【6年高考4年模擬】2013版高考數(shù)學 第六章 數(shù)列 第一節(jié) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和精品試題

1、- 1 -【數(shù)學精品數(shù)學精品】2013】2013 版版66 年高考年高考 4 4 年模擬年模擬第六章第六章 數(shù)列數(shù)列第一節(jié)第一節(jié) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和第一部分等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和第一部分 六年高考題六年高考題薈萃薈萃 20122012 年高考題年高考題一、選擇題1.【2012 高考重慶理 1】在等差數(shù)列中，則的前 5 項和=na12a54ana5S A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B【解析】因為，所以，所以數(shù)列的前 5 項和12a54a64251aaaa,選 B.156252)(52)(542515aaaaS2.【2012 高考浙江理 7】設(shè)是公差為 d（d0

2、）的無窮等差數(shù)列an的前 n 項和，則下nS列命題錯誤的是A.若 d0，則數(shù)列Sn有最大項B.若數(shù)列Sn有最大項，則 d0C.若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對任意，均有*Nn0nSD. 若對任意，均有，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列*Nn0nS【答案】C【解析】選項 C 顯然是錯的，舉出反例：1，0，1，2，3，滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列，但是S n0 不成立故選 C。3.【2012 高考新課標理 5】已知na為等比數(shù)列，568a a ，則472aa110aa（ ） ( )A7( )B5( )C()D【答案】D【解析】因為為等比數(shù)列，所以，又，所以na87465aaaa274 aa或.若，解得，2474aa，4

3、274aa，2474aa，18101aa，- 2 -；若，解得，仍有，綜上選7101 aa4274aa，18110aa，7101 aaD.4.【2012 高考上海理 18】設(shè)，在中，25sin1nnannnaaaS2110021,SSS正數(shù)的個數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D100【答案】D【解析】當 124 時，0，當 2649 時，0，但其絕對值要小于nnanna124 時相應的值，當 5174 時，0，當 7699 時，0，但其絕對值nnnanna要小于 5174 時相應的值，當 1100 時，均有0。nnnS【點評點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和間接法解題.解決此類問題主要

4、找到規(guī)律，從題目出發(fā)可以看出來相鄰的 14 項的和為 0，這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.5.【2012 高考遼寧理 6】在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前 11 項和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案答案】B【解析解析】在等差數(shù)列中，答案為 B111111481111 ()16,882aaaaaas【點評點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及其前 n 項和公式，同時考查運算求解能力，屬于中檔題。解答時利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準確。6.【2012 高考福建理 2】等差數(shù)列an中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列an的公差為A.

5、1 B.2 C.3 D.4【答案】B.考點：考點：等差數(shù)列的定義。難度：難度：易。分析：分析：本題考查的知識點為等差數(shù)列的通項公式dnaan) 1(1。【解析】法 1：由等差中項的性質(zhì)知，又.故選 B.52513aaa2, 7344aada法 2：273104211ddada7.【2012 高考安徽理 4】公比為等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則32na31116a a =（ ）162log a- 3 - ( )A4( )B5( )C()D【答案】B 【解析】29311771672161616432log5a aaaaaqa8.【2012 高考全國卷理 5】已知等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，

6、a5=5，S5=15，則數(shù)列的前 100 項和為(A) (B) (C) (D) 1001019910199100101100【答案】A【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和的公式的運用，以及裂項求和的綜合運用，通過已知中兩項，得到公差與首項，得到數(shù)列的通項公式，并進一步裂項求和?！窘馕觥坑?得，所以，所以15, 555Sa1, 11dannan) 1(1，又111) 1(111nnnnaann，選 A.1011001011110111001312121111110110021aaaa二、填空題9.【2012 高考浙江理 13】設(shè)公比為 q（q0）的等比數(shù)列an的前 n 項和為

7、Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則 q=_。 【答案】32【解析】將，兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子2232Sa 4432Sa 1a即，兩式作差得：，即：111233111113232aa qa qaa qa qa qa q 2321113(1)a qa qa q q ，解之得：(舍去)2230qq 312qq或 10.【2012 高考新課標理 16】數(shù)列滿足，則的前項和為 na1( 1)21nnnaan na60【答案】1830【解析】由得，12) 1(1naannn12 12) 1() 1(12) 1(112nnanaannnnnn- 4 -，12) 12() 1(nnan

8、n即，也有，兩式相1212) 1(2nnaannn）（3212) 1(13nnaannn）（加得，設(shè)為整數(shù)，44) 1(2321naaaannnnnk則，10164) 14(4) 1(21444342414kkaaaakkkkk于是1830)1016()(1404434241414060kaaaaSKkkkkK11.【2012 高考遼寧理 14】已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列an的通項公式an =_。251021,2()5nnnaaaaa【答案答案】2n【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及方程思想，是簡單題.【解析解析】2429510111,(),nnaaa qa qaqaq2

