江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三不等式第1講不等式的解法與三個(gè)“二次”的關(guān)系學(xué)案

1、第1講不等式的解法與三個(gè)“二次”的關(guān)系考情考向分析不等式是數(shù)學(xué)解題的重要工具，一元二次不等式是江蘇考試說明中的C 級(jí)內(nèi)容，高考會(huì)重點(diǎn)考查.主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立問題，其次考查不 等式與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用.0 熱點(diǎn)分類突破a0 時(shí)，|2，原不等式化為(x 2)xa0,所以|x2.aa丿a綜上所述，當(dāng)a= 0 時(shí)，原不等式的解集為x|x2；當(dāng)a= 1 時(shí)，原不等式的解集為x|x R 且XM2；0,當(dāng)當(dāng)當(dāng)0a2，原不等式化為(x 2) 師生講堆互動(dòng)熱點(diǎn)各個(gè)擊破當(dāng)當(dāng)a1 時(shí)，原不等式的解集為2xv或x2a20,則x2或x莓.2當(dāng) 0a2Ia當(dāng)ax2的解集是x+ 2,x 0,答案1,

2、1x 0,解析依題意得2或*2x+2xx+2x?1xW0或 0vxwi?1x1.在 R 上定義運(yùn)算O：aOb=ab+ 2a+b,則不等式xO(x 2)v0 的解集是_答案(2, 1)解析由題意得，x0( x 2) =x(x 2) + 2x+x 2,解x(x 2) + 2x+x 20,得一 2xg(x);記函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的最大值為F(a),求F(a)的表達(dá)式.解(1)由f(x) g(x)，當(dāng)a= 1 時(shí)，即解不等式x|x1| x2 1.當(dāng)x1時(shí)，不等式為x2xx2 1 ,解得xw1,所以x= 1;當(dāng)xx2 1,1 1解得2wxw1,所以xg(x)的解集為I1, 112 _(2)因?yàn)閤

3、 0,2，當(dāng)aw0時(shí)，f(x) =xax,貝yf(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以F(a) =f(2) =4 2a.32即 4v4 2a，解得-4 4 2vav 4 + 4 2,所以當(dāng) Ovav4 2 4 時(shí)，F(xiàn)(a) = 4 2a； 令f af(2)，即a 42a,解得aw 4 4 2 或a 4+ 4 2,2廠a所以當(dāng) 4 2 4wa2時(shí)，f(x)= x+ax,a當(dāng)-2,即a4時(shí)，f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則F(a) =f(2) = 2a 4.r 42a,av4 羽4,2a綜上，F(xiàn)(a) = ,4 2 4wav4,2a 4,a4.思維升華 三個(gè)“二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)

4、，一般可把a(bǔ)0 時(shí)的情形.跟蹤演練 2 (1)已知m n為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2+mx+nv0 的解集為(一 1,3)，則m+n的值為_ .答案 521 mb n= 0,解析由題意得，一 1,3 為方程x+m灶n= 0 的兩根，因此解得m= 2,93RHn=0,n= 3, mFn= 5.(2)(2018 江蘇徐州三中月考)已知函數(shù)f(x) = x2+ax+b(a,b R)的值域?yàn)?一 0, 若關(guān)于-x2+ax,Owxva,當(dāng) 0a2 時(shí)，f(x)=2xax,axw2,則f(x)在區(qū)間|O, 21 上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間a,2上是增函數(shù)，所以a當(dāng) 1w22,即 2wac 1 的

5、解集為(m-4, mF 1)，則實(shí)數(shù)c的值為_ .521答案214解析由題意得= 0,a1 2+ 4b= 0, f(x) = x 22,由f(x)c 1 有解得c1,a a _ a ._x2 1 c, 2 . 1 cx0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為 _.答案 4解析函數(shù)f(x) =x2kx+ 4 對(duì)任意的x1, 3，不等式f(x)0恒成立，24xkx+ 40,化簡(jiǎn)可得kwx+ .x/x+ 42、/xXx= 4,當(dāng)且僅當(dāng)x= 2 時(shí)取等號(hào)，kw4,實(shí)數(shù)k的最大值為 4.21已知函數(shù)f(x) = loga(xa|x| + 3)(a0,且a* 1).若對(duì)于一 1wX1X2W ?的任意實(shí)數(shù)X1,X2都有

6、f(xf(X2)0,且a* 1),2設(shè)g(x) =xax+ 3,(21c=5,216a 1,a由題意得1w2，g1 0則 2a4 或 0a0 對(duì)x (1,2)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是答案(汽 22 2解析 不等式xkx+k 10 對(duì)x (1,2)恒成立可化為(1 x)k1 x對(duì)x (1,2)恒成立，即k1 +x對(duì)x (1,2)恒成立，而函數(shù)y= 1 +x在(1,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以kw1+ 1 = 2,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(一R,2.若關(guān)于x的不等式ax2 |x| + 2a0 的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 _ .答案乎+解析 方法一 設(shè)f(x) =a|x|2 |x| + 2a,

