2012年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)解題方法六 解答應(yīng)用問題

1、六、解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中考數(shù)學(xué)試卷中會有一些與生活聯(lián)系非常密切的題目，這些題目考查我們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題，解決問題的能力。這些題目與列方程解應(yīng)用題完全不同，解答這些題目需要較多的數(shù)學(xué)知識和較高的能力。解這類題目需要注意三個問題：1、讀懂題目：這類題目有一個共同的特點(diǎn)，題目的文字特別多。文字多的原因是需要正確地表述問題情境和需要解決的問題，避免產(chǎn)生歧義。也就是我們常說的“閱讀量大”。在中考考場上大閱讀量給我們帶來了心理壓力。往往不能集中精力認(rèn)真閱讀，讀一遍不知道什么意思，就開始緊張，越緊張就越讀不懂題目，就更加緊張，造成很大的心理負(fù)擔(dān)，影響自己水平的發(fā)揮。因此，我們要有足夠的心理準(zhǔn)備，遇到這樣的

2、題目時提醒自己不要緊張，定下心來認(rèn)真閱讀和思考，這樣會充分發(fā)揮自己的智慧，順利完成題目的解答。讀題是解題的開頭，讀題，不僅是把題目完整的讀下來，而且還要讀懂。這和閱讀文章一樣，首先讀明白說的是什么事情，要解決什么問題；其次在這件事情中提供了哪些使用數(shù)學(xué)知識解決問題的信息；最后讀清楚這些信息之間有哪些聯(lián)系，給我們提供了什么啟示。2、建立數(shù)學(xué)模型我們知道，利用數(shù)學(xué)知識解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，有了數(shù)學(xué)模型就有了解決問題的知識和方法。常用的數(shù)學(xué)模型有：方程（組）、不等式（組）、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等，每一類模型中還有小的類型，例如，函數(shù)模型中又包括：一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)

3、等。3、解答這類題目的解答并不困難，往往解答的書寫量還沒有閱讀量大，有時甚至更少。當(dāng)你讀懂了題目，選準(zhǔn)了數(shù)學(xué)模型，解答就應(yīng)該不成問題了。但是，由于這些題目與實(shí)踐生活聯(lián)系密切，提供的數(shù)據(jù)往往與我們在課堂上做的練習(xí)題目差別很大，需要我們動一番腦筋去算。這時正確地計(jì)算很重要。下面我們就來看一些題目： 一、一次函數(shù)模型例1 一輛經(jīng)營長途運(yùn)輸?shù)呢涇囋诟咚俟返腁處加滿油后，以每小時80千米的速度勻速行駛，前往與A處相距636千米的B地，下表記錄的是貨車一次加滿油后油箱內(nèi)余油量y（升）與行駛時間x（時）之間的關(guān)系：行駛時間x（時）0122.5余油量y（升）100806050（1）請你認(rèn)真分析上表中所給的數(shù)

4、據(jù)，用你學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)中的一種來表示與之間的變化規(guī)律，說明選擇這種函數(shù)的理由，并求出它的函數(shù)表達(dá)式；（不要求寫出自變量的取值范圍）（2）按照（1）中的變化規(guī)律，貨車從A處出發(fā)行駛4.2小時到達(dá)C處，求此時油箱內(nèi)余油多少升？解：（1）如圖，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中，描出各點(diǎn)，這些點(diǎn)可以看成一條直線上的點(diǎn)，因此，可以用學(xué)過的一次函數(shù)來表示與之間的變化規(guī)律。設(shè)與之間的關(guān)系為一次函數(shù)：（k0）將（0，100）和（1，8 0）代入，得 解得 驗(yàn)證：當(dāng)時，符合一次函數(shù)；當(dāng)時，也符合一次函數(shù)可用一次函數(shù)表示其變化規(guī)律。（2）當(dāng)時，由可得即貨車行駛到處時油箱內(nèi)余油16升 注意：

5、 1、為什么要利用函數(shù)的圖象來確定函數(shù)模型呢？ 我們知道，函數(shù)有三種表示法，這三種表示法雖然形式不同，但本質(zhì)卻表示同一函數(shù)關(guān)系。而最容易判斷函數(shù)類型的是函數(shù)的圖象，各類函數(shù)圖象都有自己的特點(diǎn)，因此使用函數(shù)圖象來判斷函數(shù)類型是十分有效的方法。2、為什么在確定了一次函數(shù)的解析式后還要進(jìn)行檢驗(yàn)？我們知道，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)后，根據(jù)這些點(diǎn)的位置判斷它們屬于一次函數(shù)模型，又根據(jù)其中兩個點(diǎn)列出了一次函數(shù)的關(guān)系式，這是一種由特殊到一般的推理，這種推理所得到的結(jié)論不一定正確，因此還要檢驗(yàn)另外兩組數(shù)據(jù)是否符合。例2 小明到三山服裝專賣店做社會調(diào)查了解到商店為了激勵營業(yè)員的工作積極性，實(shí)行“月

