天津2014高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理試題選編7：立體幾何

1、天津市2014屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編7：立體幾何選擇題 （天津市天津一中2013屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題）幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）AB CD【答案】C 解:由三視圖可知,該幾何體下面是半徑為1,高為2的圓柱.上面是正四棱錐.真四棱錐的高為,底面邊長(zhǎng)為,所以四棱錐的體積為,圓柱的體積為,所以該幾何體的體積為,選C （天津市和平區(qū)2013屆高三第一次質(zhì)量調(diào)查理科數(shù)學(xué)）已知正四棱柱ABCDA1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中點(diǎn)，則異面直線DC1與BE所成角的余弦值為（）ABCD【答案】B （天津市新華中學(xué)2013屆高三寒假?gòu)?fù)習(xí)質(zhì)量反饋數(shù)學(xué)（理）試題

2、）某幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積是（）ABCD【答案】A （天津市新華中學(xué)2013屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是（）AB CD【答案】C【解析】若，所以，又，所以，即，所以選C （天津市新華中學(xué)2013屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）如圖，E、F分別是三棱錐P-ABC的棱AP、BC的中點(diǎn)，PC=10，AB=6，EF=7，則異面直線AB與PC所成的角為（ ）（）A90°B60°C45°D30°【答案】B【解析】,取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)EM,MF，因?yàn)镋,F是中點(diǎn)，所以,所以MF與ME所成的角即為AB與PC所成的角。在三

3、角形MEF中，所以,所以直線AB與PC所成的角為為，選B （天津市新華中學(xué)2013屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形， 為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為1的正三角形，且球半徑為1，所以四面體為正四面體，所以的外接圓的半徑為，所以點(diǎn)O到面的距離,所以三棱錐的高,所以三棱錐的體積為，選（）A （天津市天津一中2013屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題）,為平面,m為直線,如果,那么“”是“”的（）A充分非必要條件B必要非充分條件 C充要條件D既非充分又非必要條件.【答案】B【解析】若,當(dāng)時(shí),或.當(dāng)時(shí),若,則一定有

4、,所以是的必要不充分條件,選B 二、填空題 （天津市寶坻區(qū)2013屆高三綜合模擬數(shù)學(xué)（理）試題）一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示(單位:),則該幾何體的體積為_.11正視圖側(cè)視圖俯視圖111【答案】 （天津耀華中學(xué)2013屆高三年級(jí)第三次月考 理科數(shù)學(xué)試卷）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_;【答案】80【解析】解:由三視圖可知該幾何體為上部是一四棱錐,下部為正方體的組合體.四棱錐的高3,正方體棱長(zhǎng)為4,所以正方體的體積為.四棱錐的體積為,所以該組合體的體積之和為. （2011年高考（天津理）一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示(單位:m)則該幾何體的體積為_313正視圖321俯視圖13側(cè)視

5、圖2【答案】【命題立意】本小題主要考查幾何體的三視圖、圓錐的體積和棱柱的體積計(jì)算,考查空間想象能力和計(jì)算能力. 【解析】此幾何體為一個(gè)圓錐和一個(gè)長(zhǎng)方體組成,其體積為 （天津市2013屆高三第三次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）一個(gè)幾何體的三視圖如上圖所示,且其左視圖是一個(gè)等邊三角形,則這個(gè)幾何體的體積為_.【答案】 （天津市紅橋區(qū)2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理試題（word版） ）已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_.【答案】 （天津市河?xùn)|區(qū)2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_ 【答案】 （2013屆天津市高考?jí)狠S卷理科數(shù)學(xué)）

6、已知一個(gè)幾何體是由上下兩部分構(gòu)成的組合體,其三視圖如下,若圖中圓的半徑為,等腰三角形的腰長(zhǎng)為,則該幾何體的體積是 _【答案】 【解析】由三視圖可知,該幾何體上部分是一個(gè)圓錐,下部分是個(gè)半球,球半徑為1,圓錐的高為,所以圓錐的體積為,半球的體積為,所以幾何體的總體積為. （天津市天津一中2013屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題）已知直線m,n與平面,給出下列三個(gè)命題:若m,n,則mn;若m,n,則nm;若m,m,則.其中真命題的個(gè)數(shù)是_個(gè)【答案】2 解:平行于同一平面的兩直線不一定平行,所以錯(cuò)誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知正確.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和判斷定理可知正確,所以真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè). （天津市

