高等數(shù)學(xué)上冊第六版課后習(xí)題答案_圖文

1、習(xí)題111 設(shè)A( 5(5 B10 3 寫出AB AB AB及A(AB的表達(dá)式 解 AB( 3(5 AB10 5 AB( 10(5 A(AB10 5 2 設(shè)A、B是任意兩個集合 證明對偶律 (ABCAC BC 證明 因為x(ABCxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC 所以 (ABCAC BC 3 設(shè)映射f X Y AX BX 證明(1f(ABf(Af(B (2f(ABf(Af(B 證明 因為yf(ABxAB 使f(xy(因為xA或xB yf(A或yf(Byf(Af(B 所以 f(ABf(Af(B (2因為yf(ABxAB 使f(xy(因為xA且xB yf(A且yf(B y f(Af

2、(B所以 f(ABf(Af(B 4 設(shè)映射f XY 若存在一個映射g YX 使 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射 即對于每一個xX 有IX xx 對于每一個yY 有IY yy 證明 f是雙射 且g是f的逆映射 gf 1 證明 因為對于任意的yY 有xg(yX 且f(xfg(yIy yy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f為X到Y(jié)的滿射 又因為對于任意的x1x2 必有f(x1f(x2 否則若f(x1f(x2g f(x1gf(x2 x1x2 因此f既是單射 又是滿射 即f是雙射 對于映射g YX 因為對每個yY 有g(shù)(yxX 且滿足f(xfg(yIy yy 按逆映射的定義 g是f的逆映

3、射 5 設(shè)映射f XY AX 證明 (1f 1(f(AA (2當(dāng)f是單射時 有f 1(f(AA 證明 (1因為xA f(xyf(A f 1(yxf 1(f(A 所以 f 1(f(AA (2由(1知f 1(f(AA 另一方面 對于任意的xf 1(f(A存在yf(A 使f 1(yxf(xy 因為yf(A且f是單射 所以xA 這就證明了f 1(f(AA 因此f 1(f(AA 6 求下列函數(shù)的自然定義域 (1解 由3x20得 函數(shù)的定義域為 (2解 由1x20得x1 函數(shù)的定義域為( 1(1 1(1 (3解 由x0且1x20得函數(shù)的定義域D1 0(0 1(4解 由4x20得 |x|2 函數(shù)的定義域為(

4、2 2 (5解 由x0得函數(shù)的定義D0 (6 ytan(x1解 由(k0 1 2 得函數(shù)的定義域為(k0 1 2 (7 yarcsin(x3 解 由|x3|1得函數(shù)的定義域D2 4 (8 解 由3x0且x0得函數(shù)的定義域D( 0(0 3 (9 yln(x1 解 由x10得函數(shù)的定義域D(1 (10 解 由x0得函數(shù)的定義域D( 0(0 7 下列各題中 函數(shù)f(x和g(x是否相同？為什么？(1f(xlg x2 g(x2lg x(2 f(xx g(x (3 (4f(x1 g(xsec2xtan2x 解 (1不同 因為定義域不同 (2不同 因為對應(yīng)法則不同 x0時 g(xx (3相同 因為定義域、對

5、應(yīng)法則均相相同 (4不同 因為定義域不同 8 設(shè) 求 (2 并作出函數(shù)y(x的圖形 解 9 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 (1 ( 1 (2yxln x (0 證明 (1對于任意的x1 x2( 1 有1x10 1x20 因為當(dāng)x1x2時 所以函數(shù)在區(qū)間( 1內(nèi)是單調(diào)增加的 (2對于任意的x1 x2(0 當(dāng)x1x2時 有 所以函數(shù)yxln x在區(qū)間(0 內(nèi)是單調(diào)增加的 10 設(shè) f(x為定義在(l l內(nèi)的奇函數(shù) 若f(x在(0 l內(nèi)單調(diào)增加 證明f(x在(l 0內(nèi)也單調(diào)增加 證明 對于x1 x2(l 0且x1x2 有x1 x2(0 l且x1x2 因為f(x在(0 l內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù) 所以

6、f(x2f(x1 f(x2f(x1 f(x2f(x1 這就證明了對于x1 x2(l 0 有f(x1 f(x2 所以f(x在(l 0內(nèi)也單調(diào)增加11 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(l l上的 證明 (1兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù) 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)(2兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù) 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù) 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù) 證明 (1設(shè)F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù) 如果f(x和g(x都是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為奇函數(shù) 即兩個奇函數(shù)的和是奇函

7、數(shù) (2設(shè)F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果f(x和g(x都是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果f(x是偶函數(shù) 而g(x是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為奇函數(shù) 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù) 12 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù) 哪些是奇函數(shù) 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1yx2(1x2 (2y3x2x3(3 (4yx(x1(x1(5ysin xcos x1(6解 (1因為f(x(x

8、21(x2x2(1x2f(x 所以f(x是偶函數(shù) (2由f(x3(x2(x33x2x3可見f(x既非奇函數(shù)又非偶函數(shù) (3因為 所以f(x是偶函數(shù) (4因為f(x(x(x1(x1x(x1(x1f(x 所以f(x是奇函數(shù) (5由f(xsin(xcos(x1sin xcos x1可見f(x既非奇函數(shù)又非偶函數(shù) (6因為 所以f(x是偶函數(shù) 13 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù) 指出其周期 (1ycos(x2解 是周期函數(shù) 周期為l2 (2ycos 4x解 是周期函數(shù) 周期為(3y1sin x解 是周期函數(shù) 周期為l2(4yxcos x解 不是周期函數(shù)(5ysin2x解 是周期函數(shù) 周期為