6、總收入基本工資計(jì)件獎金”的方法，并獲得如下信息：營業(yè)員甲乙月銷售件數(shù)（件）200150月總收入（元）14001250假設(shè)營業(yè)員月基本工資為元，銷售每件獎勵a元，月銷售件數(shù)為x件，月總收入為y元（1）確定y與x之間的關(guān)系式；（2）若營業(yè)員小俐當(dāng)月總收入不低于元，她當(dāng)月至少要賣服裝多少件？ 解：（1）根據(jù)題意，得 （a0） 解得 （2）根據(jù)題意，得 即解得 答：小俐當(dāng)月至少要賣服裝334件。 注意：題目中給出的月工資計(jì)算方法雖然沒有明確表明是一次函數(shù)關(guān)系，但用式子表示出來卻和一次函數(shù)的解析式類似，但是，它卻不是一次函數(shù)。因?yàn)椋宰兞縳只能取整數(shù)。 二、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)模型例3 為了預(yù)防流感，

7、某學(xué)校在休息天用藥熏消毒法對教室進(jìn)行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)，且0），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，與之間的兩個函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？y（毫克）O3t(小時)1P 解：（1）將點(diǎn)代入函數(shù)關(guān)系式， 解得 設(shè)（k0）將代入 解得 點(diǎn)（，1）在上再（，1）將代入 解得 ，（2） 根據(jù)題意，得 解得 至少需要經(jīng)過6小時后，學(xué)生才能進(jìn)入教室

8、 注意：1、這里為什么先求反比例函數(shù)的解析式，然后才求正比例函數(shù)的解析式？我們知道題目中先給出的正比例函數(shù)關(guān)系然后才是反比例函數(shù)關(guān)系，按理說應(yīng)該先求正比例函數(shù)的解析式，然后再反求比例函數(shù)的解析式，但題目中給出的函數(shù)圖象中只有反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P的坐標(biāo)是知道的，根據(jù)這個條件只能先求出反比例函數(shù)的解析式，然后再尋找條件求正比例函數(shù)的解析式。2、根據(jù)什么條件求正比例函數(shù)的解析式呢？從圖象上我們發(fā)現(xiàn)，有一個點(diǎn)即在反比例函數(shù)圖象上又在正比例函數(shù)圖象上，且它的縱坐標(biāo)為1，只要確定了這個點(diǎn)的橫坐標(biāo)就可以了。又因?yàn)檫@個點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，這個點(diǎn)的坐標(biāo)能使反比例函數(shù)關(guān)系式成立，代入即可求得。有了正比例函

9、數(shù)圖象上的一個點(diǎn)，確定正比例函數(shù)的解析式就不困難了。 三、二次函數(shù)模型例4 研究所對某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為（噸）時，所需的全部費(fèi)用（萬元）與滿足關(guān)系式，投入市場后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價(jià)，（萬元）均與滿足一次函數(shù)關(guān)系（注：年利潤年銷售額全部費(fèi)用）（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售噸時，請用含的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的年銷售額，并求年利潤（萬元）與（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售噸時，（為常數(shù)），且在乙地當(dāng)年的最大年利潤為35萬元試確定的值；（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某

10、投資商計(jì)劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（1），（2）中的結(jié)果，請你通過計(jì)算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤？參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解：（1）甲地當(dāng)年的年銷售額為萬元；（2）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時，當(dāng)x=時， 解得 ， n=（不合題意，舍去）（3）將代入，得 （萬元）將代入，得 （萬元） 應(yīng)選乙地 注意：這個題目并不難，關(guān)鍵是讀懂題意。例5 如圖，一座拱橋的輪廓是拋物線型拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如右圖所示），求拋物線的解析式；（2）求支柱的長度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶）

11、，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計(jì)）？請說明你的理由解：（1）根據(jù)題意，得 A（-10，0），B（10，0），C（0，6） 設(shè)拋物線的解析式為（a0），將的坐標(biāo)代入，得 解得所以拋物線的表達(dá)式是（2）可設(shè)F是拋物線上的點(diǎn) 從而支柱的長度是米（3）設(shè)是隔離帶的寬，是三輛車的寬度和則（7，0）過點(diǎn)作垂直交拋物線于則由此可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車 注意：這個題目雖然使用了二次函數(shù)模型，但與拋物線聯(lián)系十分密切，因此解題時要特別關(guān)注圖形（即二次函數(shù)的圖象）。根據(jù)圖形中的信息來解決問題。四、三角函數(shù)模型例6 某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距4

12、0千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫(yī)療站，如圖，在A地北偏東45°、B地北偏西60°方向上有一牧民區(qū)C一天，甲醫(yī)療隊(duì)接到牧民區(qū)的求救電話，立刻設(shè)計(jì)了兩種救助方案， 方案I：從A地開車沿公路到離牧民區(qū)C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區(qū)C方案II：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區(qū)C 已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍（1）求牧民區(qū)到公路的最短距離CDADC45°60°（2）你認(rèn)為甲醫(yī)療隊(duì)設(shè)計(jì)的兩種救助方案，哪一種方案比較合理？并說明理由（結(jié)果精確到0.1參考數(shù)據(jù)：取1.73，取1.41）解:（1）設(shè)CD為千米，由題意得，CB

