初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(6)

1、蒁蚅膇莈薃袁肅莇蚆蚃罿蒆蒞衿裊蒅蒈螞膄蒄薀袇膀蒃螂蝕肆蒃蒂羆羂蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂蕿葿羂羈膆薁螅襖膅蚃羀芃膄蒃螃腿膃薅聿肅膂蚇袁羈膁螀蚄艿膀葿袀膅芀薂蚃肁艿蚄袈羇羋莄蟻袃芇薆羆節(jié)芆蚈蝿膈芅螁羅肄芄蒀螇羀芄薃羃袆莃蚅螆膄莂蒞羈肀莁蕆螄肆莀蠆肀羂荿螁袂芁莈蒁蚅膇莈薃袁肅莇蚆蚃罿蒆蒞衿裊蒅蒈螞膄蒄薀袇膀蒃螂蝕肆蒃蒂羆羂蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂蕿葿羂羈膆薁螅襖膅蚃羀芃膄蒃螃腿膃薅聿肅膂蚇袁羈膁螀蚄艿膀葿袀膅芀薂蚃肁艿蚄袈羇羋莄蟻袃芇薆羆節(jié)芆蚈蝿膈芅螁羅肄芄蒀螇羀芄薃羃袆莃蚅螆膄莂蒞羈肀莁蕆螄肆莀蠆肀羂荿螁袂芁莈蒁蚅膇莈薃袁肅莇蚆蚃罿蒆蒞衿裊蒅蒈螞膄蒄薀袇膀蒃螂蝕肆蒃蒂羆羂蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂蕿

2、葿羂羈膆薁螅襖膅蚃羀芃膄蒃螃腿膃薅聿肅膂蚇袁羈膁螀蚄艿膀葿袀膅芀薂蚃肁艿蚄袈羇羋莄蟻袃芇薆羆節(jié)芆蚈蝿膈芅螁羅肄芄蒀螇羀芄薃羃袆莃蚅螆膄莂蒞羈肀莁蕆螄肆莀蠆肀羂荿螁袂芁莈蒁蚅膇莈薃袁肅莇蚆蚃罿蒆蒞衿裊蒅蒈螞膄蒄薀袇膀蒃螂蝕肆蒃蒂羆羂蒂薄螈芀 初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(6)整式的恒等變形一、 一、知識要點1、 1、 整式的恒等變形把一個整式通過運算變換成另一個與它恒等的整式叫做整式的恒等變形2、 2、 整式的四則運算 整式的四則運算是指整式的加、減、乘、除，熟練掌握整式的四則運算，善于將一個整式變換成另一個與它恒等的整式，可以解決許多復(fù)雜的代數(shù)問題，是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。3、 3、 乘法公式 乘法公

3、式是進行整式恒等變形的重要工具，最常用的乘法公式有以下幾條： (a+b) (a-b)=a2-b2 (ab)2=a22ab+b2 (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc (ab)3= a33a2b+3a b2b34、 4、 整式的整除如果一個整式除以另一個整式的余式為零，就說這個整式能被另一個整式整除，也可說除式能整除被除式。5、 5、 余數(shù)定理多項式除以 (x-a) 所得的余數(shù)等于。特別地=0時，

4、多項式能被(x-a) 整除二、 二、例題精講例1 在數(shù)1，2，3，1998前添符號“+”和“-”并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析 要得最小非負數(shù)，必須通過合理的添符號來產(chǎn)生盡可能多的“0”解 因1+2+3+1998=是一個奇數(shù)，又在1，2，3，1998前添符號“+”和“-”，并不改變其代數(shù)和的奇偶數(shù)，故所得最小非負數(shù)不會小于1。先考慮四個連續(xù)的自然數(shù)n、n+1、n+2、n+3之間如何添符號，使其代數(shù)和最小。很明顯 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我們將1，2，3，1998中每相鄰四個分成一組，再按上述方法添符號，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10

5、)+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非負數(shù)是1。 例2 計算 (2x3-x+6)(3x2+5x-2) 分析 計算整式的乘法時，先逐項相乘(注意不重不漏)，再合并同類項，然后將所得的多項式按字母的降冪排列。解法1 原式=6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12 =6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 評注：對于項數(shù)多、次數(shù)高的整式乘法，可用分離系數(shù)法計算，用分離系數(shù)法計算時，多項式要按某一字母降冪排列，如遇缺項，用零補上。 解法2 2+0-1+6 ) 3+5-2 6+0-3+18 10+0-5+30 -4+0+2-

