2015屆數(shù)學(xué)高考考前輔導(dǎo)(教師)（2015525）

1、1江蘇省啟東中學(xué)江蘇省啟東中學(xué) 2015 屆高考數(shù)學(xué)考前輔導(dǎo)屆高考數(shù)學(xué)考前輔導(dǎo)第一部分：模擬卷第一部分：模擬卷一.填空題： 1. 集合 M3，2p，Np，q，若 MN2，則 MN 【答案】1,2,32. 設(shè) z2i(i 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為 3 + iz【答案】323. 根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入 x 為3 時(shí)，最后輸出的 y 值為 【答案】3 (第 3題) 4. 在一個(gè)盒子中有分別標(biāo)有數(shù)字 1，2，3，3，4 的 5 張卡片，現(xiàn)從中一次取出 2 張卡片，則取到的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是 【答案】255. 已知數(shù)據(jù) x1，x2，xn的方差 s24，則數(shù)據(jù)3x15，3x25， 3

2、xn5 的標(biāo)準(zhǔn)差為 【答案】66. 棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球的體積為 2【答案】327. 已知等差數(shù)列cn的首項(xiàng)為 c11若2cn3為等比數(shù)列，則 c2015 【答案】18. 已知曲線 ysinx 在 x0 處的切線與曲線 ylnxxa 相切，則實(shí)數(shù) a 的值為 【答案】1+ln29. 在ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c若 a，b，c 成等差數(shù)列，ac4，SABC，則邊 b 3【答案】210. 設(shè)函數(shù) f(x)則不等式 f(x x2)6 的解集用區(qū)間表示為 2112xxxxx，0，02 【答案】1，0Read x If x0 Theny x Else y x End I

3、fPrint y211. 在平行四邊形 ABCD 中，AB 的中點(diǎn)為 M，過 A 作 DM 的垂線，垂足為 H，若 AH=3，則 AH AC 【答案】2712. 設(shè)橢圓y 1 的右焦點(diǎn)是 F，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(與 x 軸不重合)交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，x242 則的最小值為 sinAFBsinABFsinBAF【答案】 1213. 若函數(shù) f(x)，區(qū)間 Mm，n，Ny|yf(x)，xM，則使 MN 成立的實(shí)2x1|x|數(shù)對(duì)(m，n) 【答案】(1,1)14. 已知集合 A(x，y)|(x3)2 (y8)216，B(x，y)|y|xa|8，設(shè)點(diǎn) Q(a，8)且QA，集合 A，B 所表示的平面區(qū)

4、域的邊界相交于點(diǎn) M，N，則QMN 的面積的最大值為 【答案】8二、解答題15. (本小題滿分 14 分) 已知向量 m(cos，sin)，n(1，2)(1)若 mn，求的值； sin2cossin + cos(2)若|mn|，求 cos的值 22， 4+【解】(1) mn，sin2cos 4 分 原式4 6 分(2) |mn|，2sincos2 9 分 2cos 4(sin1) ，1sin 4(sin1) ，2 2 2 2 2， 12 分34sin,cos55 原式 14 分7 210ABCDMH(第 11 題)3BCA1B1C1MNA16. (本小題滿分 14 分) 如圖，在斜三棱柱 AB

5、CA1B1C1中，側(cè)面 A1ACC1是邊長(zhǎng)為 2 的菱形，A1AC60o在底面 ABC 中，AB2，BC4，M 為 BC 的中點(diǎn)，過3A1，B1，M 三點(diǎn)的平面交 AC 于點(diǎn) N (1)求的值;MNAB (2)求證：ACB1M (第（16 題)【解】 (1)由題意，平面 ABC/平面 A1B1C1，平面 A1B1M 與平面 ABC 交于直線 MN，與平面 A1B1C1交于直線 A1B1，所以 MN/ A1B1 3 分因?yàn)?AB/ A1B1，所以 MN/AB 5 分因?yàn)?M 為 BC 的中點(diǎn)，所以 N 為 AC 中點(diǎn)所以 7 分MNAB12 (2)因?yàn)樗倪呅?A1ACC1是邊長(zhǎng)為 2 的菱形，A

6、1AC60o 在三角形 A1AN 中，AN1，AA12，由余弦定理得 A1N， 3故 A1A2AN2A1N2，從而可得A1NA90o，即 A1NAC 9 分在三角形 ABC 中，AB2，AC2，BC4，3則 BC2AB2AC2，從而可得BAC=90o，即 ABAC又 MN/AB，則 ACMN 11 分因?yàn)?MNA1NN，MN 面 A1B1MN，A1N面 A1B1MN，所以 AC平面 A1B1MN 13 分又 B1M面 A1B1MN，所以 ACB1M 14 分17. (本小題滿分 14 分)如圖所示的鐵片由兩部分組成，半徑為 1 的半圓 O 及等腰直角EFH,其中 FEFH， FEFH 現(xiàn)將鐵片

7、裁剪成盡可能大的直角梯形鐵片 ABCD(不計(jì)損耗)，ADBC，且點(diǎn)A，B 在弧 EF 上點(diǎn) C，D 在斜邊 EH 上設(shè)AOE. (1)求梯形鐵片 ABCD 的面積 S 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式； (2) 試確定 的值，使得梯形鐵片 ABCD 的面積 S 最大，并求出最大值A(chǔ)DOFC A HEB4 【解】(1) 因?yàn)椋?，AOEAOEBOF 1OAOB所以 ,4 分 1cossin1cossinADBC ，2cosAB所以其中 6 分()=2(1sin )cos2ABCDADBCABS02 (2)記22( )2(1sin )cos ,( )2(cossinsin)ff 222(1sinsinsin)2

