工程數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計簡明教程同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系課后答案khdawlxywyl

1、1. 用集合的形式寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間與隨機(jī)事件 A ：(1) 拋一枚硬幣兩次，觀察出現(xiàn)的面，事件 A兩次出現(xiàn)的面相同 ；(2) 記錄某電話總機(jī)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，事件 A(3) 從一批燈泡中隨機(jī)抽取一只，測試其壽命，事件 A 一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過3 次； 壽命在 2000 到 2500 小時之間。解(1)( ,), ( ,), ( ,), (, ) ， A( ,), ( ,).(2) 記 X 為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則Xk | k0,1,2,LL ， AXk | k0,1,2,3 .(3) 記 X 為抽到的燈泡的壽命（單位：小時），則X(0,) ，AX(2000,2500) .

2、2. 袋中有10 個球，分別編有號碼 1 至 10，從中任取 1 球，設(shè) A取得球的號碼是偶數(shù)，B取 得球的號碼是奇數(shù)，C取得球的號碼小于 5，問下列運算表示什么事件：(1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C ；(6) B U C ；(7) AC .解(1)A U B是必然事件；(2) AB是不可能事件；(3) AC取得球的號碼是 2，4；(4) AC取得球的號碼是 1，3，5，6，7，8，9，10；(5) A C取得球的號碼為奇數(shù)，且不小于 5取得球的號碼為 5，7，9；(6)B U CB I C取得球的號碼是不小于 5 的偶數(shù)取得球的號碼為 6，

3、8，10；(7) ACAC取得球的號碼是不小于 5 的偶數(shù)=取得球的號碼為 6，8，103. 在區(qū)間0 , 2 上任取一數(shù)，記 A(1) A U B ；(2) A B ；(3) AB ；(4) A U B .x 1x21 ， Bx 1x43 ，求下列事件的表達(dá)式：2解(1)A U Bx 1x3 ;42(2) A Bx 0x1 或 1x22 I Bx 1x41 U x1x3 ;22(3) 因為 AB ，所以 AB；(4) A U BA U x 0x1 或 3x2x 0x1 或 1x1或 3x24. 用事件 A, B, C42422的運算關(guān)系式表示下列事件：(1) A 出現(xiàn)， B, C 都不出現(xiàn)（

4、記為 E1 ）；(2)A, B 都出現(xiàn)，C 不出現(xiàn)（記為 E2 ）；(3) 所有三個事件都出現(xiàn)（記為 E3 ）；(4) 三個事件中至少有一個出現(xiàn)（記為 E4 ）；(5) 三個事件都不出現(xiàn)（記為 E5 ）；(6) 不多于一個事件出現(xiàn)（記為 E6 ）；(7) 不多于兩個事件出現(xiàn)（記為 E7 ）；(8) 三個事件中至少有兩個出現(xiàn)（記為 E8 ）。解(1) E1(3) E3(5) E5AB C ；(2) E2ABC ；(4) E4A B C ；(6) E6ABC ；A U B U C ；A B C U AB C U A BC U A B C ；(7) E7ABCA U B U C ；(8) E8AB

5、U AC U BC .5. 一批產(chǎn)品中有合格品和廢品，從中有放回地抽取三次，每次取一件，設(shè) Ai 表示事件“第i 次抽到廢品”，i1,2,3課，試后用 Ai答表示案下列(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到廢品；(2) 只有第一次抽到廢品；(3) 三次都抽到廢品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2) 只有兩次抽到廢品。解(1) A1 U A2 ；(2) A1 A2 A3 ；(3) A1 A2 A3 ；(4) A1 U A2 U A3 ；(5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 .6. 接連進(jìn)行三次射擊，設(shè) Ai =第 i 次射擊命中， iC三次射擊至少命中二次；試用

