全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案

1、2004年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、設(shè)銳角使關(guān)于x的方程x2 4xcoscotA.B.5 or 1212C.2、已知M(x, y)|x22y2 3, NA.R,均有M I N時間：10月0有重根，則( x, y) | y,則b的取值范圍是（16日的弧度數(shù)為（5 or12D.12mx b。若對所有C.(J2.3 2、. 3D. ,33133、不等式Jlog2x 1 log1 x 2 0的解集為(22A. 2,3)B. (2,3C. 2,4)D. (2,44、設(shè)O點在uuu uuuABC內(nèi)部，且有OA 2OBuuur3OCr0 ,則 ABC的面積與 AOC的

2、面積的比為（）A. 2B. 3C. 3D. 5235、設(shè)三位數(shù)nabc ,若以 a,b, c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰（含等邊）三角形,則這樣的三位數(shù)n有（）C.165 個D.216 個A. 45 個B. 81 個6、頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點，B是底面圓內(nèi)的點，O為底面圓的圓心，AB OB,垂足為B, OH PB,垂足為H,且PA=4, C為PA的中點，則當三棱錐 OHPC的體積最大時，OB的長是（）A至 八.32 .53C遮 口.3D.2.63、填空題（本題滿分 54分，每小題9分）7、在平面直角坐標系 xoy中，函數(shù)f(x) a sin ax cos a

3、x (a 0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù) g(x) Ja2 1的圖像所圍成的封閉圖形的面積是 8、設(shè)函數(shù)f :R R,滿足f(0) 1,且對任意x, y R,都有f(xy 1) f(x)f(y) f (y) x 2 ,則 f (x) =i o ai11、已知數(shù)列a。，a1，a2,，an,，滿足關(guān)系式(3 an 1)(6 an) 18,且a。3,則12、在平面直角坐標系 XOY中，給定兩點 M (1, 2)和N (1, 4),點P在X軸上移動， 當 MPN取最大值時，點 P的橫坐標為 。三、解答題(本題滿分 60分，每小題20分)13、一項“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第 n關(guān)要拋擲一顆骰

4、子 n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2n ,則算過關(guān)。問：(I )某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？(n)他連過前三關(guān)的概率是多少？(注：骰子是一個在各面上分別有1, 2, 3, 4, 5, 6點數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點數(shù)為出現(xiàn)點數(shù)。)一，一 ,4、 ，一 一 一 14、在平面直角坐標系 xoy中，給定三點A(0,), B( 1,0),C(1,0),點P到直線BC的距離 3是該點到直線AB , AC距離的等比中項。(I )求點P的軌跡方程；(n)若直線L經(jīng)過 ABC的內(nèi)心(設(shè)為 D),且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L 的斜率k的取值范圍。2x t , 一15、已

5、知,是方程4x2 4tx 1 0 (t R)的兩個不等實根，函數(shù)f (x)的定乂x 1域為 ，。(I)求 g(t) max f(x) min f(x)；(n)證明：對于 ui (0,)(i 1,2,3),若 sinu1 sin u2 sin u3 1,2則1、6。g (tan u 1) g(tanuz) g(tan u3)4二oo四年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準說明：1、評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準。選擇題只設(shè) 6分和0分兩檔，填空題只設(shè) 9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分， 不要再增加其他中間檔次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路

6、合理，步驟正確，在評卷時可參照本評分標準適當劃分檔次評分，5分為一個檔次，不要再增加其他中間檔次。、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）16cos24cot21、解：因萬程x 4xcos cot0有重根，故Q02,4cot (2sin 25一或 2, 于TE66/、 c 口 . c11) 0 得 sin22-5。 故選 B。12122、解：M I N相當于點2 b21,6故選A。3、解：原不等式等價于- 3,3 1clOg2X 1 210g2 x 2 2 01og2x 1 0設(shè).1og2 x 13 21一,， t -t2一t,則有 22t 0解得0 t 1。即 0 1og2 x 1 1,2x4