8、2(2sinsin1) 10 分2(2sin1)(sin1) 02當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 12 分06( )0f62( )0f所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)6max3 3( )62ff即時(shí)， 13 分6max3 32S當(dāng) 取 時(shí)，梯形鐵片 ABCD 的面積 S 最大，6最大值為 14 分3 3218. (本小題滿分 16 分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，如圖，已知橢圓y 1 的左、右頂點(diǎn)為 A、B，以線段x242 AB 為直徑作圓 DP 是橢圓上任意一點(diǎn)(除左、右頂點(diǎn))，直線 AP、BP 與圓 D 分別交于點(diǎn) M、N (1)求證：kAMkBN為定值； (2)求 AMBN 的取值范圍. (第 18 題圖)BONMPy

9、xA5【解】(1)由題意知，設(shè) P()，則 2 分( 2 0)(2 0)AB ，00,xy0(0)y 220014xy 6 分AMBNkk20200022000011422444xyyyxxxx (2) 由題意知:圓的方程為，且由（1）知 8 分D224xy14APBPkk 不妨設(shè):()，則：，到的距離AP(2)yk x0k BP1(2)4yxk OAM，1221kdk故 10 分222412 4411kAMkk到的距離，故， 12 分OBN222161dk22242 416161161kBNkk22222224216464641161(161)(1)16171kkkAM BNkkkkkk 1

10、4 分2216411617kk ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等22116172 161725kk22110151617kk214k 號(hào) 16 分6405AM BN 19. (本小題滿分 16 分) 已知函數(shù) f(x)xlnxk(x1)，kR(1)當(dāng) k1 時(shí)，求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù) yf(x)在區(qū)間(1，)上有 1 個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；(3)是否存在正整數(shù) k，使得 f(x)x0 在 x(1，)上恒成立？若存在，求出 k 的最大值；若不存在，說明理由【解】 （1）當(dāng)時(shí)，1k ( )ln1f xxxx 1 分( )lnfxx令，解得，( )0fx1x 令，解得，( )0fx01x

11、6的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 3( )f x1 ，0 1，分（2），( )ln1fxxk 當(dāng)時(shí)，由，知，1k1x ( )0fx所以，在上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象不間斷，( )f x1 ，又，當(dāng)時(shí)，(1)0f1x ( )(1)0f xf函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，不合題意 5( )yf x1 ，分當(dāng)時(shí)，由，解得，1k ( )0fx11kxe若，則，故在上是單調(diào)減函數(shù)，11kxe( )0fx( )f x11,ke若，則，故在上是單調(diào)增函數(shù)，1kxe( )0fx( )f x1,ke當(dāng)時(shí)，11kxe( )(1)0f xf又，在上的圖象不間斷，()10kkkf ekek ek( )f x1 ，函數(shù)在區(qū)間上有 1

12、 個(gè)零點(diǎn)，符合題意 7( )yf x1 ，分綜上所述，的取值范圍為 8k1 ，分（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得在上恒成立，k( )0f xx1x 則由知，從而對(duì)恒成立（*） 91x 10 x ln1xxxkx1x 分記，得， 10 分ln( )1xxxg xx22ln( )(1)xxg xx設(shè)，( )2lnh xxx11( )10 xh xxx 在是單調(diào)增函數(shù)，( )h x1 ，又在上圖象是不間斷的，(3)1ln30(4)2ln40( )hhh x ，3,4存在唯一的實(shí)數(shù)，使得， 120(3 4)x ，0()0h x分當(dāng)時(shí)，在上遞減，01xx( )0( )0( )h xg xg x，0(1)x，當(dāng)

13、時(shí)，在上遞增，0 xx( )0( )0( )h xg xg x，0(,)x 7當(dāng)時(shí)，有極小值，即為最小值，14 分0 xx( )g x00000ln()1xxxg xx又，000()2ln0h xxx00ln2xx00()g xx由（*）知，又，的最大值為 3，0kx0(3,4)x *Nkk即存在最大的正整數(shù)，使得在上恒成立 16 分3k ( )0f xx1x ，20. (本小題滿分 16 分)在正項(xiàng)數(shù)列an中，a1 ，a2a，且對(duì)滿足 mstn 的正整數(shù) m，s，t，n 都有12amanasat(1am)(1an)(1as)(1at)(1)若 a ，bn，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；45an1an

14、1(2)求證：2an2 3 3【解】(1)由得，(n2) 2 分amanasat(1am)(1an)(1as)(1at)a1ana2an1(1a1)(1an)(1a2)(1an1)將 a1 ，a2 代入化簡(jiǎn)得 an， 412452an11an12分所以，即 bn bn1(n2) 6 分an1an113an11an1113又 b1 ，所以bn是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，7 分a11a11131313故 bn 8 分13n(2)由題設(shè)可知，aman(1am)(1an)asat(1as)(1at)故的值僅與 mn 有關(guān) 9aman(1am)(1an)分記 cmn，則 cn1aman(1am)(

15、1an)a1an(1a1)(1an) 11 分2313(1an)an0 cn1 對(duì)一切 n 恒成立， 12 分138c2n ， 14 分13得 an4 an10，2 解得 2an2即證 16 3 3分第二部分：原創(chuàng)模擬題：第二部分：原創(chuàng)模擬題：一、填空題：1. 已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全)0)(6sin()(xxf1)2cos(2)(xxg相同。若，則的取值范圍是 .2, 0 x)(xf解：由題意 2 1 ,21)(xf2. 已知是的外心，若且，OABC10, 6ACABACyABxAO5102yx則 。BACcos解：取 AC 中點(diǎn) D,延長(zhǎng) AB 至 E 使,AEAB52則ADyAExA

