微分方程求解

1、微分方程求解微分方程的解析解方法例題1：求解微分方程組初值問題clearsyms t xx1,x2,x3=dsolve(Dx1=-x1+x3+1,Dx2=x1+2*x2-1,. Dx3=-4*x1+3*x3+2,x1(0)=1,x2(0)=0,x3(0)=1) t1=0:.1:5;xt1=subs(x1,t,t1);xt2=subs(x2,t,t1);xt3=subs(x3,t,t1);plot(t1,xt1,t1,xt2,t1,xt3)微分方程的數(shù)值積分微分方程的數(shù)值積分MATLAB中用來進(jìn)行常微分方程數(shù)值積分的函數(shù)有好多種，例如ode23,ode45,等，ode是常微分方程(ordinar

2、y differential equation)的縮寫。它們都用來解形如的一階微分方程組在給定初始值y0時的解。對入門者而言，會一種ode函數(shù)就行。0,( )dttdt 0yyf(y, )yy微分方程求解函數(shù)clear,close allf1=(t,x) -1,0,1;1,2,0;-4,0,3*x+1;-1;2; t_final=5; x0=1;0;1; t,x=ode23(f1,0,t_final,x0);plot(t,x)【例】Simulink 簡介 1990 年前后出現(xiàn)最早的 Simulink，當(dāng)時名為SimuLAB，1992 年改為 Simulink Simulink 的名字有兩重含義

3、 仿真 (simu) 與模型連接 (link) odegroup 命令可以打開自定義模塊集 Simulink 相關(guān)模塊常用的模塊：微分方程的Simulink建模與求解 建立起微分方程的 Simulink 模型 可以用 sim( ) 函數(shù)對其模型直接求解 得出微分方程的數(shù)值解【例7-30】Simulink模型圖Out11ScopeIntegrator 21sIntegrator 11sIntegrator1sFcn2f(u)Fcn1f(u)Fcnf(u)微分方程轉(zhuǎn)換單個高階常微分方程處理方法微分方程數(shù)值積分【例微分方程數(shù)值積分【例5-3-7】用數(shù)值積分法求解微分方程 設(shè)初始時間t0=0;終止時間

4、tf=3; 初始條件y(0)=1,y(0)=0. 解：先將方程化為兩個一階微分方程的方程組，其左端為兩維變量的一階導(dǎo)數(shù)。 21tyty 12221,1xxtxtx 微分方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 寫成矩陣形式為 其中 為取代變量y的變量向量， 為x的導(dǎo)數(shù)，在程序中用xdot表示。x的初始條件為 這就是待積分的微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)形式。用MATLAB語句表述為： xdot=0, 1;-t, 0*x + 0; 1*(1-t2/pi2); 2211220101101xxttxtx x = AxB12xxx12xx x11(0)(0)(0)xxx【例【例5-3-7】數(shù)值解的程序】數(shù)值解的程序?qū)⑽⒎址匠痰挠叶藢懗梢粋€

5、exn547f.m函數(shù)程序,內(nèi)容如下：function xdot=exn547f(t,x)u=1-(t.2)/(pi2); xdot=0, 1;-t, 0*x + 0; 1*u; % 向量導(dǎo)數(shù)方程主程序exn547如下,它調(diào)用MATLAB中的現(xiàn)成的數(shù)值積分函數(shù)ode23進(jìn)行積分。clf, t0=0; tf=3*pi; x0=1; 0; % 給出初始值t,x=ode23(exn547f, t0,tf, x0) % 此處顯示結(jié)果y=x(:,1);% y為x的第一列plot(t,y) ,grid% 繪曲線xlabel(t),ylabel(y(t)數(shù)值解程序數(shù)值解程序exn547的運(yùn)行結(jié)果的運(yùn)行結(jié)果程

6、序運(yùn)行的結(jié)果見圖5-37。這個數(shù)值積分函數(shù)是按精度要求自動選擇步長的。它的默認(rèn)精度為1.e-3，因此圖中的積分結(jié)果是可靠的。若要改變精度要求，可在調(diào)用命令中增加備選變元，具體做法可鍵入help ode23查找。 Simulink模型圖Out1 1StepScopeProduct 1ProductIntegrator 11sIntegrator1sGain-K-Clock2Clock1Clock【例】Simulink模型圖Out22Out11TransportDelay 1TransportDelayTransfer Fcn 11s+3Transfer Fcns +3s+224StepScope 1ScopeFcnf(u)