9、22112()5,2(1)5,2(1)5 ,2(22nnnnnnnaaaaqa qqqqqa解得或舍去），【點評點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。12.【2012 高考江西理 12】設(shè)數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列，若，711ba2133ba則_。55ba【答案】35【命題立意】本題考查等差數(shù)列的概念和運算?？疾榈炔钪许椀男再|(zhì)及整體代換的數(shù)學思想【解析】 （解法一）因為數(shù)列, nnab都是等差數(shù)列，所以數(shù)列nnab也是等差數(shù)列.故由等差中項的性質(zhì)，得 5511332ababab，即5572 21ab，解得5535ab.（解法二）設(shè)數(shù)列, nnab的公差分別為

10、12,d d,因為331112111212(2)(2)()2()72()21abadbdabdddd,所以127dd.所以553312()2()35ababdd.【點評】對于等差數(shù)列的計算問題，要注意掌握基本量法這一通法，同時要注意合理使用等差數(shù)列的性質(zhì)進行巧解. 體現(xiàn)考綱中要求理解等差數(shù)列的概念.來年需要等差數(shù)列的通項公式，前n項和，等差中項的性質(zhì)等.- 5 -13.【2012 高考北京理 10】已知等差數(shù)列為其前 n 項和。若，則nanS211a32aS =_。2a【答案】，12annSn41412【解析】因為，212111132132addadaaaaaaS所以，。112daanndnn

11、naSn4141) 1(2114.【2012 高考廣東理 11】已知遞增的等差數(shù)列an滿足 a1=1，則 an=_4223 aa 【答案】12 n【解析】由得到，即，應為an是遞增的等差數(shù)列，4223 aa4)1 (212dd42d所以，故。2d12 nan三、解答題15【2012 高考江蘇 20】 （1616 分）分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：na nb，221nnnnnbabaa*Nn（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；nnnabb11*Nn2nnba（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值nnnabb21*Nnna1a1b【答案答案】解：（1），。nnnabb1111222=1nnnnnnn

12、nabbaabba 。2111nnnnbbaa 。222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa 數(shù)列是以 1 為公差的等差數(shù)列。2nnba- 6 -（2），。00nna b ，22222nnnnnnabab ab 。 （）12212nnnnnab0q=1q 若則，當時，與（）矛盾。1,q212=2aaa112nnaa q 若則，當時，與（）矛盾。01,qa q11logqna111nnaa q 綜上所述，。，。=1q1*naanN112a123b b b 又由即，得。221nnnnnbabaa11221nnabaab22111212=1naaaba 中至少有兩項相同，與矛盾。123

13、bbb且且123b b b1= 2a 。 2222222= 221nb 。12= 2ab【考點考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法?！窘馕鼋馕觥?（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而221nnnnnbabaannnabb112111nnnnbbaa證明而得證。22111nnnnbbaa （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列12212nnnnnab0,即2221rn rnaaa ， （1,2,3,1rn） 。上面不等式對r從 1 到1n求和得，222222()(1) 1n rnaaana由此得222221112nnnaaaa綜上，當21a 且20a 時，有1()2nnnSaa

14、，當且僅當1,2n 或21a 時等號成立。20.【2012 高考江西理 16】 （本小題滿分 12 分）已知數(shù)列an的前 n 項和，,且 Sn的最大值為 8.knnSn221*Nk （1）確定常數(shù) k，求 an；（2）求數(shù)列的前 n 項和 Tn。229nna【答案】解: （1）當nkN時，212nSnkn 取最大值，即22211822kkk ，故4k ，從而19(2)2nnnaSSn n，又1172aS，所以92nan（1）因為19222nnnnanb，1222123112222nnnnnnTbbb 所以21211111222 144222222nnnnnnnnnnnTTT 【點評點評】本題考

15、查數(shù)列的通項，遞推、錯位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應用.利用來實現(xiàn)與的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一，要注意11(1),nnnS naSSnanS不能用來求解首項，首項一般通過來求解.運用錯位相減法求數(shù)列1nnnaSS1a1a11aS的前n項和適用的情況：當數(shù)列通項由兩項的乘積組成，其中一項是等差數(shù)列、另一項是等比數(shù)列.21.【2012 高考湖南理 19】 （本小題滿分 12 分）- 11 -已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， （1）若a1=1，a2=5，且對任意nN，三個數(shù)A（n

