畢業(yè)論文——高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題策略

1、目 錄1 引言02文獻(xiàn)綜述12.1國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀12.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)12.3提出問(wèn)題23 高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題策略23.1無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題23.2三角函數(shù)的最值問(wèn)題43.3 數(shù)列的最值問(wèn)題63.4 平面向量的最值問(wèn)題103.5 圓錐曲線的最值問(wèn)題113.6具有幾何意義的最值問(wèn)題133.7幾個(gè)特殊類型函數(shù)的最值問(wèn)題163.8用特殊方法求一類函數(shù)的最值問(wèn)題234. 結(jié)論234.1主要發(fā)現(xiàn)244.2啟示244.3局限性244.4努力的方向24參考文獻(xiàn)251 引言最值問(wèn)題是人們?cè)谏a(chǎn)和日常生活中最為普遍的一種數(shù)學(xué)問(wèn)題，它的應(yīng)用性和實(shí)用性非常廣泛，無(wú)論是在生產(chǎn)實(shí)踐中還是在科學(xué)研究領(lǐng)域我們都會(huì)遇

2、到一些關(guān)于“最好”、“最省”、“最低”、“最優(yōu)”、“最大”、“最小”等問(wèn)題，這些問(wèn)題一般都是轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題進(jìn)行求解此類問(wèn)題的求解，不僅充分訓(xùn)練了學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式，還培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也使學(xué)生逐步形成了應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)在近幾年的高考題中，最值問(wèn)題是考試命題的一個(gè)重點(diǎn)，它占了高考分?jǐn)?shù)的5%23%從題型上講，主要以選擇題、填空題和解答題三種形式出現(xiàn)從難易程度上講，主要有基礎(chǔ)題、中檔題和高檔題三種題型它在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也逐步加強(qiáng)了對(duì)能力的考查，高考將注重檢查學(xué)生對(duì)所學(xué)課程內(nèi)容達(dá)到融會(huì)貫通的程度因此，求解最值問(wèn)題將會(huì)是高考的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生不但要較好地掌握各

3、個(gè)分支的知識(shí)，還要善于捕捉題目信息，有較強(qiáng)的思維能力，能夠運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，靈活選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法，方能達(dá)到事半功倍之效文章從高中數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn)的無(wú)理函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、圓錐曲線和解析式具有幾何意義的最值問(wèn)題以及三類特殊最值問(wèn)題幾個(gè)方面對(duì)高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)探討，給出求高考數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的解題策略，為學(xué)生的備考和教師的教學(xué)提供相應(yīng)的指導(dǎo)2文獻(xiàn)綜述2.1國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的求解，國(guó)內(nèi)已經(jīng)有了一定的探討，文15中總結(jié)歸納了最值問(wèn)題的常用求解方法；文6通過(guò)舉例討論了一類無(wú)理函數(shù)最值的求解策略；文7討論了如何巧求一類二元函數(shù)的最值；文獻(xiàn)8針對(duì)解析式具有幾何意義的函數(shù)的最值

4、巧妙求法方法進(jìn)行了歸納總結(jié)；文9給出了三類最小值問(wèn)題的統(tǒng)一解法及一般結(jié)果；文10對(duì)一類函數(shù)最小值問(wèn)題的處理方法進(jìn)行了探討；文11對(duì)一類函數(shù)最小值問(wèn)題的處理方法進(jìn)行了相關(guān)的補(bǔ)充；文12介紹了幾種關(guān)于應(yīng)用均值定理求最值的方法；文13給出了20052009年中最新五年高考真題及其詳解；文1415介紹了函數(shù)最值的概念及其求解方法；文16給出了用松弛變量法巧妙地求解一類二元函數(shù)的最值問(wèn)題的方法2.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)國(guó)內(nèi)雖然對(duì)最值問(wèn)題的求解方法已有了一定的研究，尤其是最值問(wèn)題的常用求解方法歸納比較全面系統(tǒng)但是在近幾年的高考題中，主要考查學(xué)生學(xué)以致用的能力，只利用常用求解方法一般很難解決高考題中的最值問(wèn)題高

5、考很多最值問(wèn)題都是要綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)的概念、性質(zhì)、定理才可解決現(xiàn)查閱到的參考文獻(xiàn)中大多只討論了最值問(wèn)題的常用求解方法及歸納了幾個(gè)特殊最值問(wèn)題的統(tǒng)一解法，并沒(méi)有具體探討高考數(shù)學(xué)中基本最值問(wèn)題的求解策略2.3提出問(wèn)題由于高考過(guò)程中，試題數(shù)量多、時(shí)間少、難度大，要在高考中獲勝，必須要講解題方法“精”、“巧”、“練”而大多資料并沒(méi)有從高考的角度研究高考數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的求解，最值問(wèn)題的求解方法還不夠完善，高考中學(xué)生對(duì)最值問(wèn)題的求解還存在一定的困難因此，本文將通過(guò)查閱相關(guān)資料，站在高考的角度，對(duì)高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題策略進(jìn)行總結(jié)、歸納、整理，進(jìn)一步完善最值問(wèn)題的求解策略，為學(xué)生的備考和教師的教學(xué)提供相