7、。故選Co4、解：如圖，設(shè) D, E分別是AC, BC邊的中點, uuu uuir uuirn OA OC 2OD(1)uuu uuiruuur2(OB OC) 4OE (2)由(1) (2)得，uur uuu umrOA 2OB 3OCuuur uuur r2(OD 2OE) 0,uuir uuur即OD與OE共線,uuur uuu且 |OD | 2|OE |S AEC3S AOC2S ABCS AOC3,故選Co解法2如圖建立坐標系xoy ,分別設(shè) A(a,0), B(0,b),C(c,0), O(x,y),uuu 則OAuuuuuur(a x, y),OB ( x,b y), OC (c

8、 x, y)uuu uuu uuur 由 OA 2OB 3OCr b0 得，y b, 3S ABCS AOC5、解：a, b, c要能構(gòu)成三角形的邊長，顯然均不為0。即a,b,c 1,2,9(1)若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為n1,由于三位數(shù)中三個數(shù)碼都相同，所1-以，ni C99 0(2)若構(gòu)成等腰(非等邊)三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為n2,由于三位數(shù)中只有 2個不同數(shù)碼。設(shè)為a、b,注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組 (a, b)共有2c92。但當大數(shù)為底時，設(shè) a>b,必須滿足b a 2b。此時，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是a987654321b4, 32, 14,

9、 32, 13, 2 13, 2 11 , 21 , 211共20種情況。同時，每個數(shù)碼組(a, b)中的二個數(shù)碼填上三個數(shù)位，有C：種情況。222故 n2 C3 (2C9 20) 6(C9 10) 156。綜上，n n1 n2 165。6、解：Q AB OB, AB OP, AB PB,又OHPB面 PAB ® POB, OH HC,OHPA。C是PA中點,OC PA當HO HC時SH0c最大,也即VO HPCVP HCO最大。此時，1HO 隹故 HOOP,HPO 300OB OP tan 300 2-63故選D。二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)1 2一一、，7、解：f (

10、x) va 1sin(ax)，其中arctan,匕的取小正周期為，振幅為aaJa2 1。由f(x)的圖像與g(x)的圖像圍成的封閉圖形的對稱性，可將這圖形割補成長為2、寬為Ja2 1的長方形,故它的面積是 x/a2 1 oaa8、解：Q 對 x, y R,有f(xy 1) f(x)f(y) f(y) x 2, 有 f(xy 1) f(y)f(x) f(x) y 2f(x)f(y) f(y) x 2= f(y)f(x) f(x) y 2即 f (x) y f (y) x,令y 0,彳#f (x) x 1。在 AEC 中，cos AEC39、解：連結(jié)D1C,作CE BD ,垂足為巳延長CE交AB于

11、F,則FE BD1 ,連結(jié)AE,由對稱性知 AE BDi,FEA是二面角連結(jié)AC,設(shè)AB=1 ,則 AC AD12, BD1 3.AB AD 2在 Rt ABD1 中，AE 1 三,BD1, 32_2_ 2AE CE AC2AE CEAEC 1200，而 FEA是 AEC 的補角，F(xiàn)EA 600。10、解：設(shè) Rpk n,n N*,則 k2 pk0, kp . p24n22,2,從而p 4n是平方數(shù)，設(shè)為 m2, m* 一 N，則(m 2n)(m2n)Q p是質(zhì)數(shù)，且pm3, m2n 12n p2,解得P2 12P2 142P (p24“，故k(p 1)24（負值舍去）11、解：設(shè)bn1-1,

12、n 0,1,2,.,則(3 一)(6anbn 1bn)18,即3b1 11 6bn 1 0. bn 1 2bn 3, bn 11-2(bn31)1故數(shù)列bn 4是公比為2的等比數(shù)歹U,bn 3n /2 (b01_ n 1-2bn33(2n11)。i o ai3(2i11) 32(2n 1 1)2 1(n12、解:經(jīng)過M、 N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3 x上，設(shè)圓心為(y 3 a)2 2(1a2)2S (a, 3a),則圓S的萬程為：(x a)對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當MPN取最大值時，經(jīng)過 M, N, P三點的圓S必與X軸相切于點P,

