平面向量的線性運算及練習試題

1、平面向量的線性運算學習過程知識點一：向量的加法(1)定義已知非零向量a，b,在平面內(nèi)任取一點A,作AB=a,BC=b,則向量ACH叫做a與b的和，記作ab,即ab=AB+BC=AC.求兩個向量和的運算，叫做叫向量的加法.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.說明：運用向量加法的三角形法則時，要特別注意“首尾相接”，即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量終點的向量即為和向量.兩個向量的和仍然是一個向量，其大小、方向可以由三角形法則確定.位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.(2)向量加法的平行四邊形法則以點O為起點作向量0Aa,OBb,以OA

2、,OB為鄰邊作UOACB,則以0為起點的對角線所在向量OC就TTT、是a,b的和，記作ab=OC。說明：三角形法則適合于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法則適合于同起點的兩向量求和，但兩共線向量求和時，則三角形法則較為合適力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.iTTT，對于零向量與任一向量a,a00aa(3)特殊位置關系的兩向量的和當向量a與b不共線時，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|；1Mh,a*t，i*itt當a與b同向時，則a+b、a、b同向，且a+b|=|a|+|b|,當a與b反向時，若1a|>|b|,則a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a

3、|-|b|;若|a|<|b|,則a+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|.(4)向量加法的運算律11l-1向量加法的交換律：a+b=b+a-<HT-»-»向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+C)知識點二：向量的減法(1)相反向量：與a長度相同、方向相反的向量.記作a。i-i-I-(2)向量a和-a互為相反向量，即-(-a).零向量的相反向量仍是零向量.I-I-I-I-t任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0.hTTTTTtt如果向量a，b互為相反向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0.TTTT(3)向量減法的定義：

4、向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.TTTT即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.(4)向量減法的幾何作法hThr節(jié)T_Tf在平面內(nèi)任取一點CU0Aa，OBbiBAab.即ab可以表示為從向量TTb的終點指向向量a的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義.I.T-說明：AB表示ab.強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)rhrf用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b),顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.知識點三：向量數(shù)乘的定義h(1)定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，h記作a,它的長度與方向規(guī)定如下：hh|入a|=|入|a|Thhh當

5、0時，入a的方向與a的方向相同；當0時，入a的方向與a的方向相反.hh當0時，入a=0(2)向量數(shù)乘的運算律根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律：設、為實數(shù)，那么TT入(na)=(入p)a；II(入+p)a=a+hNa;brr入(a+b)=入a+入b.知識點四：向量共線的條件TTT向量a(a0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使b=a.學習結(jié)論(1)兩個向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法則和平行四邊形法則確定，這兩種法則本質(zhì)上是一致的.共線向量加法的幾何意義，為共線向量首尾相連接，第一個向量的起點與第二個向量的終點連接所得到的有向線段所表示的向量.*hh(2)ab

6、可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量(3)實數(shù)與向量不能相加減，但實數(shù)與向量可以相乘.向量數(shù)乘的幾何意義就是幾個相等向量相加.hhhhhh(4)向量a(a°)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使b=a。練習!I-r>HTi-f*例1.已知任意兩個非零向量a，b,作OAab,OBa2b，0Ca3b，試判斷AB、C三點之間的位置關系.解：AB=OB-0A=a+2b(a+b)=b,1'IMl且AC=0c0A=a+3b(a+b)=2b,hAC=2AB.所以，A、B、C三點共線.例2.如圖，平行四邊形ABCD勺兩條對角線相交于卜_h工-h-h-h，國»JAB二

7、3，AD=b，試用a,b表示向量MA,MB,MC,MD解析：AMMC=1(ab),所以:1,；-21一一1；MA-(ab),DMMBMAAB-(ab)所以MD(ba)222例3.一艘船從長江南岸A點出發(fā)以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的流速為向東2km/h.試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數(shù)字)；求船實際航行速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).分析：速度是一個既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解析：如圖，設AD表示船向垂直于對岸行駛的速度，AB表示水流的速度，以AQAB作鄰邊作平彳T四邊形AB