16、） ，B（n） ，C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項公式.（2）證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個Nn數(shù)A（n） ，B（n） ，C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.【答案】解（）對任意,三個數(shù)是等差數(shù)列，所以Nn( ), ( ),( )A n B n C n( )( )( )( ),B nA nC nB n即亦即112,nnaaa21214.nnaaaa故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.于是 na1 (1) 443.nann （） （）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意，有 naNn由知，均大于，于是1.nnqaa0na ( ), ( ),( )A

17、 n B n C n12)2311212(.( ),( ).nnnnq aaaaaaB nqA naaaaaa231)342231231(.( ),( ).nnnnq aaaaaaC nqB naaaaaa即，所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.( )( )B nA n( )( )C nB nq( ), ( ),( )A n B n C nq（）充分性：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，Nn( ), ( ),( )A n B n C nq則，( )( ),( )( )B nqA n C nqB n于是得即( )( )( )( ) ,C nB nq B nA n2211(),nnaaq aa2

18、121.nnaqaaa由有即，從而.1n (1)(1),BqA21aqa210nnaqa因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，0na 2211nnaaqaa na1aq綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意 nN，三個數(shù) naq- 12 -組成公比為的等比數(shù)列.( ), ( ),( )A n B n C nq【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.22.【2012 高考山東理 20】本小題滿分 12 分）在等差數(shù)列中，. na345984,73aaa

19、a（）求數(shù)列的通項公式； na（）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，求數(shù)列*mN na2(9 ,9)mmmb的前項和. mbmmS【答案】解：解：（）因為 na是一個等差數(shù)列，所以3454384aaaa，即428a 所以，數(shù)列 na的公差9473289945aad，所以，*4(4)289(4)98()naandnnnN （）對*mN，若 299mmna，則 298998mmn，因此 121919mmn ，故得 2199mmmb（lb ylfx）于是 123.mmSbbbb35212121(999.9)(1 99.9)9 (1 81 )1 91 811 9910 9180mmmmmm20

20、112011 年高考題年高考題一、選擇題1 （天津理 4）已知 na為等差數(shù)列，其公差為-2，且7a是3a與9a的等比中項，nS為 na的前n項和，*nN，則10S的值為A-110 B-90 C90 D110【答案】D2 （四川理 8）數(shù)列 na的首項為3， nb為等差數(shù)列且1(*)nnnbaa nN若則32b ，1012b ，則8a A0 B3 C8 D11【答案】B- 13 -【解析】由已知知128,28,nnnbnaan由疊加法21328781()()()642024603aaaaaaaa 3 （全國大綱理 4）設(shè)nS為等差數(shù)列 na的前n項和，若11a ，公差2d ，224kkSS，則

21、k A8 B7 C6 D5【答案】D4 （江西理 5） 已知數(shù)列na的前 n 項和nS滿足：nmn mSSS，且1a=1那么10a=A1 B9 C10 D55【答案】A二、填空題5 （湖南理 12）設(shè)nS是等差數(shù)列na()nN，的前n項和，且141,7aa，則9S= 【答案】256 （重慶理 11）在等差數(shù)列na中，3737aa，則2468aaaa_【答案】747 （北京理 11）在等比數(shù)列an中，a1=12，a4=-4，則公比 q=_；12.naaa_。2 【答案】2121n8 （廣東理 11）等差數(shù)列na前 9 項的和等于前 4 項的和若141,0kaaa，則k=_【答案】109 （江蘇

22、13）設(shè)7211aaa，其中7531,aaaa成公比為 q 的等比數(shù)列，642,aaa成公差為 1 的等差數(shù)列，則 q 的最小值是_【答案】33三、解答題10 （江蘇 20）設(shè)部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列11aan的首項，前 n 項和為nS，已- 14 -知對任意整數(shù) kM，當整數(shù))(2,knknknSSSSkn時都成立 （1）設(shè)52, 2,1aaM求的值； （2）設(shè),4 , 3naM求數(shù)列的通項公式本小題考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查考生分析探究及邏輯推理的能力，滿分 16 分。解：（1）由題設(shè)知，當1112,2()nnnnSSSS時， 即111()()2

23、nnnnSSSSS， 從而112222,2,2,2(2)22.nnnaaaanaann又故當時 所以5a的值為 8。 （2）由題設(shè)知，當3,4,22n kn knkkMnkSSS且時, S 11122nknknkSSSS 且， 兩式相減得11111112,nknknnknknnkaaaaaaa 即所以當63368,nnnnnnaaaaa 時成等差數(shù)列，且6226,nnnnaaaa也成等差數(shù)列從而當8n 時，33662.nnnnnaaaaa（*）且662222,8,2nnnnnnnaaaanaaa所以當時，即223113.9,nnnnnnnnaaaanaaaa于是當時成等差數(shù)列，從而3311nn

