2009年高中數(shù)學(xué)高考試題分類(lèi)匯編——三角函數(shù)全國(guó)通用

1、20092009 年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編三角函數(shù)三角函數(shù)一、選擇題1.(2009 年廣東卷文)已知中，的對(duì)邊分別為若ABCCBA, ,a b c且，則 62ac75Aob A.2 B4 C4 D2 32 362【答案】A【解析】000000026sinsin75sin(3045 )sin30 cos45sin45 cos304A由可知,所以,62ac075C030B1sin2B 由正弦定理得,故選 A261sin2sin2264abBA2.(2009 年廣東卷文)函數(shù)是 1)4(cos22xyA最小正周期為的奇函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù)

2、D. 最小正周期為的偶函數(shù) 22【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以選22cos () 1cos 2sin242yxxx 22TA.3.（2009 全國(guó)卷理）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，那么cos 2yx343，0的最小值為（C） （A） （B） （C） (D) |6432解: 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) cos 2yx343，0由此易得.故選 C423k 42()3kkZ min|34.（2009 全國(guó)卷理）若，則函數(shù)的最大值為 。42x3tan2 tanyxx解:令, tan,xt142xt 4432224222tan2222tan2 tan81111111tan1()244xtyxxxt

3、ttt 5.（2009 浙江理）已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 ( )a( )1sinf xaax 答案：D 【解析】對(duì)于振幅大于 1 時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而 D 不符合要2,1,2TaTa 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了26.（2009 浙江文）已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a( )1sinf xaax D 【命題意圖】此題是一個(gè)考查三角函數(shù)圖象的問(wèn)題，但考查的知識(shí)點(diǎn)因含有參數(shù)而豐富，結(jié)合圖形考查使得所考查的問(wèn)題形象而富有深度【解析】對(duì)于振幅大于 1 時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而 D 不符合要2,1,2TaTa 求，它的振幅大于 1，但

4、周期反而大于了27.（2009 北京文） “”是“”的61cos22A 充分而不必要條件B必要而不充分條件C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案答案】A.w【解析解析】本題主要考查.k本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡(jiǎn)易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 當(dāng)時(shí)，61cos2cos32反之，當(dāng)時(shí)，有，1cos222236kkkZ 或，故應(yīng)選 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2236kkkZ8.（2009 北京理） “”是“”的 2()6kkZ1cos22（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案答案】A【

5、解析解析】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡(jiǎn)易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 當(dāng)時(shí)，2()6kkZ1cos2cos 4cos332k 反之，當(dāng)時(shí)，有，1cos222236kkkZ 或，故應(yīng)選 A.2236kkkZ9.(2009 山東卷理)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移 1 個(gè)單位,所得sin2yx4圖象的函數(shù)解析式是( ).A. B. C. D.cos2yx22cosyx)42sin(1xy22sinyx【解析】:將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即sin2yx4sin2()4yx的圖象,再向上平移 1 個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為sin(2)cos22y

6、xx,故選 B.21 cos22cosyxx 答案:B【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形. 10.(2009 山東卷文)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移 1 個(gè)單位,所得sin2yx4圖象的函數(shù)解析式是( ).A. B. C. D. 22cosyx22sinyx)42sin(1xycos2yx【解析】:將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即sin2yx4sin2()4yx的圖象,再向上平移 1 個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為sin(2)cos22yxx,故選 A.21 cos22cosyxx 答案:A【

7、命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.11.（2009 全國(guó)卷文）已知ABC中，則12cot5A cos A (A) (B) (C) (D) 12135135131213答案：答案：D D解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由 cotA=cotA=知知 A A 為鈍角，為鈍角，cosA0cosA0, -0, 0) x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段 MNP，為保證參賽3運(yùn)動(dòng)員的安全，限定MNP=120o（I）求 A , 的值和 M，

8、P 兩點(diǎn)間的距離；（II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道 MNP 最長(zhǎng)？ 18.本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，解法一（）依題意，有，又，。2 3A 34T2T62 3sin6yx當(dāng) 是，4x 22 3sin33y 又(4,3)M(8,3)p22435MP（）在MNP 中MNP=120，MP=5，設(shè)PMN=，則 060由正弦定理得00sinsin120sin(60)MPNPMN,10 3sin3NP010 3sin(60)3MN故010 310 310 3 13sinsin(60)

9、(sincos )33323NPMN010 3sin(60 )3060，當(dāng)=30時(shí)，折線段賽道 MNP 最長(zhǎng)亦即，將PMN 設(shè)計(jì)為 30時(shí)，折線段道 MNP 最長(zhǎng)解法二：（）同解法一（）在MNP 中，MNP=120，MP=5，由余弦定理得MNP=222cosMNNPMN NPAA2MP即2225MNNPMN NPA故22()25()2MNNPMNNPMN NPA從而，即23()254MNNP10 33MNNP當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，折線段道 MNP 最長(zhǎng)MNNP注：本題第（）問(wèn)答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計(jì)方式，還可以設(shè)計(jì)為：；點(diǎn) N 在線段 MP 的垂直平123 94 3(2

