校車安排問題數學建模

1、題目：校車安排問題摘要本文針對高校新校區(qū)校車運行的安排問題，通過合理的抽象假設，建立了校車安排方案的優(yōu)化模型。從乘車點的距離最小，滿意度最大又可節(jié)省運行成本等方面考慮，依據題目中所給條件分別建模求解。在問題解決過程中使用了Warshall-Floyd算法，分析、建模、求解過程中利用MATLAB編寫相應程序并對數據進行分析處理，最終得出結論如下：問題1：僅考慮到每個區(qū)按距離車站的遠近選擇車站n=2時，乘車點：18 、31 距離：24492n=3時，乘車點：15 、21 、31 距離：19660問題2：綜合考慮距離及教師總體滿意度n=2時，乘車點：19 、32 滿意度：77.77%n=3時，乘車點

2、：15 、21 、32 滿意度：82.60%問題3：為使教師及工作人員盡量滿意，至少需要安排54輛校車區(qū)15：安排17輛校車區(qū)21：安排19輛校車區(qū)32：安排18輛校車問題4：綜合考慮距離模型，滿意度模型，運營成本以及現實中的各種因素，給出校車安排的一些建議：在校車安排時應綜合考慮教師的滿意度和增加校車與乘車點的成本問題，在條件允許的范圍內盡量增加乘車點以提高總體滿意度。關鍵詞：Warshall-Floyd算法 總體滿意度 距離矩陣 MATLAB1、 問題重述許多學校都建有新校區(qū)，常常需要將老校區(qū)的教師和工作人員用校車送到新校區(qū)。由于每天到新校區(qū)的教師和工作人員很多，往往需要安排許多車輛。如何

3、有效的安排車輛及讓教師和工作人員盡量滿意是個十分重要的問題。有如下問題待設計解決：假設老校區(qū)的教師和工作人員分布在50個區(qū)，各區(qū)的距離見表1。各區(qū)人員分布見表2。（1）問題1：如要建立n個乘車點，為使各區(qū)人員到最近乘車點的距離最小，該將校車乘車點應建立在哪n個點。建立一般模型，并給出n=2,3時的結果。 （2）問題2：若考慮每個區(qū)的乘車人數，為使教師和工作人員滿意度最大，該將校車乘車點應建立在哪n個點。建立一般模型，并給出n=2,3時的結果。 （3）問題3 若建立3個乘車點，為使教師和工作人員盡量滿意，至少需要安排多少輛車？給出每個乘車點的位置和車輛數。設每輛車最多載客47人。（4）問題4；關

4、于校車安排問題，你還有什么好的建議和考慮?？梢蕴岣叱塑嚾藛T的滿意度，又可節(jié)省運行成本。2、 模型的假設及符號分析2.1 模型的假設 （1）50個區(qū)域看做50個點，附錄A中標注距離的點間可以直接連通，而未標注的點則不能，必需通過其他點間接到達。（2）假設所有乘車點設立在各小區(qū)（點）上，乘車站點不設立在路上。（3）假設教師和工作人員的滿意度只與距離有關，而忽略其他因素對其滿意度的影響。（4）校車只在各個點上載人，行駛途中不載人。（5）假設所有人員均乘車。（6）假設任意時刻任意站點均有車，不考慮教師及工作人員的等車時間。2.2 符號說明A：各點間距離的鄰接矩陣；B：各點間的最短距離矩陣；dij：頂點

5、i到頂點j的最短距離；ij：圖中i點到j點最短路徑的權；ni：圖中i點的權，表示i點（即i區(qū)）的人數；Dv1，v2，v3，vn：各個點到乘車點的總距離；Dmin：最短總距離;:乘客個體的滿意度；：所有乘客的總體滿意度；d：某點走到乘車點的距離；D：任意兩點最短距離的最大值；R：教師及工作人員走到乘車點的平均距離。3、 模型的建立與求解3.1 計算各區(qū)（點）之間的最短路3.1.1 數據分析及處理用附錄A中的各區(qū)之間距離建立對應各點距離的鄰接矩陣A，即A=a11a12a21a150a250a501a502a5050其中aij表示點i到點j的距離，當aij=inf ，表示點i和點j不直接相通。3.1