24、nnaaaa，故由（*）式知11112,.nnnnnnnaaaaaaa即當9n 時，設(shè)1.nndaa當28,68mm時，從而由（*）式知6122mmmaaa故71132.mmmaaa從而76113122()()mmmmmmaaaaaa，于是12.mmaaddd因此，1nnaad對任意2n 都成立，又由22(3,4)n kn kkkSSSSk可- 15 -知34()()2,92162n knnn kkSSSSSdSdS故且，解得42173,.222dadad a從而因此，數(shù)列na為等差數(shù)列，由112.ad知所以數(shù)列na的通項公式為21.nan11 （北京理 20）若數(shù)列12,.,(2)nnAa

25、aa n滿足111(1,2,.,1)naakn，數(shù)列nA為E數(shù)列，記()nS A=12.naaa（）寫出一個滿足10saa，且()sS A0 的E數(shù)列nA；（）若112a ，n=2000，證明：E 數(shù)列nA是遞增數(shù)列的充要條件是na=2011；（）對任意給定的整數(shù) n（n2） ，是否存在首項為 0 的 E 數(shù)列nA，使得 nS A=0？如果存在，寫出一個滿足條件的 E 數(shù)列nA；如果不存在，說明理由。 解：（）0，1，2，1，0 是一具滿足條件的 E 數(shù)列 A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一個滿足條件的 E 的數(shù)列 A5）（）必要性：因為 E 數(shù)列 A5 是遞增數(shù)列，所以)1999

26、, 2 , 1( 11kaakk.所以 A5 是首項為 12，公差為 1 的等差數(shù)列.所以 a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于 a2000a10001，a2000a10001a2a11所以 a2000a19999，即 a2000a1+1999.又因為 a1=12，a2000=2011,所以 a2000=a1+1999.故nnnAkaa即),1999, 2 , 1(011是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。（）令. 1),1, 2 , 1(011Akkkcnkaac則因為2111112ccaacaa- 16 -,1211nncccaa所以13211)3()2() 1()(nncc

27、ncncnnaAS).1 ()2)(1 () 1)(1(2) 1(121ncncncnn因為).1, 1(1, 1nkcckk為偶數(shù)所以所以)1 ()2)(1 () 1)(1*21ncncnc為偶數(shù),所以要使2) 1(, 0)(nnASn必須使為偶數(shù),即 4 整除*)( 144),1(Nmmnmnnn或亦即.當, 1, 0,*)( 14241414kkknaaaAENmmn的項滿足數(shù)列時14ka), 2 , 1(mk時，有; 0)(, 01nASa; 0)(, 0,0), 2 , 1( 11144nkkASaamka有時當nAENmmn數(shù)列時,*)( 14的項滿足，, 1, 0243314kk

28、kaaa當) 1(,)( 3424mnNmmnmn時或不能被 4 整除，此時不存在 E 數(shù)列 An，使得. 0)(, 01nASa12 （廣東理 20） 設(shè) b0,數(shù)列 na滿足 a1=b，11(2)22nnnnbaanan（1）求數(shù)列 na的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù) n，111.2nnnba解： （1）由11111210,0,.22nnnnnnbannabaanabb a知令11,nnnAAab，- 17 -當1122,nnnAAbb時2112111222nnnnAbbbb21211222.nnnnbbbb當2b 時，12(1)2,2(2)1nnnnnbbbAbbb當2,.2nn

29、bA時(2),222,2nnnnnbbbabb （2）當2b 時， （欲證1111(2)21,(1)2222nnnnnnnnnnnnbbbbbanbbb只需證）11111212(2)(2)(22)2nnnnnnnnnbbbbbb112222211122222nnnnnnnnnbbbbb21212222()222nnnnnnnnbbbbbbb12(222)222nnnnnnbnbnb，11(2)1.22nnnnnnnbbbab當112,21.2nnnbba時綜上所述111.2nnnba- 18 -13 （湖北理 19）已知數(shù)列 na的前n項和為nS，且滿足：1aa(0)a ，1nnarS(nN*

30、，,1)rR r （）求數(shù)列 na的通項公式；（）若存在kN*，使得1kS，kS，2kS成等差數(shù)列，是判斷：對于任意的mN*，且2m ，1ma，ma，2ma是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想。 （滿分 13 分） 解：（I）由已知1,nnarS可得21nnarS，兩式相減可得 2111(),nnnnnaar SSra 即21(1),nnara 又21,arara所以 r=0 時， 數(shù)列na為：a，0，0，； 當0,1rr 時，由已知0,0naa所以（*nN） ， 于是由21(1),nnara可得211()nnar

