云南昆明第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第一次摸底測(cè)試數(shù)學(xué)文試題

1、云南省昆明市第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第一次摸底測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：一、單選題1.已知集合M 2, 1,0,1,2 ,集合NA,-1,0,1,2C. 0,1,22.某校為了解學(xué)生體能素質(zhì)，隨機(jī)抽取了x 1 x 2 ,則 M D N （）B,1,0,1D. 0,150名學(xué)生，進(jìn)行體能測(cè)試，并將這 50名學(xué)生成績(jī)整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中不正確的是八蜿率(102013成城分）0.0110MMA.這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)?0, 100內(nèi)的人數(shù)有10人B.這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)?0, 60）內(nèi)的人數(shù)占比為 28%C.這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為70D.這

2、50名學(xué)生的平均成績(jī) X 68.2 （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表）3.已知(1 i) z 3 4i ,則 z ()5. i2B.5 5. i2 2C.1 -i 2D.4,已知a ln3,b log3e,c 10g e,則下列關(guān)系正確的是（）A. c b aB.abcC. b a cD. b c a5.已知點(diǎn)p到點(diǎn)F 0,1的距離比它到直線l:y 2 0的距離小1,則點(diǎn)p的軌跡方程為.22A, x4yB. x 4y22 .C. y4xD. y4x6 .角的度量制有角度制（1度的角等于周角的 上），弧度制（1弧度的角就是長(zhǎng)度等360于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角）.其實(shí)軍事上角的度量還常用密

3、位制，密位制的單位是密位.1密位等于圓周的所對(duì)的圓心角的大小， 所以360 6000密位.密位的寫法是在6000百位上的數(shù)與十位上的數(shù)之間畫一條短線，例如 6密位寫成0-06, 478密位寫成4-78.那么-的角在密位制下的寫法正確的是（）6A . 35-0B.3-50C. 5-00D.50-07 . 一個(gè)正方體挖去一個(gè)多面體后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、左視圖和俯視圖均為邊長(zhǎng)等于2的正方形，則挖去多面體的體積為（）A . 8C. 4B. 2D.8.已知數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，若2aia3a4 ,且%是a4與2的等差中項(xiàng)，則q的值是（）B. 2D.2或 2A . 1C.1

4、或 19 .如圖，一架飛機(jī)從 A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從A點(diǎn)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向AB成12角的方向飛行，飛行到中途C點(diǎn)，再沿與原來(lái)的飛行方向AB成18角的方向繼續(xù)飛行到終點(diǎn)B點(diǎn).這樣飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程 500km大約多飛了（）（sin12 0.21, sin18 0.31）C. 30kmD. 40km10 .學(xué)習(xí)室里一排有 5個(gè)座位，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的概率為(1B.一51C.一10D.21011 .已知函數(shù)f (x) sin( x -)(0),若f(x)的圖象向右平移4一個(gè)單位后與f(x)的圖2象重合，當(dāng)最小時(shí)，下列說(shuō)法

5、正確的是(A.f (x)在30,否上單調(diào)遞增B.C.f(x)的圖象關(guān)于直線x萬(wàn)對(duì)稱,711，、f(x)在 TTCTTr 上單倜遞減16 16 3. . 一f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3 ,0)中心對(duì)稱1612.函數(shù) f (x)1 x ln sin x1 xx3 3x,則滿足 f(x) f( x2)，1 ,，一，一2 f ()的x的取值范圍 21A.(寸C. (1,1)4B.D.(1,1)二、填空題13.已知向量a(1,2),向量b (1,1),則向量a在向量b方向上的投影為14.在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的封閉正方體內(nèi)有一個(gè)球，當(dāng)球體積最大時(shí)，該球的表面積為15.已知函數(shù) f(x) 2sin( x ) , (