7、新華中學(xué)2012屆高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)）如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，其中俯視為正三角形，AB=2,AA=4，則該幾何體的表面積為_?！敬鸢浮俊窘馕觥坑扇晥D可知，該幾何體是一個(gè)正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為2，高是4.所以該三棱柱的表面積為。（2012-2013-2天津一中高三年級(jí)數(shù)學(xué)第四次月考檢測(cè)試卷（理）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積與體積分別為_【答案】， （天津市五區(qū)縣2013屆高三質(zhì)量檢查（一）數(shù)學(xué)（理）試題）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_.【答案】 （天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)2013屆高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)（理）試題）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體

8、的體積為_. 正視圖俯視圖1.51.52232222側(cè)視圖第10題圖【答案】 ; （2013年天津市濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考理科數(shù)學(xué)）右圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積大小為_.【答案】由三視圖可知,該幾何體時(shí)一個(gè)邊長(zhǎng)為2,2,1的長(zhǎng)方體挖去一個(gè)半徑為1的半球.所以長(zhǎng)方體的體積為,半球的體積為,所以該幾何體的體積為. （天津南開中學(xué)2013屆高三第四次月考數(shù)學(xué)理試卷）一個(gè)棱錐的三視圖如圖,則該棱錐的全面積(單位:cm2)為_.【答案】（2010年高考（天津理）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為_【答案】 （2012年天津理）個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:)

9、,則該幾何體的體積為_.【答案】由三視圖可該幾何體為兩個(gè)相切的球上方了一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體,所以其體積為:=.（天津市新華中學(xué)2013屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）已知一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示(單位：cm)，其中正視圖是直角梯形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體的體積是_cm3.【答案】【解析】由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)放到的四棱柱，以梯形為低，所以梯形面積為，四棱柱的高為1，所以該幾何體的體積為。（天津市十二校2013屆高三第二次模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,且其側(cè)視力間一個(gè)等邊三角形,則這個(gè)幾何體的體積為_.【答案】 （天津市薊縣二中2013屆高三第二次模擬考

10、試數(shù)學(xué)（理）試題）一空間幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為,則正視圖中的值為_.【答案】3 （天津市紅橋區(qū)2013屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（Word版含答案）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖,側(cè)視圖是全等圖形,則該幾何體的表面積為_.【答案】 （2009高考(天津理)）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,若它的體積是,則a=_【答案】 三、解答題（天津耀華中學(xué)2013屆高三年級(jí)第三次月考 理科數(shù)學(xué)試卷）在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB/CD,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC平面ABCD.(1)求證:AB平面PBC;(2)求平面ADP與平面BCP所成的

11、銳二面角的大小;(3)在棱PB上是否存在點(diǎn)M使得CM/平面PAD?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】解:(1)證明:因?yàn)?所以ABBC 因?yàn)槠矫鍼BC平面ABCD,平面PBC平面ABCD=BC,AB平面ABCD, 所以AB平面PBC. (2) 如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)镻B=PC,所以POBC.因?yàn)镻B=PC,所以POBC,因?yàn)槠矫鍼BC平面ABCD,所以PO平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn),OB所在的直線為x軸,在平面ABCD內(nèi)過O垂直于BC的直線為y軸,OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 不妨設(shè)BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得, . 所以, 設(shè)平面P

12、AD的法向量為. 因?yàn)?所以 令,則.所以. 取平面BCP的一個(gè)法向量, 所以 所以平面ADP與平面BCP所成的銳二面角的大小為 (3) 在棱PB上存在點(diǎn)M使得CM/平面PAD,此時(shí).取AB的中點(diǎn)N,連接CM,CN,MN,則MN/PA,AN=AB.因?yàn)锳B=2CD,所以AN=CD,因?yàn)锳B/CD,所以四邊形ANCD是平行四邊形,所以CN/AD. 因?yàn)镸NCN=N,PAAD=A,所以平面MNC/平面PAD. 因?yàn)镃M平面MNC,所以CM/平面PAD. （天津市河北區(qū)2013屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)（理）試題）在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,AB/CD,ABAD,PA=AB=4,A