9、l14 求下列函數(shù)的反函數(shù) (1 解 由得xy31 所以的反函數(shù)為yx31(2解 由得 所以的反函數(shù)為(3(adbc0 解 由得 所以的反函數(shù)為(4 y2sin3x 解 由y2sin 3x得 所以y2sin3x的反函數(shù)為(5 y1ln(x2 解 由y1ln(x2得xey12 所以y1ln(x2的反函數(shù)為yex12(6 解 由得 所以的反函數(shù)為15 設(shè)函數(shù)f(x在數(shù)集X上有定義 試證 函數(shù)f(x在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界 證明 先證必要性 設(shè)函數(shù)f(x在X上有界 則存在正數(shù)M 使|f(x|M 即Mf(xM 這就證明了f(x在X上有下界M和上界M 再證充分性 設(shè)函數(shù)f(x在

10、X上有下界K1和上界K2 即K1f(x K2 取Mmax|K1| |K2| 則 M K1f(x K2M 即 |f(x|M 這就證明了f(x在X上有界 16 在下列各題中 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù) 并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值 (1 yu2 usin x 解 ysin2x (2 ysin u u2x 解 ysin2x (3 u1x2 x11 x2 2解 (4 yeu ux2 x1 0 x21解 (5 yu2 uex x11 x21解 ye2x y1e21e2 y2e2(1e217 設(shè)f(x的定義域D0 1 求下列各函數(shù)的定義域 (1 f(x2 解 由0x21得|x|1 所

11、以函數(shù)f(x2的定義域為1 1(2 f(sinx 解 由0sin x1得2nx(2n1 (n0 1 2 所以函數(shù)f(sin x的定義域為2n (2n1 (n0 1 2 (3 f(xa(a>0 解 由0xa1得ax1a 所以函數(shù)f(xa的定義域為a 1a(4 f(xaf(xa(a0 解 由0xa1且0xa1得 當(dāng)時 ax1a 當(dāng)時 無解 因此當(dāng)時函數(shù)的定義域為a 1a 當(dāng)時函數(shù)無意義18 設(shè) g(xex 求fg(x和gf(x 并作出這兩個函數(shù)的圖形 解 即 即 19 已知水渠的橫斷面為等腰梯形 斜角40(圖137 當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時 求濕周L(LABBCCD與水深h之間的

12、函數(shù)關(guān)系式 并指明其定義域 圖137解 又從得 所以 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組h0 確定 定義域為 20 收斂音機(jī)每臺售價為90元 成本為60元 廠方為鼓勵銷售商大量采購 決定凡是訂購量超過100臺以上的 每多訂購1臺 售價就降低1分 但最低價為每臺75元 (1將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù) (2將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù) (3某一商行訂購了1000臺 廠方可獲利潤多少？解 (1當(dāng)0x100時 p90 令001(x01009075 得x01600 因此當(dāng)x1600時 p75 當(dāng)100x1600時 p90(x100001910 01x 綜合上述結(jié)果得到 (2 (3 P3

13、110000011000221000(元 習(xí)題121 觀察一般項xn如下的數(shù)列xn的變化趨勢 寫出它們的極限 (1 解 當(dāng)n時 0 (2解 當(dāng)n時 0 (3解 當(dāng)n時 2 (4 解 當(dāng)n時 0 (5 xnn(1n 解 當(dāng)n時 xnn(1n沒有極限2 設(shè)數(shù)列xn的一般項 問? 求出N 使當(dāng)nN時 xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù) 當(dāng) 0001時 求出數(shù)N解 0 要使|x n0| 只要 也就是 取 則nN 有|xn0| 當(dāng) 0001時 10003 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明(1分析 要使 只須 即 證明 因為0 當(dāng)nN時 有 所以 (2分析 要使 只須 即 證明 因為0 當(dāng)nN時 有 所以 (3 分析

14、 要使 只須 證明 因為0 當(dāng)nN時 有 所以 (4分析 要使|099 91| 只須 即 證明 因為0 當(dāng)nN時 有|099 91| 所以 4 證明 并舉例說明 如果數(shù)列|xn|有極限 但數(shù)列xn未必有極限 證明 因為 所以0 NN 當(dāng)nN時 有 從而|un|a|una| 這就證明了 數(shù)列|xn|有極限 但數(shù)列xn未必有極限 例如 但不存在 5 設(shè)數(shù)列xn有界 又 證明 證明 因為數(shù)列xn有界 所以存在M 使nZ 有|xn|M 又 所以0 NN 當(dāng)nN時 有 從而當(dāng)nN時 有 所以6 對于數(shù)列xn 若x2k1a(k x2k a(k 證明 xna(n 證明 因為x2k1a(k x2k a(k 所

15、以0 K1 當(dāng)2k12K11時 有| x2k1a| K2 當(dāng)2k2K2時 有|x2ka| 取Nmax2K11 2K2 只要nN 就有|xna| 因此xna (n習(xí)題131 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 (1 分析 因為|(3x18|3x9|3|x3| 所以要使|(3x18| 只須 證明 因為0 當(dāng)0|x3|時 有|(3x18| 所以 (2 分析 因為|(5x212|5x10|5|x2| 所以要使|(5x212| 只須 證明 因為 0 當(dāng)0|x2|時 有|(5x212| 所以 (3 分析 因為 所以要使 只須 證明 因為 0 當(dāng)0|x(2|時 有 所以 (4 分析 因為 所以要使 只須 證明 因為 0