6、0,0)的部分圖象如圖所示，則f()122 X16.已知雙曲線C:-2a1(a 0,b 0)的左頂點(diǎn)為 M,任意一條平行于x軸的直線交雙曲線C于A, B兩點(diǎn),若總有MA MB 0 ,則雙曲線C的離心率為三、解答題17 .垃圾的分類回收不僅能減少環(huán)境污染，美化家園，甚至能夠變廢為寶，節(jié)約資源垃圾分為增強(qiáng)學(xué)生的垃圾分類意識(shí)，推動(dòng)垃圾分類進(jìn)校園，某校組織全體學(xué)生參加了類知識(shí)競(jìng)賽”現(xiàn)從參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的競(jìng)賽成績(jī)(滿分 100 分)分為 6 組:40, 0), 50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100,得到如圖所示的頻率分布

7、直方圖(1)求a的值;(2)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競(jìng)賽成績(jī)不低于80分為 優(yōu)秀”，低于80分為 非優(yōu)秀”，將下面2 2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?非優(yōu)秀優(yōu)秀合計(jì)男生25女生50合計(jì)1002參考公式及數(shù)據(jù)：K2 n(ad bC)，其中n a b c d.(a b)(c d)(a c)(b d)2P(K，：k0)0.100.050.0250.0100.0050.001ko2.7063.8415.0246.6357.87910.82818 .已知數(shù)列 an是等差數(shù)列，S是 4 的前n項(xiàng)和，as 4,(1)判斷2022是否是數(shù)列 an中的項(xiàng)，并說(shuō)明理

8、由;(2)求Sn的最小值.從Si22,S5 &中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分AC交BD于O, PO 平面ABC,19 .如圖，已知四棱錐 P ABCD的底面是菱形,為AD的中點(diǎn)，點(diǎn) F在PA上，AP 3AF .(1)證明：PC/平面BEF；(2)若 AB 2 , ADB BPD60,求三棱錐A EFB的體積.20.已知函數(shù),2x 2f (x) ln x x 1(1)判斷函數(shù)f (x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)設(shè) g(x)4 af(X)二2(aR),若Xi, X2是函數(shù)g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21 .已知A, B,C三點(diǎn)在橢圓2

9、 x E :4221上，其中A為橢圓E的右頂點(diǎn)，圓O:x y為三角形ABC的內(nèi)切圓.(1)求圓O的半徑r；(2)已知a匹理),55A2, A3是E上的兩個(gè)點(diǎn)，直線A1A2與直線A1A3均與圓O相切，判斷直線 A2A3與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲22線C的極坐標(biāo)方程為 一2 (其中0).1 sin(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知M(x,y)為曲線C上一點(diǎn)，求x y的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).23.已知函數(shù) f (x) 2|x 2| 1 , g(x) |x 3| |x 1|.(1)求不等式g(x)6的解集；

10、(2)若不等式f(x) a g(x)的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案1. . D【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?M 2, 1,0,1,2，集合 Nx| 1 x 2 ,所以 MAN 0,1 ,故選：D.2. C【分析】由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，以及頻率、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)此頻率分布直方圖，成績(jī)?cè)?80,100內(nèi)的人數(shù)為(0.008 0.012) 10 50 10人，所以A正確；這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)?40,60內(nèi)的頻率為(0.008 0.020) 10 0.28,所以B正確；根據(jù)此頻率分布直方圖，可得這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)60,7

11、0 ,所以C錯(cuò)誤；根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得：X 45 0.08 55 0.2 65 0.32 75 0.2 85 0.12 95 0.08 68.2 ,所以 D 正確.故選：C.3. A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解【詳解】由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，可得3 4i|J32 4 2 5 ,可得（1+i） z = 5,所以z51+ i5 5.-i2 24. A首先判斷a,b,c和1的大小關(guān)系，再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)y lnx的單調(diào)性判斷b,c的大小即可.【詳解】1.1一.因?yàn)?a ln3 lne 1, b log3e 一 ,c log e ,1 ln

