羅增儒談高考數(shù)學與高考解題

1、數(shù)學高考與高考解題羅增儒（1945），男，廣東惠州人，1962年就讀中山大學，畢業(yè)后長期當?shù)V山職工和子弟學校教師現(xiàn)為陜西師范大學數(shù)學系教授，課程與教學論（數(shù)學）博士生導師，享受國務院的政府特殊津貼，著有數(shù)學解題學引論、數(shù)學競賽導論、中學數(shù)學課例分析、怎樣解答高考數(shù)學題、怎樣解答中考數(shù)學題、數(shù)學的領悟、直覺探索方法、零距離數(shù)學交流、中學數(shù)學解題的理論與實踐等書300萬字，發(fā)表文章300多篇從1980年開始，幾十年如一日研究高考、競賽的解題與命題，項目著眼數(shù)學素質(zhì) 服務基礎教育數(shù)學高考解題理論的建設曾獲省級優(yōu)秀教學成果獎，項目奧林匹克數(shù)學學科建設曾獲國家級優(yōu)秀教學成果獎0 數(shù)學高考0.1 數(shù)學高考

2、的全程工作從1977年恢復高考，歷史走過了波瀾壯闊的30多個春秋，環(huán)繞著高考工作的文化積累正在考試學、人才學和數(shù)學等維度形成學術成果我期待著數(shù)學高考學的誕生數(shù)學高考的全程工作有4個基本問題:（1）掌握數(shù)學知識問題 怎樣復習（教育學）（2）提高解題能力問題 怎樣解題（數(shù)學）（3）運用考試技術問題 怎樣答題（考試學）（4）科學填報志愿問題 怎樣選擇（運籌學）其中，最核心的是解題，搞好復習是為解題積聚力量，運用考試技術是為解題作充分的發(fā)揮，分段得分技術是解題策略的運用解題能力是數(shù)學高考的核心競爭力0.2 數(shù)學高考命題的風格高考命題一直在“穩(wěn)中求進，穩(wěn)中求變、穩(wěn)中求新”，探索 公平選拔、為素質(zhì)教育服務

3、的道路，已形成了一些穩(wěn)定性的風格和值得注意的導向.（1）在全面考查“基礎知識、基本技能、基本方法”的基礎上，更突出數(shù)學思想方法的考查，突出數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系. 全面覆蓋了中學數(shù)學教材中的理科15個、文科13個知識模塊，知識點的覆蓋面達60%（約涉及7080個知識點）；同時，試卷突出學科的核心內(nèi)容，集合與函數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列、不等式、導數(shù)的應用等重點內(nèi)容在試卷中占有較高的比例，整體結構合理，也達到了必要的考查深度；此外，在模塊單一型試題為主體的基礎上還會進行知識之間的交叉、滲透和綜合試卷在全面覆蓋基礎知識的同時，會注重能力的考查，特別是邏輯思維能力，運算能力和空間想象能力至于實踐能力

4、和創(chuàng)新意識方面則是努力體現(xiàn)（五個能力）在數(shù)學思想方法方面，七個基本數(shù)學思想在試卷中都會涉及，其中，函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法、化歸與轉化的數(shù)學思想方法會體現(xiàn)得較為突出中學階段基本數(shù)學思想方法主要“有用字母表示數(shù)的基本思想方法”，“集合與對應的基本思想方法”，以及函數(shù)與方程的基本數(shù)學思想（通過函數(shù)題，綜合題）數(shù)形結合的基本數(shù)學思想（通過函數(shù)題，解析幾何綜合題，構造圖形等）分類與整合的基本數(shù)學思想（通過綜合題，排列組合題，參數(shù)討論題）化歸與轉化的基本數(shù)學思想（通過綜合題）特殊與一般的基本數(shù)學思想（通過綜合題）有限與無限的基本數(shù)學思想（通過極限、微積分函數(shù)題）或然與必然的基本數(shù)

5、學思想（通過概率、統(tǒng)計題）主要解題方法（待定系數(shù)法、換元法、配方法、反證法、代入法、消元法、數(shù)學歸納法）會有不同程度的體現(xiàn)（2）在主體上考查中學數(shù)學的同時，會體現(xiàn)進一步學習高等數(shù)學的需要.特別是一些有挑戰(zhàn)性的壓軸題，尤其各省獨立命題之后，更是“注重理論數(shù)學，檢測考生后繼學習的潛能”（有人看到了高考與競賽的相互滲透）.（3）新課程理念的滲透.雖然新世紀課程改革剛剛起步（高中教材才開始試用），但其三維目標和十個基本理念會開始滲透（課程改革改到哪里，高考改革也改到哪里）.如，命題范圍拓展了，出現(xiàn)人文關懷，體現(xiàn)“情感、態(tài)度、價值觀”課程目標.（4）在命題技術上，可以看到：以教材為依據(jù)，又不拘泥于教材.