6、 Ai 表示 B 和C 。1,2,3 ， B三次射擊恰好命中二次，解BA1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3CA1 A2 U A1 A3 U A2 A3習(xí)題二解答1從一批由 45 件正品、5 件次品組成的產(chǎn)品中任取 3 件產(chǎn)品，求其中恰有 1 件次品的概率。解這是不放回抽取，樣本點總數(shù) n50，記求概率的事件為 A ，則有利于 A 的樣本點數(shù)3455k. 于是21P( A)k n455215034544 5 3!504948 2!993922一口袋中有 5 個紅球及 2 個白球，從這袋中任取一球，看過它的顏色后放回袋中，然后， 再從這袋中任取一球，設(shè)每次取球時袋中各個球被

7、取到的可能性相同。求(1) 第一次、第二次都取到紅球的概率；(2) 第一次取到紅球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球為紅、白各一的概率；(4) 第二次取到紅球的概率。解本題是有放回抽取模式，樣本點總數(shù) nA, B, C, D .7 2 . 記(1)(2)(3)(4) 題求概率的事件分別為2()有利于 A 的樣本點數(shù) k A52 ，故P( A)5257495 210() 有利于 B 的樣本點數(shù) k B5 2 ，故P( B)7 24920() 有利于C 的樣本點數(shù) kC2 5 2 ，故P(C)497 5355() 有利于 D 的樣本點數(shù) k D7 5 ，故P( D)7 2.4973一個口

8、袋中裝有 6 只球，分別編上號碼 1 至 6，隨機(jī)地從這個口袋中取 2 只球，試求：(1) 最小號碼是 3 的概率；(2) 最大號碼是 3 的概率。解本題是無放回模式，樣本點總數(shù) n6 5 .() 最小號碼為 3，只能從編號為 3，4，5，6 這四個球中取 2 只，且有一次抽到 3，因而有利樣本點數(shù)為 23 ，所求概率為 2 31 .6 55() 最大號碼為 3，只能從 1，2，3 號球中取，且有一次取到 3，于是有利樣本點數(shù)為 22 ，課15所求概率為 226 52 . 后答案網(wǎng)4一個盒子中裝有 6 只晶體管，其中有 2 只是不合格品，現(xiàn)在作不放回抽樣，接連取 2 次，每次取 1 只，試求下

9、列事件的概率：(1) 2 只都合格；(2) 1 只合格，1 只不合格；(3) 至少有 1 只合格。解分別記題(1)、(2)、(3)涉及的事件為 A, B, C ，則4P( A)P( B)24 3 2266 5 2524211422866 5152注意到CA U B ，且 A 與 B 互斥，因而由概率的可加性知P(C)P( A)P( B)2814515155擲兩顆骰子，求下列事件的概率：(1) 點數(shù)之和為 7；(2) 點數(shù)之和不超過 5；(3) 點數(shù)之和為偶數(shù)。解分別記題(1)、(2)、(3)的事件為 A, B, C ,樣本點總數(shù) n6 2() A 含樣本點 (2,5), (5,2) ,(1,6

10、),(6,1),(3,4),(4,3)P( A)616 26() B 含樣本點(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)P(B)1056 218()C含樣本點(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 個樣本點。P(C )1813626把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機(jī)地分配到 5 間空置的宿舍中去，假設(shè)每間宿舍最多可住 8 人，試求這三名學(xué)生住

11、不同宿舍的概率。解記求 概率 的 事件 為 A ， 樣 本點 總數(shù) 為 53 ， 而 有利 A 的 樣 本 點數(shù) 為 54 3 ， 所 以P( A)5 4 35312 .257總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件 A ：“其中恰有一位精通英語”； (2) 事件 B ：“其中恰有二位精通英語”； (3) 事件C ：“其中有人精通英語”。解樣本點總數(shù)為 53(1)2312P( A)532 3 3!63 ；54 31052 課3后答案網(wǎng)(2)21P( B)533 3!3 ；54 310(3) 因CA U B ，且 A 與 B 互斥，因而P(C)P( A)

12、P( B)339 .51010S8設(shè)一質(zhì)點一定落在 xOy 平面內(nèi)由 x 軸、 y 軸及直線 xAy1 所圍成的三角形內(nèi)，而落在這三角形內(nèi)各點處的可能性相等，計算這質(zhì)點落在直線1 x1 / 3 的左邊的概率。解記求概率的事件為 A ，則 S Ay為圖中陰影部分，而| 1/ 2 ，| S A |h11 2215522 32918最后由幾何概型的概率計算公式可得P( A)| S A |5 /185 .1|1/ 29O1/3x9（見前面問答題 2. 3）圖 2.310已知 AB ， P( A)0.4 ， P( B)0.6 ，求(1) P( A ) , P( B ) ；(2) P( A U B) ；(

