中學數(shù)學教學的結構觀

1、第一篇 中學數(shù)學教學結構觀的基本理論第一章 基本理論的結構框架 中學數(shù)學教學中的結構觀既不等同于數(shù)學知識的結構觀，也不同于課堂教學的結構觀。它與知識的結構、課堂的結構都有著緊密的聯(lián)系。在中學數(shù)學教學中，知識的結構化，系統(tǒng)化無疑是教學論中一條極其重要的原則。無論從知識的發(fā)生、發(fā)展、變化、演繹的過程來看，還是從知識在運用中從單一到綜合，從簡單到復雜的辯證關系看，都始終存在著一種相對的知識系統(tǒng)的關系，都必須以依附于一定的規(guī)律為前提，那么作為對知識講授的課堂教學，如何將知識與方法的教學與課堂的結構緊密的的結合在一起，使得我們的教學達到最優(yōu)化，這是我們不得不考慮的問題。數(shù)學教師，對教學改革的重要之點，就

2、是應在實踐過程中，努力去研究和探討這種知識與教學之間系統(tǒng)關系及規(guī)律性，以使我們在教學中，無論是從宏觀上還是在每一個具體問題上，都能立于一種較高的觀點和較新的思想之下。一下面，我們用集合論與系統(tǒng)論的觀點，對“中學數(shù)學教學結構”給予如下的描述：設全集I知識結構，把I中的元素ai（知識點）按照一定的標準，劃分成不同系統(tǒng)，記為Ai（i=1，2,3，.，且允許Ai存在子系統(tǒng)）。顯然Ai，I=Ai2。我們有（1） 系統(tǒng)Ai具有把I中某些元素吸附到本系統(tǒng)之中的性質，我們稱為系統(tǒng)的“可凝聚性”。（2） I中的元素具有依附到某些特定系統(tǒng)之中的性質，我們稱為元素的“可從屬性”。（3） 由于系統(tǒng)的可凝聚性及元素的可

3、從屬性，顯然I中系統(tǒng)Ai并非孤立的，它們可望通過元素ai在不同系統(tǒng)中出現(xiàn)而形成特定的有機結合，我們稱為系統(tǒng)的“可結合性”。為了刻劃各系統(tǒng)結合的程度，我們用P（AiAj）（n）表示它們結合的度數(shù)，即兩系統(tǒng)間的共同知識越多（元素越多），則P值越大，此時Ai與Aj結合的程度越高。通過以上的描述，我們將要研究知識結構及各類系統(tǒng)的功能作用這個重要問題。無疑，知識點在相關的系統(tǒng)中都具有其特定的功能（例如一元二次方程根的判別式在代數(shù)方程系統(tǒng)中，具有判定一元二次方程有無實根的功能）。顯然，知識點功能的大小取決于它在各系統(tǒng)中出現(xiàn)的頻率，即其可從屬性越大，那么功能也越大，反之亦真。但我們卻不能簡單地認為Ai的功能

4、是其元素ai的功能和。因為它功能的大小還取決于它與別系統(tǒng)的結合度數(shù)。加之我們對問題探討的不斷深入和認識的不斷提高，系統(tǒng)的功能與元素的功能也會不斷的變化和加強。為此，如何把知識歸類和系統(tǒng)化，以正確體現(xiàn)和深刻揭示系統(tǒng)的功能就成為教學中應該著意思考的問題之一。1.加強對知識發(fā)生、演變、深化過程的教學，使新的知識點迅速地納入原有的知識網絡以形成新的系統(tǒng)，這不僅是復習課應考慮的問題，也是任何其它類型的課應遵循的原則。例如關于不等式性質的教學，其理論是實數(shù)的性質和實數(shù)的運算性質：“ab0ab?！边@里，ab是實數(shù)運算，ab 0是實數(shù)的性質，ab是實數(shù)的大小比較，它們之間的銜接是實數(shù)的運算性質。在不等式的教學

5、中，立足于實數(shù)運算性質和實數(shù)的性質，就可較為成功地引出相關的不等式性質。學生既不會感到突然和不易理解，同時知識的結構化，系統(tǒng)化也明顯地得以加強和擴展。教學表明，用這樣的思想方法處理教材，是突破難點的有效手段。當然，對教師就有一個如何設計課堂結構，如何抓住基礎的問題。我們還需指出的是，任何知識點除具有可從屬性之外，也必然存在反映其本質的特定性，這也是不同的知識點（甚至同一系統(tǒng)中）相互有別的標志。一個科學的完整的知識系統(tǒng)的建立與此息息相關。例如反三角函數(shù)，它作為一種從屬于三角函數(shù)的系統(tǒng)，但又以其特定的“區(qū)間性”區(qū)別于其它的角（這是反三角函數(shù)存在的條件）。這就是它的本質特征。在教學中，如果不從它的從

6、屬性和特定性兩個方面充分地展示知識點的形成過程，那么又如何能夠有效發(fā)揮它的功能呢？2. 加強對知識可從屬性的教學在教學中如何體現(xiàn)和引導學生發(fā)現(xiàn)和領會知識的可從屬性，不僅是教師能力強弱的重要標志，也是教師把握知識結構能力高低的重要標志，同時還會直接影響學生接受知識和運用知識的深刻性，如一元二次方程根的判別式及其根與系數(shù)的關系，在方程系統(tǒng)中的解決方程的根的性質為其功能。隨著教學的不斷深入，知識的不斷積累，其可從屬性也逐漸加強。在代數(shù)中，函數(shù)的圖象，值域的有關問題，不等式的證明，解析幾何中曲線的位置關系，交點的個數(shù)，弦長，參數(shù)方程等均出現(xiàn)其滲透的例證。因而，教學的過程既是一個知識如何獲得的過程，也是

7、將知識不斷進行分類、整理、歸并和發(fā)展的過程，這就對教師如何引導學生類比、聯(lián)想、分析、綜合提出了較高的要求。因為知識的可從屬性從根本上看，正是知識的內涵和外延深刻反映的表象。3. 加強知識系統(tǒng)間可結合性的教學知識系統(tǒng)的可結合性正是系統(tǒng)中元素可從屬性的反映，它的結合度數(shù)的高低，實質是其元素橫向滲透能力的表現(xiàn)，一些看來孤立的知識點，由于不斷出現(xiàn)新的從屬關系而產生新的功能，這些新的功能正是系統(tǒng)可結合性的反映，這些知識點由于它的多重屬性，作為連接知識系統(tǒng)的橋梁，分別作用于其從屬系統(tǒng)，一方面使各知識系統(tǒng)不斷更新和發(fā)展，另一方面促進知識結構向更高層次進化。例如復數(shù)一章的教學，由于復數(shù)可用復平面上的點、有向線