6、在知識交匯處設計命題.能力立意.改變了過去的知識立意.減少題量，降低難度，增加學生分析思考的時間.對三類題型設計了兩個從易到難的三個小高潮.變小量難題把關為全卷把關.試題切入容易深入難（階梯題）.避免死記硬背的內(nèi)容和繁瑣的運算（試卷提供難記易忘的公式）.文理分卷，難度有區(qū)別（姐妹題）.0.3 數(shù)學高考復習的組織工作（1）指導思想（2）高考復課的階段安排 （3）數(shù)學復習題的編擬（4）數(shù)學模擬考試的組織與講評（5）數(shù)學高考臨場的策略0.4 數(shù)學高考的研究工作（1）高考數(shù)學的特征（2）數(shù)學高考解題的特點（3）數(shù)學高考選擇題的求解（4）數(shù)學高考填空題的求解（5）數(shù)學高考解答題的求解（6）數(shù)學高考解題的

7、錯誤分析（解對了也會有策略性錯誤）（7）高考數(shù)學命題的研究（8）數(shù)學高考試卷的構成（9）數(shù)學高考的題型（10）數(shù)學高考設問的研究（11）數(shù)學高考難度的研究（12）數(shù)學高考賦分的研究（13）0.5 高考臨場的基本建議 （1）保持內(nèi)緊外松的臨戰(zhàn)狀態(tài). （2）使用適應高考的答題策略.（3）運用應對選拔的考試技術.高考答題的技術提前進入角色.迅速摸清“題情”. 執(zhí)行“三個循環(huán)”.做到“四先四后”.答題“一慢一快”.立足中下題目，力爭高上水平.立足一次成功，重視復查環(huán)節(jié).內(nèi)緊外松.0.6高考填報志愿.升學優(yōu)先. 就業(yè)優(yōu)先. 專業(yè)優(yōu)先. 成本優(yōu)先. 地區(qū)優(yōu)先.幾項兼顧.家長決定.1 解答高考數(shù)學題的必要基

8、礎1-1 明確解題過程1-1-1 數(shù)學解題的一般程序 （波利亞：怎樣解題）弄清題意主要是弄清條件是什么?結論是什么?各有幾個?如何建立條件與結論之間的邏輯聯(lián)系? 例1 已知三個方程中至少有一個方程有實根，求實數(shù)的取值范圍解法1 若正面求解，三個方程至少有一個方程有實根，將出現(xiàn)7種可能，情況復雜，但其反面則只有一種情況：三個方程都沒有實根，問題變得極為簡單有即 得 再求補集，得三個方程至少有一個方程有實根時實數(shù)的取值范圍為 評析 這個解法思路是可行的，答案是正確的，但由“7種可能，情況復雜”，得出“正面求解，情況復雜”卻是認識的封閉和邏輯的混亂“三個方程至少有一個方程有實根時實數(shù)的取值范圍”就是

9、三個集合的并集，其求解并不比解法1復雜解法2 “三個方程至少有一個方程有實根”就是第一個方程有實根、或第二個方程有實根、或第三個方程有實根，得 或 或 求、的并集，可得三個方程至少有一個方程有實根時實數(shù)的取值范圍為評析 由上面的兩個解法可以看到（1）問題表征影響解題方向與解題長度將“三個方程至少有一個方程有實根”表征為7種可能：某個方程有實根3種可能、某兩個方程有實根3種可能、三個方程都有實根1種可能，接下來還有7種情況的合并，書寫量確實較大；解法1只看到這一思路“情況復雜”，沒有看透復雜的原因，其提出的“反面求解”思路雖然可行，但未必就比“正面求解”的解法2平坦；所以，我們從這三個思路中看到

10、了問題表征對解題方向與解題長度的影響（2）知識影響解題其實，由集合運算的性質(zhì)知，解法1與解法2是等價的，解法1的作者要是調(diào)動起了這一知識，就不至于對“正面求解”一概得出消極的結論（3）反思有助于理解 如果對列舉“7種可能”的思路作反思就會看到，這種先分后合的步驟，其實已使得后4種情況的書寫成為簡單重復或多余回路；同樣，如果對解法1作反思，也有機會發(fā)現(xiàn)“反面求解”其實有“正面求解”的等價思路 例2 滿足條件的所有集合的個數(shù)是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4審題：是的子集，得（1）正面：中含有3的子集個數(shù).（2）反面：中不含3的子集個數(shù).擬定計劃探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，波利亞的建議是分兩步走

11、：努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系(模式識別等)；如果找不出直接的聯(lián)系，就對原來的問題作出某些必要的變更或修改，引進輔助問題，為此，波利亞又進一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關問題，分解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題這實際上是闡述和應用解題策略，并進行資源的提取與分配，基礎是“過去的經(jīng)驗和已有的知識”實現(xiàn)計劃，是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置回顧“回顧”是最容易被忽視的階段波利亞解題表中的“回顧”并不完全是常規(guī)解題中的“檢驗”（正確性的保證，解題的必要步驟），主要是有分析地領會所得的解法，它包含著把“問題及其解法”(認知)作為對象

12、進行自覺反思的元認知意圖 在內(nèi)容上，弄清用到了哪些知識？哪些方法？在組織上，弄清先用 哪些知識（方法）？后用 哪些知識（方法）？哪個與哪個作了配合？組成一個怎樣的邏輯結構？（臨場可能就來不及回顧了）1-1-2 數(shù)學解題的信息過程（1）有用捕捉即通過觀察從理解題意中捕捉有用的信息，主要是弄清條件是什么?結論是什么?各有幾個?如何建立條件與結論之間的邏輯聯(lián)系?捕捉有用的符號信息和形象信息知識經(jīng)驗是有用捕捉的基礎（2）有關提取即在“有用捕捉”的刺激下，通過聯(lián)想而從解題者頭腦中提取出解題依據(jù)與解題方法良好的認知構結和機智的策略選擇是連續(xù)提取、不斷捕捉的基礎（3）有效組合將上述兩組信息資源，加工配置成一