12、3 In ,所以 c b 1,綜上 In 3ln可得c b a.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5. B【分析】分析可知點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F 0,1為焦點(diǎn)，以直線y1為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而可求得點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】由題意，點(diǎn)P到點(diǎn)F 0,1的距離等于它到直線 y 1的距離，則點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，y1為準(zhǔn)線的拋物線，則點(diǎn) P的軌跡方程為x2 4y,故選：B .6. C【分析】利用密位定義把30、化簡(jiǎn)，即得解.【詳解】由已知得30 6000 500密位，360500密位寫成5 00, 故選：C .7. D【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體可

13、知，挖去的多面體為正四棱錐，即可求出其體積.【詳解】將三視圖還原可得下圖，挖去多面體為正四棱錐，其體積為故選：D.8. Aq.【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)和基本量代換，解方程即可求出【詳解】 由 2ai a3a4 解得 a& 2.因?yàn)閍5是a4與2的等差中項(xiàng)，所以2a5 a4 2.把a(bǔ)6 2代入得：2 a5 a4 a6 ,消去a4得：2q 1 q2,解得q 1 .故選：A.9. B【分析】由題得C 150 ,再由正弦定理求出 AC 310km, BC 210km ,即得解.【詳解】在 &ABC 中，由 A 12 , B 18,得 C 150 ,BCsin12由正弦定理得的0- s

14、in150ACsin18 ' '500 至四所以 10.210.31，2所以 AC 310km, BC 210km,所以 AC BC AB 20km ,故選：B.10. C【分析】 設(shè)三人用1,2,3表示，空座位用0表示，列出所有結(jié)果，即可求得答案設(shè)三人用1,2,3表示，空座位用0表示，三人坐座位有:12300,12030,12003,10230,10203,10023,01230,01203,01023,00123共 10 種不同坐法,1任何兩人不相鄰有1種坐法，所以P ,10故選:C.11. D【分析】一一一 一TT .一依題意可得f x sin 4x ,由f x的單倜遞增

15、區(qū)間可判斷 A和B；由f -可判斷C；3由f可判斷D.16【詳解】_. TT-、._.，一 -TT -_ 一因?yàn)閒 x的圖象向右平移 3個(gè)單位后與f x的圖象重合，所以 3是f x 一個(gè)周期，又5r 25r一一一 . tt0 ,所以一 k , k Z,所以 4k ,的最小值為4,所以f x sin 4x -.24,3_兀兀_3兀 k；tkku.由一2kn4x 2k/解得一一x,kZ,當(dāng) k 0時(shí)，fx 的單調(diào)242162162增區(qū)間為 2,三，當(dāng)k 1時(shí)，f x的單調(diào)增區(qū)間為 整，整，所以A, B錯(cuò)誤；而 16 1616 16f -sin 2% -1,所以C錯(cuò)誤；f2sin80,所以D正確.2

16、41644故選：D.12. C【分析】先利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，判斷出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式.【詳解】,1 x一由0得到(1 x)(1 x) 01 x(x 1)(x 1) 0,故f x的定義域?yàn)閷?duì)于定義域內(nèi)白任意實(shí)數(shù) x,都有f x lnS sinx x1 x3.3x , f (x)ln 1-x sin x x3 3x1 x1 X .31 x .31 x ,1 xf x f x In sin x x 3x In sin x x 3x In In= ln1=01 x1 x1 x 1 x所以f x為奇函數(shù)，1 x22又因?yàn)镮n In 1 ,因?yàn)?在 1.1上單倜遞減，1 x

17、1 x1 x所以lnln 1 在 1,1上單調(diào)遞減， 1 x1 xsinx在 1,1上單調(diào)遞減，因?yàn)閤3 3x 3x2 3 0 ,所以x3 3x在1,1上單調(diào)遞減，所以f x在1,1上單調(diào)遞減， 111所以 f x2f x2 2f x22f -2.11等價(jià)于fx2f-,1 11即一 x21,解得一x 12 4故選：C.13. 2【分析】利用向量的投影的定義直接求解即可.【詳解】故答案為：二214.根據(jù)球與正方體各面相切時(shí)體積最大，求得球的半徑，結(jié)合表面積公式，即可求解【詳解】由題意，當(dāng)球與正方體各面相切時(shí)體積最大，1O因?yàn)檎f(wàn)體的棱長(zhǎng)為1,可得球半徑 R 2,所以該球的表面積為 S 4 R2故