13、3) P( AB) ；(4) P( B A), P( A B ) ；(5) P( A B) .解(1) P( A )1P( A)10.40.6 ， P( B )1P( B)10.60.4 ；(2) P( A U B)(3) P( AB)P( A)P( A)P(B)0.4 ；P( AB)P( A)P(B)P( A)P( B)0.6 ；(4) P( B A) (5) P( A B)P( AB)P(BA)P( )0.60 ,0.4P( A B )0.2.P( A U B)1P( A U B)10.60.4 ;11設(shè) A, B 是兩個事件，已知 P( A)0.5 ，P( B)0.7 ，P( A U B

14、)0.8 ，試求 P( AB) 及 P( BA).解注意到P( A U B)P( A)P( B)P( AB)，因而P( AB)P( A)P( B)P( A U B)0.4 . 于是， P( AB)P( AAB)P( A)P( AB) ；P( BA)P( BAB)P( B)P( AB) .習(xí)題三解答1已知隨機(jī)事件 A 的概率 P( A)試求 P( AB) 及 P( A B ) .0.5 ，隨機(jī)事件 B 的概率 P( B)0.6 ，條件概率 P( B | A)0.8 ，解P( AB)P( A)P(B | A)P( A B )P

15、( A U B)1P( A U B)1P( A)P( B)P( AB)0.32一批零件共 100 個，次品率為 10%，從中不放回取三次（每次取一個），求第三次才取得正品的概率。解p109 90819.10099 9899 9810783某人有一筆資金，他投入基金的概率為 0.58，購買股票的概率為 0.28，兩項投資都做的概 率為 0.19(1) 已知他已投入基金，再購買股票的概率是多少？(2) 已知他已購買股票，再投入基金的概率是多少？解記 A基金， B股票，則 P( A)0.58, P(B)0.28, P( AB)0.19(1)(2)課后P( B | A)P( A |

16、 B)P( AB) P( A) P( AB)P( B)0.19答0.580.190.28案0.32網(wǎng)7.0.678 .4給定 P( A)0.5 ， P( B)0.3 ， P( AB)0.15 ，驗證下面四個等式：P( A | B)P( A),P( A | B )P( A),P( B | A)P( B) ， P( B | A )P( B).解P( A | B)P( AB)P( B)0.150.31P( A)2P( A | B )P( AB )P(B )P( A)1P( AB)P( B)0.350.70.5P( A)P( B | A)P( AB)P( A)P

17、( B)P( B | A )P( A B)P( A )P( B)1P( AB)P( A)0.150.5P(B)5有朋自遠(yuǎn)方來，他坐火車、船、汽車和飛機(jī)的概率分別為 0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火車， 遲到的概率是 0.25，若坐船，遲到的概率是 0.3，若坐汽車，遲到的概率是 0.1，若坐飛機(jī)則不會遲 到。求他最后可能遲到的概率。解B遲到，A1且按題意坐火車，A2坐船，A3坐汽車，A4乘飛機(jī)，則 B4U BAi ，i 1由全概率公式有：P( B | A1 )40.25 ， P( B | A2 )0.3 ， P( B | A3 )0.1 ， P( B | A4 )0

18、.P( B)P( Ai )P( B | Ai )i 0.1456已知甲袋中有 6 只紅球，4 只白球；乙袋中有 8 只紅球，6 只白球。求下列事件的概率：(1) 隨機(jī)取一只袋，再從該袋中隨機(jī)取一球，該球是紅球；(2) 合并兩只袋，從中隨機(jī)取一球，該球是紅球。解(1) 記 B該球是紅球， A1取自甲袋， A2取自乙袋，已知 P( B | A1 )6 /10 ，P( B | A2 )P( B)8 /14 ，所以P( A )P( B | A )P( A ) P(B | A )161841(2)112P( B)14724122210214707某工廠有甲、乙、丙

