題車燈線光源的最優(yōu)設(shè)計數(shù)學建模

1、A題 車燈線光源的最優(yōu)設(shè)計參賽隊員：王之元 谷德峰 饒彬 指導(dǎo)老師：毛紫陽學校：湖南長沙國防科技大學A題 車燈線光源的最優(yōu)設(shè)計摘 要 車燈線光源的設(shè)計具有很強的實際應(yīng)用意義。該問題屬于單目標規(guī)劃中的非線性規(guī)劃問題。本文通過已知條件求出了燈光焦點，以及任一條反射光線的空間解析表達式和對應(yīng)屏上的坐標位置表達式。然后建立光子跟蹤模型進行求解。光子跟蹤模型的原理是把光線粒子化，及時跟蹤光子的運行方向，最后以單位面積打到屏上的光子數(shù)來衡量光照度大小，進而反映光強度在屏上的分布規(guī)律。這是一種離散型處理方法，其本質(zhì)是計算機模擬。這個模型中基于不同原理又提出了好幾種算法：等間距光子跟蹤算法，改進的等間距跟蹤算

2、法，等效立體角跟蹤算法和隨機方向跟蹤算法。每一種算法的原理都不一樣，層層遞增，一步比一步深入，并分別作圖進行比較。另外還結(jié)合邊界條件討論了線光源長度的臨界值以及B、C兩點光強隨線光源長度變化的規(guī)律。在進一步討論中，我們分析了光線直射到屏上時的情況，對二次反射的影響也做了分析，進而證明了問題的合理性。 本文我們得出的結(jié)論是：滿足功率最小時的燈絲長度為4.337mm，第二問的答案見下圖，圖的大概形狀是一個心形。關(guān)鍵詞：光子跟蹤模型 計算機模擬 一、問題重述與分析：1、 問題重述車燈線光源的設(shè)計是一個非常實際的問題。已知車燈的形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，其開口半徑36毫米，深度21.6毫米。經(jīng)過車燈的焦點，

3、在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某一設(shè)計規(guī)范標準下確定使光源功率最小的線光源長度（規(guī)范化要求略，見原題）；并對得到的線光源長度，在有標尺的坐標系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū)和討論該設(shè)計規(guī)范的合理性。2、問題分析顯然在線光源單位長度光通量一定的情況時，要使光源功率最小，線光源的長度也應(yīng)該較小。但線光源的長度太小了，有可能出現(xiàn)C點的光強度小于額定值；線光源的長度過大，雖然能同時滿足B、C兩點光強度的要求，但線光源的功率也增大了。我們的目的就是在B、C兩點光強度滿足題目要求的情況下，求出最小的線光源長度。另外還要特別注意對“光強度”這一概念的理解，我們認為它和物

4、理學上的“發(fā)光強度”是一致的。按光度學中的定義，發(fā)光強度是某一方向上單位立體角內(nèi)所輻射的光通量大小。一般不是用肉眼可以觀察到的，主要的測量儀器是前照燈檢測儀（參看中國汽車檢測網(wǎng)前照燈檢測）。其構(gòu)件一般是采用具有把吸收的光能變成電流的光電池元件，按照前照燈主光軸照射光電池產(chǎn)生電流的比例，來測量前照燈的發(fā)光強度。由于本題中的光源不是點光源，直接求光強度比較困難，我們通過對光照度的測量來近似反映B、C兩點光強度的大小。光照度是單位面積上所接受的光通量的大小，用來衡量被照明表面明暗程度的物理量。二、 模型假設(shè)：1、基本假設(shè)（1） 光線通過車燈的前玻璃時能量無損失。（2） 光線在拋物面進行一次反射時，能

5、量考慮成無損失。（3） 不考慮二次反射。（4） 不考慮光的干涉和衍射現(xiàn)象。（5） 截取線光源上很小的一段，可以看成是在空間呈均勻輻射的點光源。于是線光源可以看成是無窮多個點光源的疊加。（6） 不考慮線光源對反射光能量的阻擋和吸收，即是說線光源不考慮厚度，反射光線可以毫無影響地穿過線光源區(qū)域。2、 符號說明-車燈的深度，h=21.6mm-車燈的焦距-線光源的長度-單位長度上線光源的光通量，一個點光源的光通量可以近似記為- 一個點光源的光通量大小=- 一個點光源的發(fā)光強度 ，三、 模型建立及求解：定理1：燈泡的焦距=15mm證明：我們以光軸的正方向為x軸，豎直 方向為z軸，水平方向(AC方向)為y

