新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例(一)-5

1、新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例(一)-一再談基本不等式 ：a2 cb2 a b ab 2ab的創(chuàng)新表示法 ,22a b石河子第一中學(xué)朱友忠案例：基本不等式色二至一 jab咨的創(chuàng)新表示法2-2 、 ab題目：在。O上半圓中已知 AC=a,CB=b,( a>北師版必修5【不等式習(xí)題課】§ 3 4 P95 B組第1題略有改動(dòng)CE,OE,CD,DF的長(zhǎng)度，指出它們之間的大小關(guān)b),CD±AB,EO±AB,連接OD,彳CF± OD如圖所示：請(qǐng)用 a,b分別表示線段 系，并證明；一、歸納課本中的表示法O C B解：AC=a,CB=b, . OC= a_b CG

2、=OE= a-b2 '22在 RtAEOC 中，有 CE2=OC 2+OE 2=( a-b )2+( ayb) 2= a-2OE=OD= ab (同圓的半徑相等)，CD=痂b2在 RtAODC 中，有 CD2=df OD;.DF= CD2 = ( ab)2 = 2abOD整理：CE=.c22a-yb-, OE=a2b, CD= vab, DF=a b22ab a bCE> OE> CD> DF成立;通過圖中的Rr的斜邊與直角邊的關(guān)系，顯然可以得出:疝篝，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取成立。主要是建立集合圖形證明。與華b”的證明。北師版選修 2-2(P12習(xí)題1-2中第1題中)再

3、次出現(xiàn)“ 二、創(chuàng)新課本中的表示法上課時(shí)提問：“小”在全面所學(xué)的知識(shí)中與那個(gè)式子類同？ 2學(xué)生甲說：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列中，與等差中項(xiàng)的公式類同；學(xué)生乙說：在學(xué)習(xí)求 A B兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式類同；學(xué)生丙說：在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí) ，當(dāng)某個(gè)函數(shù)的圖象滿足 f(x+a尸f(b-x)時(shí)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸 乂。=號(hào)的表達(dá)式類同；學(xué)生丁說：在初中學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，與梯形的中位線式子類同。通過幾分鐘的提問與啟發(fā)，老師與學(xué)生，學(xué)生與學(xué)生之間進(jìn)行了互動(dòng)和回憶；同學(xué)們竟然能回想起這么多的類同，說明“a b”這個(gè)式子在數(shù)學(xué)知識(shí)里也是非常重要的一個(gè)表達(dá)式；而且在大學(xué)的數(shù)學(xué)課本中還有與上述類同式子的應(yīng)用。2同學(xué)們，今天我們就學(xué)生丁

4、同學(xué)所說，利用梯形中四條線段的長(zhǎng)度來表示：“商:五”“包冷” “癡” “竺”是22a b成立的；則它們分別代表哪四條線段呢？設(shè)梯形的下底 AB= b,上底CD= a,如圖(1),于是就有：(1) .梯形的“中位線" EF=a2b，顯然成立；證明很簡(jiǎn)單略在初中的平面幾何中已經(jīng)證明。(2) .在梯形中，作 GH/ AB與兩腰相交于 G H;如圖(2),ABHGf梯形GHCDf似，則DC GH,即GH=J茄顯然成立；稱 GH為“相似線”圖GH AB(3) .在梯形中，過梯形兩對(duì)角線的交點(diǎn)O作PQ/ AB與兩腰相交于P、Q;如圖(3),設(shè) PO=x,OQ=y,DO=m,OB=nf 是有 DP

5、O DAB,貝UPO DO,即 I 3, =3AB DB b m n m n BOQ ABDm OQ BO 即衛(wèi)-y= a-DC BD， a m n， y m n由,可得,PQ=x+y= ab +1a- = mb na 即 PQ=mb nam n m n m nm n在梯形中， OD。AOBA有DC DO即a m AB OB 1 b n將代入中消去 m得：PQ=2ah ,稱PQ為“調(diào)和線” na b（4）.在梯形中，作 MN/ AB與兩腰相交于 M N;如圖（4）,使得梯形ABNMf梯形MNCD勺面積相等，設(shè) MN=x,則有（a x）hl 2(x b)h252h- x-b. ，在梯形中， CK

