《管理統(tǒng)計學》馬慶國著-部分2參數(shù)假設檢驗

1、第五章第五章 參數(shù)假設檢驗參數(shù)假設檢驗什么是什么是“假設檢驗假設檢驗” 處理處理“可信度可信度”的基本概念的基本概念 判斷樣本統(tǒng)計量值與總體判斷樣本統(tǒng)計量值與總體(參數(shù)參數(shù))假設值之間是否存在可假設值之間是否存在可以觀察到的差值，以及這種差值在統(tǒng)計上是否明顯以觀察到的差值，以及這種差值在統(tǒng)計上是否明顯. 可以觀察到的差值可以觀察到的差值 由于隨機原因由于隨機原因 存在實質(zhì)性的差別存在實質(zhì)性的差別 5.1 假設檢驗的概念假設檢驗的概念 假設檢驗可分為：參數(shù)假設檢驗和非參數(shù)假設檢驗。假設檢驗可分為：參數(shù)假設檢驗和非參數(shù)假設檢驗。1、參數(shù)假設檢驗：、參數(shù)假設檢驗： 已知總體分布，猜出總體的某個參數(shù)（

2、假設已知總體分布，猜出總體的某個參數(shù)（假設H0），用一組），用一組樣本來檢驗這個假設是否正確（是接受還是拒絕樣本來檢驗這個假設是否正確（是接受還是拒絕H0 ）。）。2、非參數(shù)假設檢驗：、非參數(shù)假設檢驗： 猜出總體分布（假設猜出總體分布（假設H0），用一組樣本來檢驗這個假設是），用一組樣本來檢驗這個假設是否正確（是接受還是拒絕否正確（是接受還是拒絕H0 ）。）。 在檢驗中，我們通常設法保證在檢驗中，我們通常設法保證“棄真棄真”（以真為假）的錯（以真為假）的錯誤的概率誤的概率 很小，也就是概率很小，也就是概率 P拒絕拒絕H0 | H0為真為真很小。這是很小。這是我們在假設檢驗時，分析問題的主線。我

3、們在假設檢驗時，分析問題的主線。原假設原假設 (H0) 對被研究的總體參數(shù)做試探性的假設對被研究的總體參數(shù)做試探性的假設 備擇假設備擇假設 (HA) 原假設原假設(H0)的對立面的對立面 H0 和和 HA 是兩個對抗性陳述是兩個對抗性陳述 - 被觀察的樣本數(shù)據(jù)只能支被觀察的樣本數(shù)據(jù)只能支持其中一個陳述持其中一個陳述 . 000 :. : AHvsH雙尾雙尾 000 :. : AHvsH左側(cè)尾部左側(cè)尾部 000 :. : AHvsH右側(cè)右側(cè)尾部尾部 一個電燈泡生產(chǎn)商想生產(chǎn)平均壽命為一個電燈泡生產(chǎn)商想生產(chǎn)平均壽命為1,000小時的燈泡，如小時的燈泡，如果燈泡壽命太短，他就會失去客戶；如果燈泡壽命太

4、長，生果燈泡壽命太短，他就會失去客戶；如果燈泡壽命太長，生產(chǎn)成本則會上升。為此，他從燈泡中抽取了一個樣本來觀察產(chǎn)成本則會上升。為此，他從燈泡中抽取了一個樣本來觀察其平均壽命是否可以達到其平均壽命是否可以達到1,000小時。請構(gòu)造小時。請構(gòu)造H0 和和 HA。 H0 : = 1,000HA : 1,000一名銷售經(jīng)理要求其銷售人員將每天的交通費用控制在一名銷售經(jīng)理要求其銷售人員將每天的交通費用控制在100元之內(nèi)，為此，他從日常交通費用中抽取了一個樣本來檢查元之內(nèi)，為此，他從日常交通費用中抽取了一個樣本來檢查是否將有關(guān)費用控制在規(guī)定的范圍內(nèi)。請構(gòu)造原假設和備擇是否將有關(guān)費用控制在規(guī)定的范圍內(nèi)。請構(gòu)