31、nNa， 23,na aa成等比數(shù)列， 當n2時，2(1).nnar ra 綜上，數(shù)列na的通項公式為21,(1),2nnnanar ra n （II）對于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差數(shù)列，證明如下： 當 r=0 時，由（I）知，,1,0,2ma nan 對于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差數(shù)列， 當0r ，1r 時， 21211,.kkkkkkSSaaSa- 19 - 若存在*kN，使得112,kkSS S成等差數(shù)列， 則122kkkSSS， 1221222,2,kkkkkkSaaSaa 即 由（I）知，23,ma aa的公比12r ，于是 對于任意的*mN，且1

32、22,2,4,mmmmmaaaa 從而 12122,mmmmmmaaaaaa即成等差數(shù)列， 綜上，對于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差數(shù)列。14 （遼寧理 17） 已知等差數(shù)列an滿足 a2=0，a6+a8=-10（I）求數(shù)列an的通項公式；（II）求數(shù)列12nna的前 n 項和解： （I）設(shè)等差數(shù)列na的公差為 d，由已知條件可得110,21210,adad 解得11,1.ad 故數(shù)列na的通項公式為2.nan 5 分 （II）設(shè)數(shù)列12nnnanS的前項和為，即2111,122nnnaaSaS故，12.2242nnnSaaa所以，當1n 時，1211111222211121()

33、2422121(1)22nnnnnnnnnnSaaaaaann - 20 - .2nn所以 1.2nnnS綜上，數(shù)列11.22nnnnannS的前項和 12 分15 （全國大綱理 20） 設(shè)數(shù)列 na滿足10a 且1111.11nnaa（）求 na的通項公式；（）設(shè)111,1.nnnnknkabbSn記S證明：解： （I）由題設(shè)1111,11nnaa 即11na是公差為 1 的等差數(shù)列。 又1111,.11nnaa故 所以11.nan （II）由（I）得 11,11111nnabnnnnnnn ，8 分11111()11.11nnnkkkSbkkn 12 分16 （山東理 20） 等比數(shù)列 n

34、a中，123,a a a分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且123,a a a中的任何- 21 -兩個數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列 na的通項公式；（）若數(shù)列 nb滿足：( 1)lnnnnbaa ，求數(shù)列 nb的前 n 項和nS解：（I）當13a 時，不合題意；當12a 時，當且僅當236,18aa時，符合題意；當110a 時，不合題意。因此1232,6,18,aaa所以公式 q=3，故12 3.nna （II）因為( 1) lnnnnnbaa 11112 3( 1) (2 3)2 3( 1) ln2(1)ln32 3( 1) (

35、ln2ln3)( 1)ln3,nnnnnnnnnn 所以21222(1 33) 1 1 1( 1) (ln2ln3) 125( 1)ln3,nnnnSn 所以當 n 為偶數(shù)時，1 32ln31 32nnnS3ln3 1;2nn當 n 為奇數(shù)時，1 312(ln2ln3)()ln31 32nnnSn13ln3ln2 1.2nn綜上所述，- 22 -3ln3 1,212nnnnnSn為偶數(shù)3 -l n3-l n2-1, n為奇數(shù)17 （上海理 22） 已知數(shù)列na和 nb的通項公式分別為36nan，27nbn（*nN） ，將集合* |, |,nnx xa nNx xb nN中的元素從小到大依次排列

36、，構(gòu)成數(shù)列123,nc c cc。（1）求1234,c c c c；（2）求證：在數(shù)列 nc中但不在數(shù)列 nb中的項恰為242,na aa；（3）求數(shù)列 nc的通項公式。解： 12349,11,12,13cccc； 任意*nN，設(shè)213(21)66327nkannbk，則32kn，即2132nnab 假設(shè)26627nkanbk*132knN（矛盾） ， 2 nnab 在數(shù)列 nc中但不在數(shù)列 nb中的項恰為242,na aa。 32212(32)763kkbkka，3165kbk，266kak，367kbk 63656667kkkk 當1k 時，依次有111222334,bac bc ac b

37、c， *63(43)65(42),66(41)67(4 )nknkknkckNknkknk。18 （天津理 20） - 23 -已知數(shù)列na與 nb滿足：1123( 1)0,2nnnnnnnb aabab ， *nN，且122,4aa（）求345,a a a的值；（）設(shè)*2121,nnncaanN，證明： nc是等比數(shù)列；（III）設(shè)*242,kkSaaakN證明：4*17()6nkkkSnNa本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分 14 分. （I）解：由*3( 1),2nnbnN 可得1,nnb為奇數(shù)