16、O252,5102yx1252yx三點(diǎn)共線，是的外心，即DOE,OABCACOD ACED 31155cosAEADBAC答案：313. 以 C 為鈍角的ABC 中，BC3，12，當(dāng)角 A 最大時(shí)，ABC 面積為BABC_【答案】3【提示】過 A 作 ADBC，垂足為 D，OAB CDEABCD9則|cosBBDBC3BD12，BABCBABC所以 BD4，又 BC3，所以 CD1設(shè) ADy(y0)，則 tanBAC ， 34且僅當(dāng) y ，即 y2 時(shí)取“”，由正切函數(shù)的單調(diào)性知此時(shí)BAC 也最大 4y4.在ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別是 a，b，c， ， c1，則ABC 的面積最t

17、anBtanC32大值為 585. 如圖， 箭頭形圖標(biāo)上半部分 ABC 是等腰直角三角形，下半部分 DEFG是正方形，已知，DE=2BD=2EC=2，GE 的連線交 AC 于點(diǎn)90BACH，則= AF GH 1526. 已知圓錐的過兩條母線的截面面積最大為 3，底面半徑為 2，則該圓錐的側(cè)面積為_。答案：（i）最大截面面積為軸截面面積時(shí)，則。此時(shí)，軸截面的頂角大于，所以233221hhrShr 90不滿足最大截面面積為軸截面面積。（ii）最大截面面積為頂角是的截面時(shí)，90則，此時(shí)，所以，滿足最大截面面積為63212llS222rlhhr 頂角是的截面。90所以，該圓錐的側(cè)面積為.627. 如圖

18、，沿格子型路線從點(diǎn) A 到點(diǎn) C，如果只能向右、向上走，則經(jīng)過點(diǎn) B 的概率是 478. 設(shè)，則函數(shù)的最大值是 。30 x 1322xxxxf 解法一：利用基本不等式 =，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 211314212222xxxxxf1314212222xxxx43 即時(shí)取得，所以的最大值是。13142222xxxx515x xf43（第 7 題圖）圖CBA(第 5 題圖)HGFEDCBA10 解法二：利用導(dǎo)數(shù) ，余略。 22223153xxxxf9. 設(shè) x,y,z 是三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，求的最大值.解：x + y xy, y +z yz,所以 x y z (xy+2yz),即2 152 452 2 2

19、 2 2 當(dāng) x=1,y=,z=2 時(shí)，等號(hào)成立 510. 設(shè) a,b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，下列命題中正確的命題的序號(hào)是_ab(1) 恒成立；553223aba ba b(2) 恒成立；222(1)abab(3) 是的充分不必要條件；|ab22ab(4)若且，則.14ab 23ab037ab解：答案（2） （4）（1）3223222233222()()()()() ()()a abb baabababab aabb當(dāng)時(shí)，不滿足條件，所以（1）錯(cuò)誤；0ab（2）等價(jià)為，所以（2）正確；22(1)(1)0ab（3）當(dāng) a=0,b=-1,不是充分條件，所以是必要條件，因此，22| |ababb 是的必要

20、不充分條件，所以（3）錯(cuò)誤；|ab22ab（4）法一：待定系數(shù)法得到3()2()0,7ababab 法二：線性規(guī)劃11已知函數(shù)若存在，當(dāng)時(shí)，24,22 |2|, 0( )3, 46,xxxxf x12, xx12406xx，則的取值范圍是 答案： 12()()f xf x12()x f x1, 412已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù) ，使得， 2,f xxaxb a bRt 12f tft 則的最小值為 答案：224ab16513. 已知在函數(shù)圖像上點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)是xexf2)(A04yxA_答案： ）（2 , 2ln21-14. 已知定義在上的函數(shù)滿足：則不等式的解R)(xf, 1

21、)(, 2) 1 (xff1)(22 xxf集為 11解：令01)()(),()()(xfxhRxxxfxh則，上遞減在Rxh)(11) 1 () 1 ( fh11)(xxh，只要要使得111, 1)()(2222xxxxxfxh或只要要使得所求解集為1x-1x|x或15. 設(shè)其中，則的最小值為 222( , )()(1)F x yxyxy,0 x yR y( , )F x y。解：構(gòu)造兩點(diǎn),B(0,則表示平面上兩點(diǎn) A，B 距離的平(,)A xy xy21)yy( , )F x y方。點(diǎn) A 在直線 y=x 上，點(diǎn) B 在射線，畫圖易得0(2 212 21)xy或x-的最小值為。( , )F

22、 x y92 2216. 已知點(diǎn) P 為圓 C：x2y24x4y40 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 到某直線 l 的最大距離為5若在直線 l 上任取一點(diǎn) A 作圓 C 的切線 AB，切點(diǎn)為 B，則 AB 的最小值是_【答案】 5【提示】由 P 到直線 l 的最大距離為 5，得圓心 C 到直線 l 的距離為 3，從而直線 l 與圓C 相離過 A 引圓 C 的切線長(zhǎng) AB AC2r2AC243245【說明】點(diǎn)直線與圓的相關(guān)問題常轉(zhuǎn)化為圓心與點(diǎn)直線問題17. 已知橢圓方程（） ，為其左右焦點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢12222byax0 ba21,FF圓上存在點(diǎn) P，使（為橢圓的焦距） ，則_.cOP c21POF

23、S 解:（連構(gòu)成一個(gè)直角三角形，利用公式22b2PF2tan2bS 18. 已知為拋物線上的三點(diǎn)，若焦點(diǎn)為的重心，, ,A B C2xy FABC(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積分別記為，則的值為,OFAOFBOFCO123,S SS222123SSS12_.解:設(shè)),(),(),(332211yxCyxByxA 因?yàn)闉榈闹匦?所以F)41, 0(ABC43413321yyy 所以222123SSS2563)(641|)|21(|)|21(|)|21(321232221yyyxOFxOFxOF19. 已知數(shù)列an為正項(xiàng)等差數(shù)列，滿足1(其中 kN*且 k2)，則 ak的最小1a14a2k1值為_【答案】92