13、D=,CD=2.(I)設(shè)平面PAB平面PCD=m,求證:CD/m;()求證:BD平面PAC;()設(shè)點(diǎn)Q為線段PB上一點(diǎn),且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為,求的值.【答案】 （2009高考(天津理)）如圖,在五面體ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD/BC/FE,ABAD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小;(II) 證明平面AMD平面CDE;(III)求二面角A-CD-E的余弦值 【答案】本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力

14、滿分12分. 方法一:()解:由題設(shè)知,BF/CE,所以CED(或其補(bǔ)角)為異面直線BF與DE所成的角設(shè)P為AD的中點(diǎn),連結(jié)EP,PC因?yàn)镕EAP,所以FAEP,同理ABPC又FA平面ABCD,所以EP平面ABCD而PC,AD都在平面ABCD內(nèi),故EPPC,EPAD由ABAD,可得PCAD設(shè)FA=a,則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,故CED=60°所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60° (II)證明:因?yàn)?(III) 由(I)可得, 方法二:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系, 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)依題意得 (I) 所以異面直線與所成的角的大小為. (II)證明: ,

15、 (III) 又由題設(shè),平面的一個(gè)法向量為 （天津市河?xùn)|區(qū)2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）(本小題滿分l )如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,DAB=DBF=60°,且FA=FC.(1)求證:AC平面BDEF;(2)求證:FC/平面EAD;(3)求二面角A-FC-B的余弦值.【答案】()證明:設(shè)與相交于點(diǎn),連結(jié). 因?yàn)?四邊形為菱形,所以, 且為中點(diǎn) 又 ,所以 因?yàn)?, 所以 平面 ()證明:因?yàn)樗倪呅闻c均為菱形, 所以/,/, 所以 平面/平面 又平面,所以/ 平面 ()解:因?yàn)樗倪呅螢榱庑?且,所以為等邊三角形. 因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,故平面. 由兩兩垂直,建立如

16、圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè).因?yàn)樗倪呅螢榱庑?則,所以, . 所以 . 所以 ,. 設(shè)平面的法向量為,則有 所以 取,得 易知平面的法向量為 由二面角是銳角,得 . 所以二面角的余弦值為 （天津市紅橋區(qū)2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理試題（word版） ）如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面PCD底面ABCD,且PC= PD=2, M,N分別為棱PC,AD的中點(diǎn).(I)求證:BCPD;(II)求異面直線BM與PN所成角的余弦值;()求點(diǎn)N到平面MBD的距離.【答案】解法一: （天津市2013屆高三第三次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上,交于點(diǎn),平面,.EA

17、FCMBO（第17題圖）()證明:;()求平面 與平面所成銳二面角的余弦值;()求點(diǎn)到平面的距離.EAFCMBO（第17題圖）【答案】解:(1).如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),垂直于、所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由已知條件得, xyzABCFMO·.由, 得, (2)由(1)知. 設(shè)平面的法向量為, 由 得, 令得, 由已知平面,所以取面的法向量為, 設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,則,平面與平面所成的銳二面角的余弦值為 (3) （天津市新華中學(xué)2013屆高三寒假?gòu)?fù)習(xí)質(zhì)量反饋數(shù)學(xué)（理）試題）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是P

18、B的中點(diǎn).()證明:面PAD面PCD;()求AC與PB所成角的余弦值;()求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值.【答案】 （天津市六校2013屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題（WORD版）如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中ACB=90°,M,N分別為A1B,B1C1的中點(diǎn),BC=AA1=2AC=2,求證:(1)求三棱柱C1-A1CB的體積;(2)求直線A1C與直線MB1所成角的余弦值;(3)求平面B1MN與平面A1CB所成銳二面角的余弦值.【答案】解: (1) -4 (2)-8 (3)-13 （天津市薊縣二中2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,