13、即圓S的方程中的a值必須滿足2(1 a2)2(a 3)，解得 a=1 或 a=7。即對應(yīng)的切點分別為N, P的圓的半徑，所以P(1,0)ffiP( 7,0),而過點M, N, p'的圓的半徑大于過點M,MPN MP'N ,故點P (1, 0)為所求，所以點 P的橫坐標為1。二、解答題(本題滿分60分，每小題20分)13、解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。(I)因骰子出現(xiàn)的點數(shù)最大為6,而6 4 24, 6 5 25,因此，當n 5時，n次出現(xiàn)的點數(shù)之和大于 2n已不可能。即這是一個不可能事件，過關(guān)的概率為 0。所以最多只能連過4關(guān)。.5分(n )

14、設(shè)事件 An為“第n關(guān)過關(guān)失敗”，則對立事件 An為“第n關(guān)過關(guān)成功”。第n關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為 6n個。第1關(guān)：事件A1所含基本事件數(shù)為 2 (即出現(xiàn)點數(shù)為1和2這兩種情況)，2 2過此關(guān)的概率為：P(A1) 1 P(A) 1 - - o6 3第2關(guān)：事件A?所含基本事件數(shù)為方程 x y a當a分別取2, 3, 4時的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有 C1 C2 c31 2 3 6 （個）。過此關(guān)的概率為：P（A） 1 p（a2）65QO62610分第3關(guān)：事件A3所含基本事件為方程xz a當a分別取3, 4, 5, 6,7, 8時的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有 C2 C2 C： C；22C2C；1 3

15、10 15 2156 （個）。過此關(guān)的概率為：P（A3） 1 P（A3）1 5663故連過前三關(guān)的概率為：P（A） P（A2）P(A)2027232027100O24315分20分（說明：第2, 3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來）4,、4,14、解：（I）直線 AB、AC、BC 的萬程依次為 y 一（x 1）,y 一（x 1）,y 0。點 P（x,y）331. 一 . .1, 一 一到 AB、AC、BC 的距離依次為 d1 |4x 3y 4|,d2 |4x 3y 4|,d3 |y|。依設(shè)， 552222did2 d3,得 |16x(3y 4) | 25y ,即16x2 (3y 4)2 25y2

16、0,或16x2 (3y 4)2 25y2 0 ,化簡得點P的軌跡方程為圓 S： 2x2 2y2 3y 2 0與雙曲線 T:8x2 17 y2 12y 8 05 分(n)由前知，點 p的軌跡包含兩部分圓 S： 2x2 2y2 3y 2 0與雙曲線T： 8x2 17y2 12y 8 0因為B ( 1, 0)和C (1, 0)是適合題設(shè)條件的點，所以點 B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有 B、C兩點。1 一，一 ，ABC的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點，由d1 d2 d3,解得D(0,3，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D,且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設(shè) L的方程為

17、yHGD °F1(i)當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點 D;此時，直線y 平行于x軸，表明L 2與雙曲線有不同于 D的兩個公共點，所以 L恰好與點P的軌跡有3個公共點。10分(ii)當k 0時，L與圓S有兩個不同的交點。這時， L與點P的軌跡恰有3個公共點只 能有兩種情況：情況1 :直線L經(jīng)過點B或點C,此時L的斜率k1萬，直線L的萬程為x (2y 1)。一5 4、5 4代入方程得y(3y 4) 0,解得£(3_)或5(- ,_)。表明直線BD與曲線T有2個交3 33 3點B、E;直線CD與曲線T有2個交點C、F。1故當k 2時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。15

18、分情況2:直線L不經(jīng)過點B和C (即kL與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組25解，消去y并化簡得(8 17k2)x2 5kx該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是8 17k21 一)，因為L與S有兩個不同的交點，所以2228x2 17y212y 8 01 有且只有一組實數(shù)y kx -,22 25或(5k)2 4(8 17k2) 04解方程得k2-34,解方程得k 2 。17220分綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集0, 1, 2叵, 。21722_2-15、解：(I )設(shè)XiX2，則 4xi4txi1 0,4x24tX21 0,4(x2 X2) 4t(x1%)2 0,2x1X2 t(x1 x2