13、個和諧的邏輯結構邏輯思維能力是有效組合的基礎其基本要求應能說服自己、說服朋友、說服論敵 圖1例3 1993.（23）設4x-2x+1(x0)，則= .解說 從題目中可得兩個信息：（1）是表達式；（2）是反函數(shù)的自變量的取值為0.從記憶儲存中提取函數(shù)與反函數(shù)的關系作為解題的依據(jù)：， 得 .再從“原課本P60例1”的回憶中，得出指數(shù)方程的解 ， 再一次應用函數(shù)與反函數(shù)的關系： . 解題的信息過程如下圖，有5條信息組成的一個和諧的邏輯結構：從記憶儲存中提取有關信息信息2：從題意中捕捉有用信 息信息1：反函數(shù)的自變量為0信息2：課本P60例1圖2請注意,其中的條件保證了反函數(shù)的存在性,否則 在R上沒有

14、反函數(shù)1-1-3 數(shù)學解題的心理機制解題的心理過程是在問題的條件及結論的啟發(fā)下，激活記憶網(wǎng)絡中的一些知識點，然后沿接線向外擴散，依次激活新的有關知識，同時，要對被激活的知識進行篩選、組織、評價、再認識和轉換，使之協(xié)調(diào)起來，直到條件與結論之間的線索接通，建立起邏輯演繹關系（擴散激活） 圖31-2 夯實解題基礎冒著過于簡單化的風險，解題可以理解為“把知識內(nèi)容連接成一個邏輯鏈條”，因此，解題首先要有知識基礎和組織知識內(nèi)容的思維能力，同時在調(diào)動和配置知識內(nèi)容時還需要經(jīng)驗與良好的心理所以，盡管解題的成功取決于我們尚未徹底弄清的多種因素，但最基本的應有：解題的知識因素，解題的能力因素，解題的經(jīng)驗因素和解題

15、的情感因素，這也就是我們常說的解題基本功值得注意的是，解題不僅是知識的使用而且也是知識的理解，不僅是能力的運用而且也是能力的培養(yǎng)，不僅是經(jīng)驗的呈現(xiàn)而且也是經(jīng)驗的積累，不僅是情感的表現(xiàn)而且也是情感的養(yǎng)成一句話，解題不僅僅是基本功的簡單體現(xiàn)，而且更是基本功的繼續(xù)學習（庸者重在輸出，智者重在輸入），同樣是“天天畫蛋”，有的人“熟而生厭”、“熟而生笨”，而達芬奇卻畫出個國際大師1-2-1解題的知識因素（認知結構）人的思維依賴于必要的知識和經(jīng)驗，數(shù)學知識正是數(shù)學解題思維活動的出發(fā)點與憑借豐富的知識并加以優(yōu)化的結構能為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件既然，解題就是把知識內(nèi)容連接成一個邏輯鏈條，

16、那么，沒有知識內(nèi)容那來的知識邏輯鏈！解題研究的一代宗師波利亞說過：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”每一個希望提高解題效率、獲得解題成功的人，都必須下決心，在“知識豐富”與“結構良好”兩方面花大力氣，所以我們建議在第一階段復習要做到“四過關”：能準確理解書中的任一概念；能獨立證明書中的每一定理；能熟練求解書中的所有例題；能歷數(shù)書中各單元的作業(yè)類型.測試（形成良好的認知結構，思維路線圖）例4-1 閉上眼睛，你能回憶幾條數(shù)學定理，說出幾個數(shù)學名詞？越多越好！例4-2 當我說“函數(shù)”時，你能想起相關的多少個概念和定理？越多越好！例4-3 說出一條會證的定理。例4-4 說出一道會做

17、的題目。對于學好數(shù)學來說，記住知識還不是最難的（連記都不想記談不上學好），還要通過解題去深入理解、疏通聯(lián)系、優(yōu)化結構所以，有人說：數(shù)學不是教會的，而是學會或做會的 1-2-2解題的能力因素（思維能力）思維是人腦對客觀現(xiàn)實概括的和間接的反映數(shù)學解題中既有邏輯思維又有非邏輯思維，其主要成分是3種基本的數(shù)學能力：運算能力邏輯思維能力空間想象能力。核心是能否掌握正確的思維方法，并表現(xiàn)于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的敏稅、洞察力與整體把握其基本要求包括：（1）掌握數(shù)學中各種常用的思維方法（如觀察、試驗、歸納、演繹、類比、猜想、分析、綜合、抽象、概括等）（2）掌握科學的解題程序（如弄清題意、擬定計劃、執(zhí)行

18、計劃、回顧）（3）掌握解題的基本策略，能“因題制宜”地選擇對口的解題思路，使用有效的解題方法、調(diào)動精明的解題技巧（4）具有敏銳的直覺應該明白，我們的數(shù)學解題活動是在縱橫交錯的數(shù)學關系中進行的，在這個過程中，我們從一種可能性過渡到另一種可能性時，并非對每一個數(shù)學細節(jié)都洞察無遺，并非總能借助于“三段論”的橋梁，而是在短時間內(nèi)朦朧地插上幻想的翅膀、直接飛翔到最近的可能性上，從而達到對某種數(shù)學對象的本質(zhì)領悟 例5 方程未知數(shù)范圍擴大是方程產(chǎn)生增根的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）既不充分也不必要條件 （D）充分必要條件講解 這道題目不考具體的解方程知識，而是以方程為載體考思