6、N NSB,< 色 KN h2axh2 SB,即 h-x ah2bx由，可得hix b x ah2a x b x,即 MN=x=：a b ；稱 mn “面積線”歸納上述梯形的四條線段如圖（5）可知，顯然有：MN> EF> Gh> PQb圖QH N22即：Jaa_b <ab 2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取"=”成立。22a b此時(shí)的梯形就成為一個(gè)平行四邊形。、構(gòu)建函數(shù)單調(diào)性表示法例如:函數(shù)f(x)=x 1 x 1a x bx ,可以證明該函在實(shí)數(shù) R上是增加的; ax bx于是就有:b2f(1Y b，f(0)=a_b , f(- - )= Jab , f(-1

7、)=222abf(1) >f(0)>f(- 2)>f(-1)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取"="成立。其實(shí),a2fab篝的證明方法有很多,譬如：代數(shù)證法（比較法，綜合法，分析法）眾所周知，就不必說明了；北師版必修5課本上的幾何證法還有好多，閱讀資料中，談到2002年在北京召開的24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，會(huì)標(biāo)圖案中就蘊(yùn)含著得的存在，值得參考與借鑒。實(shí)在是太完美了，真是令人叫絕；在此我斷定此不等式的表示方法僅次于勾股定理的證明方法；這個(gè)基本不等式也可以說是一只生金蛋雞，如何構(gòu)造幾何圖形、如何構(gòu)造函數(shù)，都有待于同仁們繼續(xù)研究，發(fā)

8、現(xiàn)其 它的一些表示方法，挑戰(zhàn)這樣的工作可以啟發(fā)人的思維能力，有著非常重要的意義。新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例（二）對(duì)誘導(dǎo)公式中“a石河子第一中學(xué)?！钡睦斫馀c應(yīng)用朱友忠案例：“a -九”的理解北師版必修 4» P16 公式，那么怎樣理解這個(gè)角“a§431三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的新授課】誘導(dǎo)公式這節(jié)內(nèi)容中出現(xiàn)了角“a-?！蹦?？?！钡恼T導(dǎo)剛開始我接觸角“a -?！笨傆行﹦e扭，是因?yàn)樵谂f教材中用習(xí)慣了形如角"” kCZ的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，在前面的舊教材中出現(xiàn)過，也沒有直接把它納入公式的范籌中；在新教材中解題時(shí)，常碰到形如:sin( cos( tan(-兀)=sin-(-兀)=

9、cos-(-兀)=tan-(717t7t)二-sin( )=cos( )=-tan(兀-a )=-Sin a ；兀-a 尸-COS a兀-a )=tan a等等都象上述那樣至少要通過兩次誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化而得到；我就在想，既然北師版必修 入到公式的范疇中，說明它是可以直接到位的。4»教材中直接把它納在備課時(shí), 中分別作出角a、 角a +兀與角a 借助單位圓，如圖所示我就仔細(xì)研究起來，在單位圓角a +兀、角a -兀通過觀察它們之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兀的終邊相同，即（這兩個(gè)角的三角函數(shù)值是相等的。sin( a ± 兀)=-sin a ; cos(把角a看作“銳角”，則角a+ +ti ）

10、-（ a - Tt ）=2兀；這就說明即誘導(dǎo)公式如下：a ± 兀 尸-cos a ; tan（ a ± 兀 尸tan+兀與角a - Tt的終邊都落在第二象限；還可以理解：角a2加上2兀也就得至U角+ +兀（或加上2kTt,kCZ）的結(jié)果了。真是大快人心的事情。冗”的應(yīng)用角a -兀加上2兀(或加上2kTt,kCZ)的應(yīng)用(對(duì)正弦、余弦等三角函數(shù)的化簡(jiǎn)或求值比較快) 如北師版必修 4» P17 例2 求下列各角的三角函數(shù)值中的兩道題是：第(1)題：sin(-7_)=sin(-7_ +2% )=sin =-22.(而課本上的解答用了4 步)；4442第(3)題：cos(