5、造原假設和備擇假設。假設。 H0 : 100HA : 100 統(tǒng)計意義上的“對”與“不對”，就有可能犯錯誤。 當我們認為參數(shù)的某個假設 H0 正確時（接受假設H0時）, 有可能假設 H0 本身是錯誤的，而我們把它當作正確的，稱犯了第二類錯誤（“存?zhèn)巍钡腻e誤），我們應當保證犯這種錯誤的概率很小，也就是概率=P接受接受H0 | H0為假為假很小。很小。反之，當我們拒絕假設H0 時，也可能犯“以真為假”的錯誤（“棄真”的錯誤）,稱為犯第一類錯誤。當然，我們也希望所犯的“以真為假”錯誤的概率很小，也就是 =P拒絕拒絕H0 | H0為真為真很小。很小。 實實際際情情況況 H0 為為真真 H0 為為假假

6、結(jié)結(jié)論論 接接受受 H0 第第 II 類類錯錯誤誤 拒拒絕絕 H0 第第 I 類類錯錯誤誤 =第第I類錯誤的概率類錯誤的概率 = Pr拒絕拒絕 H0 | H0 為真為真 顯著水平顯著水平 =第第II類錯誤的概率類錯誤的概率 = Pr接受接受 H0 | H0 為假為假 與與 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 與與 之間具有反向關(guān)系之間具有反向關(guān)系 當進行假設檢驗時，必須預先確定當進行假設檢驗時，必須預先確定 與與 哪個更重要哪個更重要 為了防止錯誤拒絕為了防止錯誤拒絕 H0 盡量減少拒絕盡量減少拒絕H0 的機率的機率 降低降低 ，提高，提高 為了防止錯誤接受為了防止錯誤接受H0 盡量減少接受盡量減少接受H0

7、 的機率的機率 提高提高 ，降低，降低 測試一座橋梁是否可以安全地承受測試一座橋梁是否可以安全地承受至少至少50噸的運輸量噸的運輸量 a)你是想犯第你是想犯第I 類錯誤還是第類錯誤還是第II類錯誤？類錯誤？ b)你是采用較低的顯著水平還是較高的顯著水平？你是采用較低的顯著水平還是較高的顯著水平？ H0 : 50而而HA : 顯著水平顯著水平 ( )接受接受 H0p值值 100n = 36, = 3, 而且而且 = 101, 利用利用Z分布分布X5 . 0363 X 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 25 . 01001010 XXZ 臨界區(qū)域臨界區(qū)域99 %的面積的面積 = 0.01CV = 2.325Z

8、TS = 2.0右側(cè)尾部檢驗右側(cè)尾部檢驗 , = 0.01臨界值臨界值 = 2.325325. 201. 0 ZZ 檢驗統(tǒng)計量落在臨界區(qū)域之外檢驗統(tǒng)計量落在臨界區(qū)域之外 接受接受 H0數(shù)據(jù)顯示：當顯著水平數(shù)據(jù)顯示：當顯著水平 = 0.01時，每包藥品的劑量不大時，每包藥品的劑量不大 例：已知生產(chǎn)線上生產(chǎn)出來的零件直徑服從正態(tài)分布，已知方差為0.09(毫米2) , 現(xiàn)有假設 H0 ： =10(毫米毫米). 這個假設可以是生產(chǎn)標準的要求. 現(xiàn)有一組樣本觀測值: 10.01, 10.02, 10.02, 9.99 (在實際問題樣本容量大些更好). 請判斷這批零件的平均直徑 =10(毫米毫米)是否正確

9、是否正確.解解: 首先設首先設: 原假設原假設H0 ： =10(毫米毫米) 備擇假設備擇假設H1 ：10(毫米毫米) 其次其次: 構(gòu)造一個構(gòu)造一個統(tǒng)計量, 要滿足: a. 其分布和參數(shù)已知; b . 在已知條件下, 能算出這個 統(tǒng)計量. 構(gòu)造構(gòu)造統(tǒng)計量為:)1 ,0( NnXZ設原假設H0成立, 如果原假設H0是正確的, 我們希望拒絕H0(犯錯誤)的概率很小, 也就是 P( |Z| k ) = 很小. 稱為顯著性水平./2/2-kk算得該 z =0.067, （取=0.05 ）小于 k= z 0.025=1.96, 所以不應當拒絕假設H0 ： =10(毫米毫米). 未知未知 大樣本大樣本 無論