8、段及三角形式、代數(shù)形式表示，因而就使得復數(shù)的相關知識緊密地從屬于平面幾何，解析幾何、三角和代數(shù)的特定系統(tǒng)之中，反之，又產生復數(shù)在平幾、解幾、三角和代數(shù)等問題中應用的現(xiàn)象，這正是知識的結構化、系統(tǒng)化鮮明而生動的例證。二前面我們已經論述到知識結構及知識系統(tǒng)的形成和功能。作為對問題的進一步探討，應該研究的是結構中的知識點是通過什么樣的途徑和方式形成并產生從屬作用的？又是如何相互發(fā)生關系而形成知識網絡的呢？它們在解決問題的過程中是如何產生特定的功能作用的呢?這里，不能不涉及到三個重要的問題：即學科思想、數(shù)學思維方法和數(shù)學方法。1. 它們互相間的網絡關系學科思想，指的是對知識系統(tǒng)構成的基本方式，和解決問

9、題時的一般方式、原則的一種指導思想。作為思想，它滲透到學科知識的每一個環(huán)節(jié)之中。例如，解析幾何就是用代數(shù)方法去研究平面幾何圖形的大小、位置關系及性質的一門學科，這就是對解析幾何準確理解和把握的指導思想。其系統(tǒng)連接的基本方式是用方程和數(shù)式的變形去處理各種幾何圖形的性質、變化和相互關系。關于數(shù)學思維方法與數(shù)學方法有人統(tǒng)稱為數(shù)學方法。我們覺得這似乎不盡準確，至少對我們論述問題是不方便的。事實上，數(shù)學方法指的是解決數(shù)學問題的特定方法（如待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、換元法、圖象法等）。其實質為一種手段。而數(shù)學思維方法則屬于思維學科的范疇，它實質是尋找數(shù)學方法之“方法”，（如特殊與一般，猜想與論證，解題方法的

10、策略與原則等），它不是手段，而是手段產生前的一種更高層次的心智活動。為表明學科思想、知識結構，數(shù)學思維方法及數(shù)學方法之間的關系，我們給出的如下的框圖展現(xiàn)它們間的網絡連接：思維方法思維方法思維方法學科思想知識結構數(shù)學方法從圖可知，數(shù)學思維方法起到連接三者的樞紐作用，而學科思想則起到指導作用2.學科思想和數(shù)學思維方法對知識結構的作用我們認為不同知識結構的形成和知識網絡的演變、發(fā)展并不都是同一條件下的模式。它們完全取決于學科思想的確立及思維活動展開的程度。例如，在解析幾何中，平面上的點可以用有序實數(shù)對（x,y）表示，那么作為平面上點的特定集合直線，能否用數(shù)對（x,y）的定量關系來描述呢？正是由于學科

11、思想的指導性，萌動了我們去研究直線方程的動機，而在直線方程的尋求過程中，通過了類比思維方式，即點在直線上，它必然滿足（存在）某種特定的關系（反映在代數(shù)上，是點的坐標間的數(shù)量關系）。從而逐步完成了對直線方程的研究，形成新的知識點，并從屬于已有的解析幾何知識系統(tǒng)，使系統(tǒng)得以擴展和豐富。而對二次曲線的研究也完全運用同一思想。這充分說明一個準確的學科思想對知識結構形成的作用。而這個指導作用則是通過思維方法來實現(xiàn)的。3.學科思想和數(shù)學思維方法對數(shù)學方法的作用數(shù)學思維方法，在教學中，體現(xiàn)在對思維規(guī)律的充分揭示上。學科思想和思維方法不僅僅對知識點的形成，知識網絡的擴展起到指導和橋梁作用，同時，還在解決數(shù)學問

12、題時，顯示其無比活力和選擇最佳數(shù)學方法的決策功能。例如，在數(shù)學歸納法的教學中，處理平面圖形的有關問題是一個難點。如，有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n2n2個部分。為突破難點，我們首先應該聯(lián)想平幾的有關知識。平幾的基本元素是點和線。正是由于點和線的位置、數(shù)量的變化，構成了豐富多彩的幾何圖形，并引起幾何圖形性質的變化，這是平面幾何學科思想的體現(xiàn)，為此，當圓的個數(shù)從k個增加到k+1個時，必然影響到平面上點（交點）的數(shù)量變化，而交點的數(shù)量變化有引起所截得的弧的變化，進而引起平面塊數(shù)的變化。因而，考慮“增加一個圓后，交點個數(shù)的改變量和截得弧的條

13、數(shù)的改變量就成為突破難點的關鍵所在。為更直觀，更簡便起見，不妨先看k2（甚至是k1）時，這樣情況就十分明顯了。學生在引導下，通過觀察（情況簡單，易于觀察），馬上發(fā)現(xiàn)增加的交點數(shù)與增加的平面塊數(shù)完全一樣。由此抽象到k1個時，問題也會迎刃而解。顯見，學科思想和數(shù)學思維方法對問題的解決產生了決策性的作用。 需要一提的是，各類參考書都幾乎一致認為，一題多解是溝通各種知識間的關系，使學生掌握各種數(shù)學方法，訓練思維靈活性的好途徑，誠然，我們不否認它的作用，但僅僅是為了尋找盡可能多的解法嗎？既然找到了解決問題的途徑，是什么原因促使你再去尋找別的解法呢？這新的解法又是如何找到呢？看來，很有必要提及數(shù)學思維方法

14、對數(shù)學方法產生和對最佳數(shù)學方法選擇的決策作用。也就是說，各種解法的介紹必須植根于數(shù)學思維方法的土壤上。否則，寧可不講，也毋濫講，以免使學生發(fā)出數(shù)學高深莫測的感嘆。例如，求直線x2y2=0被圓x2y22所截得的弦長。由于弦長實質上是兩點間的距離，當我們把命題寫出時，學生幾乎脫口而出：求交點，再求弦長。無疑，這不失為一種解題方法。然而，通過解方程組求交點比較麻煩，且易出錯，從解題的美學原則分析，不符合“簡潔美”的要求，能否找到一種簡單的方法呢？以前解決過的問題有否相似的類型呢？（這是等值思維）學生不難回憶起解析幾何教材中有關的例子時，曾經用韋達定理解決過拋物線的弦長問題，于是用類比方法找到了新的解