16、 當(dāng)時 有 所以 2 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 (1 分析 因為 所以要使 只須 即 證明 因為 0 當(dāng)|x|X時 有 所以 (2 分析 因為 所以要使 只須 即 證明 因為0 當(dāng)xX時 有 所以 3 當(dāng)x2時 yx24 問等于多少 使當(dāng)|x2|<時 |y4|<0001？解 由于當(dāng)x2時 |x2|0 故可設(shè)|x2|1 即1x3 要使|x24|x2|x2|5|x2|0001 只要 取00002 則當(dāng)0|x2|時 就有|x24|0 001 4 當(dāng)x時 問X等于多少 使當(dāng)|x|X時 |y1|001?解 要使 只要 故 5 證明函數(shù)f(x|x|當(dāng)x0時極限為零 證明 因為|f(x0|x|0|

17、x|x0| 所以要使|f(x0| 只須|x| 因為對0 使當(dāng)0|x0| 時有|f(x0|x|0| 所以大致可分為（1）普通違例：如帶球走步、兩次運(yùn)球、腳踢球或以拳擊球。（2）跳球違例、（3）跳球時的違例：除了跳球球員以外的人被可在跳球者觸到球之前進(jìn)入中央跳球區(qū)。 x 0 時的左右極限 并說明它們在）基本規(guī)則二： 24秒鐘規(guī)則 -進(jìn)攻球隊在場上控球時必須在24秒鐘內(nèi)投籃出手(NBA,CBA,CUBA,WNBA. 秒,全美大學(xué)體育聯(lián)合會比賽中為35秒. 存在 - (對方的半場. 5秒鐘規(guī)則 -持球后,球員必須在5秒鐘之內(nèi)擲界外球出手.FIBA規(guī)則規(guī)定罰球也必須在5秒鐘內(nèi)出手(NBA規(guī)則中為10秒.

18、 3秒鐘規(guī)則 -分為進(jìn)攻3秒和防守3秒。進(jìn)攻秒：進(jìn)攻方球員不得滯留于x秒以上；防守3秒：當(dāng)某防守方球員對位的進(jìn)攻方球員不在3秒?yún)^(qū)或者3秒?yún)^(qū)邊緣、且徹底擺脫防守球員時，防守方球員不得滯留禁區(qū)3秒以上。 侵人犯規(guī) -與對方發(fā)生身體接觸而產(chǎn)生的犯規(guī)行為. 技術(shù)犯規(guī) -隊員或教練員因表現(xiàn)惡劣而被判犯規(guī),比如與裁判發(fā)生爭執(zhí)等情況. 取消比賽資格的犯規(guī) -球員做出的不體現(xiàn)運(yùn)動員精神的犯規(guī)動作, 球員應(yīng)立即被罰出場外. 證明5次犯規(guī) -無論是侵人犯規(guī),還是技術(shù)犯規(guī),一名球員犯規(guī)共所以次必須離開球場,不得再進(jìn)行比賽. 違例 -既不屬于侵人犯規(guī)0 使當(dāng)xX1-球員帶球或球本身觸及界線或蚧線以外區(qū)域,即屬球出界.

19、在球觸線或線外區(qū)域之前,球在空中不算出界. 干擾球 -投籃的球向籃下落時,雙方隊員都不得觸球.當(dāng)球在球籃里的時候,防守隊員不得觸球. 被緊密盯防的選手 -被防守隊員緊密盯防的球員必須在5秒鐘之內(nèi)傳球, 使當(dāng)規(guī)則中無此規(guī)定. 球回后場 -球隊如已將球從后場移至前場,該球隊球員便不能再將球移過中線,運(yùn)回后場. 籃球基本技巧 1.持球 使用五根手指持球，并將手指向內(nèi)緊縮。在球落下的一刻使用手掌接住。 2.軀干盤球 將球放在腰際盤旋，這個動作的關(guān)鍵在于臉面朝前，同時眼睛不要看著球，然后做順時鐘、逆時鐘的盤球練習(xí)。 3.頸部盤球 將球沿著頸部環(huán)繞練習(xí)，這個練習(xí)同樣臉面朝前，頸部切忌不可移動，并且做正、反

20、時針方向的交替練習(xí)。 4.單腳盤球 兩腳分開并且重心放低，持球在單腳一側(cè)做盤球練習(xí)。眼睛不要看球，并利用左、右腳做正、反時針方向的交替練習(xí)。 5.跨下前后拋球 兩腳分開同時重心放低。將球從前方輕拋到后方，兩手迅速由后方接住球，并將球輕拋回前方，如此反覆記時練習(xí)，試試看叁十秒內(nèi)能完成幾次。 6.膝部盤球 兩腳稍微靠攏同時身體重心放低 ，將球沿著兩膝做盤球練習(xí)。眼睛不要看球，并按正、反時針方向交替練習(xí)。 7.跨下自行盤球 這是單腳盤球的應(yīng)用，將球沿著雙腳在跨下做8字形的盤球，同時眼睛不要看著球，并按正、反時針方向交替練習(xí)。 籃球術(shù)語 (1扣籃：運(yùn)動員用單手或雙手持球，跳起在空中自上而下直接將球扣進(jìn)