10、無論X服從什么分布，當樣本容量服從什么分布，當樣本容量 n 30時，可以用樣時，可以用樣本標準差本標準差s來估計未知標準差來估計未知標準差 nssXX XX 近似服從以下參數(shù)的正態(tài)分布近似服從以下參數(shù)的正態(tài)分布)1 , 0( NsXZX 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 一家大型電子商店的信貸經(jīng)理說，該商店賒購帳戶上的平均余額一家大型電子商店的信貸經(jīng)理說，該商店賒購帳戶上的平均余額為為575元。一名審計人員隨機抽取了元。一名審計人員隨機抽取了33名顧客作為一個樣本，結(jié)果名顧客作為一個樣本，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賒購帳戶上的平均余額為發(fā)現(xiàn)賒購帳戶上的平均余額為518.5元、標準差為元、標準差為181元。如果信元。如果信貸

11、經(jīng)理的陳述得不到數(shù)據(jù)支持，審計人員將檢查所有的賒購帳戶。貸經(jīng)理的陳述得不到數(shù)據(jù)支持，審計人員將檢查所有的賒購帳戶。請問當請問當 = 0.05時，審計人員應當采取什么行動？時，審計人員應當采取什么行動？ H0 : = $575 而而 HA : $575n = 33, = 518.5, s = 181, 而且而且 利用利用 Z分布分布X51.3133181 Xs /2 = 0.025Z95%的面積的面積 /2 = 0.025CV = 1.96CV = 1.96TS = 1.79檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 79. 15 .315755 .5180 XsXZ 雙尾檢驗雙尾檢驗 , = 0.05臨界臨界 值值

12、= 1.9696. 1025. 02 ZZ 檢驗統(tǒng)計量落在臨界區(qū)域之外檢驗統(tǒng)計量落在臨界區(qū)域之外 接受接受 H0當當 = 0.05時，數(shù)據(jù)看來支持信貸經(jīng)理的陳述時，數(shù)據(jù)看來支持信貸經(jīng)理的陳述 審計人員無審計人員無需審查所有的賒購帳戶需審查所有的賒購帳戶 。未知未知 小樣本小樣本 X的分布是正態(tài)分布或接近正態(tài)分布的分布是正態(tài)分布或接近正態(tài)分布 當樣本容量當樣本容量 n 30時，可以用樣本標準差時，可以用樣本標準差s來估計未知標來估計未知標準差準差 nssXX XX 近似服從自由度為近似服從自由度為n 1的的t分布分布 1 nXtsXt 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 而且而且當?shù)匾患殷w育館新上任的經(jīng)理被他

13、的前任告知：會員資格的平均當?shù)匾患殷w育館新上任的經(jīng)理被他的前任告知：會員資格的平均年限為年限為8.7年。為此，他隨機抽取了年。為此，他隨機抽取了15份會員文件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)會員份會員文件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)會員資格的平均年限為資格的平均年限為7.2年，標準差為年，標準差為2.5年。假設這家體育館的會年。假設這家體育館的會員資格年限近似服從正態(tài)分布。當顯著水平員資格年限近似服從正態(tài)分布。當顯著水平 = 0.05時，樣本結(jié)時，樣本結(jié)果是否表明這家體育館的實際會員資格年限小于果是否表明這家體育館的實際會員資格年限小于8.7年？年？ H0 : 8.7 而而 HA : 8.7n = 15, = 7.2, s = 2.

14、5, 而且而且 利用利用 t14分布分布 X6455. 0155 . 2 Xs檢驗統(tǒng)計檢驗統(tǒng)計量量 左側(cè)尾部左側(cè)尾部檢驗檢驗 , = 0.05臨界臨界 值值= 1.761761. 105. 0 ,14, 1 ttn 檢驗統(tǒng)計量落在臨界區(qū)域之內(nèi)檢驗統(tǒng)計量落在臨界區(qū)域之內(nèi) 拒絕拒絕 H0數(shù)據(jù)顯示：當顯著水平數(shù)據(jù)顯示：當顯著水平 = 0.05時，這家體育館會員資格的平時，這家體育館會員資格的平均年限明顯小于均年限明顯小于8.7年年 32. 26455. 07 . 82 . 70 XsXt 95%的面積的面積 = 0.05CV = 1.761t14TS = 2.32CR例：已知生產(chǎn)線上生產(chǎn)出來的零件直