11、-36_ )=cos(- 36_ +6 %尸cos 5 =-苧(而課本上的解答用了4步);P19 例 3第(2)題：sin(- 55-)加上10兀即可化簡(jiǎn)；(而課本上的解答用了5步)；6練習(xí)：判斷下列各式函數(shù)值的符號(hào)，P20 A組中的第2題備選的題如:sin(- )加上4兀即可化簡(jiǎn)；cos(- 竺)加上6兀即可化簡(jiǎn)；cos(- 59-)加上4兀即可化簡(jiǎn); 5417P20 練習(xí)2中的第(3)題：已知sin(兀+ “)=；,求sin(-3兀+ a )的值;3只要在所求的式子的角度中加上4兀即可求得結(jié)果。P20 練習(xí) 2 中的第(4)題：化簡(jiǎn) 1+sin( “ -2 兀)sin( “ + 兀)-2c

12、os2( + “);在sin( ”-2兀)的角度中加上2兀即可化簡(jiǎn)。P20 - A組題中的第8題化簡(jiǎn)(2)小題：sin( )sin(3 ) sin( )sin( 2 ) _ sin( )sin(3sin(4 )sin(5 )sin(42 ) sin( 2 )sin( 22 )4 )sin(54"")二 sin( )sin( ) sin( )sin()-sin( )sin( )角a -兀加上兀(或加上 k Tt ,k Z)的應(yīng)用(對(duì)正切、余切等三角函數(shù)的化簡(jiǎn)或求值比較快)P39練習(xí)中第4題不求值比較兩個(gè)正切函數(shù)值的大?。?1) tan138 0 與 tan1430解：前、后兩

13、個(gè)式子分別減去1800都可以起到簡(jiǎn)化的作用；(2) tan(- 13-)與 tan(-4解：前面的式子加上 4兀、曾)后面的式子加上 3兀就可以起到簡(jiǎn)化的作用;P40 A組第10題求值:tan2( 37-) 2tan(643-)只要在前面的式子加上 6兀、后面的式子加上 7兀就可以起到簡(jiǎn)化6的作用；練習(xí)：求下列各式函數(shù)值 tan2400減去 1800P40A組備選題 tan(-15740)0加上9 180 tan6750+tan7650+tan( -690 °)+tan1080 °小結(jié)：通過上述的實(shí)例對(duì)教材的研究和書本上的練習(xí)題的證實(shí)，很快化到最簡(jiǎn)，的確起到事半功倍之效；也

14、就是說，對(duì)k兀(k C Z)；上述于絕對(duì)值較大角的正、余弦函數(shù)值一般加上2kTt(kCZ)；對(duì)于絕對(duì)值較大角的正、余切函數(shù)值一般加上事實(shí)只是我個(gè)人的看法，如果同仁們還有更好的見解也能展示出來與大家共同分享，是一件非常好得事，我也感到非常欣 慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，才能真正落實(shí)三維目標(biāo)在授課中得到體現(xiàn)。新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例(三)對(duì)一道例題的分析理解與拓展石河子第一中學(xué)朱友忠案例：一道例題的分析理解與拓展北師版必修 4P117§321二倍角的三角函數(shù)新授課】教材中的例4題目：要把半徑為 R的半圓形的木料截成長(zhǎng)方形如圖(1)所示，應(yīng)怎樣截取， 才能使長(zhǎng)方形面積

15、最大？分析：要求最值一必需建立函數(shù)必需先確定自變量；問題：面積的變化是由哪個(gè)長(zhǎng)度發(fā)生變化而變化的呢？方案一、因?yàn)?A點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，說明 OA的長(zhǎng)度也在發(fā)生變化，此時(shí)可設(shè) OA=x,連接 OB=R,則 AB= Jr2 x2 ,所以面積 S=2xRR2 x2 (0<x<R)解得：S=2x . R2 x2 =2 x2(R2 x2) =2J （x2乎與（也可以用均值定理解決）當(dāng)x2= R ,即x=等時(shí)，所以面積Smax=R2;方案二、因?yàn)?B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，說明/ BOA的大小在發(fā)生變化而變化.，此時(shí)可設(shè)/ BOA=a, OB=R,貝U AB=Rsin a ,OA=Rcos a，所以面積 S=2OA