15、法。我們再提示，解幾是用代數(shù)的方法研究幾何問題，它離不開幾何圖形特有的性質這個前提，因而對幾何圖形性質研究的深刻程度往往決定著命題的解決思路及繁簡（這事實上是學科思想的作用）。于是學生就不難找到通過弦心距求弦長這一簡潔的方法。以上的分析表明，這道題處理不僅是解決圓弦長的幾種求法，更應該揭示這幾種解法的出現(xiàn)是以等值思維、美學原則、學科思想為前提的。如果更進一步把命題改為已知弦長，求直線方程或圓的方程，這對鍛煉學生的逆向思維就更有幫助了。從前面的論述使我們清楚地看到，學科思想與數(shù)學思維方法是教與學中最活躍的因素，知識結構的功能在其連接下充滿活力；數(shù)學方法在其指導上而更合理；課堂教學在其運用下而倍顯

16、生機勃勃?？梢哉J為，中學數(shù)學課堂改革的一個重要之點就是對學科思想的深刻領會與數(shù)學思維方法的充分展示。第二章 對數(shù)學思想的界定及功能的認識第1節(jié) 數(shù)學思想的哲學意義在第一章中，我們提到了學科思想，而所謂的學科思想從本質上來說，其實就是數(shù)學思想。近年來，對數(shù)學思想的研究，已成為中學數(shù)學中一個熱門的話題。如前所述，作為一種觀念，它要求滲透到數(shù)學教學之中；作為對學生數(shù)學素質的考察，又貫穿串于高考命題的整個過程；作為數(shù)學解題中思維規(guī)律的提示和方法的選擇，它起著調控和決策的作用；作為知識結構中各個知識點的連接，它又有著橋梁和樞紐功能。因而，研究數(shù)學思想在中學教育中的作用及意義，已成為中學數(shù)學教學中不可或缺

17、的內容，受到人們的廣泛注意和高度重視。那么，什么是數(shù)學思想呢？所謂數(shù)學思想，系指人們在研究數(shù)學的過程中，對其內容、方法、結構、思維方法及其意義的基本看法和本體的認識，是人們認識數(shù)學的觀念系統(tǒng)。它既遵循一般意義上的認識論的基本規(guī)律，同時又是一種更高層次上的方法論；它既有著形式邏輯上的特點，更符合辨證思維的內涵。它屬于辨證唯物主義哲學的范疇。因此，為著對數(shù)學思想有更深層次的認識，筆者力圖從哲學的角度，對其作一些理性的探討和考察。我們知道；哲學是“關于普遍聯(lián)系的科學”(自然辨證法，第3頁)也就是說，一切事物、現(xiàn)象之間都存在這互相聯(lián)系、互相補充?；ハ嘧饔??；ハ嘀萍s的關系，世界上沒有任何事物、現(xiàn)象與其他

18、事物、現(xiàn)象是無聯(lián)系的。這種聯(lián)系呈現(xiàn)五光十色的多姿多彩，有本質聯(lián)系，非本質聯(lián)系，有內在聯(lián)系，外在聯(lián)系；有必然聯(lián)系，偶然聯(lián)系；有一般聯(lián)系，特殊聯(lián)系；還有互相補充、互相結合的聯(lián)系等。所以，我們在數(shù)學思想中談到的函數(shù)思想，不過是這種哲學觀念在數(shù)學領域中，對事物現(xiàn)象之間的數(shù)量關系的一種本質的描述，反映出事物或現(xiàn)象聯(lián)系的一種方式。如果我們對函數(shù)概念的歷史變遷作一番巡視，就不難看出，每次的修正或補充都比原來的概念更嚴密、更準確、更合理地刻畫出事物地內在聯(lián)系，從而更符合“聯(lián)系的科學”這一深刻的本意。然而函數(shù)思想只不過是“聯(lián)系”的觀點在數(shù)學中一種相互制約的表現(xiàn)。當我們的視野在數(shù)學的領域上作更大范圍的俯視時，則不

19、難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學學科是一個不可分割的整體，它的活力在于各部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學知識千差萬別，但可看到作為整體的數(shù)學中使用相同的邏輯推理，有著概念的親緣關系，有著定理上的類比性和方法上的同構性，在它們不同部分之間也有著大量地相似之處?？梢?，“聯(lián)系”的觀點貫串于數(shù)學知識的發(fā)生、演變過程。例如，點和曲線既可以在直角坐標系中加以研究，也可以在復平面上加以審視，同時還可以在極坐標系中加以考察。但是如果拋開非本質的東西。則可以認為極坐標中，點P的表示法與復平面上復數(shù)的三角形式時一樣的，（因為都是OP的長度與OP的定向所確定）換言之，我們甚至可以把極坐標系看作是去掉虛軸后的復平面。這種大膽的看法不但揭示了這兩

20、種平面形式上的聯(lián)系和一致性。也為我們在教學中極坐標系的建立找到了完美的理論注釋。上面的分析給我們的啟示是，函數(shù)思想既然可以看作哲學中“聯(lián)系”的觀點在數(shù)學中的一個體現(xiàn)，那么數(shù)學知識點之間種種形式的聯(lián)系，正是知識可以構成網絡，方法形成系統(tǒng)、形成結構的理論依據(jù)。只要我們善于挖掘，捕捉這種聯(lián)系。那么我們的課堂教學就可以在更廣闊的時空范圍上得以延伸、變化和發(fā)展，這時培養(yǎng)學生全面看問題，以形成思維的廣闊性是有益的。馬克思主義的哲學同時還承認，矛盾和轉化是現(xiàn)實世界的普遍規(guī)律，事物內部始終存在著對立統(tǒng)一的現(xiàn)象。在數(shù)學領域中，這種矛盾的現(xiàn)象得到更為形象，更為深刻，因而也更為本質的反映。例如，從認知規(guī)律上看，有已

21、知和未知，熟悉和陌生，簡單和繁雜的矛盾；從知識結構來看，有直線與曲線，相等與不等，有限與無限，常量與變量等矛盾；從表現(xiàn)形態(tài)上來看，有數(shù)式與圖形，平面與空間，運動與靜止等矛盾。數(shù)學的發(fā)展正是在于人們不斷地揭示這些矛盾，并力圖促進這些矛盾的轉化而得以實現(xiàn)的。數(shù)學解題的過程就是去發(fā)現(xiàn)條件和結論的矛盾，并尋找實現(xiàn)轉化的方法，達到條件與結論和諧統(tǒng)一的過程。由此可見，我們在數(shù)學中談到變換思想，數(shù)形結合的思想，分類討論的思想，只不過是上述觀點在數(shù)學領域中的典型應用。這里，留給我們的思考有：1解題過程的任何轉化，都應該有強烈的目的性：即尋找條件和結論的差異（差異就是矛盾），分析差異，解決差異，達到條件和結論的