19、維能力，包括構造反例的能力據(jù)2008年9月高一學生64人的測試，四個選項都有人選，比例最大的是（B）必要而不充分條件：ABCD未選15人（023）21人（033）19人（029）7人（011）2人（003）事實上，對方程 平方，方程未知數(shù)范圍擴大但沒有增根方程未知數(shù)范圍擴大不是方程產(chǎn)生增根的充分條件兩邊乘以，方程未知數(shù)范圍沒有擴大，但方程產(chǎn)生增根方程未知數(shù)范圍擴大不是方程產(chǎn)生增根的必要條件所以，正確答案應選（C），但正確率只有029而選（B）則是學生中的傾向性錯覺這種錯覺有的來自學生自身，有的來自教師的影響1-2-3 解題的經(jīng)驗因素（經(jīng)驗題感） 解題具有實踐性與探索性的特征，基礎知識要通過解題

20、實踐來消化，思維素質(zhì)要通過解題實踐來優(yōu)化，解題方法要通過解題實踐來強化在解題實踐中，既會有成功又會有失敗，這兩方面的積累，都能形成有長久保留價值或借鑒作用的經(jīng)驗（1）解題經(jīng)驗所謂解題經(jīng)驗，就是某些數(shù)學知識、某些解題方法與某些條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗也向我們從反面提供有效的有序組合成功經(jīng)驗所獲得的有序組合，就好像是建筑上的預制構件（或稱為思維組塊），遇到合適的場合，可以原封不動地把它用上（模式識別）一個人解題所做的腦力工作就在于回憶起經(jīng)驗中用得上的東西，并且和他的解題思維聯(lián)系起來弗里德曼在怎樣學會解數(shù)學題（）中認為“如果我們著手解答一道習題，那么，第一件事就想知道：這是道什

21、么題？它是什么形式，屬于哪種類型？換句話說，就是需要識別給定習題的類型”這就需要平時積累經(jīng)驗與類型怎么積累呢？弗里德曼在“致讀者”中分析學生解了大量的題但還“不開竅”時指出：“這些學生沒有在應有的程度上分析所解的習題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個答案”這就指出了一個途徑：通過解題過程的分析來積累經(jīng)驗與類型波利亞也說：“如果你希望從自己的努力中，取得最大的收獲，就要從已經(jīng)解決了的問題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征”（數(shù)學的發(fā)現(xiàn)序言）解題中，“一個好念頭的基礎是過去的經(jīng)驗和已有的知識”（怎樣解題）（）題感解題經(jīng)驗的積累，有利于解題念頭的誘發(fā)，有助于直覺性題感的

22、形成題感指的是人們對問題的總體性的感受，它是思維定勢正遷移的一種潛在表現(xiàn)，實質(zhì)是一種數(shù)學觀念、數(shù)學意識，常體現(xiàn)為解題中的整體把握和成功思路的預感、預測與預見如像學外語的“語感”，學音樂的“樂感”解題經(jīng)驗就好像是建筑上的預制構件（或稱為思維組塊），遇到合適的場合，可以原封不動地把它用上（模式識別）解題所做的腦力工作就在于回憶他的經(jīng)驗中用得上的東西，并且和他的解題思維聯(lián)系起來經(jīng)驗題感的一個重要構成是美感，熟諳數(shù)學美，就能以美啟真、以美尋真，能夠從題意中領悟到審美感受，從而隨之產(chǎn)生解題的意向（3）經(jīng)驗積累的基本途徑中學生的解題積累，基本上就是課本上的學習積累，因此，對課本學習內(nèi)容進行總結歸類是積累經(jīng)

23、驗的一個基本途徑；分析解題過程是又一個積累經(jīng)驗的重要途徑小經(jīng)驗1：總結每一章的作業(yè)，弄清一共有幾個主要類型，每一類型各有幾種解決的方法小經(jīng)驗2：分析解題過程，揭示問題的深層結構.例6 如果，則.分析1 由.記問題轉化為.，只需的嚴格單調(diào). “的嚴格單調(diào)”問題的深層結構.分析2 由，有記，問題轉化為.只需的嚴格單調(diào)證明1 由，有，相減 2. 評析 實質(zhì)是證的單調(diào)性，用了兩次，我們用差異分析法，只需消去，代替變形過程.證明2 由，有，相減 2.1-2-4 解題的非智力因素（情感態(tài)度）這里主要是指良好的心理素質(zhì)，如動機、興趣、抱負、態(tài)度、品德、意志等這些非智力因素對于解題的作用，與它對于發(fā)明發(fā)現(xiàn)的作

24、用是一樣的華羅庚教授說：“聰明在于學習、天才在于積累”1995年5月，在中國數(shù)學會60周年年會上，筆者請國際數(shù)學大師陳省身教授談學數(shù)學的體會，大師胸有成竹地說：首先是用功，不用功什么也談不上我們說，學生學習數(shù)學只有通過自身的情感體驗，樹立堅定的信心，才能是成功的波利亞也說：“認為解題純粹是一種智能活動是錯誤的；決心與情緒所起的作用很重要”他強調(diào)說：“教學生解題是意志的教育當學生求解那些對他來說并不太容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了贊賞微小的進展，學會了等待主要的念頭，學會了當主要念頭出現(xiàn)后全力以赴如果學生在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數(shù)學教育就在最重要的地方失敗了”