18、答案為:15. 2【分析】根據(jù)給定的函數(shù)的圖象，求得f(x) 2sin(2 x )，進(jìn)而求得f()的值，得到答案.312【詳解】根據(jù)給定的函數(shù)的圖象，可得3T 3-,解得T ，所以 2,41234T '2 22_又由 f(-) 0,可得 sin() 0,解得 一 k ,k Z ,即 一 k ,k Z ,3 333，因?yàn)? ，所以 所以f(x) 2sin(2 x ), 33所以 f (-) 2sin(2 -)2. 1212 3故答案為：2.16 .應(yīng)【分析】2 22 x設(shè)A x, y ,則B x, y ,則y b 1 ,表不出MA，MB，根據(jù)MA MB 。對(duì)于x a a或x 2恒成立，即

19、可得到a2 b2,從而求出離心率；【詳解】2解：設(shè) A x,y ,則 B x,y ,且 y2 b2 勺 1 ,又 M a,0 ,所以 MA x a,y ,a2一二-o O O.22 xMB x a, y，得 MA MB x a y 0,即 a b2 10 對(duì)于x a或 x a 恒a成立，故a2 b2,即a b,所以雙曲線C的離心率為e ,1匕 尬.故答案為：217 . (1) a 0.012； (2)表格見解析，有.【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有的小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可；(2)根據(jù)頻率分布直方圖完善列聯(lián)表，計(jì)算K2,再根據(jù)參考數(shù)據(jù)比較，即可判斷；【詳解】解：(1)因?yàn)轭l

20、率分布直方圖中所有的小矩形的面積之和為1,所以 0.004 0.006 a 0.018 0.036 0.024 10 1解得a 0.012(2) 2 2列聯(lián)表如下：非優(yōu)秀優(yōu)秀合計(jì)男生252550女生153550合計(jì)40601002 100 (25 35 15 25)2 25 K2 4.17 3.84140 60 50 506所以有95%的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān).18 .答案見解析【分析】選(1)由S122易得a62,再根據(jù)a8 4求得通項(xiàng)公式，再判斷即可;(2)利用通項(xiàng)公式法，令 an 0求解；選(1)由S5 S6易得注0,再根據(jù)a8 4求得通項(xiàng)公式，再判斷即可；(2)利用通項(xiàng)公式

21、法，令 an 0求解；【詳解】選(1)由 822得：11a622 ,所以a62 ,又因?yàn)閍84 ,所以d 3,所以 & a8 7d 4 2117,所以 an a1 (n 1)d17 (n 1) 3 3n 20,令3n 20 2022,則3n 2042,此方程無(wú)正整數(shù)解，所以2022不是數(shù)列an中的項(xiàng).20(2)令 an 0,即 3n 20 0,解得：n 一，3所以n 7時(shí)，an 0,當(dāng)n 6時(shí)，an 0,所以，當(dāng)n 6時(shí)，&的最小值為S6 6(a12 a6)57.選(1)由S5 S6得：為 0 ,又因?yàn)閍s 4 ,所以d 2 ,所以 & a87d 4 1410,所以，a

22、1 (n 1)d10 (n 1) 2 2n 12,令 2n 12 2022,則 n 1017,所以2022是數(shù)列an中的第1017項(xiàng).(2)令 an 0,即 2n 12 0 ,解得：n 6 ,所以n 7時(shí)，an 0,當(dāng)n 6時(shí)，a0 0,所以，當(dāng)n 5或n 6時(shí)，Sn的最小值為0 鼠6(&a)30.2119. (1)證明見解析；(2)-. 6【分析】AG1AFAG1(1)設(shè)AO交BE于G ,根據(jù)平行線分線段成比例可得-,即可根據(jù)得AC3APAC3至UGF/PC,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；(2)由等積法可知Va bef Vf abe ,即可解出.(1)設(shè)AO交BE于G ,連結(jié)FG