6、軸，拋物面的頂點為原點建立空間直角坐標系。如圖是拋物面在z=0時的函數(shù)圖象，設(shè)函 數(shù)為則焦距= ，由拋物線的定義，得 解得p=30,所以=15mm。 #因此曲面方程：， 作出的圖象見右圖。該模型是一個單目標非線性規(guī)劃問題其中K是某一要求的額定光強度, ,分別表示線光源在B,C兩點的光強度 我們的目的就是求出滿足P最小的 光子跟蹤模型：本題中線光源可以看成是許多個點光源的疊加，只有焦點處的那個點光源通過拋物面后的反射光線是平行光束。其它點光源的反射光線都不是平行光束，因此射到屏上的總光線分布比較復(fù)雜，難以求出解析表達式。但并不是無規(guī)律所尋，給定了空間的一個點光源G(15,y1,0)，（其中 ），

7、再給定拋物面T: （上的一任點P(x0,y0,z0),則反射光線就可以根據(jù)y1,x0,y0,z0這四個參數(shù)唯一確定了。下面我們就根據(jù)光的微觀粒子性結(jié)合反射光線的曲線分布建立光子跟蹤模型。這一模型的主要思想是把光能粒子化，及時紀錄每一個“光子”的運動軌跡，判斷最終到達屏上的具體位置。最后把每個小面積區(qū)域內(nèi)的“光子”總數(shù)進行疊加，就得到了屏上光通量的分布圖，進而求出光照度和光強度的分布。例如對于點光源G(15,y1,0)，（ ），設(shè)其光通量為，單位時間內(nèi)輻射出的“光子”數(shù)為M(為提高精度，M可以取得大一些，如1000，000個)，則每個光子所帶能量為/M（一秒鐘內(nèi)）,且這些“光子”圍繞G點在空間是

8、均勻發(fā)射的。一部分“光子”通過燈泡外玻璃殼直接射出（這一部分能量非常小，我們在模型的進一步討論中將繼續(xù)討論），絕大多數(shù)的“光子”通過拋物面反射一次后射出，還有可能出現(xiàn)“光子”在拋物面反射兩次，在反射第二次時，我們設(shè)想該“光子”就被牢牢的地粘在了拋物面上（這種情況概率也很小，模型改進中將繼續(xù)討論）。通過把線光源選取一定步長dl做為一個點光源，可以得到N個點光源(N=),我們把這N個點光源在屏上某一小區(qū)域內(nèi)的光子數(shù)進行求和,就可以求得該小區(qū)域內(nèi)的光照度值我們先分析一下任一個點光源G(15,y1,0)，（）在拋物面上任一點P(x0,y0,z0)的反射曲線.為了直觀的理解我們在平面上做出了大致反射光線

9、圖,實際上這些點圖并不是在一個平面上的（見圖2）。G是點光源，P是反射點，E是G點關(guān)于過P點切平面的鏡面對稱點，PN是反射方向。由空間解析幾何的知識，我們不難得出E點坐標：進而由反射光線PN和屏面方程x=25015可以求出反射光線打在屏上的坐標K(x3,y3,z3),由Mathematica計算結(jié)果見下表。公式較長，但我們在用計算機進行模擬時需要用到數(shù)據(jù)采樣：下面我們就給出具體做法，首先要進行數(shù)據(jù)采樣，即是說給定一個點光源G，讓它遍歷拋物面上的所有點。我們遍歷的參數(shù)是和 (,0,360degree)。 其中是拋物面上的一點到x軸的垂直距離，垂心為是以為圓心，為半徑上的圓轉(zhuǎn)過的角度。則拋物面方程

