2009年高中數(shù)學(xué)高考試題分類匯編——三角函數(shù)全國通用

1、20092009 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編三角函數(shù)三角函數(shù)一、選擇題1.(2009 年廣東卷文)已知中，的對(duì)邊分別為若ABCCBA, ,a b c且，則 62ac75Aob A.2 B4 C4 D2 32 362【答案】A【解析】000000026sinsin75sin(3045 )sin30 cos45sin45 cos304A由可知,所以,62ac075C030B1sin2B 由正弦定理得,故選 A261sin2sin2264abBA2.(2009 年廣東卷文)函數(shù)是 1)4(cos22xyA最小正周期為的奇函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù)

2、D. 最小正周期為的偶函數(shù) 22【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以選22cos () 1cos 2sin242yxxx 22TA.3.（2009 全國卷理）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么cos 2yx343，0的最小值為（C） （A） （B） （C） (D) |6432解: 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 cos 2yx343，0由此易得.故選 C423k 42()3kkZ min|34.（2009 全國卷理）若，則函數(shù)的最大值為 。42x3tan2 tanyxx解:令, tan,xt142xt 4432224222tan2222tan2 tan81111111tan1()244xtyxxxt

3、ttt 5.（2009 浙江理）已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 ( )a( )1sinf xaax 答案：D 【解析】對(duì)于振幅大于 1 時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而 D 不符合要2,1,2TaTa 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了26.（2009 浙江文）已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a( )1sinf xaax D 【命題意圖】此題是一個(gè)考查三角函數(shù)圖象的問題，但考查的知識(shí)點(diǎn)因含有參數(shù)而豐富，結(jié)合圖形考查使得所考查的問題形象而富有深度【解析】對(duì)于振幅大于 1 時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而 D 不符合要2,1,2TaTa 求，它的振幅大于 1，但

4、周期反而大于了27.（2009 北京文） “”是“”的61cos22A 充分而不必要條件B必要而不充分條件C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案答案】A.w【解析解析】本題主要考查.k本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 當(dāng)時(shí)，61cos2cos32反之，當(dāng)時(shí)，有，1cos222236kkkZ 或，故應(yīng)選 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2236kkkZ8.（2009 北京理） “”是“”的 2()6kkZ1cos22（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案答案】A【

5、解析解析】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 當(dāng)時(shí)，2()6kkZ1cos2cos 4cos332k 反之，當(dāng)時(shí)，有，1cos222236kkkZ 或，故應(yīng)選 A.2236kkkZ9.(2009 山東卷理)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移 1 個(gè)單位,所得sin2yx4圖象的函數(shù)解析式是( ).A. B. C. D.cos2yx22cosyx)42sin(1xy22sinyx【解析】:將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即sin2yx4sin2()4yx的圖象,再向上平移 1 個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為sin(2)cos22y

6、xx,故選 B.21 cos22cosyxx 答案:B【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形. 10.(2009 山東卷文)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移 1 個(gè)單位,所得sin2yx4圖象的函數(shù)解析式是( ).A. B. C. D. 22cosyx22sinyx)42sin(1xycos2yx【解析】:將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即sin2yx4sin2()4yx的圖象,再向上平移 1 個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為sin(2)cos22yxx,故選 A.21 cos22cosyxx 答案:A【

7、命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.11.（2009 全國卷文）已知ABC中，則12cot5A cos A (A) (B) (C) (D) 12135135131213答案：答案：D D解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由 cotA=cotA=知知 A A 為鈍角，為鈍角，cosA0cosA0, -0, 0) x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段 MNP，為保證參賽3運(yùn)動(dòng)員的安全，限定MNP=120o（I）求 A , 的值和 M，

8、P 兩點(diǎn)間的距離；（II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道 MNP 最長？ 18.本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，解法一（）依題意，有，又，。2 3A 34T2T62 3sin6yx當(dāng) 是，4x 22 3sin33y 又(4,3)M(8,3)p22435MP（）在MNP 中MNP=120，MP=5，設(shè)PMN=，則 060由正弦定理得00sinsin120sin(60)MPNPMN,10 3sin3NP010 3sin(60)3MN故010 310 310 3 13sinsin(60)

9、(sincos )33323NPMN010 3sin(60 )3060，當(dāng)=30時(shí)，折線段賽道 MNP 最長亦即，將PMN 設(shè)計(jì)為 30時(shí)，折線段道 MNP 最長解法二：（）同解法一（）在MNP 中，MNP=120，MP=5，由余弦定理得MNP=222cosMNNPMN NPAA2MP即2225MNNPMN NPA故22()25()2MNNPMNNPMN NPA從而，即23()254MNNP10 33MNNP當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，折線段道 MNP 最長MNNP注：本題第（）問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計(jì)方式，還可以設(shè)計(jì)為：；點(diǎn) N 在線段 MP 的垂直平123 94 3(2

