數(shù)學(xué)極限的求法

1、數(shù)學(xué)極限的求法常見：夾逼準(zhǔn)則，無窮小量的性質(zhì)，兩個(gè)重要極限，等價(jià)無窮小，洛必達(dá)法則，中值定理，定積分，泰勒展開式。后四種不常見。另外求代數(shù)式極限可參見課本P48上。證明極限用定義證。1：利用等價(jià)無窮小代換求極限當(dāng)x趨于0時(shí)等價(jià)，例如xsinxtanxarcsinxarctanxln(1x)eixx1sinxx,tanxx,arcsinxx,1cosx1x2,(1x)a23-x8=81ax,nxxn當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成 g(x)時(shí)(g(x)0),仍有上面的等價(jià)關(guān)系4.xlimx0/.x3(sin)4,.xlimX0 x3(sin-)243xx2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限進(jìn)行恒等變形

2、， 例如分子分母約去趨于零但不等于零的因式;化消除未定式；通分化簡；化無窮多項(xiàng)的和(或積)為有限項(xiàng)。例；求極限成立，例如：當(dāng)x0時(shí),3x3xe3x；ln(1x2)例：求limx04,.xlimx0令2分子分母有理x212T2T2xx111一1xn-LL-limx(4)已知1223(nDn求門.x21(x1)(x1).x12lim-2lim;rlim2解(1)x12x2x1=x1(x1)(2x1)=x12x1=3lim(，D_2)(=K2)limx_1x3(x3)(.1x2)=x3(x3)(1x2)=4lim(3)x1x1lim/2lim/ /：? ?2 2 limx1x1=x1(x1)(xx1

3、)=x1x2x1=-1.1111111-2233443:利用兩個(gè)重要極限公式求極限例：求下列函數(shù)的極限4limlimcoscos-xcosLLn0n2limx3x3lim(1)x0sinxlimxgsin11lim(1(2)x1)xx1x)lim(2)因?yàn)閤n1(n1)n所以limxnn1lim(1)1xcos2n22i(3)lim(xax戶，(a0,a1)x0 xxx,xcos-cosFcosLLcosH-222232n一一 x_x_x,sinxcos-coscosL22223sinxxxxxlimcos-cos)cosFLLcosn2222(3)4.limnsin2nsinlimn2n_s

4、inxlim2nsin 二nOxxcoscos和222cos-x-L23sinx二 x,xLcos2nsinxx=12lim(1、)mlim(1mm=mxim0a(1alim(1x0 xa-xxxa)xx)xaxlimx0利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限?；鸨茰?zhǔn)則m22g(nn22)gmmaim(1xaxx)xa1aeae.lim(1mm229(nn2)m若一正整數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)，有xnyn2n且lim(1m2n-m2)一 x.一cossin2nx2nlimza,limvnax則有xn利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從 Xn的表達(dá)式中， 通常通過放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列力和zn,使得“xnZnx1

5、11例1.nJn21Jn22Jn2n，求xn的極限解：因?yàn)閤n單調(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).n.n.limlim1,x2x2A又因?yàn)閚n-n1limxn1x(2)單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限證明：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來看yn顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。又因?yàn)?V2a3aY2,LL,Yn0求f(x)在x=0的左右極限解:limx01xsin 一x=1limx0_1xsin 一x=1limx0f(x)limf(x)1x01m f(x)1limf(g(x)xx0f(g(%)f(limg(x)li極

6、限號(hào)x嗎0可以與符號(hào)f互換順序。lim例：求xln(1解：令y=lnuu,則(1)x一.u。因?yàn)?nu在點(diǎn)limln(1lxe處連續(xù)limln(1所以 X1)xx可以處理一個(gè)有界函數(shù)和無窮小的乘積是無窮小類的問題。例 lim(x)xxx1lim例：求xsinxx解：因?yàn)閟inx1lim0 xx所以sinxlimxx=09:換元法求極限:當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。例：3xlim-1xlnx解：令 t則1nxln(t1)lim1lim-limt01ln(t1)xlnx01n(t1)二1例I1取lim(m,nx11mxN).解（變量替換法）mn

7、x,則當(dāng)1時(shí), t1t1.于是,1tmtnym(1t)(1tt2(1t)(1tt2tm1)tn1)解（變量替換法）.xt,x,tt2原式 lim(嗎一tt21，lim(tt1六)t11tim(1-)(110:利用中值定理求極限:1:微分中值定理：若函數(shù)f(x)滿足(i)在a，b連續(xù).(ii)在(a,b)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使ff(a)(ba)f()，或)解:sinx(sinxx)cos(xsinx)xsin(sinx)3x(sinxx)cos(xsinx)xlim3=x0 x3cosx1cos0lim2-=x03xsinxlim=x06xlimsixn(10)=n4例2lim:求

8、x0sin(sinx)sinxf(b)f(a)basin(sinx)sinx2:積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);g(x)在a,b上不變號(hào)且可積，則在a,b上至少有一點(diǎn)b使得af(x)g(x)f()bag(x)dx例:nlim4sinnxdx求n0解:啊04sinnxdxlim(sin)n=4n11：利用泰勒展開式求極限泰勒展開式：若f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么f(0)f/(0)xRn(X)R(x)f1)xn1(n1)!cosxlim4x0 x(x2e2其中在0與1之間)cosx解：泰勒展開式2x2!4x4!0(x4)x2212!40(x)x2.一2于是 co

9、sx-e1一 x120(x4)x22cosxelim4所以x0 x4lim=x014-x124x0(x4)11212:利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在 X。附近有定義,Vx,則 Vyf(x。Vx)f(x。)limVylim如果Vx0VxVx0f(xoVx)f(x。)Vx存在，則此極限值就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn) X0的導(dǎo)數(shù)，記為f/(x0).即f,(x0)Vxm0f(x。Vx)f(x。)Vx在這種方法的運(yùn)用過程中。首先要選好f(x)。然后把所求極限。表示成f(x)在定點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)。lim(x)ctg2x解：取f(x)=tg2x.則lim(x萬)x2ctg2x1tg2xlimx2xtg2

10、xtg(2-)lim2-x2x2f(x)f(-)lim-f,(a)2一、(2sec2x)x13:利用定積分求和式的極限利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間a，b上的待定分法(一般是等分)的積分和式的極限。lim例：求n2/2.n1nn222n772n(n1)1解：由于nn22n(n1)2121Un1可取函數(shù)f(x)=1x2區(qū)間為0,1.1,f(x)2上述和式恰好是 1x2在011上n等分的積分和。lim所以LLn212n222nn2(n1)2121Un14：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限n方法首先判定級(jí)數(shù)n1收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限l

11、imnn例：2求n.nlim2n由必要條件知n!n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算；(2)利用兩邊夾法則求極限.=01dxxlim二n利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)n1收斂，則運(yùn)用這個(gè)nn2n!an解：設(shè)nn2n!limn則an1limannn1(n1)(n1)!2n!nnlimn(11)nn=00,0,存在()0,0,當(dāng) 00 ()時(shí)，對(duì)。的任意取值，恒有f(x0cos,y0sin)A，則 f(x,y)f(x,y)的極限為 A A/22、例：求 limxy(xy(xy)xy)(x,y)(0,0)x2y2解：令 xcos,ysinf(cos2-/22、cossin(cossin)r-2_2sin12o112一cos2sin2sin424對(duì)任意的 0,()2yT,當(dāng) 0()時(shí)有f(cossin)-012sin44故(x,J)1m(0