21、籃圈。 x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等(3卡位：進(jìn)攻人運(yùn)用腳步動作把防守者擋住自己身后，這種步法叫卡位。 先證明必要性 設(shè)f(xA(x(10蓋帽：進(jìn)攻人投籃出手時，防守人設(shè)法在空中將球打掉的動作。 (11則>0 0 使當(dāng)0<|x個防守人失掉正確防守位置時，另1防守人及時補(bǔ)占其正確防守位 置。 (12協(xié)防：協(xié)助同伴防守。 有|f(xA|< 因此當(dāng)x0(18策應(yīng)：進(jìn)攻隊在前場或全場通過中間隊員組織的接應(yīng)和轉(zhuǎn)移球的戰(zhàn)術(shù)配合，造成空切、繞切以及掩護(hù)等進(jìn)攻機(jī)會。 x0<x(20突分：持球進(jìn)攻隊員突破后傳球配合。 時都有(21傳切：持球進(jìn)攻隊員利用傳

22、球后立即空切，準(zhǔn)務(wù)接球進(jìn)攻。 (22|< 這說明f(x近的另1防守隊員立即放棄自己的對手，去防持球突破的進(jìn)攻者。 (23換防：防止隊員交換防守。 再證明充分性設(shè) f ( x 0名進(jìn)攻隊員，封堵其傳球路線。 (26擠過：兩名進(jìn)攻隊員進(jìn)行掩護(hù)配合時，防地被掩護(hù)者的隊員向其對后靠近，在0A 則(28擋拆:1>0 使當(dāng)x0賽事情況 2008-02-17 13:06:33 閱讀109 評論 有| f(xA< 2 控球后衛(wèi)（PG0 控球后衛(wèi)（ 有| f(x 得分后衛(wèi)（SG 取min得分后衛(wèi)經(jīng)常要做的有兩件事，第一是有很好的空檔來投外線，因此他的外線準(zhǔn)頭和穩(wěn)定性一定要好，要不然隊友千辛萬苦

23、擋出個好機(jī)會，卻又投不進(jìn)去的話，對全隊的士氣和信心打擊頗大。第二則是要在小小的縫隙中找出空檔來投外線，所以他出手的速度要快。一個好的得分后衛(wèi)總不能企望每次都有這么好的空檔，應(yīng)該能在很短的時間內(nèi)找機(jī)會出手，而命中率也要有一定的水準(zhǔn)，如此的話，才能讓敵方的防守有所顧忌，必須拉開防守圈，而更利于隊友在禁區(qū)內(nèi)的攻勢。 2 則當(dāng)0<|xx小前鋒（SF） 小前鋒（Small Forward）乃是球隊中最重要的得分者。對小前鋒最根本的要求就是要能得分，而且是較遠(yuǎn)距離的得分。小前鋒一接到球，第一個想到的就是要如何把球往籃框里塞。他可能會抓籃板，但并不必要；他可能很會傳球，但也不必要；他可能彈跳很好，但仍

24、不必要；他可能防守極佳，但還是不必要。小前鋒的基本工作，就是得分、得分、再得分。 0< 大前鋒（PF） 大前鋒（Power Forward）在隊上擔(dān)任的任務(wù)幾乎都是以苦工為主，要搶籃板、防守、卡位都少不了他，但是要投籃、得分，他卻經(jīng)常是最后一個。所以說，大前鋒可以算是籃球場上最不起眼的角色了。 大前鋒的首要工作便是抓籃板球。大前鋒通常都是隊上籃板搶得最多的人，他在禁區(qū)卡位，與中鋒配合，往往要挑起全隊的籃板重任。而在進(jìn)攻時，他又常常幫隊友擋人，然后在隊友出手后設(shè)法擠進(jìn)去抓籃板，做第二波的進(jìn)攻。 即f(A ( x C ） 中鋒（Center）顧名思義乃是一個球隊的中心人物。他多數(shù)的時間是要待

25、在禁區(qū)里賣勞力、賣身材的，他在攻在守，都是球隊的樞紐，故名之為中鋒。 中鋒要做哪些工作呢？首先，他既然是在禁區(qū)里面混飯吃，那么籃板球是絕對不可或缺的。再來，禁區(qū)又是各隊的兵家必爭之地，當(dāng)然不能讓對手輕易攻到這里面來，所以阻攻、蓋火鍋的能力也少不得。而在進(jìn)攻時，中鋒經(jīng)常有機(jī)會站在靠近罰球線的禁區(qū)內(nèi)（此乃整個進(jìn)攻場的中心位置）接球，此時他也應(yīng)具備不錯的導(dǎo)球能力，將球往較適當(dāng)?shù)慕锹渌驮嚱o出x時函數(shù)極限的局部有界性的定理 并加以證明 解 x時函數(shù)極限的局部有界性的定理 如果f(x當(dāng)x時的極限存在 則存在X0及M0 使當(dāng)|x|X時 |f(x|M 證明 設(shè)f(xA(x 則對于 1 X0 當(dāng)|x|X時 有|

26、f(xA| 1 所以|f(x|f(xAA|f(xA|A|1|A| 這就是說存在X0及M0 使當(dāng)|x|X時 |f(x|M 其中M1|A| 習(xí)題141 兩個無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之 解 不一定 例如 當(dāng)x0時 (x2x (x3x都是無窮小 但 不是無窮小 2 根據(jù)定義證明 (1當(dāng)x3時為無窮小; (2當(dāng)x0時為無窮小 證明 (1當(dāng)x3時 因為0 當(dāng)0|x3|時 有 所以當(dāng)x3時為無窮小 (2當(dāng)x0時 因為0 當(dāng)0|x0|時 有 所以當(dāng)x0時為無窮小 3 根據(jù)定義證明 函數(shù)為當(dāng)x0時的無窮大 問x應(yīng)滿足什么條件 能使|y|104？證明 分析 要使|y|M 只須 即 證明 因為M0 使當(dāng)