23、 .因?yàn)镺 , E分別是BD , AD的中點(diǎn),AG 1AG所以一，即CG 2AC1.又因?yàn)锳P 3AF3AF ,所以左 PAG 1 - . AC 3 '所以GF/PC,又因?yàn)镚F平面BEF , PC 平面BEF ,所以PC/平面BEF .(2)在菱形 ABCD中，因?yàn)?AB 2,故 Sabe .因?yàn)?BPD 60 , PO 2ADB 60 ,所以ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,平面ABC，所以PO m.故點(diǎn)F到平面ABC的距離等于1 po3BEFVf abe 1 -,即三棱錐3236A EFB的體積為1.620. (1)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；(2)(1)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合f 10,即

24、可知零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)由題意知X ,X2是方程g (x)0在(0,)內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，也是方程1 0 在(0,)內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 再根據(jù)實(shí)根分布知識(shí)即可解出.(1)由題知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,1 2(x 1) T X 2(x 1) (x1)2(x 1)2x(x 1)20對(duì)任意X 0,恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x1 時(shí)，f X0,所以f x在0,上單調(diào)遞增.又 f 1 ln12 1 20,1 1所以函數(shù)f X有且僅有1個(gè)零點(diǎn).(2)因?yàn)間a-2 In x所以g xx 11 a x2 (2 a)x 1由題意知所以只需X (x 1)2X2是方程a 0,(2 a)2x(x 1)2g(x) 0在(0,1,

25、又 h 04 0,解得a<-4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為)內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.0 ,且函數(shù)h x圖象的對(duì)稱軸為，八221. (1) r ；3(2)直線AA與圓O相切，理由見解析.(1)根據(jù)ODAD,0 r 1,過(guò)圓心O作OD AB署得yBI4共'禾煙點(diǎn)B r-yB在橢圓E上，建立方程，解方程即可求出結(jié)果;(2)分別聯(lián)立直線 A4, A A與橢圓的方程，進(jìn)而表示出點(diǎn)A2, 飛的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn) 間的斜率公式得到直線 A2A3的斜率，從而表示出直線 A2A3的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線A A3的距離與半徑比較即可得出結(jié)論解：(1)因?yàn)閳AO與橢圓E均關(guān)于x軸對(duì)稱，故可

26、設(shè)B r,yB于點(diǎn)D ,設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)h ,OD HB /曰 _._ .住F /2AD AH；4 r”即想4答,而點(diǎn)BrB在橢圓E上,故yB 1r22 r (2 r)2.2 r22r ()，即 2 r 4r ,故2 r44(2)由題意可知直線 兒4與入2斜率匕和%均存在，設(shè)過(guò) A25 2.5 l -, 且與圓O : x224 r , 一,、一y 9相切的直線方程為:，即 kx y2 <51 k 0,5則圓心o到該直線的距離“看I1 kd.24k2 18k 4,聯(lián)立kx y"1 k54y2 42 524kx 1 k 254,(4 k21)x2Qk(1i、 16 k)x (15

27、k)24 0,則方程異于竽的實(shí)數(shù)解k)2 424k2,5 4k2 8k 12.5 2k 1 ,2.5""S-2.5 2kl則直線故直線則圓心24k 16k 12.52萬(wàn)"V2-4k 2k4k2 12.5 4k 1虧 6k 1，254 kl3 6k1 1A2A3的斜率A2A3的方程為:2k2 16k2 12.54k2 16k2 1，2.5 4k2O到A2 A3的距離d3 6k2 14kl 16k1 1(4 k21)(6k1 1) (4k1 1)(6k2 1)處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí),程中含有參數(shù),2一 ， x22. (1) 一22k2 1 21 1(2k2 1)(6kl1)(211)(6k2 1)6k22(x1 6kl 12.532k16k11)2 % 4k1 13 6k1 11 (2)2r ,故直線A2A3與圓O相切.若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法.02.3y2 1(0 y 1); (2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 3