wú)意義;或133,1,3-=cm x 無(wú)意義,所以性質(zhì):n m x m x c c -=不能作滿足條件的推廣。上述反例是從定義出發(fā)獲得。1.1.2運(yùn)用特殊化、運(yùn)動(dòng)變化的思想獲得反例特殊化一般是從考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡

9、到考慮該集合中一上較小的集合或僅僅一個(gè)對(duì)象,特殊化在求解問(wèn)題時(shí)常常用到。例2在一張對(duì)稱的桌面上,兩人玩放圍棋子的游戲,直到桌面上無(wú)法放棋子為止,棋子放得多的一方為勝者。問(wèn):該游戲規(guī)則對(duì)先放棋子者是否有利? 圖一 放棋演示設(shè)想:見圖一,如果將桌面特殊化成一張充分小的桌面,僅能放下一顆棋子,顯然,先放者必勝。如果再讓桌面具有對(duì)稱性地向外延拓,那么后放棋子的選手將棋子無(wú)論放在桌面上的哪個(gè)位置,先放者總可在桌面上找到相應(yīng)的對(duì)稱位置放棋子。因此,最終在桌面上無(wú)法放下一顆棋子的是后放者。規(guī)則對(duì)先放者有利。特殊化的方法在數(shù)學(xué)的許多猜想的證明與推導(dǎo)過(guò)程中經(jīng)常用到。往往是先解決特殊化后的問(wèn)題,再把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化到

10、特殊化問(wèn)題上來(lái)。當(dāng)一個(gè)猜想給出后,我們可以根據(jù)猜想命題的題型特點(diǎn),運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn) 考慮變化中的特殊情況獲得反例。例3 下面有兩個(gè)猜想:猜想1 已知+R b a ,證明或否定(1133+a b b a ;(213131+ab ba ;(31717133+ab ba ;(417733+ab ba ;猜想2 已知,=+xyz R z y x ,證明或否定(523311311311+zyx;(623711711711333+zyx;觀察式(1左側(cè)的結(jié)構(gòu),運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),讓=b a ,則(1式左側(cè)2,所以(1式不可能成立,取1=b a 代入(1式左側(cè),得等號(hào)成立,再取2=b a 試驗(yàn),有1522

11、33=+ab ba ,于是我們獲得了(1式不成立的反例;用同樣的方法,可以得到(4式不成立的反例, 取2=b a ,有 192277333>=+ab ba即猜想1中式(4不成立;再觀察(2的左側(cè),讓+=0b a 則(2式的左側(cè)0,所以(2式不可能成立, 取31=b a ,有16123131<=+ab ba即猜想1中式(2不成立;用同樣的方法可以得到(3式不成立的反例, 取71=b a ,有114127171333<=+ab ba即猜想1中不等式(3不成立;觀察(5式的結(jié)構(gòu),當(dāng)1,0=+xyz z y x 時(shí),(5式的左側(cè)1,所以(5式不可能成立, 取8,641=z y x ,

12、于是1=xyz ,但2357521523648311311311<=+<+=+zyx,即猜想2中不等式(5不成立;同樣的方法分析可得,取9,811=z y x ,于是1=xyz ,但23211427818171171171133333=+<+=+zyx,于是我們獲得了猜想2中(6式不成立的反例。1.2反例在高等數(shù)學(xué)中的作用1.2.1反例的尋找為新興學(xué)科的發(fā)展提供了源泉 被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)的分形(Fractal 理論,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支,但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。它與動(dòng)力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合,相輔相成。它承認(rèn)世界的局部可能在一定條件下。過(guò)程中,在某一方面(形態(tài)

13、,結(jié)構(gòu),信息,功能,時(shí)間,能量等表現(xiàn)出與整體的相似性,它承認(rèn)空間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以是連續(xù)的,因而拓展了視野。雖然分形幾何的概念是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特(B.B.Mandelbrot 1975年首先提出的,但最早的工作可追朔到1875年,德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯(K.Weierestrass 構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù),集合論創(chuàng)始人康托(G.Cantor ,德國(guó)數(shù)學(xué)家構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。1890年,意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾(G.Peano 構(gòu)造了填充空間的曲線。1904年,瑞典數(shù)學(xué)家科赫(H.von Koch 設(shè)計(jì)出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年,波蘭數(shù)學(xué)家