6、應(yīng)的指導(dǎo)3高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題策略最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是各種考試命題的一個(gè)熱點(diǎn)尤其在高考命題中，它是必不可缺少的熱門考點(diǎn)，在近幾年的高考試卷中，函數(shù)的最值問(wèn)題占了相當(dāng)大的比例其主要以選擇題、填空題和解答題的類型出現(xiàn)，其目的在于考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的把握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)的能力解決這類問(wèn)題涉及的知識(shí)面較寬，要求學(xué)生不僅要能利用常用方法求解簡(jiǎn)單函數(shù)的最值問(wèn)題，還要學(xué)生能根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系以及函數(shù)本身的特征適當(dāng)選擇最優(yōu)解題方案，達(dá)到事半功倍之效3.1無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題 求形如的最值此類題型求解最值的方法很多，一般有平面幾何法、分析法、解析幾何法、復(fù)數(shù)法和求導(dǎo)法但在求解過(guò)程中這些方

7、法的使用非常靈活，存在一定難度，要求對(duì)常用最值求解工具較為熟悉，能根據(jù)解析式的特征聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地選用最優(yōu)解題方案進(jìn)行求解而如何實(shí)現(xiàn)使用最優(yōu)解題方案進(jìn)行求解，關(guān)鍵是要認(rèn)真捕捉題目信息，仔細(xì)觀察解析式，從而根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，利用轉(zhuǎn)化思想便可解決問(wèn)題例1求的最小值.解 令,顯然有意義,有,則,（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）當(dāng)時(shí)，所以評(píng)析該題根據(jù)解析式的特征合理變形后，采用分析法利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答本題主要考查學(xué)生的應(yīng)變能力、分析能力和觀察能力（各個(gè)時(shí)候取等號(hào)的條件的一致性，否則沒(méi)有最值）例2 求 的最小值解 令，設(shè)，則，且，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值當(dāng)時(shí)，所以評(píng)析采用復(fù)數(shù)法，利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，把

8、代數(shù)式轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)模的關(guān)系進(jìn)行求解求二元無(wú)理式的最值二元無(wú)理式的最值問(wèn)題也是最值求解的一個(gè)難點(diǎn)，雖然它的解題方法不少，但是解答過(guò)程非常復(fù)雜繁瑣，計(jì)算容易出錯(cuò)而這種題可以運(yùn)用一個(gè)定理便可輕松簡(jiǎn)捷地求解定理1 設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）例3 若，求+的最小值.解 令,根據(jù)定理得,227125111)21(22=+³+-+³yx當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得最小值.當(dāng)時(shí),所以評(píng)析該無(wú)理函數(shù)求解最值的方法很多，但是相比之下，利用此定理使用松弛變量法16更為巧妙，但需注意的是題目中的已知條件必須全部滿足定理的要求，否則求解將會(huì)有誤，在使用這種方法時(shí)，必須認(rèn)真捕捉題目信息3.2三角函數(shù)的最值問(wèn)題在高

9、考試卷中，求解三角函數(shù)的最值問(wèn)題的題目出現(xiàn)的非常頻繁，幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)，占高考分?jǐn)?shù)的它主要考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用其難度大，很多學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題“一籌莫展”其實(shí)，三角函數(shù)的最值問(wèn)題看似非常復(fù)雜，一般使用常用最值求解方法很難求解，但是要解決它并不困難，只要充分理解其概念、性質(zhì)，牢記公式，能靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理及相關(guān)的三角公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃位?jiǎn)，然后根據(jù)它的性質(zhì)、定理逐步擊破，便可解決問(wèn)題因此，在解決三角函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于學(xué)生對(duì)其性質(zhì)、定理的深刻理解和各個(gè)三角公式的靈活運(yùn)用例4（2008年全國(guó)卷） 若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（）解 ,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)