10、化為 （如圖3）當我們的，定了時，拋物面上一點也定了。，分別變動很小的時，光線將在拋物面上掃出一個小面積dS1，這個面積非常小，我們可以近似的認為是一個小平面，光線照射就可以看成是鏡面反射。我們設(shè)想有一個虛擬光源G, G 是G關(guān)于dS1的鏡面對稱點.則從G點反射出的光線完全可以等效看成是從G點直射出的光。設(shè)G點通過dS1射到屏上的面積為dS2,由光度學的知識可以得到dS2上的光照度其中dF是點光源G在dS1面上的光通量,d是G到dS2的距離，是從G射出光線與x軸的夾角。給定點光源G，給定，和 時，光線在屏上的位置和照度就唯一確定了。下面我們就建立算法來實現(xiàn)遍歷過程。1、 等間距光子跟蹤算法st

11、ep 1 選定點光源步長dl,確定點光源個數(shù)N=,每個點光源1秒內(nèi)通過的光子數(shù)為設(shè)為M=100000,step 2 將吸收屏均勻分割成面積為ds許多小正方形,記下位置和編號step 3 選定,分別確定和的遍歷次數(shù), ,每次遍歷對應(yīng)的dS1通過的光子數(shù)記為相同step 4 for(I=1;I<=N;I+)for(j=1;j<=N1;j+)for(k=1;k<=N2;k+) 計算打到屏上的光子位置,累加每個小正方形上光子數(shù), step 5 是否完畢,返回根據(jù)上述算法我們利用所得離散數(shù)據(jù)作出了光線在屏上分布的形狀圖, 上圖是線光源長度等于6mm時做出的圖,由圖可以看出反射光線在屏上

12、的形狀是心型。其它長度作出圖的形狀也大致呈心型，只有處在焦點處的那個點光源在屏上的光照度是大致呈圓形分布的（即是說線光源非常短，濃縮到一點的極端情況，0mm）（見圖6）。這和實際情況也是比較符合的，而且可以看出光照度的分布規(guī)律是中間大（非常大），周圍小 。但算法1有嚴重的理論不足之處，它只能反映反射光線在屏上的形狀，而不能很好的反映在屏上的照度變化情況。出現(xiàn)這一情況的原因是在進行步長遍歷時，把每一次對應(yīng)的dS1上通過的光子數(shù)考慮是一樣的了，實際上是不相同的。另外由于光屏離的很遠（相對于拋物面的大小來說），在拋物面上的dS1很小，但發(fā)散到屏上時的光斑dS2可能比較大，如果還把它看成一個質(zhì)點來處理

13、也是不合理的。光子從點光源向空間各個方向是均勻發(fā)射的，我們應(yīng)該以通過等光子數(shù)的小單元進行遍歷。這在以點光源為中心的球坐標上可以等角度遍歷，但反映到以進行遍歷時，通過相同光子數(shù)對應(yīng)應(yīng)該是變步長的，為了便于操作，我們?nèi)匀粚嵭械炔介L遍歷，只是對于每一步的光照度我們定義了一個權(quán)，這個權(quán)值的大小和，是有關(guān)系的，而且由于第二個原因的影響，故我們采用分布疊加的方式求屏上的光照度。（見圖7）它的主要原理是一條光線反射到拋物面上后計算其光照度，然后又把這個反射點近似的看成是點光源，只不過是光強度變小了，再根據(jù)光照度公式可以求出屏上的光照度分布。這種算法很好的減少了由于距離太長帶來的模型誤差。 設(shè)點光源G(15,

14、y1,0)發(fā)出的一條光線與拋物面交于P,則其光照度,從p點反射后,我們可以把p點看成是一個光源,則打到屏上M點的光照度就為,再將每個點光源經(jīng)拋物面反射的光線在屏上的光照度進行疊加就可以得出B、C點光照度的比例關(guān)系。有關(guān)計算結(jié)果如下，入射方向n1 : 出射方向i： Q即是我們要設(shè)定的權(quán)值，它和 有關(guān)，則照到屏上M點的光照度為然后我們對，等步長進行遍歷，每一補加上相應(yīng)的權(quán)值就可以得到光照度在屏上的分布規(guī)律。2、改進的等間距跟蹤算法只需要把算法1的step 3改為step 3 計算等步長內(nèi)反射到屏上加權(quán)光 照度由算法2我們得到的光照度在屏上的一組分布分布圖（圖8A），圖8A是線光源長度=3.0mm時