15、徑服從正態(tài)分布，現(xiàn)有假設 H0 ： =10(毫米毫米). 這個假設可以是生產(chǎn)標準的要求. 現(xiàn)有一組樣本觀測值: 10.01, 10.02, 10.02, 9.99 (在實際問題樣本容量大些更好). 請判斷假設H0 ： =10(毫米毫米)是否正確是否正確.解解: 首先設首先設: 原假設原假設H0 ： =10(毫米毫米) 備擇假設備擇假設H1 ：10(毫米毫米) 其次其次: 構(gòu)造一個構(gòu)造一個統(tǒng)計量, 也要滿足: a. 其分布和參數(shù)已知; b . 在已知條件下, 能算出這個 統(tǒng)計量. 構(gòu)造構(gòu)造統(tǒng)計量為: )1(ntnSXTt由 P( |T| t0.025 ) = , 取=0.05. 算得 |t |

16、=1.414, t0.025 =3.182. 有|t | 0 （這是作為備擇假（這是作為備擇假設出現(xiàn)）設出現(xiàn)）例：已知生產(chǎn)線上生產(chǎn)出來的零件抗剪強度服從服從正態(tài)分布，以往的數(shù)據(jù)表明抗剪強度的均值 0 =10(毫米毫米). 現(xiàn)在改用一種新材料來生產(chǎn)該零件，得到一組零件的抗剪強度的樣本觀測值: 10.01, 10.02, 10.02, 9.99. 請問：改用新材料后，零件的平均抗剪強度是否提高？/2/2解解: 首先作原假設首先作原假設H0 ： = 0 =10(毫米毫米) 備擇假設備擇假設H1 ： 10(毫米毫米) 其次其次: 構(gòu)造一個構(gòu)造一個統(tǒng)計量, 也要滿足: a. 其分布和參數(shù)已知; b .

17、在已知條件下, 能算出這個 統(tǒng)計量. 構(gòu)造構(gòu)造統(tǒng)計量為:)1(ntnSXT由 P( T t0.05 ) = , 取=0.05. 算得 t0.05 =2.3534由樣本點算得 t =14.14. 有 t t0.025. 所以接受備擇假設. 零件的抗剪強度得到提高了. 5、關(guān)于正態(tài)總體的關(guān)于正態(tài)總體的方差方差 2的檢驗的檢驗關(guān)于正態(tài)總體的假設檢驗，分為如下兩種情況：關(guān)于正態(tài)總體的假設檢驗，分為如下兩種情況： （1）未知均值）未知均值 ，假設，假設H0 ： 2 = 02 ，通過樣本觀測值，通過樣本觀測值 x1，x2，xn ， 檢驗檢驗H0 是否成立；是否成立； （2）未知均值未知均值 ，假設，假設H

18、0 ： 2 02 （反之亦然），通（反之亦然），通過樣本觀測值過樣本觀測值 x1，x2，xn ， 檢驗檢驗H0 是否成立。是否成立。 第一種情況：第一種情況： 未知均值未知均值 ，檢驗假設，檢驗假設H0 ： 2 = 02 是否成立；是否成立； 例：已知生產(chǎn)線上生產(chǎn)出來的零件直徑服從正態(tài)分布，長期以來直徑的根方差 = 0.3, 現(xiàn)材質(zhì)改進, 抽出20個樣本, (這里只給出20個樣本的方差s2 = 0.16).請判斷該生產(chǎn)線的方差是否改變?解解: 首先作原假設首先作原假設H0 ：總體方差：總體方差 2 = 02 =0.09 備擇假設備擇假設H1 ：總體方差：總體方差 2 02 =0.09 其次其次

19、: 構(gòu)造一個構(gòu)造一個統(tǒng)計量, 也要滿足: a. 其分布和參數(shù)已知; b . 在已知條件下, 能算出這個 統(tǒng)計量. 構(gòu)造構(gòu)造統(tǒng)計量為:)1()1(22022nSn在原假設下, 由 P( 2 2/2 ) = /2 或 P( 2 21-/2 ) = /2 取 = 0.05, 算得 20.025 (19) = 32.9, 20.975 (19) = 8.91, 2 =33.7778. 有 2 20.025 (19) = 32.9. 所以拒絕原假設, 接受備擇假設.生產(chǎn)線的方差有改變. (犯錯誤的概率只有0.05)第二種情況：第二種情況： 未值均值未值均值 ，檢驗假設，檢驗假設 ： 2 02 是否成立；