14、謝爾賓斯基(W.Sierpinski 設(shè)計(jì)了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學(xué)中的問(wèn)題而提出的反例,但它們正是分形幾何思想的源泉。以后,這一領(lǐng)域的研究工作沒(méi)有引起更多人的注意,先驅(qū)們的工作只是作為分析與拓?fù)鋵W(xué)教科書中的反例而流傳開來(lái)。1.2.2利用反例,有助于學(xué)生全面正確的理解、掌握高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí) 1.2.2.1概念教學(xué)中利用反例可幫助學(xué)生深入對(duì)概念的理解數(shù)學(xué)概念本身是抽象的,引入概念之后,還必須有一個(gè)去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、深化過(guò)程,必須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)概念作辨證的分析,用不同的方式進(jìn)一步揭示概念的本質(zhì)屬性。通過(guò)列舉或構(gòu)造反例,往往能夠

15、從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識(shí),讓學(xué)生嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的概念,把握概念的要素和本質(zhì),從而達(dá)到學(xué)好的效果。例1 在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的-N 定義之后,我們可以提出這樣的問(wèn)題:若>0,N>0,當(dāng)n>N 時(shí),n x 中有無(wú)窮多項(xiàng)滿足A x n -<,是否A x n n =lim ?答案是否定的。我們可設(shè)n x =1+(-1n-1,對(duì)0,有|k x 2 -0|=0<,但因?yàn)?lim ,2lim 212=+k k k k x x ,該數(shù)列顯然無(wú)極限。用這個(gè)小小的反例就可以簡(jiǎn)潔的駁斥這種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí),因?yàn)殡m有無(wú)窮多項(xiàng)滿足A x n -<,但也有無(wú)窮多項(xiàng)不滿足A x n -

16、<,而極限的定義要求當(dāng)n>N 時(shí),所有的Xn 都滿足A x n -<,即不滿足A x n -<的項(xiàng)至多有X 1,X 2,X N 有限項(xiàng)。經(jīng)過(guò)這一反例的判斷和分析,學(xué)生自然對(duì)-N 定義的本質(zhì)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),對(duì)定義的要求也有了更明確的理解。例2 對(duì)于導(dǎo)數(shù)定義的理解,有些同學(xué)僅停留在形式的背誦上,而沒(méi)有領(lǐng)會(huì)其精神實(shí)質(zhì)。為此,我們可以提出這樣的問(wèn)題:若已知極限n lim(nnx f x f 11-+存在,其中n為自然數(shù),問(wèn)(x f 是否可導(dǎo)?我們知道對(duì)于定義中的x lim(xx f x x f -+A=,是要求自變量X 的增量x 0的過(guò)程是以任意方式進(jìn)行的。初學(xué)者往往容易對(duì)這

17、一點(diǎn)理解不清或容易忽視,從而錯(cuò)誤的認(rèn)為:令xn =1,則有n lim(nnx f x f 11-+=x lim(xx f x x f -+A=(既導(dǎo)數(shù)定義,因此(x f 可導(dǎo)。我們可先舉一個(gè)反例幫助同學(xué)們分析,如:設(shè)(=為無(wú)理數(shù),為有理數(shù)x x x f 0,1,則因?yàn)?x x nx 與1+同為有理數(shù)或無(wú)理數(shù),故恒有 n lim(nnx f x f 11-+=0,但是(x f 顯然在(+-,內(nèi)處處間斷,因而在任何一點(diǎn)都不可導(dǎo)。然后在此基礎(chǔ)上再和學(xué)生分析導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因,并進(jìn)一步強(qiáng)調(diào):在求函數(shù)一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí),自變量X 的增量x 0的過(guò)程必須以任意方式進(jìn)行,而不能只按照某種特定的方式(如此處逐點(diǎn)跳躍式

18、趨于0。這樣處理,學(xué)生更易接受,并對(duì)定義要求有更深刻的理解。例3 學(xué)習(xí)完無(wú)窮小量的概念之后,可列舉出兩個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生判斷正誤:無(wú)窮小量是越來(lái)越小的變量;無(wú)窮小量是絕對(duì)值越來(lái)越小的變量。通過(guò)列舉數(shù)列( ,121,215161314112111-n n nn,和數(shù)列說(shuō)明這兩個(gè)命題都是錯(cuò)誤的,從而使學(xué)生對(duì)無(wú)窮小量概念中的“無(wú)限趨于0”的實(shí)質(zhì)有了準(zhǔn)確的理解。 1.2.2.2命題學(xué)習(xí)中利用反例可幫助學(xué)生正確掌握基本定理和命題 1.2.2.2.1反例可以幫助學(xué)生明確定理的正確使用范圍。在命題學(xué)習(xí)中,用生動(dòng)的反例駁斥錯(cuò)誤的命題是非常簡(jiǎn)潔、有效的。更重要的是,反例可用來(lái)說(shuō)明正確命題的使用范圍。這對(duì)我們初學(xué)者非常