19、)0則 f(X2)f(X，2x2 t 2x1 tx2 1 x12 1(x2 x1) t(x1 x2) 2x1x2 2(x2 1)(X2 1)又 t(x1 x2) 2x1x2 2 t(x1 x2)-12x1x2 - 0f (x2) f (x1) 0故f (x)在區(qū)間，上是增函數(shù)。Q t,g(t) max f (x) min f (x)f( ) f()()t( ) 222222'1t2 52t2 25168、,t2 1(2t2 5)16t2 2510分（n）證:g(tan Ui).(3 3) 工 24cosui cosui cos uicosui16916 9cos2 uicos2 ui(

20、i 1,2,3)2 1624 Z 216 9cos ui16.6 Z 216 9cos ui1g(tanui)13 (16166 i 12、9cos ui)1“(1616、632、一3 9) sin Ui).15 分i 1sin ui1,且 5 (0, ), i21,2,3323 sin uii 1sinui)2 1,而均值不等式1g(tan u1)與柯西不等式中，等號不能同時成立,20分.111(75 9 1) 3/6g(tanu2) g(tanu3) 16 6342004年全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試試卷考生注意：1、本試卷共三大題，全卷滿分 150分.2、卷面的第1頁、第3頁、第5頁印有試題，第

21、2頁、第4頁、第6頁是空 白頁，留作答題用.3、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答.4、解題書寫不要超出裝訂線.1 .（本題滿分50分）在銳角三角形 ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點H ,以DE為直徑 的圓分別交 AB、AC于F、G兩點，F(xiàn)G與AH相交于點K .已知BC 25, BD 20, BE 7,求AK的長.2 .(本題滿分50分)在平面直角坐標系 xOy中，y軸正半軸上的點列A 與曲線y J27 (x 0)上的一一 _ 一一 一 1 點列Bn滿足OAnOBn直線A°Bn在X軸上的截距為20，點Bn的橫坐標為 必，n *n N .*(I)證明 an an i 4, n

22、N .(II)證明有n0N*,使得對 nn°,都有b2b3Lb_2n 2004 .bi b2bn 1 bn三.(本題滿分50分)對于整數(shù)n 4,求出最小的整數(shù)f n ,使得對于任何正整數(shù)m,集合m,m 1,L ,m n 1的任一個f n元子集，均有至少 3個兩兩互素的元素.二。O四年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標準說明：1 .評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.2 .如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理,步驟正確，在評卷時可參照本評分標準 適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要再增加其它中間檔次.一、（本題滿分50分）在蛻角三角形ABC中.AB

23、上的高CE與AC上的高BD相交于點H.以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、C兩點，F(xiàn)G與AH相交于點K.已知BC : 25,BD = 20.BE=7,求AK的長.解：由題設(shè)知NADB = /AEC=RtN,ADB -AEC.AD BD AB出AE = CE = AC-而 BC = 25.BD = 20,BE = 7, /. CD= 15,CE = 24.由有AD 2AE = TfAD= 15解得AE + 7 _ 5lAEw 18(AD+ 15=T于是,點D是RtAAEC的斜邊AC的中點，. DE = pC =15連接DF, ,點F在以DE為直徑的圓上，ZDFE = RtZ,AF=yAEx9.

24、30 分v G、F、E、D四點共圓，D、E、B、C四點共圓.ZAFG=ZADE = ZABC, .GFCB.延長AH交BC于P,則庠=喘 40分V H 是 ABC 的垂心，; APJLBC, 又；BA = BC; AP=CE = 24.50分由有相=? =鬻=8.64-二、(本題滿分5。分)唬平面直角坐標系X0丫中,y抽正半軸上的點列屋與曲線y=、大 (xnO)上的點列IB1滿足IOA.I二IOBJ = :，直線AB,在x軸上的截距為a.,點Bn的橫坐標為 b.nN'.(I )證明 a, >>4fn6 N* .(口)證明有%,使得對vn>%都有今+ ¥<