8、CD則AC就是船實際航行的速度.在RtABC中，|AB|=2,|BC|=5,-aC|AC|=AB2BC-252府5.4/5_:tan/CA氏，.CAB682答：船實際航行速度的大小約為5.4km/h,方向與水的流速間的夾角為約為68°.1.(2006上海理)如圖，在平彳T四邊形ABCD,下列結(jié)論中錯誤的是()(A)AB=DC；(C)AB-AD=BD；2.(2007湖南文)若。E、(B)AD+AB=AC；(D)AD+CB=0.F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()A.EFOFOEB.EFC.EFOFOED.EF3. (2003遼寧)已知四邊形ABCD菱形,()A.(ABAD),

9、(0,1)C. (ABAD),(0,1)OFOEOFOE點P在對角線AC上(不包才端點A、C),則AP2B.(ABBC),(0,看)_.2、D. (ABBC),(0,)2CB0,4.(2008遼寧理)已知O,AB是平面上的三個點，直線AB上有一點C,滿足2AC則OC()a.20AObb.Oa2Obc.2oa1OBd.-oa-ob33335. (2003江蘇；天津文、理)O是平面上一定點，ABC是平面上不共線的三個點，ABAC動點P滿足OPOA(?B7AC),0,，則P的軌跡一定通過ABC的1ABAC()(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心6. (2005全國卷n理、文)已知點A(J3,1)

10、,B(0,0),C(>/3,0).設BAC的平分線AE與BC相交于E,那么有BCCE,其中等于()11(A)2(B)-(C)-3(D)237 .設a,b是兩個不共線的非零向量，若向量ka2b與8akb的方向相反，則k=.8 .(2007江西理).如圖，在ABC中，點0是BC的中點，過點0的直線分別交直線ARAC于不同的兩點MN,若AB=mAM*,AC=nAN,則m+n的值為.9 .(2005全國卷I理)ABC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點為H,OHm(0AOBOC),則實數(shù)m=10 .(2007陜西文、理)如圖，平面內(nèi)有三個向量oA、oB、oC,其中oa與0B的夾角為120。，0

11、A與0C的夾角為30。，且|oa|=0B=1,OC=2<2.若OC=OA0B(,R),則的值為例1.B.例2.A.例3.B.(三)基礎訓練：1. C;2.B.3.A.4.A.5.B6.C;7.4_;8.2.9.J10.26.(四)拓展與探究：-1311、D.;12.(,0),(,).22平面向量的線性運算（復習課）復習目標：?1、掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義?2、掌握向量數(shù)乘運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義?3、了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.重,點：向量加、減、數(shù)乘運算及其幾何意義難點：應用向量線性運算的定義、性質(zhì)靈活解決相應的問題一、學案導學自主建構復習

12、1:向量的加法復習2:向量的減法已知向量a和向量b,作向量a+b.已知向量a和向量b,作向量a-b.復習3:向量的數(shù)乘已知向量a,作向量3a和-3a.復習4:平面向量共線定理二、合作共享交流提升(2)ABCBDJ-(3)ABACBDCD自I測回扣目1、填空：（1）ADCA(4)在平行四邊形ABCD中，若AB'AD,iABAD；則BAD2、判斷題：(1)相反向量就是方向相反的向量(2) aBbA0(3) ABOAOB(4) 在abc中，必'有ABBCCA0(5)若ABBCCA0,則A、B、C三點必是一個三角形的三個頂點。3、若OA3OB2OC,則A,B,C三點是否共線三、案例剖析總結(jié)規(guī)律例1:根據(jù)條件判斷下列四邊形的形狀ADBC(2)AD1BC(3)ADBC,且IXB.AD.3(4)0aOcObOD；(o是四邊形所在平面內(nèi)一點)(5)ACabad(6)四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,并且AOOC,DOOB例2、如圖，在OAB中，延長BA到C,使AC=BA在OB上取點D,使BD=OB.DCWOA交于E,設OAa,OBb,請用a,b表示向量OC,DC例3、設？ABCD-邊AB的四等分點中最靠近B的一點為E,對角線BD的五等分點中靠近B的一點為F,求證：E、F、C三點在一條直線上.四、反饋