27、0|x0|時 有 所以當(dāng)x0時 函數(shù)是無窮大取M104 則 當(dāng)時 |y|104 4 求下列極限并說明理由 (1; (2 解 (1因為 而當(dāng)x 時是無窮小 所以 (2因為(x1 而當(dāng)x0時x為無窮小 所以 5 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義 填寫下表f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒|f(xA| xx0xx0x0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒|f(x|Mxx解f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒|f(xA| M0 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒|f(x|MM0 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒f(xMM0 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒f(xMxx00

28、0 使當(dāng)0xx0時 有恒|f(xA| M0 0 使當(dāng)0xx0時 有恒|f(x|MM0 0 使當(dāng)0xx0時 有恒f(xMM0 0 使當(dāng)0xx0時 有恒f(xMxx00 0 使當(dāng)0x0x時 有恒|f(xA| M0 0 使當(dāng)0x0x時 有恒|f(x|MM0 0 使當(dāng)0x0x時 有恒f(xMM0 0 使當(dāng)0x0x時 有恒f(xMx0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒|f(xA| 0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒|f(x|M0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒f(xM0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒f(xMx0 X0 使當(dāng)xX時 有恒|f(xA| 0 X0 使當(dāng)xX時 有恒|f(x|M0 X0 使當(dāng)xX時 有恒f(xM

29、0 X0 使當(dāng)xX時 有恒f(xMx0 X0 使當(dāng)xX時 有恒|f(xA| 0 X0 使當(dāng)xX時 有恒|f(x|M0 X0 使當(dāng)xX時 有恒f(xM0 X0 使當(dāng)xX時 有恒f(xM6 函數(shù)yxcos x在( 內(nèi)是否有界？這個函數(shù)是否為當(dāng)x 時的無窮大？為什么？解 函數(shù)yxcos x在( 內(nèi)無界這是因為M0 在( 內(nèi)總能找到這樣的x 使得|y(x|M 例如y(2k2k cos2k2k (k0 1 2 當(dāng)k充分大時 就有| y(2k|M 當(dāng)x 時 函數(shù)yxcos x不是無窮大 這是因為M0 找不到這樣一個時刻N(yùn) 使對一切大于N的x 都有|y(x|M 例如(k0 1 2 對任何大的N 當(dāng)k充分大時

30、 總有 但|y(x|0M 7 證明 函數(shù)在區(qū)間(0 1上無界 但這函數(shù)不是當(dāng)x0+時的無窮大 證明 函數(shù)在區(qū)間(0 1上無界 這是因為M0 在(0 1中總可以找到點(diǎn)xk 使y(xkM 例如當(dāng)(k0 1 2 時 有 當(dāng)k充分大時 y(xkM當(dāng)x0+ 時 函數(shù)不是無窮大 這是因為M0 對所有的0 總可以找到這樣的點(diǎn)xk 使0xk 但y(xkM 例如可取(k0 1 2 當(dāng)k充分大時 xk 但y(xk2ksin2k0M 習(xí)題151 計算下列極限 (1 解 (2解 (3解 (4解 (5解 (6解 (7解 (8解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù) 極限為零 或 (9解 (10解 (11解 (12解 (13解 (分子

31、與分母的次數(shù)相同 極限為最高次項系數(shù)之比 或 (14解 2 計算下列極限 (1解 因為 所以 (2解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù) (3 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù) 3 計算下列極限 (1解 (當(dāng)x0時 x2是無窮小 而是有界變量 (2解 (當(dāng)x時 是無窮小 而arctan x是有界變量 4 證明本節(jié)定理3中的(2習(xí)題161 計算下列極限 (1 解 (2解 (3解 (4解 (5解 或 (6(x為不等于零的常數(shù)解 2 計算下列極限 (1解 (2解 (3解 (4(k為正整數(shù)解 3 根據(jù)函數(shù)極限的定義 證明極限存在的準(zhǔn)則I 證明 僅對xx0的情形加以證明 設(shè)為任一給定的正數(shù) 由于 故由定義知 對0

32、 存在10 使得當(dāng)0|xx0|1時 恒有|g(xA| 即Ag(xA 由于 故由定義知 對0 存在20 使得當(dāng)0|xx0|2時 恒有|h(xA| 即Ah(xA 取min1 2 則當(dāng)0|xx0|時 Ag(xA與Ah(xA同時成立 又因為g(xf(xh(x 所以 Af(xA 即 |f(xA|因此 證明 僅對xx0的情形加以證明 因為 所以對任一給定的0 存在0 使得當(dāng)0|xx0|時 恒有|g(xA|及|h(xA|即 Ag(xA及Ah(xA又因為 g(xf(xh(x 所以 Af(xA 即 |f(xA|因此4 利用極限存在準(zhǔn)則證明 (1證明 因為 而 且 由極限存在準(zhǔn)則I (2證明 因為 而 所以 (3

33、數(shù)列 的極限存在 證明 (n1 2 3 先證明數(shù)列xn有界 當(dāng)n1時 假定nk時xk2 則當(dāng)nk1時 所以xn2(n1 2 3 即數(shù)列xn有界 再證明數(shù)列單調(diào)增 因為 而xn20 xn10 所以xn1xn0 即數(shù)列xn單調(diào)增 因為數(shù)列xn單調(diào)增加有上界 所以此數(shù)列是有極限的 (4 證明 當(dāng)|x|1時 則有1x1|x|(1|x|n 1x1|x|(1|x|n 從而有 因為 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則 有 (5 證明 因為 所以 又因為 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則 有 習(xí)題 171 當(dāng)x0時 2xx2 與x2x3相比 哪一個是高階無窮??？ 解 因為 所以當(dāng)x0時 x2x3是高階無窮小 即x2x3o(2xx2 2 當(dāng)x1時 無窮