24、【提示】因?yàn)閍n為正項(xiàng)等差數(shù)列，則 ak()a1 a2k12a1 a2k121a14a2k1 (5) (52) (當(dāng)且僅當(dāng)1，12a2k1a14 a1a2k112921a14a2k1且，即 a13，a2k16 時(shí)取“”號(hào))a2k1a14 a1a2k1【說明】本題將等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)(等差中項(xiàng))與基本不等式進(jìn)行綜合20. 等比數(shù)列an中，首項(xiàng) a12，公比 q3，anan1am720(m，nN*，mn)，則 mn 【答案】9【提示】因?yàn)?an23n1，則anan1am3n1(3mn11)72032245，則23n1(13mn1)13，解得 n3，m6，則 mn9n12mn14)【說明】本題考查等

25、比數(shù)列中的基本運(yùn)算，涉及到簡(jiǎn)單的數(shù)論知識(shí)（整數(shù)的分解） 21. 設(shè)，是橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若該橢圓上存在一點(diǎn)，1F2F12222byax0 baP使（為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，且，則橢圓的離心率為 . 0)(22PFOFOPO|3|21PFPF 答案： 13 22.已知數(shù)列，滿足，則 . na nb211a1nnba211nnnabb Nn2015b答案： 201620151323.已知函數(shù)，其中若對(duì)任意的，總存在， 2lnxxaxf0a ex, 11 ex, 12使得，則實(shí)數(shù) . 答案： 421xfxfa1e24. 函數(shù) f(x)，x(0，)的最大值是 解：答案當(dāng) x 時(shí)，f( )下面證明 f(x)

26、 222 2 2即 ，因?yàn)?x(0，)，所以 sinx+0， 2 1 sinx所以，cosx(sinx1)20上式顯然成立 2 2 1 sinx25. 已知向量 ， 是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為 60的單位向量，且(2)()0，則|的最大值是 解：答案設(shè)2，由已知可得 ACBC，故點(diǎn) C 在以 AB 為7 +32OA OB OC 直徑的圓 O1上當(dāng) OC 過 O1時(shí)，OC 最大由余弦定理得：AB，從而ABO90所以 OO1= 3，72OCOO1+O1C7 +32二、解答題：1. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，且滿足，ABCA B C，a b c，3ACB.3cos5BC ()求的值；sinC()若，求的面積

27、.5a ABC解：解：()由，34ACBBB所以，3coscos45BCC 因?yàn)椋?4sinsin1cos445BCCC所以sinsinsincoscossin444444CCCC.227 234525210() 由已知得，24sinsin1cos5ABCBC因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼? 25sin410aBC，sinsinsinabcABC，解得. 5254427 25210bc25 235 288bc，14所以的面積.ABC25 27 217511sin52281016SabC 2. 如圖，四邊形 ABCD 中，AB2，AD1，三角形 BCD 為正三角形（1）當(dāng)BAD 時(shí)，設(shè)x y，求 x，y

28、 的值；3AC AB AD （2）設(shè)BAD，則當(dāng) 為多少時(shí)，四邊形 ABCD 的面積 S 最大，并求出最大值解：解：（1）在ABD 中，由于 AB2，AD1，BAD ，3易得 BD，ABD ，ADB ，ABC ，ADC362256下面提供三種解法：法一：如圖，過點(diǎn) C 作 CE/AD 交 AB 于點(diǎn) E，在BCE 中，BC，ABC ，32BEC ，3則 CE2，BE1，則 AE1，所以2，即AC AE EC 12AB AD 法二：以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB 所在直線為 x 軸建立如圖直角坐標(biāo)系則 D( ，)，B(2，0)，C(2，)，則(2，)，(2，0)，從而( ，123AC 3AB AD 1

29、2)，則，解得法三：因?yàn)閤2y4xy，AC AB AB AD AB 又()24，則 4xy4AC AB AB BC AB AB BC AB 因?yàn)閤y2xy，AC AD AB AD AD ACDBEACDBOyxACDB15DBOACMDBOAC又()211cos ，則 xy AC AD AD DC AD AD DC AD 365252 從而，解得（2）在ABD 中，由余弦定理知，BD，則 SABDsin，54cosSBDCBD2(54cos)，則 S sin cos 2sin( )，(0，)，33所以 Smax2，此時(shí) ，即 32563. 如圖，有一景區(qū)的平面圖是一半圓形，其中 AB 長(zhǎng)為 2

30、km，C、D 兩點(diǎn)在半圓弧上，滿足BC=CD設(shè)COB（1）現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光道路，由線段 AB、BC、CD 和 DA 組成，則當(dāng) 為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng) l 最長(zhǎng)，并求 l 的最大值（2）若要在景區(qū)內(nèi)種植鮮花，其中在和內(nèi)種滿鮮 AODBOC花，在扇形內(nèi)種一半面積的鮮花，則當(dāng) 為何值時(shí)，鮮花COD種植面積 S 最大解：（1）由題， COD2AOD0,2取 BC 中點(diǎn) M，連結(jié) OM則，OMBC2BOM所以 22sin2BCBM同理可得， 2sin2CD22sin2cos2AD所以4 分222sin2sin2cos2 12sin4sin22222l即所以當(dāng)，即時(shí)，有6 分214 sin5,

31、0,222l 1sin223max5l（2），1sin2BOCS1sin2sincos2AODS12CODS扇形所以 8 分11sinsincos24S所以 10 分22111coscossin4cos32cos1244S16因?yàn)?，隨意解得，列表得0,20S 30,33,3 2 S0S遞增極大值遞減所以當(dāng)時(shí)，有面積取得最大值 3S答：（1）當(dāng)時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng) l 最長(zhǎng)，最長(zhǎng)為 5km；3（2）當(dāng)時(shí)，鮮花種植面積 S 最大 14 分34. 一圓柱形鐵棒，底面圓的直徑為 0.4，欲通過如圖所示（經(jīng)過圓柱的軸的水平截m面圖）的直角走廊（1）當(dāng)時(shí)，求鐵棒的長(zhǎng)度；（2）求能通過這個(gè)走廊的鐵棒的最大長(zhǎng)度