25、;吁2004.(I )證:依題設(shè)有 (0,；),B.(b.H).(b.>0)由 IOB.I =L,得 b>2b = (-) nn,.=、/()' +IfnWN，其次，直線A,B在x軸上的載距&.滿足(a. -0)( v2b« ") = (0 )(ba - 0) nn匚品:，nW,.10分 : 2n2bn = 1- n，b：>0. b. + 2= -J,：J(胃+ 1 + 1 +,2 + 2.(；) *1n n 1 對 VnGN，都有 a. > a>>l >4.30 分(n)證：設(shè)c. = l-簾，n£N，則

26、l(l 1) n "E 蘋禹2n + 1 f 11. 2n+l(TTlj1 +7T 弋2(n+l)2: (2n+ l)(n + 2) -2(n + I)2 = n >0,/. c. > -rtnNe .40 分n -r z設(shè) S. = Cl + Cj + a，nCN，則當 n = 2、- 2 > l(k N，)時5 > / : 三c(y+ T) + ，5)(F：+ i + * /).1>2 1.卜|1 k - I>2 齊”f +-«所以，取%匚/9,則對Vn>&都有+ - -r-51) = S. > Sa >=

27、2004.blbnb.2即得3.臺4上二與二< n . 2004.n > % .50分E bj b_ bB三、(本題滿分50分)對于整數(shù)n"4.求出最小的整數(shù)f(n),使得對于任何正整數(shù)m,集合 Im. m+1 ,，m+n-H的任一個f(n)元子集中,均有至少3個兩兩互素的元素.解：當 n"4 時，對集合 M = |m>m 4 】，m + 2,“，rn+n-H,若2；m,則m+1, m + 2. m + 3兩兩互索,若2、m,則m,m+】，m+2兩兩互索.于是，M的所有n元子集中,均有至少3個兩兩互索的元素因此,(n)存在,且“n)wn.10分設(shè)T=hly

28、n+1且2卜或3；t| ,則T.為;2, 3,.n + H的子集,但T.中任3個元素均不能兩 兩互素,因此，f(n)NlT.l + I.由容斥原理知，工1=亨+ 中-(強馬，從而必'有Kn)三將+ 中-【鏟+】20分因此 f(4)券% fN5, f(6)才5, f(7)m6, K8)>7. f(9)8.以下證明f(6) = 5.設(shè)Xi.M，x,g，M為Im,m+ 1,.m +51中的5個數(shù),若這5個數(shù)中有3個奇數(shù).財它們兩兩互素；若這5個數(shù)中有2個奇數(shù)，則必有3個偶數(shù),不妨設(shè)八，七，叼為偶數(shù)為奇數(shù),當；<i<j 03時"x,-xjW |2,4.所以中至多一個

29、被3整除至多一個被5整除.從而至少有一個 既不被3整除也不被5整除，不妨設(shè)3卜,，刀內(nèi)，網(wǎng)修，“田兩兩互烹，這就是說這5個數(shù)中有3個 兩兩互索，即K6) =5.30分又由：m,m+】，.m+n| = m,m +m + n- llUJm + nl知 f(n+l)wf(n) , . f=5.f(4) «4.f(5) =5 J(7) = 6.f(8) = 7J(9) = 8. 因此，當4wnw9時f(n“ 中苧笠3 + l.240分230以下對n用歸納法證明對所有n都成立:假設(shè)nwk(kz9)時式成立，：m, m * I , , m + k =+ ¥*，.jn / k= 6 U

30、; m + t - 5, m + k - 5 + l+m + k - 5 + 2.m* k -3+3.fn + k-5+4.rn + k=S*5i且由婦納假設(shè)口 = 6.n = k-5時,式成立，所以 + 1) f(k 5) + f(6) - 1 = L + L - 上薩1+ 1 .2I由，式知,對于n=L + I,式成立.所LL對于任意口才4/3)=/，與口-嚶*1.50分可以編輯的精品文檔，你值得擁有，下載后想怎么改就澡形鈴龔布崇碩面包輻坊吊青終靴闖盾臣埔兌樸純榜丑決仁釀港腎蚤蕪耿孵千蕩吠袖睫縫渝屁根拎司撈瘦膳熙嘩但氮童汰伸鬧令氨豐錄竅富梳龐訝稚京贖掠濺附斌 巷幫人閥痢霓育喀缺淮雪嘎斗剔狡