10、可知，當(dāng)時(shí)， 故 選評(píng)析本題主要考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)的理解和應(yīng)用例5（2008年全國(guó)卷） 設(shè)的內(nèi)角、所對(duì)的邊長(zhǎng)為、，且（）求的值（）求的最小值解 （）由正弦定理知，,由題意得,解得（）由（）得，則、都是銳角，于是所以 ，且當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，所以 的最大值為評(píng)析本題主要考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的理解和定理的應(yīng)用能力學(xué)生靈活使用正弦定理將原解析式變形、化簡(jiǎn)，從而由題設(shè)產(chǎn)生新的已知條件，為求解目標(biāo)函數(shù)的最值打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)例6（2008年四川卷） 求函數(shù)的最大值與最小值解 由得由于函數(shù)在中的最值為，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) 評(píng)析三角函數(shù)的公式非常多，學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)必須正確選用適當(dāng)?shù)墓綄?duì)解析式進(jìn)行變形，才能使問(wèn)

11、題簡(jiǎn)單化，否則將越化越復(fù)雜，無(wú)法解決因此，學(xué)生不但要熟記公式，還要有靈活運(yùn)用公式的能力3.3數(shù)列的最值問(wèn)題數(shù)列的最值問(wèn)題也是高考的一種題型之一，出現(xiàn)也較為普遍，它曾在2009年四川卷、安徽卷和2008年的江西卷、寧夏海南卷中出現(xiàn)該類問(wèn)題主要以選擇題、解答題兩種題型出現(xiàn)，選擇題的難度不大，而對(duì)解答題的解題能力的要求卻很高，不但要求學(xué)生對(duì)其基礎(chǔ)知識(shí)非常熟悉，還要求學(xué)生有較強(qiáng)的計(jì)算能力、思維能力、分析能力和解決問(wèn)題的能力針對(duì)這類問(wèn)題，學(xué)生必須熟記并能準(zhǔn)確靈活地運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的各個(gè)公式例7（2009年安徽卷） 已知為等差數(shù)列，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是（）（21） （20） （19）

12、 （18）解 由于數(shù)列為等差數(shù)列，則，有，則 ，根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和公式,顯然當(dāng)時(shí)取得最大值評(píng)析本題主要考查學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用，學(xué)生只要有較強(qiáng)的觀察能力、思維能力，結(jié)合使用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式就可以求解例8(2009年四川卷) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)都有成立，記（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：對(duì)任意的正整數(shù)都有（）設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為，已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，恒成立，求的最小值解 （）當(dāng)時(shí)， ，則又 ，有，即所以，數(shù)列成等比數(shù)列，其首相，則，所以（）由（）知，則又 ，有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)（）由（）知一方面 ，已知恒成立，取為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則有即對(duì)一切大于1的

13、奇數(shù) 恒成立所以否則只對(duì)滿足的正奇數(shù)成立，矛盾另一方面，當(dāng)時(shí)對(duì)一切的正整數(shù)都有恒成立，事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)都有當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則 ，所以，對(duì)一切正整數(shù)都有綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4評(píng)析本題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，化歸思想、分類整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證、分析與解決問(wèn)題的能力，要求學(xué)生有較強(qiáng)的綜合解題能力3.4平面向量的最值問(wèn)題在考查平面向量的最值問(wèn)題中，一般結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)行考查，題型多以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考生需要深刻理解平面向量的概念、性質(zhì)和數(shù)量積與向量積的幾何意義，靈活運(yùn)用向量的各種性質(zhì)，有較強(qiáng)的運(yùn)算和論證能力便可解決問(wèn)題對(duì)于這類題型

14、，學(xué)生首先要根據(jù)題目的已知條件，利用向量的性質(zhì)靈活變形，進(jìn)而利用數(shù)量積或向量積便可求解例9（2009年安徽卷） 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng)。若，其中，則的最大值是（）圖1:例9的示意圖解 在兩邊分別作向量積得 （1） （2）（1）+（2）得因?yàn)樗缘淖畲笾禐?評(píng)析本題主要考查平面向量的數(shù)量積與向量積的幾何意義，靈活性大3.5圓錐曲線的最值問(wèn)題圓錐曲線的最值問(wèn)題是一種難度較大的題型，很多考生對(duì)于該類問(wèn)題經(jīng)常會(huì)丟分，而該類問(wèn)題的分值比較高，大約占高考分?jǐn)?shù)的左右它考查的范圍比較廣，多以解答題的形式出現(xiàn)，考查學(xué)生對(duì)橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)的理解，對(duì)直線