6、.2 用Warshall-Floyd算法計算任意兩點間的最短路設i為圖G中的頂點。令dij是頂點i到頂點j的最短距離，ij是頂點i到頂點j的權。對于任何一個頂點，頂點i到頂點j的最短路經過頂點k或者不經過頂點k。比較dij與dik+dkj的值。若dij>dik+dkj，則令dij=dik+dkj，保持dij是當前搜索的頂點i 到頂點j的最短距離。重復這一過程，最后當搜索完所有頂點k時，dij就是頂點i到頂點j的最短距離。這一算法的具體實現由MATLAB編程實現，具體程序見附錄D。將鄰接矩陣A作為Warshall-Floyd算法的輸入矩陣，程序輸出各點間的最短距離矩陣B（結果見附錄B）以及

7、取最短距離時部分點間的走法（結果見附錄C）。3.2 建立n個乘車點使各區(qū)人員到最近乘車點的距離最小的數學模型3.2.1 模型的建立ij為圖中i點到j點最短路徑的權，表示從i點到j點的最短距離；ni為圖中i點的權，表示i點（即i區(qū)）的人數，由于不考慮人數對乘車點的影響，取ni=1，i，j（1,50）。問題1的模型為ni=1時的特殊情況：Min f = i=150niij=i=150ij3.2.2 模型的求解任取n個互異點v1，v2，v3，vn為乘車點，則從各點到乘車點的總路程為：Dv1，v2，v3，vn=i=150min(iv1,iv2,ivn)則取50個點的組合C50n做v1，v2，v3，vn

8、，分別計算Dv1，v2，v3，vn，取得使Dv1，v2，v3，vn取最小值的v1，v2，v3，vn點即為所求乘車點。即：Dmin=min（Dv1，v2，v3，vn）其中v1，v2，v3，vn1,2,50, 且v1，v2，v3，vn互不相等取n=2,3，計算結果，算法的MATLAB實現減附錄D .由程序計算得：n=2時，求得乘車點應在區(qū)域18和31，且Dmin=24492n=3時，求得乘車點應在區(qū)域15、21和31，且Dmin=196603.3 考慮每個區(qū)的乘車人數建立n個乘車點，使教師和工作人員滿意度最大3.3.1 模型的建立ij為圖中i點到j點最短路徑的權，表示從i點到j點的最短距離；ni為

9、圖中i點的權，表示i點（即i區(qū)）的人數，取ni=1，i，j（1,50）。則Min f =i=150niij可以想象，去乘車點的距離越大越不滿意，即滿意度隨距離的增加而降低，假設為線性關系，當所有人走的總距離最短時滿意度最大。定義為乘客個體滿意度，依假設有：=1 - dD其中d為某點走到乘車點的距離，D為任意兩點最短距離的最大值。定義為所有乘客的總體滿意度，有：=1 - mdMD其中m為某點的人數，M為所有教師人數。定義R為教師及工作人員走到乘車點的平均距離，即：R=mdM3.3.2 模型的求解任取n個點v1，v2，v3，vn為乘車點，所有人到乘車點的總路程為：Dv1，v2，v3，vn=i=15

10、0min（ni*iv1,ni*iv2,ni*ivn)則取50個點的組合C50n做v1，v2，v3，vn，分別計算Dv1，v2，v3，vn，取得使Dv1，v2，v3，vn取最小值的v1，v2，v3，vn點即為所求乘車點。即：Dmin=min（Dv1，v2，v3，vn）其中v1，v2，v3，vn1,2,50, 且v1，v2，v3，vn互不相等取n=2,3，計算結果，算法的MATLAB實現減附錄D .由程序計算得：n=2時，求得乘車點應取區(qū)域19和32，總體滿意度=77.77%；距離乘車點的平均距離R=496.8n=3時，求得乘車點應取區(qū)域15、21和32，總體滿意度=82.60%；距離乘車點的平均