32、3解：解：（1）如圖，延長(zhǎng)與廊壁交于 A、D 兩點(diǎn)， 在直角三角形中，BCABE0.4BE ，BEA所以，同理，又，0.4sincosAB0.4cossinCD1.2cosAO1.2sinOD所以 BC=，當(dāng)時(shí)，AOODABCD1.2cos1.2sin0.4sincos0.4cossin3鐵棒的長(zhǎng)度為即0.8 32.43364 315（2）由（）可得鐵棒長(zhǎng)度，( )s1.2cos1.2sin0.4sincos0.4cossin(0,)2 2222sin52cos52sin5cos6cos5sin6 s1.2m1.2mABCDOEF1.2m1.2m17 =， 22cossin5sin2cos2c

33、ossin66cossin令，則， s () 04列表如下：4, 042,4 s ()-0 s()單調(diào)遞減極大值單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，取極小值，即為最小值4( )s答：當(dāng)時(shí)，鐵棒長(zhǎng)度最大為 4542125. 如圖，在三棱錐 P ABC 中，PC平面 ABC，ABC 為正三角形，D，E，F(xiàn) 分別是 BC，PB，CA 的中點(diǎn)（1）證明平面 PBF平面 PAC；（2）判斷 AE 是否平行于平面 PFD？并證明解：（1）證明：PC平面 ABC，BF平面 ABC，PCBF-3 分ABC 為正三角形，F(xiàn) 是 CA 的中點(diǎn) BFAC又PCAC C，BF平面 PAC BF平面 PBF，平面 PBF平面 PAC

34、-7 分（2）AE 不平行平面 PFD 反證法：假設(shè) AE平面 PFDABFD，F(xiàn)D平面 PFD，AB平面 PFD，AB平面 PFD-9 分AE、AB 是平面 ABE 內(nèi)兩條相交直線，平面 ABE平面 PFD-11 分而P平面 ABE，P平面 PFD，矛盾則假設(shè)不成立即 AE 不平行平面 PFD-14 分ABCDEFP第 5 題186. 如圖所示，已知在五棱錐中，底面為凸五邊形，PABCDEABCDE2AEDC，為上的點(diǎn)，且3ABBC1DE 120EABBCDCDEDEA FAE，平面與底面垂直求證：32AF PAEABCDE（1）平面；/BCPAE（2）PAFC證明證明 （1）如圖凸五邊形，

35、ABCDE延長(zhǎng)交于點(diǎn),AE CDH ， 120AEDEDC 60HEDHDE 為等邊三角形，HED60H ，即有60120180HBCD /BCAE又 平面，平面，AE PAEBC/PAE 平面/BCPAE （2）連結(jié)， 為等邊三角形ACHED ， 1HEHDED3HAHC 又 ， 為正三角形60HHAC 又 ， 12AFAHCFAE 平面平面，PAE ABCDE平面平面，PAE ABCDEAE平面， 平面CF ABCDECF PAE 又 平面， PA PAECFPA7.如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=，AB=BC=BB1，點(diǎn) D,E 分別為90BC,CC1的中點(diǎn)（1）求證：平

36、面 ABE平面 AB1D；（2）點(diǎn) P 是線段 B1D 上一點(diǎn)，若 A1P平面 ADE,求的1B PPD值證明證明（1）在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BB1底面 ABC,AB底面 ABC,ABBB1，ABC=，ABBC, BC BB1=B,90（第 6 題圖）FCEDABPDFHCABEC1B1A1EDCBA（第 7 題圖）19AB平面 BCC1B1，DB1平面 BCC1B1，ABDB1，在平面 BCC1B1中，BC=BB1，所以四邊形 BCC1B1為正方形，D,E 分別為 BC,CC1的中點(diǎn)，,CBE=BB1D,BCE1B BDCBE+B1DB=90，即 B1DBE,BABE=B,B1

37、D平面 ABE,又 DB1平面 AB1D,平面ABE平面AB1D （2）連接 PC 交 DE 于點(diǎn) F，連接 A1C 交 AE 于點(diǎn) G，連接 FG，A1P平面ADE，平面 A1PC平面ADE=FG, A1PFG,1112CFCGCEFPGAAA在正方形 BCC1B1中利用平幾知識(shí)可得11=2B PPD8.已知函數(shù)3211( )(1)(2)( ,)32f xmxmxmxn m nR（1）若函數(shù)的圖像如下圖所示，求不等式的解集；( )f x2()01xfxxyO-13（2）若在 R 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；( )f x（3）當(dāng) m=0 時(shí)，令，記( )( )g xfx，( , )|(

38、1)( )( )(1)3, ,x yg xg yg xg yx yR 若點(diǎn) P（x, y）是表示的區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，求的取值范圍.34zyx解：（1）由圖像知道或(21)(1)0221101,1011xxxxxxxx 12x 所以解集為 .4 分1(, 1) ,)2 （2）在 R 上單調(diào)遞增，恒成立，( )f x2( )(1)(2)0fxmxmxm當(dāng)時(shí)，即,上式轉(zhuǎn)化為顯然不適合，舍去 .6 分10m 1m 10 x FPEDC1B1CB20當(dāng)時(shí)，有 .910m 2102 3(2)4 (1)03mmmm m 分（）由已知得22( , )|(1)5, ,x yxyyx x yR 且（如圖陰影部分）