10、6N，）123 94 3(26N，）分線上等21.（2009 遼寧卷文） （本小題滿分（本小題滿分 1212 分）分）如圖，A,B,C,D 都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面 A 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角分別為，于水面 C 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角075030均為，AC0.1km。試探究圖中 B，D 間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求 B，D 的距離060（計(jì)算結(jié)果精確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 （18）解： 在中，30，6030，ACDDACADCDAC 所以 CDAC0.1 又180606060，BCD 故 C

11、B 是底邊 AD 的中垂線，所以 BDBA 5 分CAD 在中， ABCABCACBCAABsinsin 即 AB2062351sin60sinAC 因此，km33. 020623BD 故 B、D 的距離約為 0.33km。 12 分22.（2009 遼寧卷理） （本小題滿分 12 分）如圖，A,B,C,D 都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面 A 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角分別為，于水面 C 處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角075030均為，AC=0.1km。試探究圖中 B，D 間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求 B，D 的距060離（計(jì)算結(jié)果精

12、確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 (17)解:在ABC 中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底邊 AD 的中垂線，所以 BD=BA， 5 分在ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60因此，BD=。km33. 020623故 B，D 的距離約為 0.33km。 12 分23.（2009 寧夏海南卷理） （本小題滿分 12 分）為了測(cè)量?jī)缮巾?M，N 間的距離，飛機(jī)沿水平方向在 A，B 兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N 在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示

13、意圖） ，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和 A，B 間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出） ；用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M，N 間的距離的步驟。(17) 解：方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到 M，N 點(diǎn)的俯角；B 點(diǎn)到 M，N 的俯角；A，B 的距離 d （如圖所示） . .3 分22, 第一步：計(jì)算 AM . 由正弦定理；212sinsin()dAM 第二步：計(jì)算 AN . 由正弦定理；221sinsin()dAN 第三步：計(jì)算 MN. 由余弦定理 .22112cos()MNAMANAMAN方案二：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有： A 點(diǎn)到 M，N 點(diǎn)的俯角，；B 點(diǎn)到 M，

14、N 點(diǎn)的府角，；A，B 的距離 d （如1122圖所示）. 第一步：計(jì)算 BM . 由正弦定理；112sinsin()dBM第二步：計(jì)算 BN . 由正弦定理； 121sinsin()dBN 第三步：計(jì)算 MN . 由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN24.（2009 陜西卷文） （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)（其中）的周期為，且圖( )sin(),f xAxxR0,0,02A象上一個(gè)最低點(diǎn)為.2(, 2)3M ()求的解析式；（）當(dāng)，求的最值.( )f x0,12x( )f x11, 解析:（1）由最低點(diǎn)為 由2(, 2)23MA得222TT得由點(diǎn)在圖像上得即2(, 2)3

15、M42sin()23 4sin()13 所以故4232k112()6kkZ又，所以所以(0,)26( )2sin(2)6f xx（）因?yàn)?,2,1266 3xx 所以當(dāng)時(shí)，即x=0時(shí)，f(x)取得最小值 1；2x+66；,( )6312xf x當(dāng)2x+即時(shí)，取得最大值325.(2009 陜西卷理)（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)（其中）的圖象與 x 軸的交( )sin(),f xAxxR0,0,02A點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.22(, 2)3M()求的解析式；（）當(dāng)，求的值域. ( )f x,12 2x( )f x17、解（1）由最低點(diǎn)為得 A=2.2(, 2)3

16、M由 x 軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為得=，即，22T2T222T由點(diǎn)在圖像上的2(, 2)3M242sin(2)2,)133 即si n(故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 42,32kkZ1126k又(0,),( )2sin(2)266f xx故（2）7,2,12 2636xx當(dāng)=，即時(shí)，取得最大值 2；當(dāng)26x26x( )f x7266x即時(shí)，取得最小值-1，故的值域?yàn)?1,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2x( )f x( )f x26.（2009 四川卷文） （本小題滿分 12 分）在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且ABCAB、ABC、abc、510sin,si

17、n510AB（I）求的值；AB（II）若，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ababc、【解析解析】 （I）為銳角， AB、510sin,sin510AB 222 53 10cos1 sin,cos1 sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB 0AB 6 分4AB（II）由（I）知， 34C2sin2C 由得sinsinsinabcABC，即5102abc2 ,5ab cb又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ab 221bb1b 12 分2,5ac27.（2009 湖北卷文） （本小題滿分 12 分）

18、 在銳角ABC 中，a、b、c 分別為角 A、B、C 所對(duì)的邊，且Acasin23()確定角 C 的大?。?（）若 c,且ABC 的面積為,求 ab 的值。7233解（1）由及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 sinacA2sinsinsin3aAAcC3sin0,sin2ACQ是銳角三角形，ABCQ3C（2）解法 1：由面積公式得7,.3cCQ13 3sin,6232abab即由余弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22222cos7,73abababab即由變形得25,5ab2（a+b)故解法 2：前同解法 1，聯(lián)立、得2222766ababababa

