管理統(tǒng)計(jì)學(xué)之隨機(jī)變量教材

1、管理統(tǒng)計(jì)學(xué)之隨機(jī)變量教材學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) Learning Objectivesn1. 計(jì)算離散隨機(jī)變量的期望值和方差nCompute the Expected Value & Variance of Discrete Random Variablesn2. 描述二項(xiàng)、泊松和超幾何概率分布nDescribe the Binomial, Poisson, & Hypergeometric Probability Distributionsn3. 介紹兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差與和的思想Introduce the Ideas of Covariance and Sum of Two Ra

2、ndom VariablesRandom Variables(R.V.)using variables denoting events Properties: choosing value randomly,the probability of choosing value is definite. being divided into continuous variables and discrete variables often being denoted by capital letter X,Y.Random Variables and Their Distributions The

3、 distribution of continuous r.v.The distribution function: F（x）=P（Xx） It can describe discrete r.v. too. 0F（x）1， F（x）is nondecreasing as x increases F（）=?，F(xiàn)（-）=?The distribution density function: f（x） f（x）0， F（x）= , F（x）=f（x）. xdt) t ( fThe Distribution of R.V.=1. dt) t ( fThe geometrical meaning of

4、 density f(x)If X is a continuous r.v., then P(X=a)=0, so F(x)=P(Xa)=1-F(a) P(aXb)=F(b)-F(a) For example: Which of the following formulas are impossible? P(X=6)=0.8 P(X=10)=1.3 F(3.2)=1.6 f(1.5)=0.8 F1(3)=0.5 F1(4)=0.4 f2(3)=1.6 f2(4)=1.0Random Variables and Their Distributions離散隨機(jī)變量的例子離散隨機(jī)變量的例子 Exa

5、mples試驗(yàn)試驗(yàn)隨機(jī)變量隨機(jī)變量可能值可能值打100個(gè)促銷 銷售數(shù)目0, 1, 2, ., 100檢查70個(gè)收音機(jī)殘品數(shù)目0, 1, 2, ., 70回答33個(gè)問題正確數(shù)目0, 1, 2, ., 33在收費(fèi)站數(shù)車從 11:00 到 1:00到達(dá)車輛數(shù)目0, 1, 2, ., 離散概率分布離散概率分布Discrete Probability Distributionn1. 列出所有可能的 Xi, P(Xi) 數(shù)對(duì)nXi = 隨機(jī)變量的取值 (可能的結(jié)果)nP(Xi) = 與每一取值相應(yīng)的概率n2. 互斥 (沒有重疊)n3. 完備 (沒有遺漏)n4. 0 P(Xi) 1n5. P(Xi) = 1

6、圖示離散概率分布圖示離散概率分布n (0, .25), (1, .50), (2, .25) 列表列表表格表格圖形圖形等式等式# 反面反面f(Xi)次數(shù)次數(shù)P(Xi)01.2512.5021.25Pxnxnxppxnx()!()!()1.00.25.50012XP(X)離散隨機(jī)變量概括度量離散隨機(jī)變量概括度量 Summary Measuresn1. 期望值Expected Valuen概率分布的均值n所有可能值的加權(quán)平均n = E(X) = Xi P(Xi)n2. 方差 Variancen對(duì)均值的方差的加權(quán)平均n2 = E (Xi (Xi P(Xi)思考題 Thinking Challenge

7、n扔兩個(gè)硬幣。你感興趣的是反面出現(xiàn)的次數(shù)。反面的次數(shù)，作為一個(gè)隨機(jī)變量，它的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差是什么?1984-1994 T/Maker Co.離散概率分布離散概率分布 Discrete Probability Distribution 離散離散 概率分布概率分布泊松分布泊松分布超幾何分布超幾何分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 Binomial Distributionn1.n 次觀察 (試驗(yàn)) 的樣本中成功的次數(shù)n2. 15次旋轉(zhuǎn)輪盤賭轉(zhuǎn)盤中紅色出現(xiàn)的次數(shù)n3. 一批五件產(chǎn)品中殘品的個(gè)數(shù)n4. 33個(gè)問題的考試中正確回答的個(gè)數(shù)n5. 100個(gè)進(jìn)入店內(nèi)的顧客中買東西的顧客個(gè)數(shù)二項(xiàng)分布特征二項(xiàng)分