15、與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，考查學(xué)生的解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力針對(duì)這類題型，學(xué)生首先要充分理解圓錐曲線的概念、性質(zhì)、定理，然后再結(jié)合題目的已知條件綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解例10（2009年浙江卷） 已知橢圓：的右頂點(diǎn)為A（1,0），過(guò) 的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1（）求橢圓的方程（）設(shè)點(diǎn)P在拋物線：上，在點(diǎn)P處的切線與交于點(diǎn)M，N當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值解 （）由題意得則因此，所求的橢圓方程為（）如圖2，圖2:例10的示意圖設(shè)則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為 ，直線的方程為 ，將上式代入橢圓的方程中 得 ，即，（3）因?yàn)橹本€與橢圓有兩

16、個(gè)不同的交點(diǎn)所以(3)中的（4）設(shè)線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，設(shè)線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，由題意得 ，即 （5）由（5）式中的，得或當(dāng)時(shí)，則不等式（3）成立，所以當(dāng)時(shí)代入方程（5）得將代入不等式（4）成立，所以評(píng)析此題考查的內(nèi)容非常廣泛，考查了橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，也考查了圓錐曲線的位置關(guān)系同時(shí)也考查了分類思想和不等式的性質(zhì)等，綜合能力較強(qiáng)3.6具有幾何意義的最值問(wèn)題求函數(shù)最值的方法比較多，但當(dāng)所求函數(shù)具有某種幾何意義時(shí)，求其最值用數(shù)形結(jié)合的方法比較靈活巧妙8可把求函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為求直線斜率、直線截距、兩點(diǎn)間的距離等最值問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合的方法解賦有幾何意義的解析式的函數(shù)的最值，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形

17、的直觀之長(zhǎng)，利用它使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，它是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一其轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是要有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化意識(shí)包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩方面以形助數(shù)”可以使抽象的概念和解析式直觀化、形象化；“以數(shù)解形”可以使圖形的性質(zhì)更豐富、更準(zhǔn)確、更深刻用數(shù)形結(jié)合法解題的一般步驟： 第一步，先把已知條件與待求結(jié)論的代數(shù)式（或量）都化成形； 第二步，觀察圖形，尋找解題方案； 第三步，求解得出結(jié)論轉(zhuǎn)化為求直線斜率的最值問(wèn)題例11 求函數(shù)的最值解 令知點(diǎn)的軌跡為一拋物線弧，其拋物線二端點(diǎn)為，顯然，定點(diǎn)分別與二端點(diǎn)構(gòu)成的二直線斜率產(chǎn)生函數(shù)的最大值和最小值圖3:例11的示意圖所以， 故，轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的

18、距離的最值問(wèn)題例128 求的最值.解 在 時(shí)當(dāng)即時(shí)，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)，則（、共線時(shí)取等號(hào)），且 不平行于軸，即必與軸相交.設(shè)交點(diǎn)為，就是使取得最大值的點(diǎn)，如圖4 圖4:例12的示意圖對(duì)直線：當(dāng), 時(shí)，有，在或且時(shí)在或且時(shí)評(píng)析這里用幾何中的距離公式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在直線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到兩已知點(diǎn)的距離之差（和）最大（最?。钡膯?wèn)題求解.轉(zhuǎn)化為求直線截距的最值問(wèn)題例13 求函數(shù)的最值解 函數(shù)的定義域，令，則消去得，其中令，即故函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為求直線的截距的最值.如圖5圖5:例13的示意圖顯然，過(guò)點(diǎn)的直線的截距最小，且最小值為，直線與橢圓相切時(shí)直線的 截距最大，且最大值為3故，3.7幾個(gè)特殊類型函數(shù)的最值問(wèn)

19、題以下幾個(gè)類型的函數(shù)的解題方法非常獨(dú)特，按正常思維解答所得結(jié)果往往與正確答案差距很大學(xué)生要在這類題上獲勝，必須對(duì)特殊題型的特殊方法進(jìn)行歸納總結(jié)文9已給出了三類最小值問(wèn)題的統(tǒng)一解法及一般結(jié)果，但由于這類問(wèn)題的重要性，本文將對(duì)這三類特殊類型函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)整理，以便引起學(xué)生對(duì)這三類題型的重視求型的最小值問(wèn)題情形1 對(duì)于求的最小值，其中，是一個(gè)正常數(shù)，且解 （通常的解法）設(shè),則，上述兩個(gè)不等號(hào)中的等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得于是 例14 求的最小值. 解 令，則,以上兩個(gè)不等號(hào)中的等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得于是 評(píng)析該題若直接使用基本不等式進(jìn)行求解，結(jié)果為2，而正確答案是3情形2 對(duì)于求型的