16、 AB=2 Rcos a - Rsin a =R2sin2 a當(dāng) sin2 a =1,即 a =450 時(shí),所以面積 Smax=R2;小結(jié)反思：1、代數(shù)法：以線段長(zhǎng)為自變量，建立函數(shù)關(guān)系式，用代數(shù)方法求函數(shù)最值。2、三角法：選擇角度為自變量，建立函數(shù)關(guān)系式，用三角知識(shí)求函數(shù)最值；拓展一、北師版必修 4» P127 B組第5題、題目：把一段半徑為 木料，試問怎樣鋸法才能使截面的面積最大？（適用于與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題）R的圓木如圖（2）所示，鋸成橫截面為矩形的分析一、代數(shù)法分析二、三角法分析三、幾何法設(shè) AB=x, xC(0,2R),則 BC=gR2 x2 ;設(shè)/ CAB= a , a C

17、(0,90 °),則 AB=2Rcosa ,BC=2Rsin 作DEI AC,貝U S=AC DE=2R DE;要使DE最大，即AB=BC時(shí)，面積Smax=2R2拓展二、一段半徑為R,圓心角為900的扇形木料如圖（ 的面積最大？若按如圖（4）的鋸法：3）所示，鋸成橫截面為矩形的木料，試問怎樣據(jù)法才能使截面方法方法方法1、2、3、代數(shù)法:三角法:幾何法:略略圖（3）利用對(duì)稱性還原成圓木料。求得CDA B圉(4)D F .CO A圖(5)Smax= R2若按如圖(5)的鋸法：設(shè)/ AOB=a,a 6 (0,45 0)采用三角法解：設(shè)/ AO屋 a ,a C (0,45 0),則 BE=R

18、sin(450- OF=BE=AF，所以 AB=FE=OE - OF=Rcos( 450- a )-sin(45 面積 S=2BE - AB=2Rsin(45 0- a ) cos(450- a )-sin(45 0- a),OE= Rcos(450- a),由圖(5)可知,-a)=R2sin(90 0-2 a )-1+cos(900-2 a)=R2 <2 sin(2 a +450)-1當(dāng)“二時(shí)，面積 Smax=(V2-1)R28比較如圖(4)的鋸法與如圖(5)的鋸法，顯然2R2>( 12-1) R2所以要采用如圖（4）的鋸法面積最大。拓展三、 的面積最大?段半徑為R,圓心角為12

19、00的扇形木料如圖（6）所示，鋸成橫截面為矩形的木料，試問怎樣鋸法才能使截面C若按如圖（7）的據(jù)法:方法1、代數(shù)法:方法2、三角法:方法3、幾何法:略略利用幾何特性還原成圓木料。求得C1200圖 s6a x= 2 rA2 圖(7)O A圖(8)若按如圖(8)的鋸法：設(shè)/ AOB=a,a 6 (0,60 0)采用三角法解：設(shè)/ AO屋 a ,a C (0,60 0),則 BE=Rsin(60 0- & ),OE= Rcos(60& ），由圖（8）可知,OF=冬 FA=今 BE= § Rsin(60 0- & ),所以AB=FE=OE -OF=Rcos(600-

20、a )- §sin(600- a )面積= 2_R_33 i 2= "RsinCOS(600- a )- 2sin(60 0- a )3S=2BE , AB=473 Rsin(60 - a )sin a = 23 R2、,'3 cos a sin a -sin 2 a 33=. R2近 sin2 a - 1 cos2 =. 3223當(dāng) 2 a+300=900 時(shí)，即 a =300,面積 Smax=比較如圖（7）的鋸法與如圖（8）的鋸法,R2sin(2 a +300)- -1"23顯然R2> 1 R2 32所以要采用如圖（8）的據(jù)法面積最大。由上述推理

21、計(jì)算過程，讓我大膽猜測(cè)對(duì)半徑R的扇形圖，當(dāng)扇形角在（001800的范圍內(nèi)，兩種截得的矩形面積下列圖表成立:兩種裁剪方法對(duì)照表:第一種裁剪法最大面積Si比較Si與S2的大小最大面積S2第二種裁剪法Si =Si>S2S2=Si =Si>S2S2=ovJ08尸質(zhì)R2 6Si>S282=(2- J3 )R2HDaSi=1R2 2Si>S2S2=( V2- i) R2Si=2r2Si>S2S2=某個(gè)角a £ (001800Si = ：R2Si=S2S24 R2某個(gè)角a e(00i800Si=-2r2Si<S2S2=20,Si=2R2Si<S2S2=9r