7、原不等式ax2 |x| + 2a0恒成立，2a 0,令t=|x|,即g(t)=att+2a在0, + g)上恒 有g(shù)(t)0 ,貝 X或A W0孑a 0,1 2亦.g0 0, 方法二 當(dāng)a= 0 時(shí)，|x| 0,當(dāng)a0時(shí)，根據(jù)題意得218aw0,綜上所述，a的取值范圍是Ovav1,ra1或 2w2，解得*真題押題精練真融押總體味高考71. (2018 江蘇)函數(shù)f(x) =plog2X 1 的定義域?yàn)?_答案x|x 2解析 由 log2X 1 0,即卩 log2Xlog22，解得x2,滿足x0, 所以函數(shù)f(x) = log2x 1 的定義域?yàn)閤|x2.2 .已知函數(shù)f(x) =x2+mx-1

8、，若對(duì)于任意xm m+1，都有f(x)0 成立，則實(shí)數(shù)m的 取值范圍是_ .廠22/只m+m 10,2f m+1 ) +%m+1 10,解得 30aw33.答案(1,2)解析 作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對(duì)于任意xm m+1，都有f(x)0.則有f m0,f耐 1 0,4 .已知函數(shù)f(x)x+ 1|x| + 1,x R,則不等式f(x2 2x)0,f(x) =2!x11,xv0,作出其圖象如圖所示.答案8y1-jj f(x3 4 5 6 2x)f(3x- 4),x2-2xv0, 2x-2xv3x-4,Ovxv2,解得 1x2.1vxv4,5.(2018 江蘇省南京市金陵中學(xué)月考)已知 OWx

9、W2時(shí)，不等式一 Ktx2-2xWl恒成立,則t的取值范圍是_.答案|1,51解析當(dāng)x= 0 時(shí)，一 101 成立；2x 12x+ 1當(dāng) 0 1 :2x+ 1/1、j、因?yàn)?J+1 丿一 1 在|，+m上單調(diào)遞增ix +1)(155 _所以x2min=2+1 J- 1=；，貝UtW-；xJ 774由可得，1WtW5.9專題強(qiáng)化練3.函數(shù)y=pkx2+ 4kx +(k+ 3 的定義域是R,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 _ .A 組專題通關(guān)4已知函數(shù)f(x) =7x2 2ax+a2 1 的定義域?yàn)锳,2?A貝U a的取值范圍是 _答案(1,3)解析4- 4a+a- 10,即a2-4a+ 30,解得 1a3

10、.5 .若a0 的解集是 _ .答案(汽 5a)U( -a,+)解析 由x2- 4ax- 5a20,得(x- 5a)(x+a)0,因?yàn)閍0,所以x-a.梯度訓(xùn)練克通齋考9答案0,1解析 由題意知，kx2+ 4kx+ (k+ 3)0的解集為R.當(dāng) k = 0 時(shí)，不等式為 30,成立.2 2 . .當(dāng)k工0時(shí)，kx+ 4kx+ (k+ 3)0的解集為 R 等價(jià)于函數(shù)y=kx+ 4kx+ (k+ 3)的圖象與x軸至多有一個(gè)公共點(diǎn)，且圖象上的其他點(diǎn)總在x軸上方，k0,所以*2A= 16k- 4k(k+ 3 尸 0,解得 0k 1.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0,1.1024如果關(guān)于x的不等式 5xawo

11、的正整數(shù)解是 1,2,3,4 ，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _答案 80,125)而正整數(shù)解是 1,2,3,4 , 則 4W#| 5,. 800,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _ 答案(汽 5)解析 令f(x) = 2x2-ax+ 2,若存在實(shí)數(shù)x 1,2滿足 2x2-ax+ 20,則f(1) 0 或f(2)0，即 4a0 或 10- 2a0,即卩a 4 或a 5,故a 5,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一汽 5) 廠2cx,x0,6.已知函數(shù)f(x) = i2_則不等式f(f(x)W3的解集為|x+ 2x,x0或xv，?f(x) 3?x0,2x- 3221,.,7關(guān)于x的不等式x-4ax+4a+a+aW0對(duì)任意

12、xR都不成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案 (1,+a)1解析 由題意，不等式x2-4ax+ 4a2+a+wo的解集為?,a- 18則x2-4ax+ 4a2+a+0 對(duì)任意x R 恒成立,a 19=16a 4解析?xw3.2由 5x-aw0,114a2+a+十0 恒成立，4a 10，即卩a1.28._已知對(duì)于任意的x (-a,1)U(5,+a)，都有x-2(a-2)x+a0,則實(shí)數(shù)a的取值 范圍是_ 1即a+a0,2a-a+1a- 10.12答案(1,5解析 令f(x) =x2 2(a-2)x+a,則當(dāng)= 4(a 2)2-4a0，即 1a0 在 R 上恒成立，符合題意；當(dāng)0,即awl或a4時(shí)，函