20、是否成立； 例：已知生產(chǎn)線上生產(chǎn)出來的零件直徑服從正態(tài)分布，長期以來直徑的根方差 = 0.3, 現(xiàn)材質(zhì)改進, 抽出9個樣本, (這里只給出20個樣本的方差 s2 = 0.352).請判斷該生產(chǎn)線的方差是否會小于0.09 ? 解解: 作原假設作原假設H0 ：總體方差：總體方差 2 02 =0.09 備擇假設備擇假設H1 ：總體方差：總體方差 2 02 =0.09 這是單尾檢驗問題這是單尾檢驗問題, (且是左側(cè)單尾問題且是左側(cè)單尾問題) 仍構(gòu)造仍構(gòu)造統(tǒng)計量為:)1()1(22022nSn取 = 0.05, 由 P( 2 21- ) = =0.05 , 算得 2 =10.8889, 查表得 20.9

21、5 (8) = 15.5, 有 2 =10.8889 20.95 (8) = 15.5. 所以拒絕原假設, 接受備擇假設. 總體方差 2 0.25 (回答者依據(jù)知識選擇答案回答者依據(jù)知識選擇答案, 聘用聘用) 這是單側(cè)檢驗問題這是單側(cè)檢驗問題, 任意一個應聘者回答任意一個應聘者回答10個問題個問題,相當相當于從總體于從總體 B(1, p) 分布中抽出分布中抽出10個樣本個樣本X1, X2,X10, 進而得進而得到均值函數(shù)到均值函數(shù)X. 但我們不知道統(tǒng)計量但我們不知道統(tǒng)計量X的分布形式的分布形式, 所以不所以不 能直接用能直接用 X 做統(tǒng)計檢驗做統(tǒng)計檢驗. 但知道統(tǒng)計量但知道統(tǒng)計量 Y= X1+

22、X2+ X10的分布的分布, 即即 Y服從服從 二項分布二項分布B (n, p), n=10, 并該統(tǒng)計量中含并該統(tǒng)計量中含有要檢驗的參數(shù)有要檢驗的參數(shù) p, 因此因此, 我們可以用統(tǒng)計量我們可以用統(tǒng)計量 Y 來做參數(shù)的來做參數(shù)的檢驗問題檢驗問題. 這里這里, Y的含義就是的含義就是(某應聘者某應聘者)答對題目的個數(shù)答對題目的個數(shù). 設設 r 是是Y的觀測值的觀測值. 當正確回答題目的個數(shù)當正確回答題目的個數(shù) r 大于等于閥值大于等于閥值 k 時時, 就就拒絕原假設拒絕原假設H0 , 認為某應答者的正確比例大于認為某應答者的正確比例大于 0.25 的假設的假設(即不是隨機猜出的即不是隨機猜出的

23、). 如果在某個如果在某個 r 大于等于大于等于 k 時就拒絕時就拒絕H0 ,那么在回答正確的題目數(shù)為那么在回答正確的題目數(shù)為 r +1, r +2, ,時時, 也應當拒絕也應當拒絕H0.于是應有于是應有:rkkrP )(的所有大于等于答對的題目數(shù)式中式中, k是拒絕是拒絕H0的答對的最少題目數(shù)的答對的最少題目數(shù). 取取 k = 6 時時, 由所有大于等于由所有大于等于k 的的 r 計算出的概率之和為計算出的概率之和為0.0197 = 0.05. 一個一個B(1, p)總體的小樣本比例值總體的小樣本比例值 p 的檢驗問題的檢驗問題 有關(guān)某類個體在總體中的比例問題，本質(zhì)上是用B（1，p）分布的樣

24、本X1，X2，, Xn 來檢驗均值 p 和先驗值p0的關(guān)系問題。 統(tǒng)計量 X 的均值和方差是已值的，但是不知道X的分布形式，所以不能直接用均值函數(shù)做假設檢驗。 統(tǒng)計量 Y = X1+X2+ Xn的分布，是二項分布B（1，p），完全已知的，并且包含要檢驗的參數(shù) p，所以可以用統(tǒng)計量 Y 來作為假設檢驗。所以, 拒絕H0 , 認為回答者不是猜的,是靠知識回答的,可以及格, 此時犯錯誤(本來是猜的,結(jié)果猜對了6道題以上)的概率最大只是5%的可能. 首先做零假設首先做零假設H0 ：p=p0，備擇假設備擇假設H1 ： p p0 設設k是拒絕是拒絕H0的閥值的閥值(Y k 就拒絕就拒絕H0), k的外側(cè)概