15、的照度分布圖。該圖象從直觀上看能很好的反映光的明暗情況。但這里得到的圖象并不是我們在實際生活中所看到的光斑。光度學中唯一能用眼睛感受的物理量是光亮度，即是我們平常所說的亮度。但光照度的分布和光亮度的分布大致是相同的，可以用照度來反映亮度的分布情況。 3 等效立體角跟蹤算法算法2雖然考慮到加權(quán)的因素，但加權(quán)是利用光強加權(quán)，顯的不是很合理。對此我們提出等效立體角跟蹤算法。其原理是變步長進行的遍歷，但每一步所對應(yīng)小面積上的立體角是相等的。每次遍歷到下一點后的值和， 以及前一步的是有關(guān)的。我們找出了它們之間的關(guān)系就可以看成是等效相同的立體角進行遍歷。圖9是這個算法的流程圖，圖9A是這個算法得到的一組屏

16、上光照度分布圖。,圖 94 隨機方向跟蹤算法前面三種算法都是確定性算法，需要在拋物面上取樣跟蹤，而且還要等效處理變步長問題，計算比較復(fù)雜，而且容易產(chǎn)生模型誤差。為此我們提出隨機方向跟蹤算法，這是一種概率算法。原理很簡單，我們定義一個隨機方向Pa,b,c,(a,b,c-1,1 ) 。利用計算機按均勻分布產(chǎn)生M對a,b,c的值，M一般都取的比較大（例如M=1000000）。只要M足夠大，隨機方向P就可以看成是在空間呈均勻散開的。我們只需要對每一個方向求出在屏上的照射點。累積屏上單位面積的反射光線條數(shù)，就可以得到光照度的分布。該方案執(zhí)行簡單，但也有不足之處，實際上空間分布應(yīng)該呈球狀均勻分布，而不是呈

17、立方體。我們也可以等效加權(quán)處理。步驟如下（1） 對于產(chǎn)生的隨機方向P,如果落在以1為半徑的球內(nèi),則權(quán)值為1.（2） 對于產(chǎn)生的隨機方向P,如果落在以1為半徑的球外,則權(quán)值為1/d.其中d為該點到球心的距離。運用算法3對程序進行少量改動，我們作出了屏上光照度的分布圖（圖8C）。和圖9A相比兩者幾乎完全相同，說明我們的隨機方向算法算法是可靠的。上面的處理方法也是一種近似方法，可以用數(shù)學論證嚴格的推出權(quán)值應(yīng)滿足的規(guī)律。另外由于是隨機產(chǎn)生的發(fā)射方向，總有可能出現(xiàn)方向分布不是很均勻的情況，最好是進行方差檢驗或是增加劃分細度。燈絲長度的范圍的討論：我們先從理論上來分析燈絲長度應(yīng)滿足的關(guān)系式。線光源發(fā)出的光

18、經(jīng)拋物面反射后如果能直接照到B點和C點，則反射點應(yīng)該在z=0的拋物線上。因此我們可以只研究z=0的拋物線上的反射規(guī)律來確定線光源長度的范圍。線光源長度如果太短了，反射出的光可能照不到C點（極端情況線光源長度為0，全部反射出平行光，不能照到B,C點，隨著線光源長度的增加，能逐漸照到B,C點。當線光源長度繼續(xù)增加到某一值后，超過這一值的長度部分發(fā)出的光經(jīng)反射后將不能照到C點，而會出現(xiàn)在C點以外。這一部分光線做的就是額外功，因此線光源的最優(yōu)長度應(yīng)在某兩個特定植之間。我們在Mathematia中求得了給定點光源G(15,y1,0)情況下，反射光線斜率r隨x0的變化函數(shù)其中x0是拋物線上的點，x0,21

19、.6,當y1給定了時r隨x0的函數(shù)圖象是單調(diào)變化的，圖9給出的是y1=3mm的情況（反射點縱坐標y0>0的圖象，）。由圖可以看出斜率是單調(diào)下降的，x0=0處斜率最小，但不為0 ，原因是y1不等于0，y1越大，圖象在y軸的截距也將大些。由圖象的單調(diào)性我們可以推知，線光源長度下界應(yīng)滿足的臨界條件是點光源G(15,y1,0)在（21.6,-36,0）處的反射光線恰好過C點，由于只考慮了（21.6,-36,0）的情況，還應(yīng)該考慮（21.6,36,0）點的情況，二者求出的較小一個2 y1值就是長度下界。對于長度上界滿足的鄰界條件剛好相反。臨界條件是點光源G(15,y1,0)在（21.6,36,0）