19、有益,不僅能澄清一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí),對(duì)基本定理和基本性質(zhì)作出正確的理解,也能促使學(xué)生形成嚴(yán)密推理、重視條件的習(xí)慣,避免發(fā)生“失之毫厘,謬之千里”的錯(cuò)誤。例4 由導(dǎo)數(shù)的定義我們知道,“可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù)”,那么“連續(xù)函數(shù)必定是可導(dǎo)函數(shù)嗎”?我們只須一個(gè)簡(jiǎn)單的例子0=x xy 就可以說(shuō)明連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。我們還可以舉出一個(gè)在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)上沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)的例子:(x x f sin =,說(shuō)明:(.1,1,'''不存在故有k f k f k f z k =-=+- 。 函數(shù)論中由維爾斯特拉斯構(gòu)造的一個(gè)處處不可微的連續(xù)函數(shù)(=cos n nnxb ax f ,(b ab a ,231

20、,10+><<為奇整數(shù)結(jié)束了連續(xù)與可微的紛爭(zhēng)。正是這“嚴(yán)密的證明”和“巧妙的反例”推動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)向前發(fā)展。例5 學(xué)習(xí)微分中值定理時(shí),我們可以提出這樣的命題讓學(xué)生判斷正誤:若(x f 在(b a ,內(nèi)可導(dǎo),則在(b a ,內(nèi)必定存在,使得(ab a f b f f -='。通過(guò)構(gòu)造反例,如:(=<=010,x x x x f , 易知該命題不成立。因?yàn)殡m然(x f 在(1,0內(nèi)可導(dǎo),但在1,0上不連續(xù)。但由于(0101,01101=-=-=-f f f f ,而在(1,0內(nèi)(1'=x f ,所以在(1,0內(nèi)不存在,使得(0'=f 。這表明拉格朗日中

21、值定理中,(x f 在b a ,上上連續(xù)的條件不能少。類似,可通過(guò)反例(x x f =說(shuō)明該定理中(x f 在(b a ,內(nèi)的條件不可缺少。通過(guò)這種方式,強(qiáng)調(diào)該定理中的兩個(gè)條件缺一不可,相信會(huì)給同學(xué)們留下非常深刻的印象。反例:函數(shù)(-=5.015.05.02x x x x f ,它在(5.0,1-內(nèi)可導(dǎo),并存在61-=使得(15.015.03161261'-=-=-=-f f f ,但顯然(x f 在5.0,1-上不連續(xù)。這說(shuō)明連續(xù)是定理的非必要條件。事實(shí)上對(duì)中值定理的條件稍加改變之后可以引出許多反例。這些反例能有效的幫助同學(xué)們掌握定理的條件,結(jié)論及相互間的關(guān)系。 1.2.2.2.2反

22、例可以加強(qiáng)定理運(yùn)用時(shí)對(duì)條件的正確理解和掌握例6 我們知道夾逼定理的內(nèi)容是:若滿足對(duì)任意的x ,總有(x x f x (A x x x x =lim lim ,則有(A x f x =lim 。有些學(xué)生想當(dāng)然的將條件換成(0lim =-x x x 。我們只須令(241xx x -=,(2421,xx x x x f +=,則有(x x f x ,且(0lim =-x x x ,但是(=x f x lim ,即(x f x lim 不存在,由此我們用嚴(yán)密的邏輯推理推翻了這種想當(dāng)然,說(shuō)明條件2不能改換,運(yùn)用定理應(yīng)重視條件的掌握。1.2.3利用反例糾正錯(cuò)誤,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題反例在辨析命題真?zhèn)问?具有直觀、明顯