25、率為的外側(cè)概率為 , 也就是也就是 P(Y k) = ,用用Y的概率計算公式的概率計算公式 (二項分布的概率計算公式二項分布的概率計算公式), 把大于把大于等于等于 k 的的 Y 概率都加起來概率都加起來, 這個概率和應當小于等于這個概率和應當小于等于 . 其中其中:rnrrnppCkrYp)1 ()(所以, 從Y= r = n的概率開始, 加 Y = r = n-1的概率,直到其概率的和要超過為 為止為止, 此時的此時的 r-1 就是就是k(拒絕拒絕H0 的閥值的閥值). 2. 一個一個0-1總體的大樣本比例值的參數(shù)檢驗總體的大樣本比例值的參數(shù)檢驗例: 一個賣男士襯衣的郵購店, 從過去的經(jīng)驗

26、中總結(jié)出有15%的購買者說襯衣的大小不合身,要求退貨. 現(xiàn)在這家郵購店改進了郵購定單的設計, 結(jié)果在接下來出售的500件襯衣中, 有60件要求退貨. 問: 在 5% 的 水平上, 改進后的退貨的比例 與原來的退貨比例有無顯著性差異?分析: 對每個購買者而言, 買來的襯衣只有兩種可能的情況: 合身, 不合身. 按照過去經(jīng)驗, 不合身的概率為15%, 此時隨機變量 X = 1; 合身的概率是 0.85, 此時 X = 0. 從總體角度看, 即總體服從0-1分布 B(1, p)中 p = 15%. 于是由500個隨機樣本X1, X2,X500 構(gòu)成的統(tǒng)計量 Y = X1+X2+ X500 服從二項分

27、布 B (500, p). 根據(jù)題目, 可以模仿上題來解決. 但現(xiàn)在的樣本觀測值是x1，x2，xn ，n=500, 由于n 很大, 且np=500 0.15=7510, 已足夠大, 故根據(jù)中心極限定理, 樣本均值 X 服從正態(tài)分布: , x = p, 2x= p(1-p)/n. 從已知得到不合身的比例 (退貨的比例) 為 x =60/500, 即 . 統(tǒng)計量 X 符合做假設檢驗條件(分布已知, 含參數(shù)), 于是設: 原假設原假設H0 ：p = 0.15 備擇假設備擇假設H1 ：P 0.15 取顯著性水平取顯著性水平 = 0.05 (是一個單側(cè)檢驗問題是一個單側(cè)檢驗問題).%12 p),(2XX

28、NX875. 1016. 003. 0 ,016. 0)1 (XXppznpp算得查表, z =1.645, 由由 z 22 (3) 未知兩個總體的方差 12 , 22, 但知道 12 = 22, 檢驗假設H0 ： 1= 2 (4) 未知兩個總體的方差 12 , 22, 但知道 12 22, 檢驗假設H0 ： 1= 2 于是, 檢驗的順序是: 當 1, 2, 12 , 22均未知時, 先做 (1) ,即 檢驗 12 = 22成立否? 若證實 12 = 22, 再做(3), 檢驗假設H0 : 1 = 2成立否? 若不能證實 12 22, 再做(4), 檢驗假設H0 : 1 = 2成立否? 對第(

29、1)與第(2)個問題而言, 顯然應當用 F 統(tǒng)計量來檢驗:22222121/SSF 服從 F (n-1, m-1)分布1. 對問題 (1): 未知兩個總體的均值1, 2 , 檢驗假設H0 ： 12 = 22 , H1 ： 12 22 由于假設H0是總體方差 12 = 22 , 所以，F(xiàn)統(tǒng)計量可以簡化為：F = S12/S22 服從 F（n-1，m-1）分布。備擇假設H1為： 12 22，這是一個雙尾檢驗。（注意：F分布是非對稱的）所以，檢驗分析式為：222/12/fFPfFp根據(jù)觀測值，計算出F的觀測值 f 值，與查表值f/2與f1-/2比較，就行了。（注意：如果查表時查不到f1-/2 ，就應