39、 11 分4:3433zl zyxyx當(dāng) l 過點(diǎn) A(2,2)時(shí)，min3 24 22z 當(dāng) l 與圓相切時(shí)有最大值，此時(shí)22|4 1 3 0+z|534 5 51,5 51zz 或（舍）綜上得，z 的取值范圍是 14 分5 51 -2,9. 已知函數(shù) ,xxxfln)(1)( axxg(1) 若,設(shè)函數(shù)，求在上的單調(diào)性；2a)()()(xgxfxh)(xh), 1 ( (2) 設(shè)函數(shù)、的導(dǎo)函數(shù)分別為、，若、，使得)(xf)(xg)(xf )(xg1x, 1 (22ex 成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.)(1xf)()(22xgxfa解：（1）依題，12ln)(xxxxh則xxxxxxxxxh222

40、2ln) 1ln2)(1(lnln1lnln22)(ln1ln)(當(dāng)時(shí)，而，1x0lnxexx01ln2在上單調(diào)減，在上單調(diào)增；)(xf), 1 (e),(e（2）由，xxxf2ln1ln)(axg)(故設(shè)，axxxgxfxF2ln1ln)()()(則，使得, 1 (,221exx)(1xf)(2xFmin1)(xfmax2)(xF顯然在上單調(diào)減，上單調(diào)增，)(xf, 1 ( e,(2eexyOA（2，2）B21，eefxf)()(min1axxxFln1)ln1()(2令，則),21ln1tx41)21()(22atattxF，axF41)(max2ea41即ae4110. 已知函數(shù)為自然對(duì)

41、數(shù)的底數(shù)）其中exexgaxexfxx.(ln)(,)(（1）設(shè)曲線，求的值；垂直處的切線與直線在01) 1(1)(yexxxfya（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；0)(, 0 xfxa（3）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線處1a, 1 0ex 0)()(:xxxfxgyC在點(diǎn)的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。y0 x解：（1）; 11) 1 ()(aeaefaexfx（2）由恒成立（恒成立得時(shí))000)(0 xaxexfxx若，則0 xRa 恒成立，01若恒成立則xeaxx , 0令，2) 1()()0()(xxexhxxexhxx當(dāng)遞減在時(shí)）遞增；，在（時(shí))

42、, 1 ()(0)(110)(0)(10 xhxhxxhxhxeaehxh) 1 ()(max實(shí)數(shù)的取值范圍是：a. ea（3）由xexeyCxexfaxxxln:,)(1曲線得1lnxxxexexey欲存在實(shí)數(shù)，使得曲線處的切線與軸垂直, 1 0ex 0)()(:xxxfxgyC在點(diǎn)y22只要有解在, 1 01lneexexexxx只要有解在, 1 1-11lneexxx令, 1 , 11ln)(exxxxp則, 1 0111)(22exxxxxp恒成立在0) 1 ()(, 1 )(pxpexp遞增在又恒成立01xe必?zé)o解在, 1 1-11lneexxx綜上得：不存在符合條件的.0 x11.

43、 在等邊中,=6cm，長(zhǎng)為 1cm 的線段兩端點(diǎn)都在邊上，且由點(diǎn)ABCABDE,D EAB向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)與點(diǎn)重合） ，,點(diǎn)在邊或邊上；ABDAFDABFACBC,點(diǎn)在邊或邊上，設(shè). GEABGACBCADxcm（1）若面積為,由圍成的平面圖形面積為，ADF1( )Sf x,DE EG GF FD2( )Sg x分別求出函數(shù)的表達(dá)式；( ), ( )f x g x（2）若四邊形為矩形時(shí)，求當(dāng)時(shí), 設(shè)，求函數(shù)的DEGF0 xx0 xx( )( )( )f xF xg x( )F x取值范圍 .解：（1） 當(dāng)時(shí)，F(xiàn) 在邊 AC 上，；03x0tan603FDxx23( )2f xx當(dāng)時(shí)，F(xiàn) 在邊

44、 BC 上， ,35x0(6)tan603(6)FDxx，3( )(6)2f xxx23,032( )3(6),352xxf xxxx 當(dāng)時(shí)，F(xiàn)、G 都在邊 AC 上，02x0tan603FDxx23；3(1)EGx33(1)3( )1322xxg xx 當(dāng)時(shí)，F(xiàn) 在邊 AC 上，G 在邊 BC 上, 23x3FDx；3(5)EGx5 3( )2g x當(dāng)時(shí)，F(xiàn)、G 都在邊 BC 上, 35x3(6)FDx3(5)EGx11( )332g xx . 33,0225 3( ),2321133,352xxg xxxx（2） 當(dāng)時(shí)， 052x 532x259( ),( )545xF xF x 當(dāng)時(shí)，3

45、5x2226533( ),( )40211211xxxxF xF xxx518( ),5,1045F x的取值范圍為12. 某高速公路收費(fèi)站出口處依次有編號(hào)為 12345 的五個(gè)收費(fèi)窗口（1）若每天隨機(jī)開放其中的 3 個(gè)收費(fèi)窗口，則恰有兩個(gè)相鄰窗口開放（如：1，2，4）的概率是多少?（2）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某個(gè)開放的收費(fèi)窗口處排隊(duì)等侯的車輛數(shù)及相應(yīng)概率如下：排隊(duì)車輛數(shù)012345概率0.10.160.30.30.10.04該收費(fèi)窗口處至多有 2 輛車排隊(duì)等侯的概率是多少?該收費(fèi)窗口處至少有 3 輛車排隊(duì)等侯的概率是多少?解：解：（1）記事件 A 為“開放 3 個(gè)收費(fèi)窗口，恰有兩個(gè)相鄰窗口開放” ，用(