38、2, n為偶數(shù)又1120,nnnnnb aaba123123234434543;5;4. 當n=1時, a +a +2a =0, 由a =2, a =4, 可得a當n=2時, 2a +a +a =0, 可得a當n=3時, a +a +2a =0, 可得a（II）證明：對任意*,nN2122120,nnnaaa2212220,nnnaaa21222320,nnnaaa，得223.nnaa將代入，可得21232121()nnnnaaaa 即*1()nncc nN 又1131,0,ncaa 故c因此11, nnnccc 所以是等比數(shù)列.- 24 -（III）證明：由（II）可得2121( 1)kkk

39、aa ，于是，對任意*2kNk且，()1,1,( 1) ()1.kkkaaaaaaaa 將以上各式相加，得121( 1)(1),kkaak 即121( 1)(1)kkak ，此式當 k=1 時也成立.由式得12( 1)(3).kkak 從而22468424()()(),kkkSaaaaaak 21243.kkkSSak所以，對任意*,2nNn，44342414114342414()nnkmmmmkmkmmmmSSSSSaaaaa12221232()2222123nmmmmmmmmm123()2 (21)(22)(22)nmmmmm22532 32 (21)(22)(2

40、3)nmmmnn21533(21)(21)(22)(23)nmmmnn151111113()()()3235572121(22)(23)nnnn15513362 21(22)(23)7.6nnn- 25 -對于 n=1，不等式顯然成立.所以，對任意*,nN2121212212nnnnSSSSaaaa32121241234212()()()nnnnSSSSSSaaaaaa22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)nnn22211121()()()41244 (41)44 (41)nnnnn111().4123nn19 （浙江理 19）已知公差不為 0 的等差數(shù)列na的首項1a

41、為 a（aR）,設(shè)數(shù)列的前 n 項和為nS，且11a，21a，41a成等比數(shù)列（1）求數(shù)列na的通項公式及nS（2）記1231111.nnASSSS，212221111.nnBaaaa，當2n 時，試比較nA與nB的大小本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論思想。滿分 14 分。 （I）解：設(shè)等差數(shù)列na的公差為 d，由2214111(),aaa得2111()(3 )ada ad因為0d ，所以da所以1(1),.2nnan nana S（II）解：因為12 11()1nSa nn，所以123111121(1)1nnASSSSan- 26 -因為1122n

42、naa，所以21122211 ( )11111212(1).1212nnnnBaaaaaa當0122,21nnnnnnnCCCCn時，即1111,12nn 所以，當0,;nnaAB時當0,.nnaAB時20 （重慶理 21） 設(shè)實數(shù)數(shù)列na的前 n 項和nS，滿足)(*11NnSaSnnn （I）若122,2a Sa成等比數(shù)列，求2S和3a； （II）求證：對14303kkkaa有 （I）解：由題意2221222221122,2,Sa aSSSa Sa a 得，由 S2 是等比中項知220.2.SS 因此由23332SaSa S解得23222.1213SaS （II）證法一：由題設(shè)條件有11,

43、nnnnSaaS故11111,1,11nnnnnnnnSaSaaSSa且從而對3k 有- 27 -112112112111211111.11111kkkkkkkkkkkkkkkkaaSaSaaaaSaSaaaa 因2221111131()0024kkkkaaaa 且，由得0ka 要證43ka ，由只要證212114,31kkkaaa即證222111134(1),(2)0.kkkkaaaa即此式明顯成立.因此4(3).3kak最后證1.kkaa若不然212,1kkkkkaaaaa又因220,1,(1)0.1kkkkkaaaaa故即矛盾.因此1(3).kkaak證法二：由題設(shè)知111nnnnnSS

44、aaS，故方程21110nnnnxSxSSa 有根和（可能相同）.因此判別式21140.nnSS 又由2212212121.1nnnnnnnnnaSSaaSaSa得且因此22222222240,3401(1)nnnnnnaaaaaa即，解得240.3na因此40(3).3kak- 28 -由110(3)1kkkSakS，得111211122111(1)(1)11110.131()24kkkkkkkkkkkkkkkkkkSSSaaaaaSa SSSaaSSS 因此1(3).kkaak20102010 年高考題年高考題一、選擇題1.1.（20102010 浙江理）浙江理） （3）設(shè)nS為等比數(shù)列