19、三個車間，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占全廠的 25%，35%，40%，各車間產(chǎn)品的次品率分別為 5%，4%，2%，求該廠產(chǎn)品的次品率。解0.250.050.350.040.40.020.01250.01400.0080.03453.45%8發(fā)報臺分別以概率 0.6，0.4 發(fā)出 和 ，由于通信受到干擾，當(dāng)發(fā)出 時，分別以概率 0.8 和 0.2 收到 和 ，同樣，當(dāng)發(fā)出信號 時，分別以 0.9 和 0.1 的概率收到 和 。求(1) 收到信號 的概率；(2) 當(dāng)收到 時，發(fā)出 的概率。解記B收到信號 ， A發(fā)出信號 (1)P( B)P( A) P(B | A)P( A )P(B | A)

20、0.10.480.040.52(2)P( A | B)P( A) P( B | A)0.60.812 .P(B)0.52139設(shè)某工廠有 A, B, C 三個車間，生產(chǎn)同一螺釘，各個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的 25%，35%，40%，各個車間成品中次品的百分比分別為 5%，4%，2%，如從該廠產(chǎn)品中抽取一件，得到的是次課后答案網(wǎng)品，求它依次是車間 A, B, C 生產(chǎn)的概率。解為方便計，記事件 A, B, C 為 A, B, C 車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，事件 D次品，因此P( D)P( A)P( D | A)P(B) P(D | B)P(C )P( D | C )0.250.050.3

21、50.040.40.020.01250.0140.0080.0345P( A | D)P( A) P(D | A)0.250.050.362P( D)0.0345P( B | D)P( B) P(D | B)0.350.040.406P( D)0.0345P(C | D)P(C )P( D | C )0.40.020.232P(D)10設(shè) A 與 B 獨立，且 P( A)0.0345p, P( B)q ，求下列事件的概率：P( A U B) ，P( A U B ) ，P( A U B ) .解P( A U B)P( A U B )P( A)P( A)P(B)P( B )P( A)P( B)P(

22、 A) P(B )pqpqp1qp(1q)1qpqP( A U B )P( AB)1P( A)P( B)1pq11已知 A, B 獨立，且 P( A B )1/ 9, P( AB )P( A B) ，求 P( A), P(B) .解因 P( AB )P( A B) ，由獨立性有P( A)P( B )P( A ) P(B)從而 P( A)P( A)P( B)P(B)P( A)P( B)導(dǎo)致 P( A)P(B)再由 P( A B )1/ 9 ，有1/ 9P( A )P(B )(1P( A)(1P( B)(1P( A) 2所以 1P( A)1/ 3 。最后得到P( B)P( A)2 / 3.12甲、

23、乙、丙三人同時獨立地向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為 1/3，1/2，2/3，求目標(biāo) 被命中的概率。解記 B命中目標(biāo)， A1而甲命中， A2乙命中， A3丙命中，則3BU Ai ，因i 1P( B)3 1PA1P( A ) P( A ) P( A )1211118I i123i 132399.13設(shè)六個相同的元件，如下圖所示那樣安置在線路中，設(shè)每個元件不通達(dá)的概率為 p ，求這 個裝置通達(dá)的概率。假定各個元件通達(dá)與否是相互獨立的。解記 A通達(dá)，12Ai元件i 通達(dá)，i1,2,3,4,5,634則 AA1 A2 U A3 A4 U A5 A6 ， 所以56P( A)P( A1 A2 )P( A

24、3 A4 )P( A5 A6 )圖 3.1P( A1 A2 A3 A4 )P( A3 A4 A5 A6 )P( A1 A2 A5 A6 )P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 )3(1p) 23(1p) 4(1p) 614假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為 0.2，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周五 個工作日里每天是否發(fā)生故障相互獨立，試求一周五個工作日里發(fā)生 3 次故障的概率。解p53(0.2) 3(0.8) 20.0512 .15燈泡耐用時間在 1000 小時以上的概率為 0.2，求三個燈泡在使用 1000 小時以后最多只有 一個壞了的概率。解p33(0.2) 330.82(0.2