25、（怎樣解題）筆者在引述波利亞的這段話時常常補充說：如果同學們在我的課程中，不能嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么，你們最好勸我去干點別的營生，別在這里誤人子弟了良好的心理素質(zhì)：動機、興趣、態(tài)度、品德、意志等.例7 已知為互不相等的實數(shù)，且，求講解 這是一個典型的題目，1951年時曾做過高考題，由于直接對三個比例式用等比定理會出現(xiàn)分母為0的問題？ 所以，有一個流行的說法，此題不能用等比定理我的老師當學生的時候人們這樣說，到了我的學生也當老師的時候，人們還是這樣說設比例系數(shù)是一個經(jīng)典的處理，并被認為是最關鍵的步驟：解法1 設， 則有 得 反思分析 分析這個解題過程我們看到三個步驟（解題過程的結構分析

26、）： 第1步，引進參數(shù)，把三個外形不同而比值相等的代數(shù)式用同一個符號來表示，可以有效防止“形異”對“值同”的干擾第2步，把與分離，以便于計算的值第3步，計算的值，這是實質(zhì)性的運算，其最基本的想法是轉化為有關式的計算，關鍵步驟是第式根據(jù)這個分析，設比例系數(shù)的作用有兩個：第一，有效防止“形異”對“值同”的干擾；第二，把與分離以便于計算的值但這都只是輔助步驟，前兩步并未開始的求和，抓住實質(zhì)性的第3步提出問題：（1）（正面思考）有與功能類似的替代式嗎？（2）（反面思考）不用還能計算嗎？回應1 如果對等值看得很清楚，那就可以把第式直接代入，取代得解法2 回應2 如果式中的“形異”對“值同”的干擾還比較大

27、，想不到作這樣的變形，看不清當中的公因式那可以直接用來表示，有解法3 由已知有， ，相加得 這樣，我們就有了不增設參數(shù)的個解法，只要作解題反思，人人都能做到但是，反思還沒有結束反思再深入 至少還可以再指出兩點：結論也是已知信息，障礙也是隱含條件（1）結論也是已知信息我們還浪費了一個信息，就是當我們分析解題過程時，結論已經(jīng)成為了已知信息： ， 即 這就如同摸索在黑房子里拉開了電燈，原來我們只須證式（當初并不知道），這用等比定理是可以做到的解法4 對已知式的前兩項用等比定理，有 ， 即 ， 得 ，得 原來，在我們的心里有一個誤區(qū)（涉及解題的情感態(tài)度），對三項連比式用等比定理時，會產(chǎn)生分母為零，就嚇

28、得兩項都不敢用等比定理了我們說，用比例的性質(zhì)來處理比例問題，更接近問題的本質(zhì)（也使得設比值成為多余）（2）障礙也是隱含條件讓我們再來看、中用等比定理時產(chǎn)生分母為0的問題？ 這時候的“分母為”構成了我們解題的一個障礙，但在上述的所有解法中又都用到了“分母為”，所以，與其說式給我們帶來了麻煩，不如說式顯化了題目的一個隱含條件式這是一個積極的收獲，當我們對尚未成功的式“視而不見”、而把目光同時注視、式時，式讓我們看到了兩條直線重合：， 而式告訴我們直線通過點，因而直線也通過點，得 （可記為解法5）1-3 防止解題錯誤有一種簡單化的認識，以為錯誤都是知識不過關造成的，其實，解題錯誤的類型不只一個，在知

29、識過關的情況下也會出現(xiàn)差錯既然成功的解題有知識因素，能力因素，經(jīng)驗因素和情感因素，那么不成功或失敗的解題也會與這些因素相關，我們總結為：知識性錯誤，邏輯性錯誤，策略性錯誤，心理性錯誤13.1 知識性錯誤知識性錯誤主要指由于數(shù)學知識上的缺陷所造成的錯誤如誤解題意、概念不清、記錯法則、用錯定理，不顧范圍使用方法等核心是所涉及的內(nèi)容是否符合數(shù)學事實例8 能與數(shù)軸上的點構成一 一對應的數(shù)集是（ ）（單項選擇題）(A)整數(shù)集(B) 有理數(shù)集 (C) 無理數(shù)集 (D) 實數(shù)集解 因為實數(shù)與數(shù)軸上的點構成一 一對應，所以選（D） 評析 這正是命題者的預設答案，但是命題者忘了，無理數(shù)集與實數(shù)集之間存在一 一對

30、應關系，這是無窮集合的特性：本身可以與其真子集一 一對應（盡管中學生不太清楚這一點），所以，無理數(shù)集也能與數(shù)軸上的點構成一 一對應，選擇(C)，(D)都成立這樣一來，題目又與單項選擇題“有且只有一項正確”矛盾在這里既有錯解又有錯題，既有知識缺陷又有邏輯矛盾，但最根本的還是知識問題，由知識性錯誤導致命題的邏輯性錯誤1.3.2 邏輯性錯誤邏輯性錯誤主要指由于違反邏輯規(guī)則所產(chǎn)生的推理上或論證上的錯誤如虛假論據(jù)，不能推出，偷換概念，循環(huán)論證等，常常表現(xiàn)為四種命題的混淆，充要條件的錯亂，反證法反設不真等核心是所進行的推理論證是否符合邏輯規(guī)則知識性錯誤與邏輯性錯誤既有聯(lián)系又有區(qū)別(1) 知識性錯誤與邏輯性