23、、說(shuō)服力強(qiáng)等突出的特點(diǎn),所以利用反例在揭示命題錯(cuò)誤時(shí)具有特殊的威力。1644年,法國(guó)修道士馬林莫森宣布12-=ppM型的數(shù),當(dāng)257,127,67,31,17,13,7,5,3,2=p 時(shí)都是素?cái)?shù)(稱為“莫森素?cái)?shù)”,其實(shí)他只演算了前面7個(gè)。1903年美國(guó)數(shù)學(xué)家科爾坐了一次無(wú)聲的學(xué)術(shù)報(bào)告,他在黑板上先算出,1267-接著又把877618382572193707721用豎式算了一遍,兩個(gè)結(jié)果完全相同,他沒(méi)有說(shuō)一句話,就回到自己的座位上,會(huì)場(chǎng)上響起了雷雨般的掌聲,就因?yàn)檫@個(gè)反例糾正了人們200多年的錯(cuò)誤。例7 學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)時(shí),有些同學(xué)因?yàn)橐辉瘮?shù)有“可導(dǎo)必連續(xù)”的性質(zhì),常有錯(cuò)誤的知識(shí)遷移,認(rèn)為

24、“多元函數(shù)若偏導(dǎo)數(shù)存在則必連續(xù)”。我們也可以通過(guò)舉反例及時(shí)有效的糾正這類認(rèn)識(shí)上的偏差。如:設(shè) (+=+=0,0,0,222222y x yx xy y x y x f z , 利用定義易知偏導(dǎo)數(shù)(00,0,00,0=y x f f 存在,但是(2222220,0,1limlimkk kxx kxyx xy x kxy y x +=+=+=,但是隨著k 的值的不同而改變,所以(y x f ,當(dāng)(0,0,y x 時(shí)的極限不存在,所以函數(shù)在點(diǎn)(0,0不連續(xù)。所以正如數(shù)學(xué)家維奧拉所說(shuō):反例“可以檢驗(yàn)?zāi)闶欠褚呀?jīng)正確而深入的了解了數(shù)學(xué)的真諦,還可以鍛煉你的智力,并將你的判斷和推理嚴(yán)格的約束在一種秩序之中”

25、。例8 “如果二元函數(shù)在有界閉域D 內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)0M ,那么該函數(shù)是否必在0M 處取得最小值。答案是不一定。反例:(.16:,33,22322+-+=y x D x y x y x f z 令236xx xz -=0解得y=0.故得倆駐點(diǎn):(0,01M ,(0,22M .另外6,0,6622222=-=yz yx z x xz ,容易判定(0,01M 是唯一的極小值點(diǎn),而(0,22M 不是極小值點(diǎn)。但在D 上,(y x f ,的最值均在邊界上取得,最大值為(.160,4-=f 故(00,0=f 不是(y x f ,在D 上的最小值。由此我們注意到,解多元函數(shù)極值的應(yīng)用題時(shí),?？梢钥吹饺缦?/p>

26、說(shuō)法:“根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,存在最小值,0M 是唯一的極小值點(diǎn)。由這個(gè)例子,在多元函數(shù)這一說(shuō)法并不正確,而應(yīng)該著重說(shuō)明“(y x f ,在D 內(nèi)存在最大(小值,而且(y x f ,在D 內(nèi)只有唯一的極值點(diǎn)”,這樣才能判定極大(小值點(diǎn)就是最大(小值點(diǎn)。由反例我們可以從錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。1.2.4 反例有助于激發(fā)學(xué)生的求知欲有些問(wèn)題稍作變化,再交給學(xué)生,在新舊的比較和思索中,往往能引起學(xué)生的興趣。而通過(guò)教師有效的引導(dǎo)和學(xué)生積極的討論,許多反例將被指出。例9 對(duì)于絕對(duì)值函數(shù),我們可以提出下面一系列命題讓學(xué)生判斷: (1 若(x f 在0x 連續(xù),則(x f 在點(diǎn)0x 連續(xù)。 (是 (2 若(x f 在

27、點(diǎn)0x 連續(xù),則(x f 在0x 連續(xù)。 (非 (3 若(x f 在0x 可導(dǎo),則(x f 在點(diǎn)0x 可導(dǎo)。 (非 (4 若(x f 在點(diǎn)0x 可導(dǎo),則(x f 在0x 可導(dǎo)。 (非 (5 若(x f 在b a ,可積,則(x f 在b a ,可積。 (是 (6 若(x f 在b a ,可積,則(x f 在b a ,可積。 (非例10 學(xué)習(xí)洛比達(dá)法則時(shí),我們可以提出這樣的問(wèn)題:若符合洛比達(dá)法則的條件,則通過(guò)該法則是否就一定能求得極限呢?只須舉出一個(gè)反例即可:xx x xx ee e e -+lim,在連接使用該法則的過(guò)程中總是出現(xiàn)不定式且發(fā)生循環(huán)的現(xiàn)象。學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)這一反例中的惡性循環(huán),便感到