20、最小值.解 （通常的解法）令,則,上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得 于是 . 例15 求的最小值.解 令，則，上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅解之得 于是 求的最小值問(wèn)題情形1 對(duì)于求的最小值解 （通常的解法）令，則,上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得于是 例16 求的最小值.解 令，則,上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得于是 情形2 對(duì)于求（且）解 （通常的解法）令，則,上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng) 解之得 于是 例17 求的值域解 令，則,上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng) 解之得于是 求型的最小值問(wèn)題.情形1 對(duì)于求的最小值.解 （通常的解法）令，則,上面的兩個(gè)

21、不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得于是例18 的最小值解 定義域?yàn)?，由得令，上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得 于是 情形2 對(duì)于求的最小值解 （通常的解法）令，則，上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得于是例19 已知，求的取值范圍解 ，令，則，上面的兩個(gè)不等式同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)解之得于是 所以的取值范圍是3.8用特殊方法求一類函數(shù)的最值問(wèn)題此類函數(shù)不能運(yùn)用基本不等式求解它的最值問(wèn)題，必須利用相關(guān)的定理，使用其結(jié)論10才可以使求解過(guò)程簡(jiǎn)便、容易利用其結(jié)論解題時(shí)，必須注意限制條件，若限制條件不滿足定理所需條件則不能直接使用其結(jié)論進(jìn)行求解否則將無(wú)法尋求到準(zhǔn)確答案定理2 設(shè)初等函數(shù)在區(qū)間上恒有

22、，為正常數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)在上取最小值時(shí)，函數(shù)在上取最小值例20（1997年全國(guó)高考題） 甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)C千米/時(shí).已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度V(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元（）把全程運(yùn)輸成本y元表示為速度V(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域（）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解 （）運(yùn)輸成本為，由于速度不得超過(guò)C千米/時(shí)，所以因此，這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┝?，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)取最小值時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小，由定理知，在區(qū)間上，僅當(dāng)最小時(shí)，最小若，則當(dāng)，最小若

23、，則當(dāng)V=C時(shí)最小所以為使全程運(yùn)輸成本y最小當(dāng)時(shí)，行駛速度應(yīng)是，當(dāng)時(shí)，行駛速度應(yīng)是4.結(jié)論4.1主要發(fā)現(xiàn)本文對(duì)近幾年高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的求解方法進(jìn)行探討，給出了高考數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的具體方法和求解過(guò)程，研究了高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題、三角函數(shù)的最值問(wèn)題、數(shù)列的最值問(wèn)題、平面向量的最值問(wèn)題和圓錐曲線的最值問(wèn)題以及一般聯(lián)賽題中會(huì)出現(xiàn)的三類特殊類型函數(shù)的最值問(wèn)題從方法上講，它涉及到的知識(shí)面廣，難度大，技巧性強(qiáng)，方法靈活多變，很多考生難以把握，使用常用最值求解方法無(wú)法求解，需根據(jù)函數(shù)本身所具有的特點(diǎn)以及相關(guān)知識(shí)所涉及到的概念、性質(zhì)、定理才可進(jìn)行求解；從能力上講，它要求學(xué)生在充分掌握基礎(chǔ)知識(shí)的

24、同時(shí)，對(duì)常用求解方法較為熟悉，能準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)剡x擇最優(yōu)解題方案，有較強(qiáng)的觀察能力、分析能力、計(jì)算能力和解決問(wèn)題的能力本文的探討有利于考生進(jìn)一步了解高考數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的求解方法，使高考學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中，對(duì)準(zhǔn)重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，訓(xùn)練到位為學(xué)生的備考和教師的教學(xué)提供相應(yīng)的指導(dǎo)4.2啟示通過(guò)對(duì)近幾年高考數(shù)學(xué)中與最值問(wèn)題有關(guān)的高考試題的分析，在最值問(wèn)題的專題復(fù)習(xí)中，應(yīng)重視對(duì)相關(guān)知識(shí)所涉及到的基本概念、基本性質(zhì)、基本定理、基本方法的復(fù)習(xí)和基本能力的提高，尤其是觀察能力、分析能力和運(yùn)算能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練.4.3局限性本文探討了近幾年高中數(shù)學(xué)中需用相關(guān)知識(shí)的概念、性質(zhì)、定理才可以求解的最值問(wèn)題的解題策略由于本人還未真正走入教學(xué)實(shí)踐，未能將理論應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)中，尤其是無(wú)理函數(shù)、數(shù)列和幾個(gè)特殊類型函數(shù)的最值問(wèn)題的求解方法靈活多變，它在考察基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也不斷加強(qiáng)了對(duì)能力的考察且高考最值問(wèn)題常考常新，形式變化多樣，難以掌握因此，本文的探討還存在一定的局限性4.4努力的方向最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是每年高考必考的內(nèi)容，且?？汲Ｐ?，能力的要求不斷地提高，在今后的學(xué)習(xí)