31、錯誤有聯(lián)系由于數(shù)學知識與邏輯規(guī)則常常是相依共存的，從廣義上說，我們也不能把邏輯知識排除在數(shù)學知識之外，所以，邏輯性錯誤與知識性錯誤常是同時存在的，從哪個角度進行分析取決于比重的大小與教學的需要在上面的例子中我們已經(jīng)看到，當我們說它有知識性錯誤時并不排除它也有邏輯性錯誤；同樣，當我們說它有邏輯性錯誤時也不排除它還有知識性錯誤(2)知識性錯誤與邏輯性錯誤又有區(qū)別知識性錯誤主要指涉及的命題是否符合事實(是否符合定義、法則、定理等)，核心是命題的真假性；邏輯性錯誤主要指所進行的推理論證是否符合邏輯規(guī)則，核心是推理論證的有效性雖然，數(shù)學命題的事實真假性與推理論證的邏輯有效性是有聯(lián)系的，但是數(shù)學畢竟不是邏

32、輯，數(shù)學畢竟比邏輯大得多，我們依然應該在知識盲點的基本位置和主要趨勢上區(qū)分知識性錯誤與邏輯性錯誤 例9 在四邊形中，大于其余三邊，小于其余三邊， 則的關系為（ ）（A） （B） （C） （D）不能確定解法1 如圖4，聯(lián)結，在的同側作，則，且是四邊形中的最短邊，是四邊形中的最短邊連，在中，由為四邊形的最長邊，有 圖4在中，由為四邊形的最短邊，有 +得 選（A） 評析 對照圖4，反復檢查也找不到任何知識上的問題，但是，這個解法默認了四邊形為凸四邊形，因而、式相加，得出小于若為凹四邊形（如圖5），便會出現(xiàn)、式相減，得與無法確定大小 解法2 如圖6，取一個平行四邊形，使為等腰直角三角形，作的外接圓，以

33、為圓心、以為半徑，畫弧交延長線于，連交于，交于 圖5，又在線段內(nèi)取點，連，則在四邊形中，大于其余三邊，小于其余三邊，有，選（D） 評析 解法1“默認四邊形為凸四邊形”，得出了一個假命題，有知識性錯誤，對四邊形分類不全又有邏輯性錯誤，而“默認”本身還可能有心理原因，但從錯誤的基本位置上看，主要還是對四邊形分類不全造成的，所找出的反例主要是考慮了四邊形的多種情況 圖613.3 策略性錯誤這主要指由于解題方向上的偏差，造成思維受阻或解題長度過大對于考試而言，即使做對了，若費時費事，也會造成潛在丟份或隱含失分，存在策略性錯誤在解題探求中，思維受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索階段的策略性錯誤是很難

34、完全消除的例10 sin15osin75o的值是_（1992年數(shù)學高考全國卷理科第（20）題）思路1 本來題目很簡單，也有課本的現(xiàn)成背景，用一次誘導公式、一次倍角公式、一次特殊角的函數(shù)值，一共3個知識點便可得出答案原式（誘導公式）（倍角公式）（特殊角的函數(shù)值）填但是，有的考生卻用了如下解法：思路2 原式至此，就再也算不下去了，應該說，解法的每一步運算都沒有知識性錯誤，但從整體上看，有解題方向調(diào)控上的策略性錯誤第一，使用的基礎知識過多、書寫的解題長度過大，會導致考試的“潛在丟分”或“隱含失分”第二，根式運算還要繼續(xù)化簡為最終結果：證明，這是一種典型的“會而不對、對而不全”13.4 心理性錯誤 這

35、主要指解題主體雖然具備了解決問題的必要知識與技能，但由于某些心理原因而產(chǎn)生的解題錯誤如順序心理、滯留心理、潛在假設，以及看錯題、抄錯題、書寫丟三落四等 例11 設，求+（1985年高考數(shù)學理科第題）講解 將已知式與求值式逐項對齊，并進行差異分析，可見，已知中的每一項都有字母，結論中的每一項都沒有字母“沒有字母”是什么意思？可以理解為每一項的字母都等于1： （消除差異），把代人已知式，得說明 在差異分析觀點之下，取值就不是一個妙手偶得的特殊技巧了，而是一個策略思想的具體實施并且，這一經(jīng)驗積累，又與“特殊化”的策略思想相通，可以用來處理很多數(shù)學問題，比如下面幾道類似而又有變通的高考題（化歸為往年的

36、高考題）：例11-1 已知，那么（1989年高考數(shù)學第（16）題）解 設，則 填說明 我們在閱卷中發(fā)現(xiàn)，相當一部分考生令得答案為，其實得到的是 ，而所求的值，應再減去，從而 究其原因，是考生一見題型很熟悉（如課本相關習題中見過），沒有認真看清題目的小變化，就匆匆作答，結果“會而不對”例2-19-2 若，則的值為（ ） （A）1 （B） （C）0 （D）2（1999年高考數(shù)學理科第（8）題）解法1 設，則選（A）解法2 =至此，就再也算不下去了，應該說，解法的每一步運算都沒有知識性錯誤，但從整體上看，有解題方向調(diào)控上的策略性錯誤1.3. 5 突破一個“老大難”高考閱卷啟示我們，許多中上水平考生常