22、2 30工500Si = *R2Si<S2S2=w %1Si=2R2Si<S2S2=81 =界Si=S2S2=R2 2d拓展四、將如圖(3)的木料鋸成如圖(9)的形狀，怎樣鋸才能使圖(9)四邊形OABC的面積最大？解：設(shè)/ AOB= a , a (00, 90°),則 BD=Rsin a ,BE=Rcosa ,所以 Soabc = Soab +8A ocb= 1 R , Rsin a +1 R , Rcos a=2 度(sin a+cos a 尸字 R2sin( a +450)當(dāng)a +450=900,即a =450時(shí)，Soabc有最大值為 § R2通過教材中的一

23、道例題的理解與拓展，對(duì)三角知識(shí)加深了理解和應(yīng)用，正是新課標(biāo)的要求，使學(xué)生掌握基本知識(shí)與技 能，體會(huì)學(xué)習(xí)的過程，同時(shí)領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，不僅增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，而且樹立了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了良好 的情感態(tài)度和價(jià)值觀。新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例(四) -幾種特殊的抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)探究石河子第一中學(xué)朱友忠案例：幾種特殊的抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的求法由于新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)導(dǎo)數(shù)這一章內(nèi)容概念的理解加大了力度，在一些課外參考書中也很少提到抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的 導(dǎo)數(shù)的求法；本文主要通過導(dǎo)數(shù)的定義研究抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的求法；進(jìn)一步幫助同學(xué)們加深理解導(dǎo)數(shù)定義。下面 以4種常見類型的抽象函數(shù)為例：一、

24、形如 f( x+y) =f( x) +f( y)類型例1、已知函數(shù)y=f(x)在定義域D內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，滿足 f(x+y)=f(x)+f(y),且f (0) =2，求當(dāng)x=a時(shí)，f'(a)的導(dǎo)數(shù).解：令 x=0 代入 f(x+y) =f(x)+f( y)中，得 f( 0)= 0由導(dǎo)數(shù)的定義，f (a)= lim f(a X) f(a)= lim f f(x)f(a)=lim 3 = lim f(0x) 0x 0xx 0xx 0 x x 0x= limf(0x) f(0)=f(0)=2x 0x所以，f'(a)=f(0)=2練習(xí)：已知函數(shù)y=f(x)在定義域D內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，滿足f(x

25、+y) =f(x)+f( y)+2xy,且f( 0)=0，求當(dāng)x=e時(shí)，f'(e)的導(dǎo)數(shù).(答: 2e)二、形如 f(x+y)=f(x) f(y)類型例2、已知函數(shù)y=f(x)在定義域D內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，滿足 f(x+y)=f(x) f(y),且f (0)=1,f( 1)=e,求當(dāng)x=2時(shí)，f(2)的導(dǎo)數(shù).解：令 x=0，代入 f(x+y)=f(x) f(y)中，得 f(0)=1;再令 x=y=1 代入 f(x+y)=f(x) f(y)中，得 f(2)=e2由導(dǎo)數(shù)的定義，f (2)= lixm0f(2 x f(2) = lim/(2)f(x)f(2) =f(2)四山”=.f(0 x) f(

26、0)=f(2) limof(0一x) f (0) = f(2) f(0)=e2X 0x所以，f'(2)= e2練習(xí)：已知函數(shù)y=f(x)在定義域D內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，滿足 f(x+y)=f(x) f(y)-xy,且f(x) >0, f( 1)=2f('0)=1，求當(dāng)x=2時(shí)，f(2)的導(dǎo)數(shù).(答:4)三、形如 f(x y) =f(x)+f(y)類型例3、已知函數(shù)y=f(x)在定義域D內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，滿足 f(x y) =f(x)+f(y),且f (1)=1，求當(dāng)x=2時(shí)，f'(2)的導(dǎo)數(shù).解：令 x=y=1 代入 f(x y) =f(x)+f(y)中,得 f( 1)= 0f(2)= lim。f(2x)