13、數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都在1,5上，aw1 或a4,1wa2w5,f1 = 1 2a 2 +a0,解得 4waw5.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,5.29.已知集合A= x|(x 6)(x 2a 5) 0，集合B= x|(a+ 2) x (2ax)v0.(1)若a= 5,求集合AHB;1已知a2，且“xA”是“xB的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)由集合A中的不等式(x 6)(x 15) 0,解得xv6 或x 15 ,即A=(汽 6)U(15,+),集合B中的不等式為(27 x) (10 x)v0,即(x 27)(x 10)v0，解得 10vxv27,即B=(10,27), AHB=

14、 (15,27).1當(dāng)a時(shí)，2a+ 56,A=(a,6)U(2a+5,+),2 2a+ 22a,.B=(2a,a+ 2), xA是“xB的必要不充分條件，B? A,a2+ 2w6,. vaw2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 0(a R).解x (3a+ 1)x+ 3a0(a R)等價(jià)于(x 3a)(x 1) 0(a R).1(1)當(dāng)av3 時(shí)，3av1, xv3a或x 1 ；3t1丄當(dāng)a=3 時(shí)，3a= 1, x豐1;131當(dāng)a3 時(shí)，3a 1, xv1 或x3a；綜上，原不等式的解集114(1)當(dāng)av3 時(shí)為(3 3a)U(1,+s)；1當(dāng)a=3 時(shí)為(一a,1)U(1,+s)；(3)當(dāng)a時(shí)為(g,

15、 1)U(3a,+a).3B 組能力提高11.對(duì)任意x 1,1，函數(shù)f(x) =x+ (a 4)x+ 4 2a的值恒大于零，則為_.答案(汽 1)2解析 函數(shù)f(x) =x+ (a 4)x+ 42a的對(duì)稱軸為a的取值范圍x=a 421當(dāng)4一一a6 時(shí)，f(x)在 1,1 上單調(diào)遞增,f(x)的值恒大于零等價(jià)于f( 1) = 1 + (a 4)x( 1) + 4 2a0,解得a3,故有a ?；4 a2當(dāng)一 K 1,即卩 20,2即a0,即a1，故有a0 且a 1)在1, I 上恒為正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案2,8U|,+g21；3211解析 設(shè)g(x) =axx+ 2xef1,2，需滿足g

16、(x) =axx+20, 即卩a=1人貝y hz(x)=1 1,12,設(shè)h(x) x h( x)w0,h(x)在 |1,故其圖象的對(duì)稱軸為直線x= 215 f- x 27max 2，121從而a,可得函數(shù)g(x) =axx+ 的對(duì)稱軸為1x=2a1 時(shí)，函數(shù)f(x)在 1, 2 上單調(diào)遞增，f(1) = logaa 1 +10?a|,當(dāng) 2af(x)的解集用區(qū)間表示為 答案(豐一2)U(2, +解析 函數(shù)f(x)的圖象如圖，可知圖象關(guān)于直線x= 2 對(duì)稱.因?yàn)閤+ 2 0 且f(x+ 2) f(x)，則必有2 2X+24,X+24,ix0,或 $xv0,x+2x(x+2+x4,已知函數(shù)f(x)

17、在區(qū)間1,1上存在零點(diǎn)，且 owb 2a0,h() 0,a當(dāng)一 2 1, 即卩aw2 時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)減,2上ag(a) =f(1) = +a+ 2；當(dāng)一 1wa 1，即2aw2時(shí)，g(a) =f卜 2 j= 1；a當(dāng)一 22 時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)增,2rag(a)=f( 1) = 4 a+ 2.2.aI 4+a+2,aW2,綜上，g(a) =1, 22.設(shè)s,t為方程f(x) = 0 的解，且一 1wtw1 ,s+1=a,則Lt=b.因?yàn)?Owb 2aw1,所以+wsw巳(1wtw1) 當(dāng) Owtwi時(shí)，黑wstw常,設(shè)g(t) =+，則g()=2-+其，當(dāng)t 0,1時(shí)，g()w0,設(shè)h(t) = 今，則2h() =2tt8t2+2(t+2)當(dāng)t 0 ,.5 2)時(shí),2 2t2所以3wr+2w0h(t) 0,當(dāng)t(5 2,1時(shí)，h(t) 0.21t 2t一w w9 4,5,所以-3wbw94,5.當(dāng)一 1wt 0 時(shí)，需wst2tw一,t+2,故其圖象的對(duì)稱軸為直線x= 217所以一 3bv0.故b的取值范圍是3,9 4 5.熱點(diǎn)一不等式解法一 一 1 例 1 (1)(2018 江蘇興化一中模擬)已知定義在區(qū)間2,2上的函數(shù)f(x)滿