10、6N，）123 94 3(26N，）分線上等21.（2009 遼寧卷文） （本小題滿分（本小題滿分 1212 分）分）如圖，A,B,C,D 都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面 A 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角分別為，于水面 C 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角075030均為，AC0.1km。試探究圖中 B，D 間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求 B，D 的距離060（計(jì)算結(jié)果精確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 （18）解： 在中，30，6030，ACDDACADCDAC 所以 CDAC0.1 又180606060，BCD 故 C

11、B 是底邊 AD 的中垂線，所以 BDBA 5 分CAD 在中， ABCABCACBCAABsinsin 即 AB2062351sin60sinAC 因此，km33. 020623BD 故 B、D 的距離約為 0.33km。 12 分22.（2009 遼寧卷理） （本小題滿分 12 分）如圖，A,B,C,D 都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面 A 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角分別為，于水面 C 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角075030均為，AC=0.1km。試探究圖中 B，D 間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求 B，D 的距060離（計(jì)算結(jié)果精

12、確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 (17)解:在ABC 中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底邊 AD 的中垂線，所以 BD=BA， 5 分在ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60因此，BD=。km33. 020623故 B，D 的距離約為 0.33km。 12 分23.（2009 寧夏海南卷理） （本小題滿分 12 分）為了測(cè)量兩山頂 M，N 間的距離，飛機(jī)沿水平方向在 A，B 兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N 在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示

13、意圖） ，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和 A，B 間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出） ；用文字和公式寫出計(jì)算M，N 間的距離的步驟。(17) 解：方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到 M，N 點(diǎn)的俯角；B 點(diǎn)到 M，N 的俯角；A，B 的距離 d （如圖所示） . .3 分22, 第一步：計(jì)算 AM . 由正弦定理；212sinsin()dAM 第二步：計(jì)算 AN . 由正弦定理；221sinsin()dAN 第三步：計(jì)算 MN. 由余弦定理 .22112cos()MNAMANAMAN方案二：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有： A 點(diǎn)到 M，N 點(diǎn)的俯角，；B 點(diǎn)到 M，

14、N 點(diǎn)的府角，；A，B 的距離 d （如1122圖所示）. 第一步：計(jì)算 BM . 由正弦定理；112sinsin()dBM第二步：計(jì)算 BN . 由正弦定理； 121sinsin()dBN 第三步：計(jì)算 MN . 由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN24.（2009 陜西卷文） （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)（其中）的周期為，且圖( )sin(),f xAxxR0,0,02A象上一個(gè)最低點(diǎn)為.2(, 2)3M ()求的解析式；（）當(dāng)，求的最值.( )f x0,12x( )f x11, 解析:（1）由最低點(diǎn)為 由2(, 2)23MA得222TT得由點(diǎn)在圖像上得即2(, 2)3

15、M42sin()23 4sin()13 所以故4232k112()6kkZ又，所以所以(0,)26( )2sin(2)6f xx（）因?yàn)?,2,1266 3xx 所以當(dāng)時(shí)，即x=0時(shí)，f(x)取得最小值 1；2x+66；,( )6312xf x當(dāng)2x+即時(shí)，取得最大值325.(2009 陜西卷理)（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)（其中）的圖象與 x 軸的交( )sin(),f xAxxR0,0,02A點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.22(, 2)3M()求的解析式；（）當(dāng)，求的值域. ( )f x,12 2x( )f x17、解（1）由最低點(diǎn)為得 A=2.2(, 2)3

16、M由 x 軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為得=，即，22T2T222T由點(diǎn)在圖像上的2(, 2)3M242sin(2)2,)133 即si n(故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 42,32kkZ1126k又(0,),( )2sin(2)266f xx故（2）7,2,12 2636xx當(dāng)=，即時(shí)，取得最大值 2；當(dāng)26x26x( )f x7266x即時(shí)，取得最小值-1，故的值域?yàn)?1,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2x( )f x( )f x26.（2009 四川卷文） （本小題滿分 12 分）在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且ABCAB、ABC、abc、510sin,si

17、n510AB（I）求的值；AB（II）若，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ababc、【解析解析】 （I）為銳角， AB、510sin,sin510AB 222 53 10cos1 sin,cos1 sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB 0AB 6 分4AB（II）由（I）知， 34C2sin2C 由得sinsinsinabcABC，即5102abc2 ,5ab cb又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ab 221bb1b 12 分2,5ac27.（2009 湖北卷文） （本小題滿分 12 分）

18、 在銳角ABC 中，a、b、c 分別為角 A、B、C 所對(duì)的邊，且Acasin23()確定角 C 的大?。?（）若 c,且ABC 的面積為,求 ab 的值。7233解（1）由及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 sinacA2sinsinsin3aAAcC3sin0,sin2ACQ是銳角三角形，ABCQ3C（2）解法 1：由面積公式得7,.3cCQ13 3sin,6232abab即由余弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22222cos7,73abababab即由變形得25,5ab2（a+b)故解法 2：前同解法 1，聯(lián)立、得2222766ababababa