46、i，j，k)表示編號(hào)分別為 i，j，k 的三個(gè)收費(fèi)窗口開放24則本題的基本事件包括：(1，2，3)，(1，2，4)(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)， 共 10 個(gè)基本事件；而事件 A 包括：(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，共 6 個(gè)基本事件因此 P(A) 61035答：隨機(jī)開放其中三個(gè)收費(fèi)窗口，恰有兩個(gè)相鄰窗口開放的概率為 35（2）記事件 Bi為“該收費(fèi)窗口處有 i 輛車排隊(duì)等侯” ，其中 i0，1，2，3，4，5 則由題意知，上述 6

47、個(gè)事件為互斥事件記事件 C 為“該收費(fèi)窗口處至多有 2 輛車排隊(duì)等侯” ，事件 D 為“該收費(fèi)窗口處至少有 3 輛車排隊(duì)等侯” 則 P(C)P(B0B1B2) P(B0)P(B1)P(B2)0.10.160.30.56，P(D)P(B3B4B5) P(B3)P(B4)P(B5)0.30.10.040.44（另解：由題意知事件 C，D 為對(duì)立事件，則 P(D)P()1P(C)0.44） C答：該收費(fèi)窗口處至多 2 輛車排隊(duì)等侯的概率為 0.56，至少 3 輛車排隊(duì)等侯的概率為0.44【說明】本題考查古典概型和互斥事件的概率計(jì)算，主要要注意規(guī)范表述13.為響應(yīng)新農(nóng)村建設(shè)，某村計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有舊水渠進(jìn)行改

48、造，已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧，頂點(diǎn)為水渠最底端（如圖） ，渠寬為4m，渠深為 2m（1）考慮到農(nóng)村耕地面積的減少，為節(jié)約水資源，要減少水渠的過水量，在原水渠內(nèi)填土，使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠，新水渠底面與地面平行（不改變渠寬） ，問新水渠底寬為多少時(shí)，所填土的土方量最少？（2）考慮到新建果園的灌溉需求，要增大水渠的過水量，現(xiàn)把舊水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的新水渠，使水渠的底面與地面平行（不改變渠深） ，要使所挖土的土方量最少，請(qǐng)你設(shè)計(jì)水渠改挖后的底寬，并求出這個(gè)底寬解解 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由已知點(diǎn)在拋物線上，得，所以拋物線的方程為220 xp

49、y p2 2P，1p .212yx（1）為了使填入的土最少，內(nèi)接等腰梯形的面積要最大，如圖 1，設(shè)點(diǎn)，則此時(shí)梯形 APQB 的面21, 022A ttt 積， 23211124224222S tttttt （第 13 題圖）24yxOQPBA（圖 1）25,令，得， 23222Sttt 2322=02Sttt 23t 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)20, 3t 0St S t2, 23t 0St S t遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，改挖后的水渠的底23t S t12827寬為m 時(shí)，可使填土的土方量最少.43（2）為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，如圖 2，設(shè)切點(diǎn)，21, 02M t

50、tt則函數(shù)在點(diǎn) M 處的切線方程為，212ytt xt分別令得，0,2yy2, 0 , 222ttABt所以此時(shí)梯形 OABC 的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等 12222 22S ttttt 2t 號(hào)成立，此時(shí).所以設(shè)計(jì)改挖后的水渠的底寬為m 時(shí)，可使挖土的土方量最少.22OA214.已知直線 ：與圓：交于兩點(diǎn)。l1 kxyO422 yxBA,（1）求得最大值；|OAOBuuruu u r（2）若過作圓，且與相切，求圓面積最小時(shí)圓的方程。ABM4yMM解：（1）取 AB 中點(diǎn) C，則OCOBOA2所以（）22| 2|1OAOBOCkuuruu u ruuu rRk 所以當(dāng)時(shí)，的最大值是 2；0k|OB

51、OA（2）設(shè)的方程為M)0()()(222RRbyax則有即 ,4Rb4 Rb因?yàn)槭桥c的公共弦，所以： ABOM22222MCMAOCOAAC即： 22222)1|1|()11(4kbakRk若，則，0k0a把及式代入式得：此時(shí)0a,514R56b 若，則有 0kkabkOC1由得 )4(Rka把代入得： 222222)1|1)4()4(|()11(4kRRkRkMyxOPBAC(圖 2)26，222211 1)4)(1(4kRkR2222221)4)(1(2)4() 1(4kRkRkR，)4(2)4)(1(4222RRkR222)4(1221RRRk因?yàn)榍?，所以，解得Rk 0k1)4(122

52、1222RRRk514R綜上：的最小值是，此時(shí)圓的方程為。R514M25196)56(22 yx15. 焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，為其左右焦點(diǎn)，過x2123, 121,FF 作兩條平行直線交橢圓上半部分于 A、B 兩點(diǎn)，連結(jié) A、B 并延長(zhǎng)交軸于21,FFx.)0 , 3(（1）求橢圓方程(2)求梯形的面積12FABF解：(1）13422yx （2）（根據(jù)對(duì)稱性，延長(zhǎng)交橢圓于，由題意知是的中點(diǎn)，可以構(gòu)8591AFH2FCF1造一個(gè)梯形，設(shè)=，從而求出直線的傾斜角的余弦值為，斜率1AFn2nHF 11AF32為從而直線方程為，聯(lián)立方程組消去得251AF) 1(25xy) 1(251

53、3422xyyxy，利用求弦長(zhǎng)公式或求根公式過作的垂線，071082xx,827|AH2F1AFMF2，所以梯形的面積為352|2MFS85916. 已知?jiǎng)訄A經(jīng)過且與直線相切.C)0 , 1 (F1x（1）求點(diǎn)的軌跡；CT（2）過作兩條互相垂直的直線交軌跡于，設(shè)的中點(diǎn)分別為.FTCDAB,CDAB,NM, 證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；MN 若弦的斜率均存在，求面積的最大值. CDAB,FMN27 解: （1）設(shè)點(diǎn)，依題有，化解得),(yxC| 1|)0() 1(22xyxxy42（2）證明：顯然存在，且不為 0，ABk 設(shè)，代入有，恒成立1: tyxlABxy420442 tyy0y