22、統(tǒng)一為目的。這樣我們的思維才能有明確的指向性，避免陷入變換的盲目性。正如恩格斯在自然辯證法 中所說：“由這種形式變到另一種形式，不是無聊的游戲，而是數(shù)學的杠桿，如果沒有它就不能走很遠?！?這種對立統(tǒng)一的現(xiàn)象既然大量地存在于數(shù)學的知識及其數(shù)學學習的過程之中，那么矛盾轉化的思想就理所當然地成為指導我們認識和解決數(shù)學問題地基本觀點。善于在相同的現(xiàn)象之中找它們不同之處，同時還要在不同的現(xiàn)象之間找到其相似之處，正是我們學習數(shù)學時觀察能力高低的重要標志，同時也是創(chuàng)造思維形成的先決條件。例如，求經過點A（4，1）和直線2xy=0相切于點M(1,2)的圓的方程。按照一般的解法，其計算量是頗大的?？傻侨绻麖谋?/p>

23、證的眼光來看，把切點M看成是半徑為零的點圓；把直線2xy=0看作是半徑為無窮大的圓，將所求的圓與之納入共點圓系之中，則只須求出的值即可，此時將A(4,-1)的坐標代入，求得，故所求圓的方程為這里把點，直線，圓，完美地統(tǒng)一在同一個方程之中，找到問題簡潔的解法，這與其說是數(shù)學方法的成功，倒不如說是辨證法的勝利。3上述的分析還表明，變換的思想、數(shù)形結合以及分類討論的思想，只是矛盾轉化的派生形式，數(shù)學知識結構之中，由于各門分支，各個章節(jié)知識是千差萬別的，都有其自身的特點，其轉化的方式也是不盡相同的，教師必須善于挖掘和抽象出該章節(jié)的轉化方式，提煉為數(shù)學思想，是學生對該章的內容、結構、方法的深刻性、靈活性

24、和批判性，這應該是教師更有意義，更富于研究性的工作。通過上面粗淺的分析，固然每給我們思考的問題依然很多，但卻可以清晰的看到，數(shù)學思想所以成為數(shù)學知識結構和數(shù)學學習過程中最具有活力、最具功能性的因素，其原因就是根植于哲學這塊博大精深、源遠流長的豐腴的土地上。只要我們認真加以研究，悉心予以培植，她就會開出燦爛的思維教育之花，結出豐碩的素質教育之果。第2節(jié) 數(shù)學思想的“細分”及應用 在上一節(jié)我們對數(shù)學思想給出了以下定義：所謂數(shù)學思想指的是人們在學習數(shù)學的過程之中，對數(shù)學的內容、方法、意義的本體的認識，是屬于哲學的范疇。這是數(shù)學思想的本質屬性，即是數(shù)學思想這一概念的內含。由此可見，在考試大綱中所給出的

25、函數(shù)與方程、分類與討論、數(shù)形結合及轉化與變換的思想均屬于數(shù)學思想的外延。然而，我們不難看出，既然數(shù)學思想是屬于哲學的范疇，在哲學的概念中，轉化思想無疑是在研究事物的過程中最重要的、最核心的思想。根據(jù)這一觀點，不管是函數(shù)與方程，分類與討論及數(shù)形結合，其實都是轉化的思想在具體形式上的應用。亦即在認識和解決具體的數(shù)學問題上使我們對問題的本質看得更清楚。但是，在教學實踐中我們卻深切地感到，僅僅將數(shù)學思想分解為幾個這樣的外延，還不足以使我們（包括教師和學生）更深刻的詮釋和認識數(shù)學，由此，在教學的過程當中往往出現(xiàn)貼標簽的情況，并不能夠使學生心悅誠服，遇到類似的問題，同樣無法找到解決的途徑。由此，我們認為有

26、必要將數(shù)學思想進行“細分”。 將數(shù)學思想進行細分，就是結合每一章或每一單元的內容，將數(shù)學思想的運用途徑與內容緊密地聯(lián)系起來，使數(shù)學思想具有一種鮮活與清晰可辯的形式，學生容易理解和掌握，這對提高學生的能力將是一件有意義的工作。 例如，在學習復數(shù)一章時，我們結合該章的內容，將這一章的基本思想概括為：一、實數(shù)化的思想。因為復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的本質就是通過有序的實數(shù)對來描述復數(shù)，這樣就使得把復數(shù)的問題轉化為實數(shù)的問題來處理成為可能，實現(xiàn)實數(shù)化的途徑就是復數(shù)的三角形式和代數(shù)形式，例如復數(shù)的相等，用復數(shù)求軌跡的問題；另一方面，實數(shù)化的思想還體現(xiàn)在復數(shù)集中解決問題的方法與步驟和實數(shù)集中解決有關問題的方

27、法與步驟的同構性。第二、數(shù)形結合的思想。由于復數(shù)與復平面內的點和向量的對應關系，這就使得復數(shù)得概念、運算、性質有著明顯的幾何意義，使得復數(shù)得問題有著直觀的幾何解釋，從而可以借助幾何圖形去分析和解決問題。第三、整體的思想。它主要體現(xiàn)在模與共軛復數(shù)性質的應用。上述的三個基本思想，是我們解決復數(shù)問題的基本出發(fā)點，也是理解教材的基本思想。我們可以通過以下的問題來闡述以上基本思想的應用。 例：從本例中，我們的確可以看到，正是在三個基本思想的啟迪下，得出三種不同的解法，從理論上來說，每個復數(shù)的問題應該可以通過這幾條途徑得出相應的解法，然而，從實際上來說，有時由于變換的復雜性，或者由于條件與結論之間的關系在

28、某條途徑上的隱蔽性，卻又并不是每一條思路都能順利解決問題的，即便可以解決問題，卻又有繁簡之分，這就需要我們有一定的思維評價和預測能力，從實際問題的背景出發(fā)，選擇恰當?shù)男问?，找到處理問題的正確思路和最優(yōu)解法，這正是靈活應用基本思想的體現(xiàn)。 在“不等式的解法”中，由于涉及到整式不等式、分式不等式、絕對值不等式、無理不等式、指數(shù)、對數(shù)不等式，等等。眾多形式不等式的解法，使學生疲于記憶。那么，如何使學生免去記憶的痛苦，又能夠在更高的層次上把握住不等式的解法哪？事實上，高中階段不等式的學習是在初中階段學習了一元一次不等式和一元二次不等式的基礎上，再進行對其它不等式的學習，而一次函數(shù)與二次函數(shù)又正是解這兩