25、) 20.0080.0960.104 .16設(shè)在三次獨立試驗中，事件 A 出現(xiàn)的概率相等，若已知 A 至少出現(xiàn)一次的概率等于 19/27， 求事件 A 在每次試驗中出現(xiàn)的概率 P( A) .解記 Ai19 A 課在第后i 次試答驗中案出現(xiàn)網(wǎng)，i1,w2,3w.wp.kP(hA)3U i1 2 3依假設(shè)PA27i 11P( A A A )1(1p) 3所以， (1p) 38 ， 此即 p271/ 3 .17加工一零件共需經(jīng)過 3 道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為 2%、3%、5%. 假設(shè)各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率。解注意到，加工零件為次品，當(dāng)且僅當(dāng) 1-3 道工序中

26、至少有一道出現(xiàn)次品。記 Ai第i 道工序為次品，i31,2,3.則次品率pP U Aii 11P( A1 ) P( A2 )P( A3 )10.980.970.9510.903070.09718三個人獨立破譯一密碼，他們能獨立譯出的概率分別為 0.25，0.35，0.4. 求此密碼被譯出 的概率。解記 A譯出密碼， Ai第i 人譯出，i31,2,3. 則P( A)P U Aii 11P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )10.750.650.610.29250.707519將一枚均勻硬幣連續(xù)獨立拋擲 10 次，恰有 5 次出現(xiàn)正面的概率是多少？有 4 次至 6 次出 現(xiàn)正面的概率是多少

27、？1011063522561解(1)；(2)61010.k 4 k220某賓館大樓有 4 部電梯，通過調(diào)查，知道在某時刻T ，各電梯正在運行的概率均為 0.75， 求：(1) 在此時刻至少有 1 臺電梯在運行的概率；(2) 在此時刻恰好有一半電梯在運行的概率；(3) 在此時刻所有電梯都在運行的概率。解(1) 1(10.75) 4321227441281(0.25) 4255256(2)4 (0.75) 2 (0.25) 2624(3)(0.75) 43481256習(xí)題四解答1. 下列給出的數(shù)列，哪些是隨機(jī)變量的分布律，并說明理由。（1） pii , i1520,1,2,3,4,5 ；（2） p

28、i5i, i60,1,2,3 ；（3） pi1 , i42,3,4,5 ；（4） pii1 , i251,2,3,4,5 。解要說明題中課給出后的數(shù)答列，是案否是網(wǎng)隨機(jī)變w量w的w分.布k律，h只d要a驗w證.pci 是o否m滿足下列二個條件：其一條件為 pi0, i1,2,L，其二條件為pi1。i依據(jù)上面的說明可得（1）中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律；（2）中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律，因為 p3594665200 ；（3）中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律；（4）中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律，這是因為pi1。i 1252. 試確定常數(shù)c ，使 P Xic , i2i0,1,2,3,4成為某個隨機(jī)變量

29、X 的分布律，并求：P X2 ；P 1X5 。224解要使 c2i成為某個隨機(jī)變量的分布律，必須有cii 0 21 ，由此解得 c16 ；31（2） P X2P X016 11P X1P X2128（3） P 1X3124315P X1P X216 1112 。2231 24313. 一口袋中有 6 個球，在這 6 個球上分別標(biāo)有-3，-3，1，1，1，2 這樣的數(shù)字。從這袋中任取 一球，設(shè)各個球被取到的可能性相同，求取得的球上標(biāo)明的數(shù)字 X 的分布律與分布函數(shù)。解X 可能取的值為-3，1，2，且 P X31 , P X131 , P X221 ，即 X 的分布律為6X-312X 的分布函數(shù)概

30、率1113260x3F xP Xx =13563x11x21x24. 一袋中有 5 個乒乓球，編號分別為 1，2，3，4，5，從中隨機(jī)地取 3 個，以 X 表示取出的 3個球中最大號碼，寫出 X 的分布律和分布函數(shù)。解依題意 X 可能取到的值為 3，4，5，事件 X3 表示隨機(jī)取出的 3 個球的最大號碼為 3，則另兩個球的只能為 1 號，2 號，即 P X3115103；事件 X4 表示隨機(jī)取出的 3 個球的最大31號碼為 4，因此另外 2 個球可在 1、2、3 號球中任選，此時 P X425343 ；同理可得10126P X5。5103X 的分布律為課后答案X網(wǎng)3www4 .kh5X 的分布