28、驚奇,引起解題的興趣。前面所提的無(wú)窮小量的第二個(gè)錯(cuò)誤說(shuō)法,相當(dāng)多的同學(xué)會(huì)認(rèn)為是正確的。象這樣易犯而又意識(shí)不到的錯(cuò)誤,一經(jīng)提出,就會(huì)激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的了解“為什么”的愿望,激發(fā)他們的求知欲. 1.2.5 通過(guò)反例,誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力,提高學(xué)生的思維能力. 如前面所分析,反例的尋找與構(gòu)造過(guò)程是一項(xiàng)積極的,創(chuàng)造性的思維活動(dòng),是一個(gè) 探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中,恰當(dāng)開發(fā)和利用反例,將能有效的提高學(xué)習(xí)質(zhì) 量. 1.2.5.1 例 11 通過(guò)解題尋找反例來(lái)提升解題能力,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性. 設(shè) f ( x , (x 在 ( ,+ 上有定義, f ( x , 是連續(xù)函數(shù),且 f ( x 0 , (x 有

29、 間斷點(diǎn),下列各函數(shù)是否必有間斷點(diǎn),為什么? f ( x ( x 2 f ( x (x f (x 0, x > 1 不一定.設(shè) (x = , x = + 1 顯然是 (x 的間斷點(diǎn).又設(shè) f ( x , 在 ( ,+ 上連 1, x 0 續(xù),而 f ( x =1,所以 f ( x 在 ( ,+ 上連續(xù). 1, x 0 2 不一定. (x = 設(shè) , 顯然 x = 0 是間斷點(diǎn). ( x 而 1, x < 0 上連續(xù). 1, x 0 不一定.設(shè) (x = , f ( x = x + 1 0 且在 ( ,+ 上連續(xù).而 f ( x 1, x < 0 故 f ( x 在 ( ,+

30、上連續(xù). =2 =1, ( x 在 ( ,+ 故 2 一定有間斷點(diǎn).用反證法即可. 通過(guò)設(shè)置上述例題,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例,對(duì)激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是大有裨益 的. 1.2.5.2 反例有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)由證明和反駁兩大類組成, 數(shù)學(xué)的發(fā)展也是朝著提出證明和構(gòu)造反例這兩個(gè)主 要目標(biāo)前進(jìn)的.構(gòu)造反例具有一定的技巧性,有時(shí)也是費(fèi)力的.它不僅與基礎(chǔ)知識(shí)的掌 握程度有關(guān), 還涉及知識(shí)面的寬窄等. 所以在學(xué)習(xí)中在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候讓學(xué)生自己構(gòu)造反例, 這是一種很好的鍛煉.重視和體驗(yàn)這樣的過(guò)程,不僅能增強(qiáng)知識(shí),拓寬思路,活躍思維, 第 11 頁(yè)(共 13 頁(yè) 提高自學(xué)能力,也能提高分析

31、問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng). 1.2.6 反例是進(jìn)一步提出問(wèn)題的動(dòng)力之源 例 12 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) ( x, y 沿著任意直線無(wú)限趨近于(0,0時(shí),函數(shù) f ( x, y 的極限存在 且都等于 A,能否說(shuō)函數(shù) f ( x, y 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) ( x, y (0,0 時(shí)二重極限也等于 A? 我們易知道答案是不能. 例如: x2 y f ( x, y = 4 , x2 + y2 0 , 2 x +y kx 2 kx = lim 2 = 0. 4 2 2 x 0 x + k 2 x +k x (0, 時(shí), 0 都有 lim f ( x, y = lim 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) ( x, y 沿著 Y 軸無(wú)限趨于 x 0 x =0 x 0 但是當(dāng)動(dòng)點(diǎn) ( x, y 沿著拋物線 y = x 2 無(wú)限趨于(0,0時(shí)有 lim f ( x, y = lim x0 y = x 2 0 x 0 x4 1 = . 4 4 2 x +x x2 y 所以函數(shù) f ( x, y = 4 , x 2 + y 2 0 當(dāng) ( x, y (0,0 時(shí)極限不存在. 2 x +y 由此我們提出:判定二重極限不存在有哪些常用方法呢? 按照二重極限的定義, lim f ( x, y 存在,要求 p(x, y 以任何方式無(wú)限趨于 p 0 ( x0 , y 0