20、處的反射光線恰好過C點。經(jīng)過解方程計算得到=/2 <=1.58202, 即3.07762<<3.16404 這就是燈絲長度的范圍。 上面考慮的是單位長度光通量一定時候，線光源長度應(yīng)滿足的條件。如果我們把線光源的總功率看成是一定的，則單位長度的光通量是隨線光源的長度而變化。因此的上界就不能用上面的方法去判定。但下界是一樣的，因為下界是一個突變的過程，如果線光源長度少于下界值 =3.07762，是不可能有光到達C點的。 對于上界也可以定性判斷規(guī)律，當線光源長度超過3.16404時，B,C兩點的光強度是隨的增大而減少的。這是因為超過3.16404的部分不會再照到B,C上，但由于總功

21、率一定，長度在3.07762<<3.16404中的點光源的光通量卻減少了，因此引起光強度的下降。線光源最優(yōu)長度值的確定：我們利用算法2得到的數(shù)據(jù)分析了線光源長度 的變化對B、C兩點光強度影響的情況，擬合曲線見圖10。 圖中x軸表式燈絲長度，y軸表示光照度，由于我們采用的是光子跟蹤模型，y軸的值比較大，但并不影響B(tài),C兩點光照度的相對關(guān)系。最優(yōu)線光源長度只和他們之間光照度之比有關(guān)。如果把線光源的功率給定了（光通量也定了），則線光源的長度越長，單位長度的光通量越小，到達B,C兩點的光強度越小。極端情況線光源無窮長，超過臨界長度的發(fā)光部分都浪費了，射到B,C點的光強度就十分小，不能滿足題

22、目要求的達到某一額定值。直接從該圖上還不能確定最優(yōu)線光源的長度值。所以我們作出了在線光源功率一定的情況下B,C點光照度之比隨線光源長度變化的函數(shù)圖象 。 當B點光照度小于等于C點光照度2倍時,制約滿足原題條件的額定功率P大小的必要條件是B點光照度,因為,當B點光照度滿足>=2P時,C點光照度必滿足>=P;當B點光照度大于等于C點光照度2倍時, 制約額定功率P大小的必要條件是C點光照度,因為,當C點光照度滿足>=P時,B點光照度必滿足>=2P;我們是在功率一定的條件下對線光源長度進行模擬搜索,所得數(shù)據(jù)點經(jīng)過擬合處理后,得到上面的兩條曲線,當L增大時;起初, B點光照度大于

23、等于C點光照度2倍, B是制約額定功率P大小的主要因素,經(jīng)過一段距離后,B點光照度小于等于C點光照度2倍, C成為制約額定功率P大小的主要因素;綜合分析得L/2=2.1685倍附近時,得到滿足在功率一定的條件下的最大額定功率條件,而原題恰好是一個逆向思維,當額定功率一定時,分析求解滿足最小功率條件的線光源的長度,可見,這于固定功率,求可滿足的最大額定功率是等價的。我們作出了在線光源長度L=4.337mm情況下屏上的反射光亮區(qū)（見圖11），這即是第二問的答案四、 模型的進一步討論： 前面的模型都是不考慮直射的情況得出來的，實際上射到屏上的一部分光還有來自于燈泡直射的部分。因此嚴格的說光斑的形狀還

24、要大些，但也不是圓形，而應(yīng)該接近于橢圓型。只是由于直射部分的能量占的比重太小，看起來還是心型起絕對作用。但這也反映了設(shè)計規(guī)范性的合理問題。 下面我們就來推導(dǎo)一下直射時光照度應(yīng)滿足的規(guī)律設(shè)點光源G(15,y1,0) ，所帶光通量為Qdy1,直射到屏上AC方向的坐標為M(25015,y3,0)則該點光源在M點的光照度為 那么線光源在M點的光照度就是這些點光源在該點的積分(y1)將這一部分光強也考慮進去，我們得到更加合理的線光源長度值L=4.337mm這個值比僅考慮反射的情況要稍微大一些。但也可以看出直射光線的能量相對于反射光線的能量是很小的一部分，近似計算中完全可以不考慮。另外還需要考慮2次反射的情況，可以根據(jù)反射光線與拋物面方程的交點來