45、na的前n項和，2580aa，則52SS（A）11 （B）5 （C）8 （D）11解析：通過2580aa，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為08322qaa，解得q=-2，帶入所求式可知答案選 D，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式，屬中檔題2.2.（20102010 全國卷全國卷 2 2 理）理） （4）.如果等差數(shù)列 na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa3.3.（2010201

46、0 遼寧文）遼寧文） （3）設(shè)nS為等比數(shù)列 na的前n項和，已知3432Sa，2332Sa，則公比q （A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】 B解析：選 B. 兩式相減得， 3433aaa，44334,4aaaqa.- 29 -4.4.（20102010 遼寧理）遼寧理） （6）設(shè)an是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，nS為其前 n 項和。已知 a2a4=1, 37S ,則5S （A）152 (B)314 (C)334 (D)172 【答案】B【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式，考查了同學們解決問題的能力?！窘馕觥坑?a2a4=1 可得2411a q ，因此121aq，

47、又因為231(1)7Saqq，聯(lián)力兩式有11(3)(2)0qq，所以 q=12,所以5514(1)3121412S，故選 B。5.5.（20102010 全國卷全國卷 2 2 文）文）(6)如果等差數(shù)列 na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35【答案】C C【解析解析】本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識。本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識。 34512aaa， 44a 12717417 ()7282aaaaaa 6.6.（20102010 安徽文）安徽文）(5)設(shè)數(shù)列na的前 n 項和2nSn，則8a的值為（A） 15 (B) 16 (C) 49

48、（D）64【答案】 A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根據(jù)1(2)nnnaSSn即可得出結(jié)論.7.7.（20102010 浙江文）浙江文）(5)設(shè)ns為等比數(shù)列na的前n項和，2580aa則52SS(A)-11 (B)-8(C)5(D)11解析：通過2580aa，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為08322qaa，解得q=-2，帶入所- 30 -求式可知答案選 A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式8.8.（20102010 重慶理）重慶理） （1）在等比數(shù)列 na中，201020078aa ，則公比 q 的值為A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答

49、案】A解析：8320072010qaa 2q9.9.（20102010 廣東理）廣東理）4. 已知na為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和。若2312aaa， 且4a與27a的等差中項為54，則5S=A35 B.33 C.31 D.29【答案】C解析：設(shè)na的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，231412aaa aa，即42a 。由4a與 27a的等差中項為54知，475224aa，即7415151(2)(22)24244aa 37418aqa，即12q 3411128aa qa，即116a 10.10.（20102010 廣東文）廣東文）11.11.（20102010 山東理）山東理）- 31 -1

50、2.12.（20102010 重慶文）重慶文） （2）在等差數(shù)列 na中，1910aa，則5a的值為（A）5 （B）6（C）8 （D）10【答案】 A解析：由角標性質(zhì)得1952aaa，所以5a=5二、填空題1.1.（20102010 遼寧文）遼寧文） （14）設(shè)nS為等差數(shù)列na的前n項和，若36324SS，則9a 。解析：填 15. 31613 23326 56242SadSad,解得112ad ，91815.aad2.2.（20102010 福建理）福建理）11在等比數(shù)列 na中,若公比q=4,且前 3 項之和等于 21,則該數(shù)列的通項公式na 【答案】n-14【解析】由題意知111416

51、21aaa，解得11a ，所以通項na n-14?！久}意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式的應用，屬基礎(chǔ)題。3.（20102010 江蘇卷）江蘇卷）8、函數(shù) y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與 x 軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。在點(ak,ak2)處的切線方程為：22(),kkkyaaxa當0y 時，解得2kax ，- 32 -所以1135,164 1212kkaaaaa 。三、解答題1.1.（20102010 上海文）上海文）21.(21.(本題滿分本題滿分 1414 分分) )

52、本題共有本題共有 2 2 個小題，第一個小題滿分個小題，第一個小題滿分 6 6 分，第分，第 2 2 個小個小題滿分題滿分 8 8 分。分。已知數(shù)列 na的前n項和為nS，且585nnSna，*nN(1)證明：1na 是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列 nS的通項公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整數(shù)n.解析：(1) 當n1 時，a114；當n2 時，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa ，又a11150，所以數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：151156nna ，得151 156nna ，從而1575906nnSn(nN N*)；由Sn1Sn，得15265n，562l

53、og114.925n ，最小正整數(shù)n152.2.（20102010 陜西文）陜西文）16.（本小題滿分 12 分）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（）求數(shù)列an的通項;（）求數(shù)列2an的前n項和Sn.解 （）由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得121d1 812dd，解得d1，d0（舍去） ， 故an的通項an1+（n1）1n.()由（）知2ma=2n，由等比數(shù)列前 n 項和公式得Sm=2+22+23+2n=2(1 2 )1 2n=2n+1-2.3.3.（20102010 全國卷全國卷 2 2 文）文） （18） （本小題滿分 12 分