13、D=30°，CAD=45°AD=CD=x 在RtBCD中 tan30°= BD= AD+DB=AB=40 解得 14.7 牧民區(qū)到公路的最短距離CD為14.7千米 （若用分母有理化得到CD=14.6千米，可得4分）（2）設(shè)汽車在草地上行駛的速度為，則在公路上行駛的速度為3，在RtADC中，CAD=45°，AC=CD方案I用的時間： 方案II用的時間： = 0 0 方案I用的時間少，方案I比較合理。 注意：利用函數(shù)模型解決問題時，經(jīng)常使用函數(shù)圖象和函數(shù)的性質(zhì)，而使用三角函數(shù)模型時通常使用直角三角形的性質(zhì)，要從圖形中發(fā)現(xiàn)隱含的條件。 五、統(tǒng)計(jì)模型例7 為減少

14、環(huán)境污染，自2008年6月1日起，全國的商品零售場所開始實(shí)行“塑料購物袋有償使用制度”（以下簡稱“限塑令”）某班同學(xué)于6月上旬的一天，在某超市門口采用問卷調(diào)查的方式，隨機(jī)調(diào)查了“限塑令”實(shí)施前后，顧客在該超市用購物袋的情況，以下是根據(jù)100位顧客的100份有效答卷畫出的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分：4035302520151050圖11234567431126379塑料袋數(shù)個人數(shù)位“限塑令”實(shí)施前，平均一次購物使用不同數(shù)量塑料購物袋的人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖“限塑令”實(shí)施后，使用各種購物袋的人數(shù)分布統(tǒng)計(jì)圖其它5%收費(fèi)塑料購物袋_自備袋46%押金式環(huán)保袋24%圖2 “限塑令”實(shí)施后，塑料購物袋使用后的處理方式統(tǒng)計(jì)表處理方

15、式直接丟棄直接做垃圾袋再次購物使用其它選該項(xiàng)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比5%35%49%11%請你根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）補(bǔ)全圖1，“限塑令”實(shí)施前，如果每天約有2 000人次到該超市購物根據(jù)這100位顧客平均一次購物使用塑料購物袋的平均數(shù)，估計(jì)這個超市每天需要為顧客提供多少個塑料購物袋？（2）補(bǔ)全圖2，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表說明，購物時怎樣選用購物袋，塑料購物袋使用后怎樣處理，能對環(huán)境保護(hù)帶來積極的影響解：（1）補(bǔ)全圖1見下圖4035302520151050圖11234567431126379塑料袋數(shù)個人數(shù)位“限塑令”實(shí)施前，平均一次購物使用不同數(shù)量塑料購物袋的人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖10（個）這100位

16、顧客平均一次購物使用塑料購物袋的平均數(shù)為3個估計(jì)這個超市每天需要為顧客提供6000個塑料購物袋（2）圖2中，使用收費(fèi)塑料購物袋的人數(shù)所占百分比為根據(jù)圖表回答正確即可，例如：由圖2和統(tǒng)計(jì)表可知，購物時應(yīng)盡量使用自備袋和押金式環(huán)保袋，少用塑料購物袋；塑料購物袋應(yīng)盡量循環(huán)使用，以便減少塑料購物袋的使用量，為環(huán)保做貢獻(xiàn) 注意：解答本題的關(guān)鍵是讀懂統(tǒng)計(jì)圖（表），從中獲取正確的信息。 例8 李明對某校九年級（2）班進(jìn)行了一次社會實(shí)踐活動調(diào)查，從調(diào)查的內(nèi)容中抽出兩項(xiàng)綜合素質(zhì)考試成績體育測試滿分100100100小聰729860小亮907595調(diào)查一：對小聰、小亮兩位同學(xué)的畢業(yè)成績進(jìn)行調(diào)查，其中畢業(yè)成績按綜合素質(zhì)、考試成績、體育測試三項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的方法按4：4：2進(jìn)行，畢業(yè)成績達(dá)80分以上（含80分）為“優(yōu)秀畢業(yè)生”，小聰、小亮的三項(xiàng)成績?nèi)缬冶恚海▎挝唬悍郑┎患案馩36%及格18%良好優(yōu)秀3人調(diào)查二：對九年級（2）班50名同學(xué)某項(xiàng)跑步成績進(jìn)行調(diào)查，并繪制了一個不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖，如右圖請你根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：（1）他們倆誰能達(dá)到“優(yōu)秀畢業(yè)生”水平？哪位同學(xué)的畢業(yè)成績更好些？（2）升入高中后，請你對他倆今后的發(fā)展給每人提一條建議（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“優(yōu)秀率