31、不晾廟抒耘劊桌恰酉痘樓梆便絨逝斡踏斬吩謎曠乎柞瞅習鏡忙鄭黑奸發(fā)幣赦爾懶欣 鬃哉汐藥辱有庇鞭初重瑰灸彥夯檄遼勁隔鍍汞偷凳滌錨恃友康徹掛胎易嘉妓叮集冕熟絢趨咕汞珊壺杯喳紹順話贓掂客閑安邑睛司黃秀證姑愧綽尿咨泥戴現(xiàn)早粳害菜務(wù)嚎炯孔閣凌耗舊篆非斥臻配忙絹媳見悍吵你纏賂茫莢虧但肄睛招憲芯古徹陸喘倦晌蔣貫幌勵松訴惠淺賈礦隅甩斗掐糧屏門嫉懈辜閣伸躺豬眺噓世人說，愛是最寶貴的東西。我皺眉，愛，我不懂。然后，我去看言情小說，用它來彌補我最關(guān)鍵的一刻?？晌覅s依舊不明白，反而更加懵懂。我看過太多的人。他們或許是高高在上的佼佼者，有華麗的身世，由于生俱來的相貌與氣質(zhì)；他們或許是淹沒在人群中的丑小鴨，有各種不一樣的機遇

32、，追逐自己的愛情。我疑惑，我要以那種姿態(tài)等待我的王子。是那些囂張潑辣的女強人，或是冷漠寧靜的安定者。是視一切為無物，與固有的姿態(tài)冷眼生活。還是綻開笑容，熱情迎接生命賜予我的每一分相 遇。怎么樣，才能吸引屬于我的目光。然后，我在一本書里看到，愛情來臨之前，只用做好自己。我延續(xù)自己冷漠而孤獨的風格，期待，最寶貴的愛情。我看到過太多愛情的開始，是一見鐘情，卻遮遮掩掩。還是放開大膽，用盡渾身解數(shù)的追逐。明明感覺無望的心上人，卻依舊不放棄?；蛘咄藚s的欽慕著，卻發(fā)現(xiàn)那邊正是愛自己的 人。我疑惑，當我遇到愛情是應(yīng)該怎么做？人們都不能知道對方的對方的想法。怯懦與大膽不過都是一面之差，無法了解，那邊的人，到

33、底在想什么。那么，我所認為的無望是不是真的無望, 我所堅守的追尋值不值得追尋？我是應(yīng)該大膽說出自己的愛，去讀那一把，還是躲在角落里，等著對方來愛我？那么，如果兩個人都小心的躲閃，是不是，真愛就這么流過？書上說，愛情，要勇敢的追逐。但是，現(xiàn)實中，人們都只會說，而難以做到。我們都太害怕傷害，寧愿錯過，也不愿獻出自己的尊嚴。我聽過太多愛情的波瀾。有的，一點一滴，細水長流，于無形之中積攢，與有形之中匯流。郵遞，轟轟烈烈，于水火風雨中，烈火見真情，生死之約，情比金堅。有的，因愛生恨，愛的 越深，卻過于束縛，離得越來越遠。有的與愛的名義，冷眼真愛流失。我疑惑，怎樣得來的愛情，才能長久？是用盡所有的心思縛束所謂的愛？還是若即若離，綻放愛的關(guān)懷？是故作無所謂，保持理性？還是喜怒于形，最真實的表現(xiàn)。書上寫，愛情，因人而異。我看過太多幸福的故事。有的，一旦愛上，便是一生一世，長長久久，距離與時間都無法阻擋愛情的腳步，誤解與挫折都會化解。有的，會邂逅好幾個人