30、用f1-/2 =1/ f/2來計算。）2. 對問題 (2): 未知兩個總體的均值 1, 2 , 檢驗備擇假設H1 ：總體方差：總體方差 12 22 由于備擇假設是由于備擇假設是H1 ： 12 22 , 所以這是一個單尾檢驗所以這是一個單尾檢驗問題問題. 此時此時, H0 仍設定為仍設定為 12 = 22 , 以便利用統(tǒng)計量以便利用統(tǒng)計量 :F = S12/S22 . 拒絕 H0 而接受 H1 的表達式為: PF f= 根據(jù)觀測值，計算出 F的觀測值 f 值，與查表值f比較，就行了。3. 對問題 (3): 未知兩個總體方差方差 12 , 22, 但知道但知道 12 = 22,檢驗假設H0 ：1=

31、 2 由于已知由于已知 12 = 22 , 要檢驗的零假設要檢驗的零假設H0是是 1= 2 (此時的此時的備擇假設是備擇假設是1 2 ), 為此為此 12 = 22條件下引入一個新的條件下引入一個新的 T 統(tǒng)計量統(tǒng)計量:mnmnSmSnYXT112) 1() 1()()(222121服從 t (m+n-2).式中, n 是總體X的樣本數(shù), m是總體Y的樣本數(shù).由于零假設是 1= 2 , 所以式中分子第二項為零, 于是根據(jù)樣本值: x1, x2,xn 與y1，y2，ym . 可計算出 t 統(tǒng)計量值:mnmnsmsnyxt112)1()1()(2221然后比較 t 與 t0.025 (若取 = 0

32、.05) . 若| t | t0.025 , 則拒絕 H0 , 若| t | 0等等 )后, 就可以依據(jù)兩組樣本觀測值做相應的假設檢驗了. 例. 有一個奶酪進口商是靠直接郵寄廣告來銷售產(chǎn)品的. 在開發(fā)圣誕節(jié)的廣告小冊中時, 進口商設計了兩個根本不同的方案, 為了想知道方案 1 是否比方案 2 更好, 該進口商從它的客戶名單中隨機地抽取了樣本進行實驗, 結(jié)果如表:抽樣結(jié)果定單數(shù)樣本數(shù)樣本比例方案 2方案 1 n1 =400 r1 =100 x = r1 / n1 =0.25 n2 = 200 r1 = 44y = r2 / n2 =0.22對于每個接到定單的消費者而言, 只有“買” 或 “不買

33、” 兩種可能的情況. 對于第一組樣本而言, 購買的客戶的樣本比例為 25%, 即 x = 25%. 對于第二組樣本而言, 購買的客戶的樣本比例為 22%, 即 y = 22%. 按照上節(jié)分析, 此問題的解法是 H0 : p1 - p2 = 0 H1 : p1 p2 按照上節(jié)公式, 可以計算出:037.0)1()1(24.0212121nnnnrryx從而算出:81.0037.0022.025.0)()(21 yxppyxz在 =0.05 的水平上, z 1.645, 即 z (= 0.05) 接受接受 H0 一一 個個 樣樣 本本 的的 檢檢 驗驗-.103 14 .870 -.1267 -2

34、.7691 2.515價 格t df Sig. 均 值偏差 下限 上限 95% 置 信 水 平下的Confidence 偏差 e Test Value = 一一 個個 樣樣 本本 的的 統(tǒng)統(tǒng) 計計 量量15 29.8734.7711 1.231價 格N 均 值標準差均 值 的 標準差 n 檢驗統(tǒng)計檢驗統(tǒng)計量量 p值值 類型數(shù)據(jù)分析類型數(shù)據(jù)分析 目的:本講結(jié)束后，學生們應能夠： 將類型數(shù)據(jù)整理為列聯(lián)表 解釋卡方分布的性質(zhì) 運用卡方分布進行同質(zhì)性檢驗 運用卡方分布進行獨立性檢驗 解釋卡方檢驗的SPSS輸出結(jié)果 列聯(lián)表 交叉列聯(lián)表所講述的內(nèi)容 總體之間的同質(zhì)性 兩個變量之間的獨立性 將統(tǒng)計學運用于具

35、體情形 SPSS發(fā)揮的作用 收集抽樣單位特征或特點方面的資料整理 數(shù)據(jù)以反映每種類型的計數(shù)情況 與“類型”有聯(lián)系的觀察值被稱為類型數(shù)據(jù) CF（商業(yè)廣告片）在電視上播放之前，通常要經(jīng)過檢驗和修改。一名軟飲料生產(chǎn)商想在電視上播放一個新的商業(yè)廣告片。他為這個廣告制作了兩個版本，即CF-A和CF-B。這名生產(chǎn)商想對廣告片的兩個版本進行初步的檢驗。為此，他將其中一個版本的廣告片播放給一半觀眾看，另一個版本的廣告片播放給另一半觀眾看，然后他對這些觀眾進行電話調(diào)查并將他們的反應分為以下幾類： 不記得記得只記得廣告內(nèi)容 觀看過的內(nèi)容 廣告中的要點 69這兩個不同版本的商業(yè)廣告片是否在人們頭腦中留下了同樣的印象