37、在“會而不對、對而不全”上拉開錄取與落榜的距離.這是一個“老大難”問題.（1）會而不對.有的考生，拿到題目不是束手無策，而是在正確的思路上，或考慮不周、或推理不嚴、或書寫不準，最后答案是錯的，這叫“會而不對”（2）對而不全另一些考生，思路大體正確，最終結論也出來了，但丟三落四，或缺欠重大步驟，中間某一邏輯點過不去；或遺漏某一特殊情況、討論不夠完備；或潛在假設、或以偏概全，這叫“對而不全”1-4 運用答題策略1-4-1分段得分的基本認識.（1）分段得分的法定依據(jù)是高考“分段評分”.（2）分段得分的基本內(nèi)容是防止“分段扣分”，爭取“分段給分”.（3）分段得分的技術基礎是解題策略.（4）分段得分的總

38、體功能是：進可全題解決，退可分段得分.1-4-2 分段得分的主要技術（1）分解分步 缺步解答.（2）引理思想 跳步解答.（3）以退求進 退步解答.（4）正難則反 倒步解答.（5）掃清外圍 輔助解答.2 解答高考數(shù)學題的主要建議高考題的特殊性：一道數(shù)學題成為高考題后，將具有不同于平時作業(yè)題的特性，如能力的代表性，分數(shù)的選拔性，時間的限定性，評分的階段性.需要我們迅速解決兩個基本問題：從何處下手？ 向何方前進？2-1 模式識別2-1-1模式識別的認識(1)基本含義.在學習數(shù)學的過程中，所積累的知識和經(jīng)驗經(jīng)過加工會得出一些有長久保存價值或基本重要性的典型模式與重要類型.當我們遇到一個新問題時，首先辨

39、認它屬于我們已經(jīng)掌握的哪個基本模式，然后檢索出相應的解題方法來解決，這是我們在數(shù)學解題中的基本思考，也是解高考題的重要策略.（2）怎樣積累模式.總結課本內(nèi)容，歸納基本模式學完一章節(jié)（或跨章節(jié)）后，總結一共有幾個題目類型，每個題型有哪些解決方法？分析解題過程，提煉深層結構可以重點分析最近三五年的高考綜合題，揭示“形異而質(zhì)同”的深層結構 (3)模式識別在求解高考題中的具體化：化歸為課本已解決過的問題.化歸為往屆高考題.拿到一道高考題，在理解題意后，立即思考問題屬于哪一學科、哪一章節(jié)？與這一章節(jié)的哪個類型比較接近？解決這個類型有哪些方法？哪個方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進的方向

40、也大體確定了.(4)模式識別的層次.直接用，轉化用，分解組合用.(5)模式識別解高考題的有效性因為課本是學生知識資源的基本來源，也是學生解題體驗的主要引導離開了課本，學生還能從哪里找到解題依據(jù)、解題方法、解題體驗？還能從哪里找到解題靈感的撞針？高考解題一定要抓住“課本”這個根本課本是高考命題的基本依據(jù)有的試題直接取自教材，或為原題、或為類題有的試題是課本概念、例題、習題的改編有的試題是教材中的幾個題目、幾種方法的串聯(lián)、并聯(lián)、綜合與開拓少量難題也是按照課本內(nèi)容設計的，在綜合性、靈活性上提出較高要求按照高考怎樣出題來處理高考怎樣解題應是順理成章的這是一種行之有效解題策略這種做法體現(xiàn)了化歸思想和模式

41、識別的解題策略，對50%80%的高考題都是有效的所以，拿到一道高考題，在理解題意后，應立即思考問題屬于哪一學科、哪一章節(jié)？與這一章節(jié)的哪個類型比較接近？解決這個類型有哪些方法？哪個方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進的方向也大體確定了就是說，從辨認題型模式入手，向著提取相應方法、使用相應方法解題的方向前進2-2 差異分析 (1)基本含義.如果我們把題目的條件與結論之間的差異稱為目標差，那么解題的實質(zhì)就在于設計一個使目標不斷減少的過程.通過尋找目標差，不斷減少目標差而完成解題的思考方法，叫做差異分析法.(2)差異分析法的使用.通過題目中出現(xiàn)的元素，元素間所進行的運算，以及元素之間

42、所存在的關系去找出差異.對于所找出的目標差，要運用基礎知識和基本方法立即作出減少目標差的反應. 減少目標差的調(diào)節(jié)要一次又一次地發(fā)揮作用，使得目標差逐漸減少、步步積累,最終完成解題.運用差異分析法可以簡捷回答解題中的兩個基本問題，從何處下手？向何方前進？就從找目標差開始，就向著目標差減少的方向前進.2-3 層次解決人們在創(chuàng)造性解決問題的過程中，思維是按層次展開的，先粗后細，先寬或窄，先對問題作一個粗略的思考，然后逐步深入到實質(zhì)與細節(jié)，或者說，先作大范圍的搜索，然后再逐步收縮包圍圈.通常分成三個層次，層層深入地解決.（1）一般性解決：即在策略水平上的解決，以明確解題的總體方向.這是對思考作定向調(diào)控

43、.在這一層面上，根據(jù)中學階段的實際，自覺應用函數(shù)觀點和方程觀點是十分有益的(2)功能性解決：即在數(shù)學方法水平上的解決,以確定具有解決功能的解題手段,這是對問題解決作方法選擇.(3)特殊性解決.即在數(shù)學技能水平上的解決,以進一步縮小功能性解決的途徑,明確運算程序或推理步驟.這是對技巧作實際完成.2-4 數(shù)形結合 （1）基本含義在解題中，既用數(shù)的抽象性質(zhì)來說明幾何形象的事實，又用圖形的直觀性質(zhì)來說明代數(shù)抽象的事實，在數(shù)與形的雙向結合上尋找解題思路.（2）數(shù)形結合的途徑通過坐標系轉化構造（3）數(shù)形結合的原則等價性原則雙向性原則簡單性原則2-5 案例分析 （1）案例1感悟高考解題的基本思路例1-1 設