54、）已知na是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且- 33 -1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（）求na的通項公式；（）設(shè)21()nnnbaa，求數(shù)列 nb的前n項和nT?！窘馕鼋馕觥勘绢}考查了數(shù)列通項、前本題考查了數(shù)列通項、前n項和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。項和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。（1 1）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于1a與與d的方程求得的方程求得1a與與d，可求得數(shù)列的通項公式。，可求得數(shù)列的通項公式。（2 2）由（）由（1 1）中求得數(shù)列通項公式，可求出）中求得數(shù)列通項公式，可求出 BNBN 的通項公式，由其通項公式化可知其和可分的通項公

55、式，由其通項公式化可知其和可分成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。4.4.（20102010 江西理）江西理）22. （本小題滿分 14 分）證明以下命題：（1）對任一正整 a,都存在整數(shù) b,c(b0 由 a2+a716.得12716ad 由3655,aa得11(2 )(5 )55ad ad 由得12167ad將其代入得(163 )(163 )220dd。即22569220d24,0,2,11 (1) 221ndddann 1又代入得a （2）令121121,2nnnnnnnbcaccc accc則有兩式相減得111111111,(1)1,22,2(2),2222

56、2,(1)2(2)nnnnnnnnnnnaacaaaccnnbbanbn由得即當時，又當n=1時，于是3411232222nnnSbbbb=234122222n-4=1222(21)426,262 1nnnnS即27. （2009 福建卷文）等比數(shù)列na中，已知142,16aa （I）求數(shù)列na的通項公式； （）若35,a a分別為等差數(shù)列 nb的第 3 項和第 5 項，試求數(shù)列 nb的通項公式及前n項和nS。解：（I）設(shè)na的公比為q由已知得3162q，解得2q （）由（I）得28a ，532a ，則38b ，532b 設(shè) nb的公差為d，則有1128432bdbd解得11612bd 從而1

57、6 12(1)1228nbnn 所以數(shù)列 nb的前n項和2( 16 1228)6222nnnSnn- 53 -28（2009 重慶卷文） （本小題滿分 12 分， （）問 3 分， （）問 4 分， （）問 5 分）已知112211,4,4,nnnnnnaaaaaa bnNa（）求123,b b b的值； （）設(shè)1,nnnncb bS為數(shù)列 nc的前n項和，求證：17nSn；（）求證：221164 17nnnbbA解：（）2344,17,72aaa，所以12317724.,417bbb（）由214nnnaaa得2114nnnnaaaa即114nnbb所以當2n時，4nb 于是1121,17,4

58、117(2)nnnncb bcb bbn 所以1217nnScccn （）當1n 時，結(jié)論21117464bb成立當2n時，有11111111|44| |17nnnnnnnnnnbbbbbbbbb b12212121111|(2)171764 17nnnnbbbbnA所以 2121221nnnnnnnnbbbbbbbb1122*211()(1)11111111717()()()(17117nnnnnnnNAA 2007200720082008 年高考題年高考題一、選擇題1.（2008 天津）若等差數(shù)列na的前 5 項和525S ，且23a ，則7a ( )A.12 B

59、.13 C.14 D.15答案 B2.（2008 陜西）已知na是等差數(shù)列，124aa，7828aa，則該數(shù)列前 10 項和- 54 -10S等于（ ）A64 B100 C110 D120答案 B3.（2008 廣東）記等差數(shù)列na的前n項和為nS，若112a ，420S ，則6S （ ）A16 B24 C36 D48答案 D 4.（2008 浙江）已知 na是等比數(shù)列，41252aa，則13221nnaaaaaa=（ ）A.16（n 41） B.6（n 21） C.332（n 41） D.332（n 21）答案 C5.（2008 四川）已知等比數(shù)列 na中21a ，則其前 3 項的和3S的取

60、值范圍是()A., 1 B. ,01,C.3, D. , 13, 答案 D6.（2008 福建)設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若n1=7,a5=16,則數(shù)列an前 7 項的和為( )A.63B.64C.127D.128答案 C7.（2007 重慶）在等比數(shù)列an中，a28，a564， ，則公比 q 為（）A2 B3 C4 D8答案 A 8.（2007 安徽）等差數(shù)列 na的前n項和為xS若則432, 3, 1Saa（）A12 B10 C8 D6答案 B9.（2007 遼寧）設(shè)等差數(shù)列na的前n項和為nS，若39S ，636S ，則- 55 -789aaa（）A63 B45 C36 D27答案