31、函數(shù)為概率1361010100x3F x11041013x44x5x55. 在相同條件下獨立地進(jìn)行 5 次射擊，每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為 0.6，求擊中目標(biāo)的次數(shù) X的分布律。解依題意 X 服從參數(shù) n55, pk0.6 的二項分布，因此，其分布律5 kP Xk具體計算后可得0.6k0.4, k0,1,L,5 ，X012345概率3231254862514462521662516262524331256. 從一批含有 10 件正品及 3 件次品的產(chǎn)品中一件一件的抽取。設(shè)每次抽取時，各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等。在下列三種情形下，分別求出直到取得正品為止所需次數(shù) X 的分布律。（1） 每次取出的

32、產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品；（2） 每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中；（3） 每次取出一件產(chǎn)品后總是放回一件正品。解（1）設(shè)事件 Ai , i1,2,L 表示第i 次抽到的產(chǎn)品為正品，依題意， A1 ,L, An ,L 相互獨立，且P Ai10 , i131,2,L 而k 1P XkP A L AAP A L P AP A310 , k1,2,L1k 1 k1k 1k1313即 X 服從參數(shù) p10 的幾何分布。13（2）由于每次取出的產(chǎn)品不再放回，因此，X 可能取到的值為 1，2，3，4，P X110 , P X2133 105 ,13 1226P X33 2 1013 12 11

33、5143, P X43 213 121 1011 101 .286X 的分布律為X1234概率101355261431286（3）X 可能取到的值為 1，2，3，4，P X110 , P X2133 1113 1333 ,169P X33 2 1213 13 13722197, P X43 2 113 13 136.2197所求 X 的分布律為X1234概率10337261316921972197由于三種抽樣方式不同，導(dǎo)致 X 的分布律也不一樣，請仔細(xì)體會它們的不同處。7. 設(shè)隨機(jī)變量 X B 6, p，已知 P X1P X5 ，求 p 與 P X2 的值。解由于 X B 課6, p，后因此答

34、P X案6網(wǎng)w6 p k 1kwp w6 k ., k k0h,1,Ld,6a。由此可算得P X16 p 1p 5 , P X56 p 5 1p ,即6 p 1p 56 p 5 1p ,26 2解得 p1 ；26此時， P X26112226 512!215 。648. 擲一枚均勻的硬幣 4 次，設(shè)隨機(jī)變量 X 表示出現(xiàn)國徽的次數(shù)，求 X 的分布函數(shù)。解一枚均勻硬幣在每次拋擲中出現(xiàn)國徽的概率為 1 ，因此 X 服從 n24, p1 的二項分布，即2P Xk41 k4 k, k1k220,1,2,3,4由此可得 X 的分布函數(shù)0，1 ，x00x 116F x5 ，1611 ，1615 ，161，

35、1x22x33x4x49. 某商店出售某種物品，根據(jù)以往的經(jīng)驗，每月銷售量 X 服從參數(shù)4 的泊松分布，問在月 初進(jìn)貨時，要進(jìn)多少才能以 99%的概率充分滿足顧客的需要？解設(shè)至少要進(jìn) n 件物品，由題意 n 應(yīng)滿足P Xn 10.99, P Xnk0.99,即P Xn 1n 1 4 e 40.99P Xnk 0 k!n 4 k4e0.99k 0 k!查泊松分布表可求得 n9 。10. 有一汽車站有大量汽車通過，每輛汽車在一天某段時間出事故的概率為 0.0001，在某天該 段時間內(nèi)有 1000 輛汽車通過，求事故次數(shù)不少于 2 的概率。解設(shè) X 為 1000 輛汽車中出事故的次數(shù)，依題意，X 服