11、距離R=388.83.4 建立3個乘車點的數學模型3.4.1 模型的建立此問題以車輛數和總體滿意度為雙目標函數；任取3個點v1，v2，v3為乘車點，所有人到乘車點的總路程為：Dv1，v2，v3=i=150min（ni*iv1,ni*iv2,ni*ivn)分別找出此時到vi點距離最近的ki個點，計算這ki個點的總人數si。（i=1,2,3）則取50個點的組合C503做v1，v2，v3，分別計算Dv1，v2，v3，取得使Dv1，v2，v3取最小值的v1，v2，v3點即為所求乘車點。即：Dmin=min（Dv1，v2，v3）從而車輛數 K=i=13si47 ( 表示向上取整)3.4.2 模型求解以上

12、算法通過MATLAB編程實現。(具體程序見附錄D)將最短距離矩陣B和各區(qū)人數座位輸入數據輸入程序，計算得到結果：乘車點應設在區(qū)域15、21、32（由模型3.3可知）；其中：15區(qū)應安排17輛車，到15區(qū)乘車的區(qū)域有：5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、 15 、 16 、 17 、 18 、 25 、 26 、 2721區(qū)應安排19輛車，到21區(qū)乘車的區(qū)域有：1 、 2 、 3 、 4 、 19 、 20 、 21 、 22 、 23 、 24 、 28 、 43 、 44 、 45 、 46 、 47 、 48 、49 32區(qū)應安排18輛車

13、，到32區(qū)乘車的區(qū)域有：29 、 30 、 31 、 32 、 33 、 34 、 35 、 36 、 37 、 38 、 39 、 40 、 41 、 42 、 50 3.5 建議1.從問題求解過程中，我們可以看出固定的校車出發(fā)點使得校車利用率降低。因此我們建議空閑的校車到其他的乘車點去運送乘車人員。從而使需要的校車數目減少一至兩輛。2.適當增加乘車點的數量，使乘車人員的不滿意度進一步減小。3.在一天內的不同時間點應安排不同輛數的校車。上下課時間為乘車高峰期，應多安排車輛，其它時間應少安排。這樣可有效節(jié)省運行成本。4.盡量將人員的上下班時間統(tǒng)一在幾個固定的時間段，在這幾個時間段安排足夠的車輛

14、，保證每名員工都能及時乘坐校車，也可增加校車的運營效率。5.在非高峰期可適當停止部分站點的使用。4.模型的分析與評價本文就高校校車安排問題建立網絡模型，進而轉化為圖論中最短路問題，具有一定的科學性。但模型是建立在一系列假設的基礎上，所得結果與實際問題會存在一定偏差，需要通過與實際情況比較而進行修正。模型優(yōu)點：1、本模型運用相關數學及計算機知識，成功解決了如何安排有限個站點使老師和工作人員滿意度最高的問題。在假設條件下，該模型精確地給出了站點位置。2、通過MATLAB編程我們可以得到任意兩個區(qū)之間的最短路徑，并且可以得了任意兩個區(qū)最短路徑具體的路線。模型缺點：1、本模型在理想條件下，通過編程可得

15、出精確結果，但程序運行較為復雜，當設置的乘車點較多時，程序運算量非常大。2、乘客個體滿意度公式過于理想，忽略了很多其他因素。5、模型的推廣：本模型可推廣到公共站點設置、服務中心位置選擇、垃圾運輸等最短路徑及選址問題。本模型利用計算機程序實現了對結果的精確定位，可應用于各種與此類型相關的場合。6、參考文獻【1】王海英 黃強 等，圖論算法及其MATLAB實現，北京航空航天大學出版社，2010年2月第1版【2】龔劬，圖論與網絡最優(yōu)化算法，重慶大學出版社，2009年10月第1版【3】姜啟源 謝金星 葉俊，數學模型，高等教育出版社，2003年8月【4】李得宜 李明，數學建模，科學出版社，2009年5月7

16、、附錄附錄A：各區(qū)距離表區(qū)域號區(qū)域號距離區(qū)域號區(qū)域號距離區(qū)域號區(qū)域號距離124001517250293119013450161714030312402430016181303042130221230172724030432102471401819204313223034600182518031362604521019201403150210419310192417532331905623020211803235140572002024190323624067320212230033342106834021232703537160781702147350363918071816022441603