36、？ 70 不記得 記得 只記得 廣告內(nèi)容 觀看過的內(nèi)容 廣告中的要點 總計 CF-A 23.8% 30% 46.3% 100% CF-B 34.3% 40% 25.7% 100% 總計 28.7% 34.7% 36.7% 100% 71例題 2 根據(jù)兩種特征對一個樣本進行分類 少于2年 2至4年 4年以上 總計 制造型 10 187 48 245 非制造型 13 107 35 155 總計 23 294 83 400 72 它由一系列分布組成，其具體形狀取決于一個參數(shù)，即自由度 (df) 卡方分布是一種抽樣分布 卡方分布傾向右側(cè)隨著自由度 (df)增大，卡方分布將接近正態(tài)分布 73df = 1

37、df = 6df = 10df = 40 2 4 6 8 12 14 1674 比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù) 如果觀察頻數(shù)接近期望頻數(shù)，則可以作為接受原假設 (H0)的證據(jù) 檢驗同質(zhì)性 檢驗擬合優(yōu)度 檢驗獨立性 檢驗總體方差是否相等 75當把從兩個樣本中抽取的數(shù)據(jù)根據(jù)同一特征進行了分類并表示為列聯(lián)表之后目的是檢驗不同總體的反應類型是否相同 為了回答這個問題，我們利用卡方檢驗來檢驗同質(zhì)性76 不記得 記得 只記得 廣告內(nèi)容 觀看過的內(nèi)容 廣告中的要點 總計 CF-A 19 24 37 80 CF-B 24 28 18 70 總計 43 52 55 150 每種版本的商業(yè)廣告片代表一個總體 每一種反應類

38、型代表未知的總體比例 77 不記得 記得 只記得 廣告內(nèi)容 觀看過的內(nèi)容 廣告中的要點 總計 CF-A pA1 pA2 pA3 1 CF-B PB1 pB2 PB3 1 H0 : pA1 = pB1, pA2 = pB2, pA3 = pB3 78根據(jù)H0， pi可以被估計為 150431 p150522 p150553 p和79期望頻數(shù) - 不記得 記得 只記得 廣告內(nèi)容 觀看過的內(nèi)容 廣告中的要點 總計 CF-A 93.228015043 73.278015052 33.298015055 80 CF-B 07.207015043 27.247015052 67.257015055 70

39、總計 43 52 55 150 80檢驗統(tǒng)計量 EEO22)( 不記得 記得 只記得 廣告內(nèi)容 觀看過的內(nèi)容 廣告中的要點 總計 CF-A 674. 093.22)93.2219(2 0.502 2.006 80 CF-B 770. 007.20)07.2024(2 0.573 2.292 70 總計 43 52 55 150 如果觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)相差很大，我們就認為原假設為假812 = 0.674 + 0.502 + 2.006 + 0.770 + 0.573 + 2.292 = 6.817 2值是否過大，使得我們不得不拒絕H0？ 查表之前需要知道 1.自由度d.f. = (r1) (c1)2.右尾上面的面積 () 顯著水平8202, 8322 ,05. 0 = 5.99臨界值 6.817 5.99數(shù)據(jù)顯示：當顯著水平 = 0.05時，檢驗統(tǒng)計量太大，因此我們應當拒絕H0觀眾在觀看完兩種不同版本的商業(yè)廣告片之后，其反應類型會有明顯的差異 84進行卡方同質(zhì)檢驗的步驟 1.構(gòu)造假設 2.建立列聯(lián)表并計算期望頻數(shù) 3.計算檢驗統(tǒng)計量 4.計算自由度 并查找臨界值 5.進行決策并得出結(jié)論 85H0:各個總體的反應類型具有相同的概率 HA:與其他總體相比，有些總體的反應類型有不同的概率 檢驗統(tǒng)計量 EEO22)(自由度 = (r 1) (c 1)拒絕 H0 如果2 2 86當按照兩種