36、從 n1000, p0.0001的二項分布，即X B 1000,0.0001 ，由于 n 較大， p 較小，因此也可以近似地認(rèn)為 X 服從np 10000.00010.1 的泊松分布，即 X P 0.1 ，所求概率為P X21P X0.1010!0e 0.1P X0.111!1e 0.11 0.9048370.0904840.004679.11. 某試驗的成功概率為 0.75，失敗概率為 0.25，若以 X 表示試驗者獲得首次成功所進(jìn)行的試驗次數(shù)，寫出 X 的分布律。解設(shè)事件 Ai 表示第i 次試驗成功，則 P Ai0.75 ，且 A1 ,L, An ,L 相互獨立。隨機(jī)變量 X 取 k 意味

37、著前 k1 次試驗未成功，但第 k 次試驗成功，因此有P XkP A L AAP A L P AP A0.25k 10.75所求的分布律為1k 1 k1k 1kX12k概率0.750.25 0.750.25 k 10.7512. 設(shè)隨機(jī)變量課X 的后密度函答數(shù)為案網(wǎng)f x2 x ，0xA0，其他， 試求：（1）常數(shù) A ；（2）X 的分布函數(shù)。解 （1 ） f x成為某個隨機(jī)變量的密度函數(shù)必須滿足二個條件，其一為 f x0 ；其二為f x dx1 ，因此有 A 2 xdx01 ，解得 A1 ，其中 A1 舍去，即取 A 1 。（2）分布函數(shù)F xP X=xxx 0dx0 0dx0 0dx0x

38、21f x dxx 2 xdx01 2 xdx0x 0dx1x00x 1x 1x00x 1x 113. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 f xX 的分布函數(shù)。Ae x ,x，求：（1）系數(shù) A ；（2）P 0X1 ；（3）解 （1）系數(shù) A 必須滿足Ae x dx1 ，由于 ex 為偶函數(shù)，所以Ae x dx2Ae x dx2Ae x dx 100解得 A1 ；2（2） P 0X11 1 e0 2x dx1 1 e0 2x dx1 1 e 1 ；2（3） F xx f x dxx 1 e=20 1 e2x dxx dxx 1 e0 2x0x dxx0x 1 e x dx=20 1 e x dx2

39、x 1 e0 2x0x dxx01 e xx0=211 1 e xx0221 e xx0=2114. 證明：函數(shù)1 e xx02x 2x0 x2ccf xe0（ c 為正的常數(shù)）x0為某個隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)。x 2x 22x 2證由于 f x0 ，且f x dxx e 2c dx ce 2c dx02ce 2c1 ，0因此 fx 滿足密度函課數(shù)的后二個答條件，案由此網(wǎng)可得 fwxw為w某.個k隨h機(jī)d變的w密.度c函o數(shù)m。15. 求出與密度函數(shù)0.5e xx0f x0.2500x2x2對應(yīng)的分布函數(shù) F x的表達(dá)式。解當(dāng) x0 時， F xx f x dxx 0.5e x dx0.5e

40、 x當(dāng) 0x2 時， F xx f x dx0 0.5e x dxx0.25dx00.50.25x當(dāng) x綜合有2 時， F x0 0.5e x dx20.25dx0x0dx20.50.5 10.5e x ,x0;F x0.51,0.25x,0x2;x2.16. 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 1,6解X 的密度函數(shù)為上服從均勻分布，求方程t 2Xt1 0 有實根的概率。f x1 ,51x6 ；0,其他.方程t 2Xt1 0 有實根的充分必要條件為 X 240 ，即 X 24 ，因此所求得概率為P X 24P X2或X2P X2P X206 1 dx4 。2 5517. 設(shè)某藥品的有效期 X 以天計，其概率密度為f x20000,x0 ;x 100 30，其他.求：(1) X 的分布函數(shù)；(2) 至少有 200 天有效期的概率。解 (1) F xx f x dx =0,x20000dx,x0;0 x100 30,x0.x0;=110000,x100 2x0.(2) P X2001P X2001F 20011100001 。18. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為200100 290,x0F x11x e x ,x0求 X 的密度函數(shù)，并計算 P X1 和 P X2 。解由分布函數(shù) F xx與密度函數(shù)