17、640190892002245270373813581528522481803839130910180232424039413101011150232921040411401015160233029040501901112140234415042502001114130242517043442601213200242813043452101334400262714045462401415190263432046482801426190272819048492001516170282926012345678948495010400450700910114011101280148011101310

18、151024000850300510740710880108071091011103450850060081010401010118013801560176018754700300600021044041058078010101210127559105108102100230200370570122014201485611407401040440230032034054014501650162071110710101041020032001703701164136413008128088011805803703401700200133415341470914801080138078057054

19、0370200015341734164048111071015601010122014501164133415340200110049131091017601210142016501364153417342000130050151011101875127514851620130014701640110013000附錄B：點間最短距離矩陣附錄C:各點間取最短距離的走法（僅列出以1為出發(fā)點的路徑）目的地最短路徑21231341245124561245671245781245789124578910122120191816151011122120191816151011121221201918161

20、510111213122120191816151011121314122120191816151415122120191816151612212019181617122120191816171812212019181912212019201221202112212212212223122123241221202425122120242526122120242827262712212024282728122120242829122123293012212330311221232931321221232931323312212329313233341221202428272634351221232

21、9313235361221232931363712212329313235373812212329313639383912212329313639401221232931364041122123293136404142122123304243122123444344122123444512212245461221224846471247481221224849122122484950122123293150附錄D：MATLAB程序/Warshall-Floyd算法/%給鄰接矩陣賦值，鄰接矩陣記為w（i，j）for i=1:50 for j=1:50 if i=j w(i,j)=0; else

22、w(i,j)=inf; end endendw(1,2)=400; w(1,3)=450; w(2,4)=300; w(2,21)=230;w(2,47)=140; w(3,4)=600; w(4,5)=210; w(4,19)=310;w(5,6)=230; w(5,7)=200; w(6,7)=320; w(6,8)=340;w(7,8)=170; w(7,18)=160; w(8,9)=200; w(8,15)=285;w(9,10)=180; w(10,11)=150;w(10,15)=160;w(11,12)=140;w(11,14)=130;w(12,13)=200;w(13,34

23、)=400;w(14,15)=190;w(14,26)=190;w(15,16)=170;w(15,17)=250;w(16,17)=140;w(16,18)=130;w(17,27)=240;w(18,19)=204;w(18,25)=180;w(19,20)=140;w(19,24)=175;w(20,21)=180;w(20,24)=190;w(21,22)=300;w(21,23)=270;w(21,47)=350;w(22,44)=160;w(22,45)=270;w(22,48)=180;w(23,24)=240;w(23,29)=210;w(23,30)=290;w(23,44)

24、=150;w(24,28)=130;w(24,25)=170;w(26,27)=140;w(26,34)=320;w(27,28)=190;w(28,29)=260;w(29,31)=190;w(30,31)=240;w(30,42)=130;w(30,43)=210;w(31,32)=230;w(31,36)=260;w(31,50)=210;w(32,33)=190;w(32,35)=140;w(32,36)=240;w(35,37)=160;w(36,39)=180;w(36,40)=190;w(37,38)=135;w(38,39)=130;w(39,41)=310;w(40,41)=

25、140;w(40,50)=190;w(42,50)=200;w(43,44)=260;w(43,45)=210;w(33,34)=210;w(45,46)=240;w(46,48)=280;w(48,49)=200;for i=1:50 for j=1:50 if w(i,j)=0 w(j,i)=w(i,j); end endend%以k1=1，k2=25為例k1=1;k2=25;%初始化n=length(w);U=w;m=1;%利用求最短路的warshallfloyd算法的思想，求最短距離矩陣while m<=n for i=1:n for j=1:n if U(i,j)>U(i