29、種不等式的理論基礎。因此，我們把解不等式的基本思想確定為：一、轉化為一次、二次或其它的整式不等式；二、轉化為函數(shù)關系，利用函數(shù)的性質或數(shù)形結合來解決問題。其實，我們只要留心一下，就不難發(fā)現(xiàn)，在高中階段學習的所有不等式，都是通過這兩個基本思想找到解決問題的方法，不管是高次不等式中的“以乘作除”“數(shù)軸標根法”，或者絕對值不等式中的“平方法”與“零點討論法”，又或者無理不等式中的“換元法”、“平方法”、“圖象法”等等，無一例外。以上的方法只不過是實現(xiàn)這兩種轉化的具體途徑。學生在深刻理解以上的基本思想之后，不僅能達到從“自由到必然”的認識，而且還能從創(chuàng)新的角度對許多不等式提出一些充滿“詩意”的解法。例

30、如 上面的分析使我們看到，對數(shù)學思想的“細分”的確有助于教學，有助于解題思路的尋求，有助于在更高的層次上深刻的理解數(shù)學。我們有理由認為，對數(shù)學思想的“細分”是每一個數(shù)學教師應該做的一件工作。然而，應該看到，如何“細分”卻不是一件輕而易舉的事情，它必須植根于對教材刻骨銘心的認識，對數(shù)學知識結構有著高屋建瓴的獨到的見解，還應有著于細微處探幽的抽象能力，這樣，才能使我們的教學擺脫形式主義、人云亦云的糾纏，達到一種理性的、充滿活力的境界。第三章 對設計思維過程的理解及認識第1節(jié) 設計思維過程的若干原則前面我們對數(shù)學思想這一概念的內涵、外延、應用及有關細分的問題作了比較詳盡的論述，下面我們將要談到的是思

31、維方法的問題。什么是思維方法？許多文獻都有了相應的介紹，這里就不作過多的解釋。我們知道能力培養(yǎng)的核心是思維能力。 如何通過課堂教學， 使學生在接受數(shù)學知識的同時， 形成較強的思維能力， 應該是我們課堂教學中亟待解決的問題。由于這一基本觀點的確立， 近年來， 人們在數(shù)學的課堂教學中， 已不滿足于一個定理， 一個公式介紹給學生， 并使學生掌握為目的， 而是力圖把定理及其公式發(fā)現(xiàn)的思維過程作出合理模擬， 以求在思維過程的合理模擬中， 使學生成為發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的參與者， 并在參與的實踐中認識自身的智力價值和促進良好思維品質的形成， 這種思維過程的合理模擬就是我們所說的設計思維過程。那么如

32、何進行思維過程的設計， 才能達到所期待的目的呢?我們認為， 應該遵循如下的若干原則。1、 必要性原則 這里所說的必要性，我們指的是，提出或研究某個問題的必要性，愛因斯坦曾經說過: “提出一個問題往往比解決一個問題更為重要。” 因為一個新問題的提出，不僅僅集中著人們的觀察力、想象力、概括抽象能力和預見性，同時又由于問題的提出，它預兆著一種新的可能性的產生，往往標志著科學每次取得進步的開端。因此，從某種角度來說，能否善于提出有價值的問題應該是比解決問題更為重要的。因此，我們應該在數(shù)學教學的過程中，對一些重要定理、公式提出的必要性作出精心的設計。例如，在反三角函數(shù)的內容中，利用數(shù)形結合研究反函數(shù)的性

33、質后，得到了反余弦函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，即不成立。課本隨后給出了: “下面我們來證明: 對于任意， 有”學生不禁要問，這個關系式是怎樣提出的?又是如何找到的？為了回答這一問題，在課堂教學的設計上，我們做了如下的處理：當我們得出了 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的結論之后， 緊接著就分析：由于反正弦函數(shù)的奇偶性非常明確，即有 出于對事物和諧性及統(tǒng)一性的追求，我們極想了解 與 究竟有什么關系呢? 從圖象可知，的圖象雖不關于原點中心對稱， 也不關于y軸成軸對稱， 但它關于點成中心對稱，這一圖象性質抽象成函數(shù)性質即是公式 ，雖然寥寥數(shù)語，但卻為這一公式出現(xiàn)的必要性提出了合乎邏輯的鋪墊 (即問題)。從

34、對上面例子的分析，我們可以看到，一個問題的提出絕非是偶然的，有時是出于對統(tǒng)一性的理解，有時是對完美性的追求，當然，還有些是聯(lián)想的結果，歸納類比的產物，甚至是直覺的猜想等等，但不管如何，學生只要能一個個地提出問題，才能一步步地探索真理， 進而才能逐步地培養(yǎng)自己地創(chuàng)造能力。2. 合理性原則設計思維過程的核心問題就是要回答解決問題的方法是怎樣找到的。具體地說，如回答為什么要添加輔助線?為什么要用韋達定理?為什么要用換元法?。使用這些數(shù)學方法的原因是什么?或者說是把選擇運用數(shù)學方法之前的心智活動揭示出來， 這就是我們所說的設計思維過程。由于數(shù)學家的思維活動是通過書本隱蔽地提供的，我們無法， 事實上也沒

35、有必要對當時數(shù)學家地這種思維活動作尋根問底的探究， 但至少我們可以根據(jù)問題的條件和結論， 對解決問題的思維軌跡作一合乎邏輯的描述，這就是設計思維過程的合理性原則。合理性原則有三個標準。一是解決問題的思維過程應符合馬克思主義認識論的基本原理，二是符合形式邏輯和辯證邏輯的一般規(guī)律，三是符合學生的心理傾向。例如，在反三角函數(shù)的最后部分出現(xiàn)了一個公式， 它對解決反三角函數(shù)的有關問題起到了一定的作用，我們是這樣來分析的：我們首先提出，前面曾孤立地研究了四種反三角函數(shù)，并且得出了它們相應的性質。然而，任何事物都不是孤立的，那么這些函數(shù)之間是否也具有我們感興趣的那?緊接著又啟發(fā)學生，前面四種函數(shù)性質的研究，

36、我們是充分地利用了函數(shù)的圖象，從數(shù)形結合的觀點去考察它的各自的性質，從而，對這一問題的研究是否也采取類似的方式呢?學生很快意識到應在同以坐標系下作出 和的圖象，通過對圖象的直觀考察，發(fā)現(xiàn)它們具有一種優(yōu)美的對稱性即關于直線對稱，再聯(lián)系到若點與點關于直線對稱，則有的結論，學生們很快地得到了的結論。再經過幾個特殊值的驗證， 結論也是成立的。但是， 任何直觀的考察和特殊值驗證都不能代替嚴格的形式邏輯的證明， 那么如何去證明我們所發(fā)現(xiàn)的式子是正確的呢?為了解決 “觀察出來”與 “證明出來”的認識矛盾， 我們先讓學生考察等式的本質問題是角的相等， 再聯(lián)想到三角函數(shù)中角相等的證明是采用 “同值同區(qū)間”的方法