19、b消去 b 并整理得解得4213360aa2249aa或所以故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2332aabb或5ab28.（2009 寧夏海南卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的 A，B，C 三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，于 A 處測(cè)得水深，50ABm120BCm80ADm于 B 處測(cè)得水深，于 C 處測(cè)得水深，求DEF的余弦值。 200BEm110CFm (17) 解：作交BE于N，交CF于Mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m /DMAC， 22223017010 198DFMFDM，222250120130DEDNEN 6 分 2222

20、()90120150EFBEFCBC在中，由余弦定理，DEF. 12 分2222221301501029816cos22 130 15065DEEFDFDEFDEEF29.(2009 湖南卷理)（本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在，已知，求角 A，B，C 的大小。ABC2233AB ACABACBC 解：設(shè),BCa ACb ABc由得，所以23AB ACABAC 2cos3bcAbc3cos2A 又因此 (0, ),A6A由得，于是233ABACBC 23bca23sinsin3sin4CBA所以，因此53sinsin()64CC133sin( cossin)22

21、4CCC，既22sincos2 3sin3,sin23cos20CCCCCsin(2)03C由 A=知，所以，從而6506C34233C或，既或故20,3C2,3C,6C2,3C或。2,636ABC2,663ABC30.（2009 天津卷理） （本小題滿分 12 分）在ABC 中，BC=，AC=3，sinC=2sinA 5(I) 求 AB 的值： (II) 求 sin的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 24A本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。滿分 12 分。（）解：在ABC 中，根據(jù)正弦定理， AB

22、CCABsinsin于是 AB=522sinsin BCBCAC（）解：在ABC 中，根據(jù)余弦定理，得 cosA=5522222ACABBDACAB于是 sinA=55cos12A 從而 sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5453 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=44410231.（2009 四川卷理） （本小題滿分 12 分）在中，為銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且ABCA,A B, ,A B C, ,a b c310cos2,sin510AB（I）求的值； AB（II）若，求的值。21ab

23、, ,a b c本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算能力。解：（）、為銳角，AB10sin10B 23 10cos1 sin10Bb又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23cos21 2sin5AA ，5sin5A22 5cos1 sin5AA 2 53 105102cos()coscossinsin5105102ABABAB0AB 6 分4AB（）由（）知,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 34C2sin2C 由正弦定理得sinsinsinabcABC，即， 5102abc2ab5cb ，21abQ ，221bb1

24、b 12 分2,5ac32.（2009 福建卷文） （本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函數(shù)其中，( )sin(),f xx0|2 （I）若求的值； coscos,sinsin0,44 （）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于，求( )f x3函數(shù)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個(gè)單位所對(duì)應(yīng)( )f xm( )f xm的函數(shù)是偶函數(shù)。解法一：（I）由得3coscossinsin044coscossinsin044 即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos()04|,24（）由（I）得，( )sin()4f xx

25、 依題意，23T 又故2,T3,( )sin(3)4f xx 函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為( )f xm ( )sin 3()4g xxm 是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)( )g x3()42mkkZ 即()312kmkZ 從而，最小正實(shí)數(shù)12m解法二：（I）同解法一（）由（I）得， ( )sin()4f xx 依題意， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23T又，故2T3,( )sin(3)4f xx函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為( )f xm( )sin 3()4g xxm是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)恒成立( )g x()( )gxg xxR亦即對(duì)恒成立。sin( 33)sin(33)

26、44xmxmxRsin( 3 )cos(3)cos( 3 )sin(3)44xmxmsin3 cos(3)cos3 sin(3)44xmxm即對(duì)恒成立。2sin3 cos(3)04xmxRcos(3)04m故3()42mkkZ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()312kmkZ從而，最小正實(shí)數(shù)12m33.（2009 重慶卷理） （本小題滿分 13 分， （）小問(wèn) 7 分， （）小問(wèn) 6 分 ）設(shè)函數(shù)2( )sin()2cos1468xxf x（）求的最小正周期 ( )f x（）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求當(dāng)時(shí)( )yg x( )yf x1x 40, 3x的最大值( )yg x解：（）

27、=( )f xsincoscossincos46464xxx =33sincos2424xx = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3sin()43x 故的最小正周期為 T = =8( )f x24 ()解法一： 在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) .( )yg x( , ( )x g x1x (2, ( )x g x由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2, ( )x g x( )yf x ( )(2)3sin(2)43g xfxx =3sin243x =3cos()43x 當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上的最大值為304x23433x( )yg x40, 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m max33cos32g解法二： 因區(qū)間關(guān)于 x = 1 的對(duì)稱(chēng)區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于40, 32 ,23( )yg x( )yf xx = 1 對(duì)稱(chēng)，故在上