19、側(cè)面ABB1A1,ACC1A1均為正方形,點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn).()求證:平面BCC1B1;()求證:A1B/平面AC1D;()求平面AC1D與平面ACC1A1所成的銳二面角的余弦值.【答案】 又因?yàn)?為中點(diǎn),所以 因?yàn)?所以平面 ()證明:連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié) 因?yàn)闉檎叫?所以為中點(diǎn) 所以,平面與平面所成的銳二面角的余弦值 （2013年天津市濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考理科數(shù)學(xué)）如圖在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)面底面,且,設(shè)、分別為、的中點(diǎn).() 求證: /平面;() 求證:面平面; () 求二面角的正切值.FEDCBAP【答案】法一:()證明:為平行四邊形 連結(jié),為中點(diǎn), 為中

20、點(diǎn)在中/ 且平面,平面 ()證明:因?yàn)槊婷?平面面 為正方形,平面 所以平面 又,所以是等腰直角三角形, 且 即 ,且、面 面 又面 面面 () 【解】:設(shè)的中點(diǎn)為,連結(jié), 則由()知面, ,面, 是二面角的平面角 中, 故所求二面角的正切值為 法二:如圖,取的中點(diǎn), 連結(jié),. , . 側(cè)面底面, , , 而分別為的中點(diǎn), 又是正方形,故. ,. 以為原點(diǎn),直線為軸建立空間直線坐標(biāo)系, 則有,. 為的中點(diǎn), ()證明:易知平面的法向量為而, 且, /平面 ()證明:, , ,從而,又, ,而, 平面平面 () 【解】:由()知平面的法向量為. 設(shè)平面的法向量為., 由可得,令,則, 故, 即二

21、面角的余弦值為, 所以二面角的正切值為 （天津南開中學(xué)2013屆高三第四次月考數(shù)學(xué)理試卷）如圖,已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形,且ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=(1)求證:平面EAB平面ABCD(2)求二面角A-EC-D的余弦值【答案】解:(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接EO,CO AEB為等腰直角三角形 EOAB,EO=1 又AB=BC,ABC=60°,ABC是等邊三角形, ,又 EO平面ABCD,又EO平面EAB,平面EAB平面ABCD (2)以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB所在直線為y軸,OE所在直線為z軸,如圖建系則,=(0,2,0) 設(shè)平面DCE的

22、法向量為,則,即,解得: 同理求得平面EAC的一個(gè)法向量為 ,所以二面角A-EC-D的余弦值為 （天津市五區(qū)縣2013屆高三質(zhì)量檢查（一）數(shù)學(xué)（理）試題）在三棱錐S -ABC中,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面SAC平面ABC,E,F分別為AB、SB的中點(diǎn).(I)證明:ACSB;()求銳二面角F -CE B的余弦值;()求B點(diǎn)到平面CEF的距離.【答案】證明:()法一:取中點(diǎn),連結(jié),. 且 平面,又平面, FEBACSOxyz法二:取中點(diǎn),以為原點(diǎn), 分別以、為軸、軸、軸, 建立空間直角坐標(biāo)系,則, , , ()由()得 設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則 取,. 又為平面的一個(gè)法向量, 二面角的余弦值為 (

23、)由()()得,為平面的一個(gè)法向量 點(diǎn)到平面的距離 （天津市紅橋區(qū)2013屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（Word版含答案）(本小題滿分I )如圖,已知直四棱柱(側(cè)棱垂直底面的四棱柱)ABCDA1B1C1Dl中,底面為梯形,ADDC,AB/ DC,且滿足DC=DD1=2AD=2AB=2(I)求證:DB平面B1BCC1;(II)求二面角A1-BD-C1的余弦值·【答案】（天津市耀華中學(xué)2013屆高三第一次月考理科數(shù)學(xué)試題）(本小題滿分13分)在如圖所示的多面體中，EF平面AEB，AEEB，AD/EF，EF/BCBC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點(diǎn)。(1)求證：

24、AB/平面DEG；(2)求證：BDEG；(3)求二面角CDFE的正弦值。【答案】         （天津市天津一中2013屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題）如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯ABCD,ADBC,BAD=90O,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).(1)求證:PBDM;(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,PEED=,使得二面角C-AN-E的平面角為60o.存在求出值.【答案】解:(1)如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