37、， 不難得出書本上的證法一。我們再改變一下觀察的角度， 聯(lián)系到反三角函數(shù)所特有的區(qū)間性的性質，可設又注意到 ，所以左邊從而得出證法二。對這一問題的分析處理過程，顯然要比平鋪直敘地給出公式，而后照本宣科的證明要深刻得多，同時在課堂教學中也精彩得多，活躍得多，這是因為:第一，學生沒有被動地接受這一現(xiàn)成的結論，而是參與公式的提出與發(fā)現(xiàn)過程，體現(xiàn)了主體作用; 第二，從直觀到抽象， 從特殊到一般是符合馬克思主義認識論的; 第三，公式的證明是運用了 “功能性的思考”到 “特殊性的處理”這一形式邏輯的演繹推理規(guī)律; 第四，哲學思考的最大價值在于教會人們從不同的角度去觀察問題。證法二的產生正是這一觀點的體現(xiàn)，

38、同時也是符合學生的心理傾向的，因為這樣的思維過程設計，雖然不能說是最好的，但至少是合理的，它對啟迪學生的智慧起著良好的促進作用。3 可接受性原則可接受性原則是中學教學法中最基本的原則，思維過程的設計同樣要遵循這一原則。亦即在思維設計的過程中，應該根據(jù)學生的年齡特征所決定的思維水平及其與學生當時已掌握的基礎知識、基本技能相適應的，是力所能及的。這里我們想強調的是，傳統(tǒng)的觀點認為， 對難的問題統(tǒng)統(tǒng)化難為易就是好的方法， 因而人為地設置種種橋梁和鋪墊，使得整個解題的思維過程直觀化，簡單化，似乎就是設計思維過程的可接受性原則。事實并非如此。因為往往所謂的 “難”，就是整個思維過程相當隱蔽，或者對學生來

39、說相當陌生，然而正因為如此，它所蘊涵的思想就更加深刻和豐富，其解決問題的思維過程就更為生動和精彩，因而準確而合理地把解決問題的思維過程揭示出來，學生的思維水平就能得到一個質的飛躍，提到一個更高的水準之上。例如，已知平面上有2n+3個點(其中無三點共線，無四點共圓)那么必有一個圓過其中三點，而其余2n個點各有一半分別在圓內和圓外。這個問題顯然有一定的難度，那么如何設計思維過程才能符合可接受性原則呢?分析:由題設可知，平面上2n+3個點可確定個圓，這些圓幾乎是 “雜亂無章”地分布在平面上。那么哪一個圓具有題設地要求呢?我們知道，數(shù)學研究的對象都是尋找事物變化中的某種不變的性質，或者是在似乎無規(guī)律的

40、現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)有規(guī)律的現(xiàn)象。為此，無妨考察過某一點A的圓系中，能否在這些圓中找到滿足條件的圓，很快發(fā)現(xiàn)，在這些有規(guī)則的圓中， 很難找到我們所需要的圓。無妨再增加一點，即過A，B兩點的圓系，從圖可知，這些圓在線段AB的同旁問題豈不是解決了嗎?為此，關鍵是A，B這兩點的選擇能保證其余各點在直線AB的同旁即可，而這兩個點顯然是存在的。(解法略)這樣的思維設計顯然較難，但學生是可接受的，因為它符合上述的合理性原則。從我們設計的主導思想來說，目的并不在于使學生占有解決本題的技巧和方法，而在于領悟解決這個問題的思維活動，通過這一問題的解決，學生得到的是化無規(guī)律為有規(guī)律，化無序為有序， 化一般為特殊的思想。這對

41、培養(yǎng)學生思維的靈活性， 深刻性應該是有幫助的。 4、“復雜化”原則 在課堂教學實踐中，有一個貌似“悖論“的數(shù)學教學原則常常被人冷落，或者被視為奇談怪論而遭人漠視，那就是“將復雜問題簡單化和將簡單問題復雜化”。其實，被人“歧視”的倒不是“將復雜問題簡單化”而是“將簡單問題復雜化”，因為前者不過是循序漸進、化繁為簡的教學原則的換一種說法，早就被人們所認同，并付諸于教學實踐之中。而后者往往被人視為“異端”、不可理喻，甚至在某些場合被大加韃伐。筆者認為，有必要為“將簡單問題復雜化”正名，還其本來面目，并且充分重視它在數(shù)學教學上的應用功能。“最簡單的同時也是最重要的?！币粋€哲人如是說。所謂“將簡單問題復

42、雜化”就是利用知識結構的觀點，將一個貌似簡單的問題置于結構和系統(tǒng)中加以考慮，通過認知結構的特點將其“最簡單的”一面，利用演繹、變換、推理等方法將其“最重要的”其實就是最深層次、最本質的特征揭示出來，使得在認識“最簡單的”同時，認識它“最重要的”一面。從現(xiàn)代教育的觀點來看，它是以思維為主線去組織課堂教學，從而應是更高層次的一種教學方法。這不僅是提高課堂效益的需要，同時也是提高學生綜合素質的要求。那么，如何將簡單的問題復雜化呢？筆者認為可以有以下的基本途徑。（1） 、簡單的問題置于特定的知識背景之下。我們知道，任何一個知識點都不是孤立的，它與其它的知識有著或縱或橫、或直接或間接的聯(lián)系，這種聯(lián)系既有

43、邏輯的也有非邏輯的，既有抽象的也有具體的。那么，我們只要把這種聯(lián)系揭示出來，在理解和認識一個簡單的知識點的同時，使得整體的層面和較為復雜的知識結構呈現(xiàn)在我們心智面前。例如，求證：= （見高中代數(shù)上冊，p101，例9）這是一個簡單的問題，筆者作了以下的處理：首先，在教師的引導下，學生得出課本上的三種證法。接著，帶領學生探索本題的背景，即同角的平方關系sin2+cos2=1.既然此式可以構造出上面的等式，那么，從這個等式我們又可以得到什么命題呢？這樣一個如何構造命題的問題就推到了同學的面前。有個學生說：可以構造=.我立即追問一句：為什么？學生回答說利用了反比定理。我順水推舟說：比例還有其它性質嗎？