54、 設(shè)),(),(),(002211yxMyxByxA 則，得，所以tyyy22210121200ttyx)2 , 12(2ttM 同理將，代入得，11:ytxlCDxy42)2, 12(2ttN 當(dāng)時(shí)，即，易得：，恒過01122t122t12tMNl3x)0 , 3( 當(dāng)時(shí)，即02122t122t12t 由點(diǎn)斜式得：，令，得MNlttxtty2) 12(1120y3x 綜上：直線必過定點(diǎn)MN)0 , 3( 由得4122|)1|(|2|22|21ttttyyPFSNMFMN 當(dāng)且僅當(dāng)，即1|2t1t17. 設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意 nN*都有 a13a23a33an3Sn22Sn，其中

55、 Sn 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和（1）求 a1，a2；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；*（3）bn，cn，試找出所有即在數(shù)列bn中又在數(shù)列cn中的項(xiàng)Sn3Sn解：解：（1）令 n1，則 a13 S132S1，即 a13 a122a1，所以 a12 或 a11 或a10又因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以 a12令 n2，則 a13a23 S222S2，即 a13a23(a1a2)22(a1a2)，解得 a23 或a22 或 a20又因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以 a23（2）因?yàn)?a13a23a33an3Sn22Sn (1) 所以 a13a23a33an13Sn122Sn1(n2) (2)(1)(

56、2)得 an3( Sn22Sn)(Sn122Sn1)(SnSn1)( Sn Sn12)an( SnSn12)，28因?yàn)?an0,所以 an2SnSn12 (3)所以 an12Sn1Sn22(n3) (4) 由(3)(4)得 an2an12anan1，即 anan11(n3)，又 a2a11，所以 anan11(n2)所以數(shù)列an是一個(gè)以 2 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列所以 ana1(n1)dn1（3）Sn，所以 bn,cnn(n3)2Sn3Snn(n3)6n(n3) 2an 2an1 an2n12nn1不妨設(shè)數(shù)列bn中的第 n 項(xiàng) bn和數(shù)列cn中的第 m 項(xiàng) cm相同，則 bncm即，即n

57、(n3)6n(n3)2m12mm16n(n3)2mm12mm11o 若 ，則 n23n180，所以 1n3，2mm12mm16n(n3)13n1 時(shí), ，無解；2mm12mm132n2 時(shí)， ，即 52m5m532m3m3，2mm12mm135所以 2m4m4，m1,2,3,4 時(shí) 2m4m4；m5 時(shí),令 f(m)2m4m4,則 f(m1)f(m)2m40，所以 f(m)單調(diào)增，所以 f(m)f(5)80,所以 2m4m4 無解；n3 時(shí) ，即 2m2m2，2mm12mm113m1,2 時(shí)，2m2m2；m3 時(shí)，2m2m2；m4 時(shí)，2m2m2；m5 時(shí)，2m4m42m2所以，m3，n32o

58、 若 ，即 2m2m22mm12mm16n(n3)13由 1知，當(dāng) m3 時(shí)，2m2m2。因此，當(dāng) 2m2m2 時(shí)，m1 或 2當(dāng) m1 時(shí)，0 無解，6n(n3)當(dāng) m2 時(shí), 無解6n(n3)1729綜上即在數(shù)列bn中又在數(shù)列cn中的項(xiàng)僅有 b3c3 43【說明】本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用 第(2)問考查 an與 Sn的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)列中最重要的數(shù)學(xué)思想方法；第(3)問考查學(xué)生從函數(shù)和集合論的角度看數(shù)列，自覺研究數(shù)列性質(zhì)的能力，cn單調(diào)遞減趨向 1，dn單調(diào)遞增趨向 2，所以cn與dn的公共項(xiàng)只有可能在前面若干項(xiàng)中產(chǎn)生,經(jīng)過列舉可發(fā)現(xiàn) c3d3 ，所以可以 為分界的數(shù)，來找cn與dn的4343公

59、共項(xiàng)18. 公差不為零的等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)之和為 Sn，且 Sn對(duì) nN*成立2 （1）求常數(shù) k 的值以及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列an中的部分項(xiàng) a ，a ，a ，a ，恰成等比數(shù)列，其中 k1 k2 k3 knk1，,k314，求 a1k1a2k2ankn的值解：解：（1）法一：條件化為 2ank 對(duì) nN*成立Sn 設(shè)等差數(shù)列公差為 d，則 2 a1(n1)dk 分別令 n1，2，3 得： 由2得，2兩邊平方得，a13a13d2a1d4a1d2 3a123a1d兩邊再平方得，4a124a1dd20解得 d2a1代入得，43a1k，a1由得，a1所以 a10，或 a11a1又

60、當(dāng) a10 時(shí)，d0 不合題意所以 a11，d2代入得 k1而當(dāng) k1，a11，d2 時(shí)，Snn2，an2n1，等式 Sn對(duì) nN*成立2 所以 k1，an2n1法二：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 a1，公差為 d，則 Snna1d n2(a1 )n，ana1(n1)ddn(a1d)n(n1)2d2d2代入 Sn得， n2(a1 )n dn(a1kd)2，2 d2d214即 2dn2(4a12d)nd2n22d(a1kd)n(a1kd)230因?yàn)樯厦娴仁綄?duì)一切正整數(shù) n 都成立，所以由多項(xiàng)式恒等可得，2dd2，4a12d2d(a1kd)，a1kd0)因?yàn)?d0，所以解得，所以常數(shù) k1，通項(xiàng)公式 an2