25、A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,1,0),D(0,2,0) M(1,1),N(1,0,1), E(0,m,2-m),P(0,0,2) (2,0,-2),(1,-,1) =0 (2)=(-2,1,0)平面ADMN法向量=(x,y,z) =(0,2,0) =(1,0,1) =(1,0,-1) 設(shè)CD與平面ADMN所成角,則 (3)設(shè)平面ACN法向量=(x,y,z) =(1,-2,-1) 平面AEN的法向量=(x,y,z) =(1,-1) , 即m=PE:ED=(3-4):2不存在,為135°鈍角 （天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)2013屆高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,四

26、棱柱的底面是平行四邊形,且,為的中點(diǎn), 平面.()證明:平面平面;()若,試求異面直線與所成角的余弦值;()在()的條件下,試求二面角的余弦值.【答案】解()依題意, 所以是正三角形, 又 所以, 因?yàn)槠矫?平面,所以 因?yàn)?所以平面 因?yàn)槠矫?所以平面平面 ()取的中點(diǎn),連接、 ,連接,則 所以是異面直線與所成的角 因?yàn)? 所以 , 所以 ()()解法2:以為原點(diǎn),過且垂直于的直線為軸,所在直線為軸、所在直線為建立右手系空間直角坐標(biāo)系 設(shè)(), 則 ()設(shè)平面的一個(gè)法向量為, 則 ,取,則,從而, 同理可得平面的一個(gè)法向量為, 直接計(jì)算知,所以平面平面 ()由即 解得 , 所以異面直線與所成

27、角的余弦值 ()由()可知,平面的一個(gè)法向量為 又,設(shè)平面的法向量則得 設(shè)二面角的平面角為,且為銳角 則 所以二面角的余弦值為 （2013屆天津市高考?jí)狠S卷理科數(shù)學(xué)）如圖,在長(zhǎng)方體,中,點(diǎn)在棱AB上移動(dòng).(1)證明:; (2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)到面的距離; (3)等于何值時(shí),二面角的大小為.ABCDA1B1C1D1E【答案】解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則 ABCDA1B1C1D1E (1) (2)因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),則,從而, ,設(shè)平面的法向量為,則 也即,得,從而,所以點(diǎn)到平面的距離為 (3)設(shè)平面的法向量, 由 令, 依題意 (不合,舍去), . 時(shí),二面角的大小為

28、（2012-2013-2天津一中高三年級(jí)數(shù)學(xué)第四次月考檢測(cè)試卷（理）.在長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn).（）證明：；（）求與平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由. 【答案】（）證明：連接是長(zhǎng)方體，平面， 又平面 1分 在長(zhǎng)方形中， 2分又平面， 3分 而平面 4分（）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,5分設(shè)平面的法向量為，則 令，則 7分 8分所以 與平面所成角的正弦值為 9分（）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得平面.設(shè)的坐標(biāo)為，則 因?yàn)?平面所以 ， 即， ，解得， 12分所以 在棱上存在一點(diǎn)，使得平面,此時(shí)的長(zhǎng).13分（天津市寶坻區(qū)2013屆高三綜合模擬數(shù)學(xué)（理）試

29、題）在四棱錐中,平面,為的中點(diǎn),.()求四棱錐的體積;()若為的中點(diǎn),求證:平面平面;()求銳二面角的大小.ABCDEFP【答案】()解:在中, , 在中, 則 ()建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 , , , , 設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為 由 取,得,即 又平面PAC的一個(gè)法向量為 平面平面 ()易知平面ACD的一個(gè)法向量為 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 由 取,得, 又因?yàn)槎娼菫殇J角 二面角的大小為30° （2011年高考（天津理）如圖,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,且.()求異面直線與所成角的余弦值;()求二面角的正弦值;()設(shè)N為棱的中點(diǎn),點(diǎn)M在平面內(nèi),且平面,求線段BM的長(zhǎng).【

30、答案】【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力 【解析】方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意得 , (I)易得,于是 所以異面直線與所成角的余弦值為. (II)易知,設(shè)平面的法向量,則,即,不妨令,可得,同樣地,設(shè)平面的法向量,則,即,不妨令,可得,于是,從而, 所以二面角的正弦值為 (III)由N為棱的中點(diǎn),得,設(shè), ,由平面,得,即,解得,故,因此,所以線段BM的長(zhǎng). 方法二:(I)由于,故是異面直線與所成的角.因?yàn)槠矫?又是正方形的中心,.可得 因此,所以異面直線與所成角的余弦值為. (