44、由這些性質能否構造出相應的命題？同學們恍然大悟，紛紛動手，利用合比、分比、合分比以及等比定理等構造出：=，=,再進一步，既然從平方關系的一個公式就可以構造這許多新穎的命題，那么平方關系的另外兩個公式呢？請同學們下課后再設法構造出一些新的命題，并給出這些新命題的證明方法。其實，本例是將原命題置于有關三角函數(shù)比例式的證明方法的知識背景之下，通過比例有關性質的橫向聯(lián)系，使得一個孤立的、簡單的問題變得豐富多彩，不僅使課堂的氣氛特別活躍，并延續(xù)到課后。一、 將簡單問題的解法置于科學方法論的背景之下。任何一個問題的解法都是思維的結果，任何一個推理過程都是一種邏輯或非邏輯推理的產物。如果我們能將這種思維的過

45、程換一個方式去理解，換一個角度去觀察，那么所得到的和所看到的就不是簡單的思維結果了。所謂換一個方式去理解或者換一個方式角度去觀察，事實上就是在科學方法論的背景下，將簡單的問題進行聯(lián)想、抽象、推廣、變式，使得簡單的問題以一種五彩繽紛的畫面出現(xiàn)在我們的視野之中。事實上，一題多解就是對這樣一種理論的詮釋。有時我們找不到某個問題的解法，正是不善于換一個角度去觀察或換一種方法去考慮所至。 例如，在講授組合數(shù)公式 =的發(fā)現(xiàn)和推導時，筆者安排了這樣的教學過程：教師首先提出，組合與排列一樣，都是解決完成某件事情的方法，以及對這種方法的計算。既然排列的問題已有公式可解決，對組合的問題我們也理所當然要找到相應的計

46、算公式，那么，該如何尋找呢？這時，學生從排列數(shù)公式的發(fā)現(xiàn)過程，通過類比的方法自然就考慮利用特殊到一般的思維方法進行研究。然而，驗算了幾個特殊的數(shù)值，如 =3, =3 ,=1, =4, =6,.,卻難以對上面數(shù)的規(guī)律進行一般性的概括。這種學生熟悉的方法已無法解決目前的問題，怎么辦呢？這時，老師啟發(fā)說：排列與組合都是計數(shù)的方法，不管是從概念的提出抑或是概念的形成，排列與組合都是極其相似的，那么，它們之間有無內在的聯(lián)系呢？既然排列數(shù)的公式已經得出，我們能否從聯(lián)系的觀點，重新審視排列的過程，并借助于對這種過程的再認識，找出組合數(shù)與排列數(shù)之間的關系呢？這既是一種思維方法的啟迪，也是哲學觀念的引導。這時學

47、生再重新對排列事件的過程作分析，發(fā)現(xiàn)從n個元素取m個元素進行排列的過程可分兩步完成：即首先從n個元素取出m個元素進行組合，其組合數(shù)有個；再將m個元素進行全排列，有種排法，由乘法原理得 =，從而有= ，因此得出了組合數(shù)公式，其證明就不難了。（2） 、簡單問題的條件或結論加以變換或引申。我們知道，人類科學的進步就是在不斷提出問題和解決問題的探索之中前進的。一個簡單的問題后面常常隱藏著變化的空間（越是簡單的越是如此），它借助于知識之間的聯(lián)系，方法之間的借鑒，思維過程的類比（甚至是逆向類比），形式之間的相似，進行由此及彼的變換及引申，使問題以一種新的形式出現(xiàn)在我們面前。加以變換后的這種形式往往以復雜的

48、、陌生的面貌使我們對問題的解法處于新的探索之中。而這種探索的背后常常預示著一種新的方法的出現(xiàn)，一種新的知識的產生，甚至于一個新的領域的誕生數(shù)學發(fā)展史常常這樣告訴我們。因此，條件、結論的變換和引申就不是一種無聊的游戲（包括形式的變換），而是人類科學進步的階梯。例如，在講授極坐標系的時候，我們先復習了復數(shù)的三角形式，發(fā)現(xiàn)復平面上的點的表示方法，其實與y軸一點關系也沒有，它只與op的長度和op的方向有關，數(shù)學本身的簡潔性無法容忍y軸的存在，我們干脆把y軸去掉，可這樣一來，它再也不是直角坐標系了，但同樣可以表示平面上的點，也就是說，發(fā)現(xiàn)了一個新的坐標系，我們把這個坐標系稱為極坐標系。換言之，極坐標系事

49、實上是去掉虛軸后的復平面。我們不知道當年極坐標系是否這樣發(fā)現(xiàn)的，但至少有理由認為，這種大膽的看法不但揭示了這兩種平面形式上的一致性，也為我們在教學中極坐標系的建立找到了完美的理論注解。又如，在講復數(shù)向量形式的時候，我想作為教師至少要考慮這樣幾個問題：有了復數(shù)的代數(shù)形式和點的形式，為什么還要講向量形式？這是其一；向量形式是怎樣被發(fā)現(xiàn)的？此其二；第三，復數(shù)的向量形式有什么用？否則，學生的學習和認識完全處于一種被動和盲從之中。為此，筆者安排了這樣的教學過程：首先復習了復數(shù)的代數(shù)形式和點的形式以后，老師指出：數(shù)和點是兩種不同的事物，它們之可以發(fā)生關系，其實它們都是數(shù)對（a,b ）的一種外在的形式，換言

50、之，數(shù)對才是本質。也就是說，一個事物如果有不同的表達形式，那么這些形式之間必然有某種聯(lián)系。既然如此，那么數(shù)對還有什么表達形式呢？學生馬上就想到了向量。老師緊接著就追問，如果我們建立了復數(shù)和向量的關系之后，有什么用呢？學生就可以回答，我們可以借助向量的理論和方法來解決復數(shù)的問題。此時，老師可以作一個小結性的發(fā)言：數(shù)學問題的解決，常常將一個陌生的問題轉化為一個熟悉的問題來解決，這正是我們數(shù)學解題中的熟悉化原則。這寥寥數(shù)語的課題引入使我們清楚地回答了以上提出地三個問題，更重要的是，使學生明白了事物之間的本質聯(lián)系，強化了數(shù)學基本思想，使學生對知識的領悟提高到一個更新的層面上。 （3） 將簡單的問題向一

51、般化問題轉化。由于簡單的問題往往是事物某種特殊的狀態(tài)，常常處于一種孤立的、靜止的、表面的、非本質的形態(tài)之中，而一般化則是事物整體的、運動的、深刻的、本質現(xiàn)象的反映。從“簡單”向“一般”的轉化，既是人們認識事物的需要，也是思維深刻程度的體現(xiàn)。這種轉化有時還是雙向的。我們看一個最簡單的例子。一個五年級的小學生曾經問過筆者這樣一個問題：如圖的ABC中，M、N將AB三等分，P將AC 平分，試問AMP的面積是面積的幾分之幾？這個問題對中學生來說當然是一個簡單的問題，但對小學生而言就不知道如何處理了。這時我啟發(fā)他說，如果AC邊上沒有點P，那么AMC的面積是ABC面積的幾分之幾呢？他很快回答是三分之一。于是