44、，求+1985年高考數(shù)學理科第二題講解 將已知式與求值式逐項對齊，并進行差異分析，可見，消除差異應同時取所以取代人已知式，得評析 在差異分析觀點之下，取值就不是一個妙手偶得的特殊技巧了，而是一個策略思想的具體實施并且，這一經(jīng)驗積累，又與“特殊化”相通，可以用來處理很多數(shù)學問題，比如下面幾道類似的高考題：例1-2 已知那么1989年高考數(shù)學第（16）題（4分）例1-3 若，則的值為（ ） （A）1 （B） （C）0 （D）21999年高考數(shù)學理科第（8）題例1-4 若，則2004年天津理科第（15）題（4分） 例1-5 已知，則的值等于2007年安徽文科第（12）題例1-6 若則 (用數(shù)字作答)

45、 (2008年福建理科第（13）題)感悟：模式識別（化歸為課本已解決過的問題、化歸為往屆高考題 ），差異分析（2）案例2平時解題要題題都有收獲例2 安排3名支教老師去6所學校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有 種（用數(shù)字作答）2007年高考數(shù)學陜西理科卷第（16）題講解 據(jù)了解，學生普遍使用分兩類計數(shù)的方法（見解法1）我們的體會是知識經(jīng)驗能導致更多、更接近問題深層結構的解法解法1 （加法）依題意，分配方案有兩種情況：（1）3名教師分到3所學校，每校1人這相當于從6所學校取3所作為接收單位，得（120）種分法（2）3名教師分到2所學校，有一校2人 從3名教師中取2人有種取法，再從6所學校取

46、2所作為接收單位，得（90）種分法由加法原理得不同的分配方案共有種評析 思路打開之后，“結論也是已知信息”，多了這一個信息，情況就大不相同了（下面是由“初步解法”導出的解題反思）由 的改寫 ，或 可知，只要能給這兩個數(shù)據(jù)以組合解釋，便可以得出新的解法立即刺激我們的數(shù)學知識與解題經(jīng)驗：就是3個教師每人都有到“6所學校”的6種去法的方法數(shù)，減6就是減掉“3個教師都到1所學?！钡?種去法（見解法2） 那么中的7是從哪里來的呢？這只需將“分有2人”的那一學校看成2所學校即可比如，把校分為校，把3名教師分到7所學校，每校1人，當中最多分1人時就是解法1的第（1）種情況，當各分1人時就是解法1的第（2）種

47、情況 解法2 （減法）3個教師每人都有到“6所學?！钡?種去法，得種去法，但3個教師都到1所學校與“每校至多2人”矛盾，故得不同的分配方案共有種解法3 （對應解法）把“至多分有2人”的那一學?？闯?所學校，每校分1人，則問題轉化為“從7所學校中取3所，接收3名教師”的方案數(shù)，這是標準排列問題，得種說明 在這個例子里，排列組合的知識不是一個個彼此孤立的單點，相互勾連的知識鏈能幫助我們由運算式找出它的組合解釋解法4 先將2名教師分到6所學校的2所，有種，再把余下的1名教師分到6所學校中的任意一所，共有種方法，所以，共有不同的分配方案是=180種少了，問題在哪里？解法5 從3名教師中取2人有種取法，

48、把這2名教師分到6所學校的2所，有種，再把余下的1名教師分到6所學校中的任意一所，共有種方法，所以，共有不同的分配方案是=540種這又多了，問題在哪里？3 陜西高考題中的高等背景（1）柯西不等式背景06-8 已知不等式對任意正實數(shù)恒成立，則在正實數(shù)的最小值為（A）2 （B）4 （C）6 （D）807-21 (本小題滿分14分)已知橢圓C:（）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為()求橢圓C的方程;()設直線與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值08-22 （本小題滿分14分）已知數(shù)列的首項，（1）求的通項公式；（2）證明：對任意的，；（3）證明：（柯西不等式

49、）第（3）問相當于題目1 已知數(shù)列，證明： 記，由柯西不等式有 ，得 所以，第（3）問可以認為是一道柯西不等式的現(xiàn)成題目：題目2 若，則（2）伯恩斯坦多項式背景06-21 如圖1，三定點；三動點滿足（1）求動直線斜率的變化范圍；（2）求動點的軌跡方程.在函數(shù)逼近論中有一個很基本的問題，就是能不能用結構最簡單的函數(shù)多項式，去逼近任意的連續(xù)函數(shù)，答案是肯定的，前蘇聯(lián)數(shù)學家伯恩斯坦證明了一個很漂亮的定理：若在閉區(qū)間上連續(xù)，則對于一致有其中多項式稱為函數(shù)的伯恩斯坦多項式當時，上述伯恩斯坦多項式為 這構成了高考題的知識背景下面用貝齊爾曲線作出更具體的說明在汽車制造業(yè)中，法國雷諾汽車公司的工程師貝齊爾提出了一套利用伯恩斯坦多項式的電子計算機設計汽車車身的數(shù)學方法設為個給