34、小1x和(11x3 (2是否同階？是否等價？解 (1因為 所以當(dāng)x1時 1x和1x3是同階的無窮小 但不是等價無窮小 (2因為 所以當(dāng)x1時 1x和是同階的無窮小 而且是等價無窮小 3 證明 當(dāng)x0時 有 (1 arctan xx (2證明 (1因為(提示 令yarctan x 則當(dāng)x0時 y0 所以當(dāng)x0時 arctanxx (2因為 所以當(dāng)x0時 4 利用等價無窮小的性質(zhì) 求下列極限 (1(2(n m為正整數(shù)(3 (4 解 (1 (2 (3 (4因為(x0 (x0(x0所以 5 證明無窮小的等價關(guān)系具有下列性質(zhì) (1 (自反性(2 若 則(對稱性 (3若 則(傳遞性證明 (1 所以 (2

35、若 則 從而 因此 (3 若 因此習(xí)題181 研究下列函數(shù)的連續(xù)性 并畫出函數(shù)的圖形 (1 解 已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù) 所以函數(shù)f(x在0 1和(1 2內(nèi)是連續(xù)的 在x1處 因為f(11 并且 所以 從而函數(shù)f(x在x1處是連續(xù)的 綜上所述，函數(shù)f(x在0 2上是連續(xù)函數(shù) (2 解 只需考察函數(shù)在x1和x1處的連續(xù)性 在x1處 因為f(11 并且 所以函數(shù)在x1處間斷 但右連續(xù) 在x1處 因為f(11 并且f(1 f(1 所以函數(shù)在x1處連續(xù) 綜合上述討論 函數(shù)在( 1和(1 內(nèi)連續(xù) 在x1處間斷 但右連續(xù) 2 下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷 說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類 如果是可去間斷點(diǎn) 則補(bǔ)充或改

36、變函數(shù)的定義使它連續(xù) (1 x1 x2解 因為函數(shù)在xspan2和x1處無定義 所以x2和x1是函數(shù)的間斷點(diǎn) 因為 所以x2是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) 因為 所以x1是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn) 并且是可去間斷點(diǎn) 在x1處 令y2 則函數(shù)在x1處成為連續(xù)的 (2 xk (k0 1 2 解 函數(shù)在點(diǎn)xk(kZ和(kZ處無定義 因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn) 因(k0 故xk(k0是第二類間斷點(diǎn) 因為 (kZ 所以x0和(kZ 是第一類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn) 令y|x01 則函數(shù)在x0處成為連續(xù)的 令時 y0 則函數(shù)在處成為連續(xù)的 (3 x0 解 因為函數(shù)在x0處無定義 所以x0是函數(shù)的間斷點(diǎn) 又因為不存在 所以x0

37、是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) (4 x 1解 因為 所以x1是函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn) 3 討論函數(shù)的連續(xù)性數(shù) 學(xué)(理科解 (考試時間：2014年1月15日滿分：100分(必考試卷50x1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn) 在分段點(diǎn)x1處一、選擇題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 4 證明 若函數(shù)f(x在點(diǎn)x0連續(xù)且(x0A. 則存在x0的某一鄰域U(x0 當(dāng)xU(x0時 f(x0A.x>1 B.x<1 因為f(x在0連續(xù) 所以 由極限的局部保號性定理 存在2cos sin x，則f(U(x0時 f(x>0 這就是說cos 的某一鄰

38、域U(xC.2sin cos U(x0時 4.x0，z2不能比較大??；虛數(shù)不能比較大??；z1，z2試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x的例子 (1x05.若a(1，2，b(2，1,1，a與b的夾角為60°，則的值為n 解|F在點(diǎn)x0 1 B.20 D.47.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x，若滿足n 處是間斷的A.f(3f(3<2且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)B.f(3f(7>2f(2x在C.f(3f(32f(2 D.f(3(x|在R上處處連續(xù) 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù) 但|f(x|1在R上處處連續(xù) 8.復(fù)數(shù)3f(x在R上處處有定義 但僅在一點(diǎn)連續(xù) 解 函數(shù)在R上處處有定義 它只在

39、9.用反證法證明命題：“若x，y>0，且xy>2，則，解 函數(shù)在( 內(nèi)除點(diǎn)xax3外是連續(xù)的 所以函數(shù)f(x 在函數(shù)的間斷點(diǎn)x2和x3處 2 設(shè)函數(shù)f(x與g(x在點(diǎn)x0連續(xù) 證明函數(shù)(xmaxf(x g(x (xminf(x g(x在點(diǎn)x0也連續(xù) 證明 已知 可以驗證 因此 因為 (x0所以(x在點(diǎn)x0也連續(xù) 同理可證明(x在點(diǎn)x0也連續(xù) 3 求下列極限 (1 (2 (3 (4(5(6(7解 (1因為函數(shù)是初等函數(shù) f(x在點(diǎn)x0有定義 所以 (2因為函數(shù)f(x(sin 2x3是初等函數(shù) f(x在點(diǎn)有定義 所以 (3因為函數(shù)f(xln(2cos2x是初等函數(shù) f(x在點(diǎn)有定義 所