52、再進一步啟發(fā)他：那么將AC 邊上點P將AC平分后，AMP是AMC的幾分之幾呢？他馬上明白是二分之一，繼而他就回答出AMP的面積是ABC面積的六分之一。我更進一步，如果將AB邊m等分，再將AC邊n等分，那么以A為頂點的最上面的小三角形又是原三角形面積的幾分之幾呢？這時，他已經毫無困難地、高興地回答是mn分之一。這個問題雖然簡單，但對一個小學生來說他不但知道了這個問題的一般性結論，他還經歷了一次先退后進，先簡單后復雜的思維過程，雖然不能說深刻，但誰又能說對他以后的學習不無幫助呢？在中學數(shù)學的教學中，這樣的例子俯拾皆是，只要我們處處留心，將“簡單問題復雜化”并不是一件困難的事情，但對活躍與豐富我們的

53、數(shù)學課堂教學，提高學生的能力將是一件有意義的事情。 第2節(jié) 課堂教學中的再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維如何在課堂教學中，把所授知識的發(fā)生、發(fā)展、演變的過程納入學生的思維活動之中，充分發(fā)揮學生在學習中的主體作用，使學生在生動、活潑和積極地參與教學的過程中，形成良好的思維品質，這是我們課堂教學的目的之一。在這里，我們認為有兩種不同類型、但又密切相關的思維形式是值得我們在理論上和實踐中認真予以探究的。這就是教學活動中學生的再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維。什么是再現(xiàn)性思維呢？蘇聯(lián)教育學博士3.u卡爾梅科娃認為：“再現(xiàn)性思維的特征是思維較少創(chuàng)造性，” “在這種思維活動的基礎上實現(xiàn)著對主體來說熟悉的結構的課題的解決?！倍?/p>

54、教學過程，即學生的認知過程，實際上都必須遵循在已有知識的基礎上向未知引渡和發(fā)展，所以，再現(xiàn)性思維是學生所以能接受老師講授知識的必要條件。它主要以學生回憶和運用已有知識于學習新知或對實際問題處理為目的，這種思維不但是教學中學生思維的重要形式，而且也是運用最廣泛和最基本的形式，而創(chuàng)造性思維是一種特殊的思維活動。它的結果“會產生對主體來說某種獨特的、原則上新的內容，亦即新穎的程度是高的?！蔽覀兺耆梢哉J為，它的出現(xiàn)意味著思維活動的轉折和高潮，它是再現(xiàn)性思維的一種從量到質的變化和反映，它區(qū)別于再現(xiàn)性思維的顯著之處就在于獲得知識的新穎性和處理方法上的奇異性。數(shù)學教學過程，一般的總是從復習舊的知識，進而引

55、出新的知識，或運用已有知識解決新的問題。從思維過程來看，它應該遵循從再現(xiàn)性思維（低級）到創(chuàng)造性思維（高級）的程序。甚至可以說，創(chuàng)造性思維是再現(xiàn)性思維發(fā)展到“極點” 的狀況。對我們老師來說，必須研究的是這兩者之間的相互關系以及誘發(fā)的因素。無疑，在處理一個新的問題時，原有的知識與客觀所提出問題的“不協(xié)調性” 及主體所熟悉的知識和方法不足以保證他成功，就可以促使創(chuàng)造性思維活躍起來。這種思維能促進新知識、新方法的誕生，形成特定的結果。1、氛圍與情境是創(chuàng)造性思維產生的土壤一個善于啟發(fā)和誘導的教師，往往十分注重在教學中為學生的創(chuàng)造性活動設置最佳的情境和最能調動積極因素的氛圍，以助學生實現(xiàn)由已知向新知過渡和

56、跳躍，沖破固有習慣、經驗所筑成的屏障，在相對“獨立”的條件下，誘發(fā)創(chuàng)造的欲望，達到“發(fā)現(xiàn)”和掌握知識的目的。例如，在復數(shù)三角形式的概念教學中，我們可以設計如下的教學過程：復數(shù)的三角形式是在復數(shù)的代數(shù)形式，向量形式和復平面上的點的對應關系及四則運算之后出現(xiàn)的內容。這些知識即是學習三角形式的已有基礎和起點。為了引出課題，可以讓學生計算，進而計算。顯然，第一個問題，學生根據(jù)代數(shù)形式及運算法則不難得出結果；第二個問題同樣可以計算，但已經較繁了。而如果指數(shù)改得再大一些（如100），那么學生就有力不從心之感了。此時，學生自然會考慮有無準確和簡捷的計算方法呢？顯然，已有知識無法解決這個問題，因為復數(shù)的代數(shù)形

57、式造成了其運算上的局限性。那么能否突破已有形式的局限，為運算上的合理和簡捷找到新的反映出其本質特征的形式，就迅速地推到學生的面前。這就是為學生思維上的創(chuàng)造性的誘發(fā)設置的情境，我們再引導學生考慮到復平面上的點與復數(shù)的一一對應關系：在確定點時，除坐標形式外，還可以采用什么其他形式呢？此時，學生的思維角度迅速在原有基礎上發(fā)生轉折，成為創(chuàng)造性（構造新形式）的定向活動，課堂空前活躍。他們在觀察和思考后發(fā)現(xiàn)：點P到原點O的距離與射線OP的定向是另一確定點P的形式。我們不能否認，學生的這一創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)正是前述的氛圍與教師“畫龍點睛”作用下的特定產物。由此，通過復數(shù)三角形式的概念教學，使學生的思維經歷了一個由再現(xiàn)性到創(chuàng)造性的過程，對學生思維能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)起到了積極的促進作用。從這里我們可以看出，教師在課堂教學中的引導和情境的設置的適當與否，是教學活動開展深入與否的標志，也是學生創(chuàng)造性思維得以誘發(fā)的必要條件。2、直覺與猜想是創(chuàng)造性思維活動的直接顯示設置創(chuàng)造性思維活動的氛圍與情境，只是創(chuàng)造性思維產生的必要條件。對于學生來說，他們的思維活動在新的情境下，往往是多變和突發(fā)的，特別是再現(xiàn)性思維發(fā)展到“極點”時，更易誘發(fā)成“突變”的情況。這