8、布特征 Binomial Distribution Propertiesn1. 兩種不同的抽樣方法n無限無限總體無放回?zé)o放回n有限有限總體有放回有放回n2.n 次相同的試驗(yàn)序列n3. 每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果n成功(所希望的結(jié)果)或者失敗n4. 每次試驗(yàn)的概率恒定n5. 每次試驗(yàn)互相獨(dú)立 二項(xiàng)分布示例二項(xiàng)分布示例事件: 投擲一個(gè)硬幣4次。記錄反面的個(gè)數(shù)。出現(xiàn)三次反面的概率是多少?PXxn pnxnxppP Xxnx(|,)!()!()(|,.)!()!.(.)1345434351 5343 .25二項(xiàng)分布的特征二項(xiàng)分布的特征Characteristicsn = 5 p = 0.1n = 5 p

9、 = 0.5均值均值標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差EXnpnpp()().6012345XP(X).012345XP(X)泊松分布泊松分布 Poisson Distributionn1. 在一單位區(qū)間內(nèi)發(fā)生的事件的次數(shù)n單位可以是單位可以是n時(shí)間, 長(zhǎng)度, 面積, 空間n2. 例子n在20分鐘內(nèi)惠顧的顧客數(shù)目n每年美國(guó)罷工的次數(shù)n每一批錄像機(jī)中的殘品數(shù)目泊松分布應(yīng)用示例泊松分布應(yīng)用示例 Examplen顧客以每小時(shí)72人的速度到達(dá).n3分鐘之內(nèi)達(dá)到4名顧客的概率是多少?n72每小時(shí) = 1.2 每分鐘 = 3.6 每三分鐘 PXxxPXx(|)!(|.).!ee = 0.1912-3

10、.6436(36)44泊松分布題解泊松分布題解: 求出求出 Finding n75 單詞/分 = (75 單詞/分)(60 分/小時(shí))n = 4500 單詞/小時(shí)n 6 錯(cuò)誤/小時(shí) = 6 錯(cuò)誤/4500 單詞n = 0.00133 錯(cuò)誤/單詞n在一個(gè)255個(gè)單詞的段落中 (區(qū)間):n = (0.00133 錯(cuò)誤/單詞 )(255 單詞) n = 0.34 錯(cuò)誤/255個(gè)單詞的段落 超幾何分布超幾何分布 Hypergeometric Distributionn1. 單一抽樣方法n有限有限 總體 無無 放回n2. n 次相同試驗(yàn)的序列n3. 每次試驗(yàn)有兩個(gè)后果n成功 (所希望的后果) 或者失敗n

11、4. 恒定試驗(yàn)概率n5. 試驗(yàn)之間相互依賴超幾何分布特征超幾何分布特征 Characteristics均值均值標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差EXnp 對(duì)于對(duì)于 p = A/N npp()()1NnN1兩個(gè)隨機(jī)變量的和兩個(gè)隨機(jī)變量的和 Sum of Two Random VariablesE(X + Y) = E(X) + E(Y)Var (X + Y) = 2 兩個(gè)隨機(jī)變量的和的期望值兩個(gè)隨機(jī)變量的和的方差2 YXY2XX+YExample:The probability that one unit normally uses water is 0.75. Compute the probability: th

12、at there are 4 days that use water normally in the recent 6 days (using water independently everyday).Example:20 machines work independently. It has been known that the probability that every machine breaks down in one hour is 0.01.Compute the probability:There are 2 breaking down in 20 machines in

13、one hour.If there are two persons who are looking after machines, compute the probability that at least one person is idle.Thinking ChallengeAbout the approximation relationship among the Hypergeometric, Binomial and Poisson Distribution (1)When N is large and n is small (n/N0.1), the Binomial Distribution can