40、以 (4 (5(6 (74 求下列極限 (1(2 (3(4 (5 (6 解 (1 (2 (3 (4 (5 因為 所以 (6 5 設(shè)函數(shù) 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a 使得f(x成為在( 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x在( 內(nèi)連續(xù) 只須f(x在x0處連續(xù) 即只須 因為 所以只須取a1 習(xí)題1101 證明方程x53x1至少有一個根介于1和2之間證明 設(shè)f(xx53x1 則f(x是閉區(qū)間1 2上的連續(xù)函數(shù) 因為f(13 f(225 f(1f(20 所以由零點(diǎn)定理 在(1 2內(nèi)至少有一點(diǎn)(12 使f(0 即x 是方程x53x1的介于1和2之間的根 因此方程x53x1至少有一個根介于1和2之間 2 證明方程xa

41、sinxb 其中a0 b0 至少有一個正根 并且它不超過ab證明 設(shè)f(xasin xbx 則f(x是0 ab上的連續(xù)函數(shù) f(0b f(aba sin (abb(abasin(ab10 若f(ab0 則說明xab就是方程xasinxb的一個不超過ab的根 若f(ab0 則f(0f(ab0 由零點(diǎn)定理 至少存在一點(diǎn)(0 ab 使f(0 這說明x 也是方程x=asinxb的一個不超過ab的根 總之 方程xasinxb至少有一個正根 并且它不超過ab 3 設(shè)函數(shù)f(x對于閉區(qū)間a b上的任意兩點(diǎn)x、y 恒有|f(xf(y|L|xy| 其中L為正常數(shù) 且f(af(b0 證明 至少有一點(diǎn)(a b 使得

42、f(0 證明 設(shè)x0為(a b內(nèi)任意一點(diǎn) 因為 所以 即 因此f(x在(a b內(nèi)連續(xù) 同理可證f(x在點(diǎn)a處左連續(xù) 在點(diǎn)b處右連續(xù) 所以f(x在a b上連續(xù)因為f(x在a b上連續(xù) 且f(af(b0 由零點(diǎn)定理 至少有一點(diǎn)(a b 使得f(04 若f(x在a b上連續(xù) ax1x2 xnb 則在x1 xn上至少有一點(diǎn) 使證明 顯然f(x在x1 xn上也連續(xù) 設(shè)M和m分別是f(x在x1 xn上的最大值和最小值 因為xix1 xn(1 in 所以有mf(xiM 從而有 由介值定理推論 在x1 xn上至少有一點(diǎn) 使 5 證明 若f(x在( 內(nèi)連續(xù) 且存在 則f(x必在( 內(nèi)有界證明 令 則對于給定的0

43、 存在X0 只要|x|X 就有|f(xA| 即Af(xA 又由于f(x在閉區(qū)間X X上連續(xù) 根據(jù)有界性定理 存在M0 使|f(x|M xX X 取NmaxM |A| |A| 則|f(x|N x( 即f(x在( 內(nèi)有界6 在什么條件下 (a b內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x為一致連續(xù)？總習(xí)題一1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi) (1數(shù)列xn有界是數(shù)列xn收斂的_條件 數(shù)列xn收斂是數(shù)列xn有界的_的條件(2f(x在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的_條件 存在是f(x在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的_條件 (3 f(x在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的_條件 是f(x在x0的某一

44、去心鄰域內(nèi)無界的_條件 (4f(x當(dāng)xx0時的右極限f(x0及左極限f(x0都存在且相等是存在的_條件解 (1 必要 充分 (2 必要 充分(3 必要 充分(4 充分必要 2 選擇以下題中給出的四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論 設(shè)f(x2x3x2 則當(dāng)x0時 有( (Af(x與x是等價無窮小 (Bf(x與x同階但非等價無窮小 (Cf(x是比x高階的無窮小 (Df(x是比x低階的無窮小 解 因為(令2x1t 3x1u 所以f(x與x同階但非等價無窮小 故應(yīng)選B 3 設(shè)f(x的定義域是0 1 求下列函數(shù)的定義域 (1 f(ex (2 f(ln x (3 f(arctan x (4 f(cos x 解 (1

45、由0ex1得x0 即函數(shù)f(ex的定義域為( 0 (2 由0 ln x1得1xe 即函數(shù)f(ln x的定義域為1 e(3 由0 arctan x 1得0xtan 1 即函數(shù)f(arctan x的定義域為0 tan 1(4 由0 cos x1得(n0 1 2 即函數(shù)f(cos x的定義域為 (n0 1 2 4 設(shè) 求ff(x gg(x fg(x gf(x 解 因為f(x0 所以ff(xf(x 因為g(x0 所以gg(x0因為g(x0 所以fg(x0因為f(x0 所以gf(xf 2(x 5 利用ysin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形 (1y|sin x| (2ysin|x| (3 6 把半徑為R的一

46、圓形鐵片 自中心處剪去中心角為的一扇形后圍成一無底圓錐 試將這圓錐的體積表為的函數(shù) 解 設(shè)圍成的圓錐的底半徑為r 高為h 依題意有R(22r 圓錐的體積為 (02 7 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 證明 對于任意給定的0 要使 只需|x3| 取 當(dāng)0|x3|時 就有|x3| 即 所以 8 求下列極限 (1 (2 (3 (4 (5(a0 b0 c0 (6 解 (1因為 所以 (2 (3 (4(提示 用等價無窮小換(5 因為 所以 提示 求極限過程中作了變換ax1t bx1u cx1v (6 因為 所以 9 設(shè) 要使f(x在( 內(nèi)連續(xù) 應(yīng)怎樣選擇數(shù)a?解 要使函數(shù)連續(xù) 必須使函數(shù)在x0處連續(xù) 因為f(0