26、,m)+U(m,j) U(i,j)=U(i,m)+U(m,j); end end end m=m+1;endu=U(k1,k2); %最短距離%求任意給定兩個點k1和k2間的最短路所包含的頂點p1=zeros(1,n);k=1;p1(k)=k2;v=ones(1,n)*inf;kk=k2;while kk=k1 for i=1:n v(1,i)=U(k1,kk)-w(i,kk); if v(1,i)=U(k1,i) p1(k+1)=i; kk=i; k=k+1; end endendk=1;wrow=find(p1=0);for j=length(wrow):(-1):1 p(k)=p1(wr

27、ow(j); k=k+1;end /Warshall-Floyd算法/3.2.2中n=2時/%以最短距離矩陣作為矩陣d的輸入for i=1:49 for j=i+1:50 D(i,j)=0; endendfor i=1:49 for j=i+1:50 for k=1:50 if d(k,i)>d(k,j) dmin=d(k,j); else dmin=d(k,i); end D(i,j)=D(i,j)+dmin; end endenddistance=D(1,2);station1=1;station2=2;for i=1:49 for j=i+1:50 if D(i,j)<dis

28、tance distance=D(i,j); station1=i; station2=j; end endend/3.2.2中n=2時/3.2.2中n=3時/%以最短距離矩陣作為矩陣d的輸入for i=1:48 for j=i+1:49 for k=j+1:50 D(i,j,k)=0; end endendfor i=1:48 for j=i+1:49 for k=j+1:50 for l=1:50 if d(l,i)<=d(l,j)&&d(l,i)<=d(l,k) dmin=d(l,i); else if d(l,j)<=d(l,k) dmin=d(l,j

29、); else dmin=d(l,k); end end D(i,j,k)=D(i,j,k)+dmin; end end endenddistance=D(1,2,3);station1=1;station2=2;station3=3;for i=1:48 for j=i+1:49 for k=j+1:50 if D(i,j,k)<distance distance=D(i,j,k); station1=i; station2=j; station3=k; end end endend/3.2.2中n=3時/3.3.2中n=2時/%以最短距離矩陣作為矩陣d的輸入for i=1:49 fo

30、r j=i+1:50 D(i,j)=0; endendn=65 67 42 34 38 29 17 64 39 20 61 47 66 21 70 85 12 35 48 54 49 12 54 46 76 16 94 18 29 75 10 86 70 56 65 26 80 90 47 40 57 40 69 67 20 18 68 72 76 62 ;for i=1:49 for j=i+1:50 for k=1:50 if d(k,i)*n(k)>d(k,j)*n(k); dmin=d(k,j)*n(k); else dmin=d(k,i)*n(k); end D(i,j)=D(

31、i,j)+dmin; end endenddistance=D(1,2);station1=1;station2=2;for i=1:49 for j=i+1:50 if D(i,j)<distance distance=D(i,j); station1=i; station2=j; end endendmax=d(1,2); %max為任意兩點間的最短距離的最大值for i=1:49 for j=i+1:50 if d(i,j)>max max=d(i,j); end endendM=0; %M為所有教師人數for i=1:50 M=M+n(i);endmd=0;for i=1:

32、50 if d(i,station1)<=d(i,station2) md=md+n(i)*d(i,station1); else md=md+n(i)*d(i,station2); endendmanyidu=1-md/(M*max);R=md/M;/3.3.2中n=2時/3.3.2中n=3時/%以最短距離矩陣作為矩陣d的輸入for i=1:48 for j=i+1:49 for k=j+1:50 D(i,j,k)=0; end endendn=65 67 42 34 38 29 17 64 39 20 61 47 66 21 70 85 12 35 48 54 49 12 54 46

33、 76 16 94 18 29 75 10 86 70 56 65 26 80 90 47 40 57 40 69 67 20 18 68 72 76 62 ;for i=1:48 for j=i+1:49 for k=j+1:50 for l=1:50 if d(l,i)*n(l)<=d(l,j)*n(l)&&d(l,i)*n(l)<=d(l,k)*n(l) dmin=d(l,i)*n(l); else if d(l,j)*n(l)<=d(l,k)*n(l) dmin=d(l,j)*n(l); else dmin=d(l,k)*n(l); end end D(i,j,k)=D(i,j,k)+dmin; end end endenddistance=D(1,2,3);station1=1;station2=2;station3=3;fo