19、b消去 b 并整理得解得4213360aa2249aa或所以故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2332aabb或5ab28.（2009 寧夏海南卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的 A，B，C 三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，于 A 處測(cè)得水深，50ABm120BCm80ADm于 B 處測(cè)得水深，于 C 處測(cè)得水深，求DEF的余弦值。 200BEm110CFm (17) 解：作交BE于N，交CF于Mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m /DMAC， 22223017010 198DFMFDM，222250120130DEDNEN 6 分 2222

20、()90120150EFBEFCBC在中，由余弦定理，DEF. 12 分2222221301501029816cos22 130 15065DEEFDFDEFDEEF29.(2009 湖南卷理)（本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在，已知，求角 A，B，C 的大小。ABC2233AB ACABACBC 解：設(shè),BCa ACb ABc由得，所以23AB ACABAC 2cos3bcAbc3cos2A 又因此 (0, ),A6A由得，于是233ABACBC 23bca23sinsin3sin4CBA所以，因此53sinsin()64CC133sin( cossin)22

21、4CCC，既22sincos2 3sin3,sin23cos20CCCCCsin(2)03C由 A=知，所以，從而6506C34233C或，既或故20,3C2,3C,6C2,3C或。2,636ABC2,663ABC30.（2009 天津卷理） （本小題滿分 12 分）在ABC 中，BC=，AC=3，sinC=2sinA 5(I) 求 AB 的值： (II) 求 sin的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 24A本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。滿分 12 分。（）解：在ABC 中，根據(jù)正弦定理， AB

22、CCABsinsin于是 AB=522sinsin BCBCAC（）解：在ABC 中，根據(jù)余弦定理，得 cosA=5522222ACABBDACAB于是 sinA=55cos12A 從而 sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5453 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=44410231.（2009 四川卷理） （本小題滿分 12 分）在中，為銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且ABCA,A B, ,A B C, ,a b c310cos2,sin510AB（I）求的值； AB（II）若，求的值。21ab

23、, ,a b c本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算能力。解：（）、為銳角，AB10sin10B 23 10cos1 sin10Bb又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23cos21 2sin5AA ，5sin5A22 5cos1 sin5AA 2 53 105102cos()coscossinsin5105102ABABAB0AB 6 分4AB（）由（）知,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 34C2sin2C 由正弦定理得sinsinsinabcABC，即， 5102abc2ab5cb ，21abQ ，221bb1

24、b 12 分2,5ac32.（2009 福建卷文） （本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函數(shù)其中，( )sin(),f xx0|2 （I）若求的值； coscos,sinsin0,44 （）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，求( )f x3函數(shù)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個(gè)單位所對(duì)應(yīng)( )f xm( )f xm的函數(shù)是偶函數(shù)。解法一：（I）由得3coscossinsin044coscossinsin044 即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos()04|,24（）由（I）得，( )sin()4f xx

25、 依題意，23T 又故2,T3,( )sin(3)4f xx 函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為( )f xm ( )sin 3()4g xxm 是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)( )g x3()42mkkZ 即()312kmkZ 從而，最小正實(shí)數(shù)12m解法二：（I）同解法一（）由（I）得， ( )sin()4f xx 依題意， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23T又，故2T3,( )sin(3)4f xx函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為( )f xm( )sin 3()4g xxm是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)恒成立( )g x()( )gxg xxR亦即對(duì)恒成立。sin( 33)sin(33)

26、44xmxmxRsin( 3 )cos(3)cos( 3 )sin(3)44xmxmsin3 cos(3)cos3 sin(3)44xmxm即對(duì)恒成立。2sin3 cos(3)04xmxRcos(3)04m故3()42mkkZ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()312kmkZ從而，最小正實(shí)數(shù)12m33.（2009 重慶卷理） （本小題滿分 13 分， （）小問 7 分， （）小問 6 分 ）設(shè)函數(shù)2( )sin()2cos1468xxf x（）求的最小正周期 ( )f x（）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)時(shí)( )yg x( )yf x1x 40, 3x的最大值( )yg x解：（）

27、=( )f xsincoscossincos46464xxx =33sincos2424xx = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3sin()43x 故的最小正周期為 T = =8( )f x24 ()解法一： 在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn) .( )yg x( , ( )x g x1x (2, ( )x g x由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2, ( )x g x( )yf x ( )(2)3sin(2)43g xfxx =3sin243x =3cos()43x 當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上的最大值為304x23433x( )yg x40, 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m max33cos32g解法二： 因區(qū)間關(guān)于 x = 1 的對(duì)稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于40, 32 ,23( )yg x( )yf xx = 1 對(duì)稱，故在上