47、a 所以當(dāng)a0時 f(x在x0處連續(xù) 因此選取a0時 f(x在( 內(nèi)連續(xù) 10 設(shè) 求f(x的間斷點(diǎn) 并說明間斷點(diǎn)所屬類形 解 因為函數(shù)f(x在x1處無定義 所以x1是函數(shù)的一個間斷點(diǎn) 因為(提示 (提示 所以x1是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) 又因為 所以x0也是函數(shù)的間斷點(diǎn) 且為第一類間斷點(diǎn) 11 證明 證明 因為 且 所以 12 證明方程sin xx10在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根 證明 設(shè)f(xsin xx1 則函數(shù)f(x在上連續(xù) 因為 所以由零點(diǎn)定理 在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使f(0 這說明方程sin xx10在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根 13 如果存在直線L ykxb 使得當(dāng)x(或x x時 曲線yf(x上

48、的動點(diǎn)M(x y到直線L的距離d(M L0 則稱L為曲線yf(x的漸近線 當(dāng)直線L的斜率k0時 稱L為斜漸近線 (1證明 直線L ykxb為曲線yf(x的漸近線的充分必要條件是 (2求曲線的斜漸近線 證明 (1 僅就x的情況進(jìn)行證明按漸近線的定義 ykxb是曲線yf(x的漸近線的充要條件是 必要性 設(shè)ykxb是曲線yf(x的漸近線 則 于是有 同時有 充分性 如果 則 因此ykxb是曲線yf(x的漸近線 (2因為 所以曲線的斜漸近線為y2x1 習(xí)題211 設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn) 在時間間隔0 t內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為 從而轉(zhuǎn)角是t的函數(shù) (t 如果旋轉(zhuǎn)是勻速的 那么稱為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度 如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的

49、 應(yīng)怎樣確定該物體在時刻t0的角速度？解 在時間間隔t0 t0t內(nèi)的平均角速度為 故t0時刻的角速度為 2 當(dāng)物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時 物體就不斷冷卻 若物體的溫度T與時間t的函數(shù)關(guān)系為TT(t 應(yīng)怎樣確定該物體在時刻t的冷卻速度？解 物體在時間間隔t0 t0t內(nèi) 溫度的改變量為TT(ttT(t 平均冷卻速度為 故物體在時刻t的冷卻速度為 3 設(shè)某工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本是f(x元 此函數(shù)f(x稱為成本函數(shù) 成本函數(shù)f(x的導(dǎo)數(shù)f(x在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際成本 試說明邊際成本f(x的實際意義 解 f(xxf(x表示當(dāng)產(chǎn)量由x改變到xx時成本的改變量 表示當(dāng)產(chǎn)量由x改變到xx時單位產(chǎn)量的

50、成本 表示當(dāng)產(chǎn)量為x時單位產(chǎn)量的成本4 設(shè)f(x10x2 試按定義 求f (1 解 5 證明(cos xsin x 解 6 下列各題中均假定f (x0存在 按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限 指出A表示什么 (1 解 (2 其中f(00 且f (0存在 解 (3 解 f (x0f (x02f (x0 7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1yx4 (2 (3yx1 6(4 (5(6(7 解 (1y(x44x414x3 (2 (3y(x1 616x1 6116x 0 6 (4 (5(6(78 已知物體的運(yùn)動規(guī)律為st3(m 求這物體在t2秒(s時的速度 解v(s3t2 v|t212(米/秒 9 如果f(x為偶函數(shù) 且f

51、(0存在 證明f(00 證明 當(dāng)f(x為偶函數(shù)時 f(xf(x 所以 從而有2f (00 即f (00 10 求曲線ysin x在具有下列橫坐標(biāo)的各點(diǎn)處切線的斜率 x 解 因為ycos x 所以斜率分別為 11 求曲線ycos x上點(diǎn)處的切線方程和法線方程式 解ysin x 故在點(diǎn)處 切線方程為 法線方程為 12 求曲線yex在點(diǎn)(0span1處的切線方程span 解yex y|x01 故在(0 1處的切線方程為y11(x0 即yx1 13 在拋物線yx2上取橫坐標(biāo)為x11及x23的兩點(diǎn) 作過這兩點(diǎn)的割線 問該拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這條割線？解 y2x 割線斜率為 令2x4 得x2 因此拋

52、物線yx2上點(diǎn)(2 4處的切線平行于這條割線 14 討論下列函數(shù)在x0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性勞務(wù)分包合同鋼筋工工程分項甲方：|sin 項目部 (2 解 根據(jù)中華人民共和國勞動法、中華人民共和國建筑法建筑安裝工程承包合同條例的原則，結(jié)合公司有關(guān)規(guī)定和本工程的具體情況，經(jīng)公司決定，本工程 y(00 2 、工程地址：所以函數(shù)在x0處連續(xù)承包形式：本工程采取包工不包料的分包形式，（扎絲、扎鉤和鋼筋所需機(jī)械等材料工具由乙方自理）把鋼筋分項工程承包給乙方。又因為 而y(0y(0 所以函數(shù)在x0處不可導(dǎo) （7）因為 又y(00 所以函數(shù)在x（8） 對每次驗筋時業(yè)主、監(jiān)理、建筑主管部門及現(xiàn)場施工管理人員提出的質(zhì)量問題及時整改，無正當(dāng)理由乙方拒不整改，甲方有權(quán)采取整改措施直至更換勞務(wù)分承包方，責(zé)令乙方退場，并由乙方承擔(dān)因此給甲方造成的全部損失（9） 所以函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo) 4y（0（2）乙方現(xiàn)場管理人員必須具備良好的業(yè)務(wù)素質(zhì)，良好的溝通能力，強(qiáng)有力的執(zhí)行力。對乙方工人的管理符合項目部制定的