6、12 6+10-7+13+32-12 所以，原式=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 例3 求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展開式中x8的系數(shù) 解 x8的系數(shù)=22+(-3) (-1)+(-7) 3= -14 評注：只要求x8的系數(shù)，并不需要把展開式全部展開。 例4計算 (3x4-5x3+x2+2)(x2+3) 分析 整式除法可用豎式進行 解 3 x2 5x - 8 x2+3) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 2 3x4 +9 x2 - 5x3 -8 x2+ 0x - 5x3 -15x -8 x2+15x+ 2 -8

7、x2 - 24 15x+ 26所以，商式為3 x2 5x 8，余式為15x+ 26評注：用豎式進行整式除法要注意：(1) (1) 被除式和除式要按同一字母的降冪排列；(2) (2) 如被除式和除式中有缺項，要留有空位；(3) (3) 余式的次數(shù)要低于除式的次數(shù)；(4) (4) 被除式、除式、商式、余式之間的關(guān)系是：被除式=除式商式+余式例5計算 (2x5-15x3+10x2-9) (x+3)分析 對于除式是一次項系數(shù)為1的一次多項式的整式除法可用綜合除法進行。用綜合除法進行計算，首先要將除式中的常數(shù)項改變符號，并用加法計算對應(yīng)項的系數(shù)。解 -3 2 0 -15 10 0 -9 -6 18 -9

8、 -3 9 2 -6 3 1 -3 0 商式=2x 4-6x3+3x2+x -3評注：用綜合除法進行整式除法要注意：(1) (1) 被除式按x的降冪排列好，依次寫出各項的系數(shù)，遇到缺項，必須用0補上；(2) (2) 把除式x-a的常數(shù)項的相反數(shù)a寫在各項系數(shù)的左邊，彼此用豎線隔開；(3) (3) 下移第一個系數(shù)作為第三行的第一個數(shù)，用它乘以a，加上第二個系數(shù)，得到第三行的第二個數(shù)，再把這個數(shù)乘以a，加上第三個系數(shù)，就得到第三行的第三個數(shù)，依次進行運算，最后一個數(shù)即為余數(shù)，把它用豎線隔開，線外就是商式的多項式系數(shù)。(4) (4) 如果除式是一次式，但一次項系數(shù)不是1，則應(yīng)把它化到1才能用綜合除法

9、。例6已知x+y= -3，x3+y3= -18，求x7+y7的值分析：先通過x+y= -3，x3+y3= -18，求出xy，再逐步求出x2+y2、x 4+y 4，最后求出x7+y7的值解 由x3+y3=(x+y) 3-3xy (x+y) 得 -18=(-3) 3-3 xy(-3) xy=1 又由 x2+y2=(x+y) 2-2xy 得 x2+y2=(-3) 2- 21=7 而x 4+y 4=(x2+y2)2-2 x2y2=72-2=47 (-18)47=(x3+y3)(x 4+y 4)= x7+y7+ x3 y3 (x+y)= x7+y7 -3 從而x7+y7= -843評注：本題充分利用x+

10、y和xy，與x2+y2、x 4+y 4、x7+y7的關(guān)系來解題。 例7 求證：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被2x2+2y2整除 分析 如果將(x2-xy+y2)3與(x2+xy+y2)3直接展開，太繁，可將兩個式子整體處理，分別看作a和b，然后利用乘法公式展開，可將計算簡化。 解 (x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3=(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)3 - 3(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)=(2x2+2y2)3-3(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (2x2+2y2)所以原式能被2x2+2y

11、2整除。評注：本題采用的是整體處理思想。例8 試求x285-x83+x71+x9-x3+x被x-1除所得的余數(shù)。解法1 x285-x83+x71+x9-x3+x=( x285-1) (x83-1)+( x71-1)+( x9-1) (x3-1)+( x -1)+2 因為x285-1、x83-1、x71-1、x9-1、x3-1、x -1均可被x-1整除， 所以，原式被x-1除所得的余數(shù)是2。 解法2 由余數(shù)定理，余數(shù)等于x285-x83+x71+x9-x3+x在x=1時值，即 余數(shù)=1285-183+171+19-13+1=2 評注：本題兩種解法中，解法1是通過恒等變形，將原式中能被x -1整除

12、的部分分解出，剩下的就是余數(shù)。解法2是通過余數(shù)定理來求余數(shù)，這是這類問題的通法，要熟練掌握。例9 研究8486，9892，的簡便運算，并請你用整式運算形式表示這一簡便運算規(guī)律。分析：觀察8486，9892，可得：它們的十位數(shù)字特點是8=8，9=9；而它們的個位數(shù)字和為4+6=10，8+2=10。則可設(shè)十位上的數(shù)字為a，個位上的數(shù)字為b、c，且b+c=10 解：根據(jù)上面的分析，設(shè)十位上的數(shù)字為a，個位上的數(shù)字為b、c，且b+c=10 則 (10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc =100a2+100a+bc =100a(a+1)+bc 評注：以后，凡是遇到上述類型的運算均

13、可用此結(jié)果進行簡便運算。如7278=10078+28=5600+16=5616例10 已知關(guān)于x的三次多項式除以x2-1時，余式是2x-5；除以x2-4時，余式是-3x+4，求這個三次多項式。分析：利用被除式=除式商式+余式的關(guān)系來解。解：設(shè)這個三次多項式為ax3+bx2+cx+d (a0)，因為這個三次多項式分別除以x2-1和x2-4，故可設(shè)兩個商式是：ax+m和ax+n，由題意得： ax3+bx2+cx+d=( x2-1) (ax+m)+2x-5 ax3+bx2+cx+d=( x2-4) (ax+n)+ (-3x+4) 在式中分別取x=1, -1，得a+b+c+d= -3，-a+b-c+d

14、= -7 在式中分別取x=2, -2，得8a+4b+2c+d= -2，-8a+4b-2c+d= 10 由上面四式解得： 所以這個三次多項式為評注：對于求多項式的系數(shù)問題常常使用待定系數(shù)法。三、 三、鞏固練習(xí)選擇題1、若m=10x3-6x2+5x-4，n=2+9x3+4x-2x2，則19x3-8x2+9x-2等于 A、m+2n B、m-n C、3m-2n D、m+n2、如果(a+b-x)2的結(jié)果中不含有x的一次項，則只要a、b滿足( ) A、a=b B、a=0或b=0 C、a= -b D、以上答案都不對3、若m2=m+1，n2=n+1，且mn，則m5+n5的值為 ( ) A、5 B、7 C、9

15、D、114、已知x2-6x+1=0，則的值為 ( ) A、32 B、33 C、34 D、355、已知，則(a-b)2+(b-c)2+(a-b) (b-c)的值為 ( )A、1 B、2 C、3 D、46、設(shè)=x2+mx+n (m,n均為整數(shù))既是多項式x4+6x2+25的因式，又是多項式3x4+4x2+28x+5的因式，則m和n的值分別是( )A、m=2，n=5 B、m= -2，n=5 C、m=2，n= -5 D、m= -2，n= -5填空題7、設(shè)a、b、c是非零實數(shù)，則 8、設(shè)(ax3-x+6)(3x2+5x+b)=6x5+10x 4-7x3+13x2+32x-12，則a= , b= 9、x+

16、2除x4-x3+3x2-10所得的余數(shù)是 10、若x+y-2是整式x2+axy+by2-5x+y+6的一個因式，則a+b= 11、(21+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1)+1= 12、已知a、b、c滿足，則a+b-2c的值為 解答題13、設(shè)x、y、z都是整數(shù)，且11整除7x+2y-5z，求證：11整除3x-7y+12z14、計算：(4x4-6x2+2) (5x3-2x2+x-1)15、計算：(8x 2-2x+x 4-14)(x+1)16、已知的值。17、已知x、y、z滿足條件 求xyz及x 4+y 4+z 4的值18、當a、b為何值

17、時，多項式2x4+6x3-3x2-ax+b能被多項式2x2-4x+1整除？19、設(shè)P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，a、b、c、d為常數(shù)，P(1)=1993，P(2)=3986，P(3)=5979。試計算20、一個關(guān)于x的二次多項式，它被(x-1)除余2，它被(x-3)除余28，它還可被(x+1)整除，求 袃聿莆蕿羃膂腿蒅羂袁蒞莁薈羃膈芇薇膆莃蚅薇裊芆薁薆羈蒁蕆薅肀芄莃薄膂肇螞薃袂節(jié)薈螞羄肅蒄蟻肇芁莀蟻螆肄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁蚈膃莇蒆蚇袃膀莂蚆羅莆羋螅肈膈薇螅螇莄蒃螄罿膇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄螁襖肈薀螀羆芃蒆衿肈肆莂衿螈節(jié)羋袈袀肄薆袇肅芀薂袆膅膃蒈裊裊莈莄襖羇膁蚃袃聿莆蕿羃膂腿蒅羂袁蒞莁薈羃膈芇薇膆莃蚅薇裊芆