線性回歸方程——非線性方程轉化為線性方程

1、線性回歸方程一一非線性方程轉化為線性方程例1.（2015高考全國卷I）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費？笄口年銷售量?布?？1,2,?,8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.%宣傳費元?i-l46.65636.8289.81.61469108.8表中？方與?，?=H1?_一？?=*?而2，【答案】（I）?=?+?/?適宜作為年銷售量？關于年宣傳費？的回歸方程類型；（n）?=100.6+686?（m）（i）答案見解析；（ii）46.24千元.【解析】（I）由散點圖可以

2、判斷，？?=?+?6適宜作為年銷售量？關于年宣傳費？的回歸方程類型.0.8X%7=2所以2018年該市特別困難的中學生有2800X(1-10%)=2520人,很困難的學生有4200X(1-20%)+2800X10%=3640人一般困難的學生有7000X(1-30%)+4200X20%=5740人.所以2018年的“專項教育基金”的財政預算大約為5740X1000+364OX1500+252OX2000=1624萬.試卷第2頁，總6頁匯8?=1?78,I）根據散點圖判斷，？?=?+?=?+?不？哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；,II）根據（I）

3、的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（III）已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為？?=0.2?-?,根據（II）的結果回答下列問題:（i）年宣傳費？?=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ii）年宣傳費？為何值時，年利潤的預報值最大?附：對于一組數據（?？，？?）（?2,?）,（?）?）其回歸直線？?=?+?砌斜率和截距的最小二乘估計分別為:?=?-?E(?)(?)例2.某地級市共有200000中小學生，其中有7痔生在2017年享受了“國家精準扶貧”政策，在享受“國家精準5:3:2,為進一步幫助扶貧”政策的學生中困難程度分為三個等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數之比為

4、這些學生，當地市政府設立“專項教育基金”，對這三個等次的困難學生每年每人分別補助1000元、1500元、2000元。經濟學家調查發(fā)現，當地人均可支配年收入較上一年每增加？?%一般困難的學生中有3?叫脫貧，脫貧后將不再享受“精準扶貧”政策，很困難的學生中有2?%轉為一般困難，特別困難的學生中有？?專為很困難?，F統(tǒng)計了該地級市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，對數據初步處理后得到了如圖所示的散點圖和表中統(tǒng)計量的值，其中年份？取13時代表2013年，？巧？?(萬元)近似滿足關系式?=?2?2?,其中？?,？為常數。(2013年至2019年該市中學生人數大致保持不變)yIfk工3-6工(

5、y篙i£(七一工)3-¥)231.23.14/57一i其中？?=10g2?=5'日?=1?(I)估計該市2018年人均可支配年收入;(I)求t市2018年的“專項教育基金”的財政預算大約為多少？附：對于一組具有線性相關關系的數據(?,?),(?,?),?,(?(，其回歸直線方程？?=?+?的斜率和截距的最小二乘估計分別為?=與?=?(?：可；?),?=?u?=1(?-?)2皿,22%_217Jr丁2口.6“0加11/3.2p3.5©3.73J【答案】(I)2.8(萬)；(II)1624萬.【詳解】(I)因為？?？1(13+14+15+16+17)=15,所

6、以E?=1(?=(-2)2+(-1)2+12+22=10.5由？?=叫？得？?=10g2?+?所以？二"?也詈?箸=看，啕2?=?1.2-110X15=-0.3,所以？=2-0.3=0.8,所以？?=0.8X2記.當？?=18時，2018年人均可支配年收入？?=0.8X21.8=0.8X3.5=2.8(萬)(n)由題意知2017年時該市享受“國家精準扶貧”政策的學生共200000X7%=14000人般困難、很困難、特別困難的中學生依次有7000人、4200人、2800人，2018年人均可支配收入比2017年增長1=0.1=10%0.8x-0.8x"01例3.近期，某公交公司

7、分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數據如表l所示:表1234567y6_11213466101196根據以上數據，繪制了如右圖所示的散點圖.（1）根據散點圖判斷，在推廣期內，？?=?+?=?（c,d均為大于零的常數哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關于活動推出天數x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），（2）根據（1）的判斷結果及表1中的數據，求y關于x的回歸方程

8、，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次;y£他工嚴62.14L54253550,12347|其中？疔1?=；Z?=1?參考公式：對于一組數據（？,？?），（？,？?）,？?？,?？?），其回歸直線？=?勺斜率和截距的最小二乘估計公式分別一?的？為:?=?/2,?£?禽?？2?=1,【答案】(1)?=?”2,3470【詳解】(1)根據散點圖判斷，？?=?登?1適宜作為掃碼支付的人數？關于活動推出天數？?勺回歸方程類型;(2).?=?r?f?r?,兩邊同時取常用對數得：1?=1?(?5=1?1?設1?=?,.?=1?1?72_=?=1?7?50.12-7X4X1.547.?=

9、4,?=1.54,匯？?？?=140,，l?=J'=1407V2=28=0.25,工？7?=1一把樣本中心點(4,1.54)代入？?=1?1?#:l?N0.54,.?=0.54+0.25?，l?=0.54+0.25?.?關于？的回歸方程式：？=100.54+0.25?=100.54X(100.25)?=3.47X100.25?把？?=8代入上式，？?=3.47X102=347,活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470,例4.近年來，隨著我國汽車消費水平的提高，二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展.某汽車交易市場對2017年成交的二手車交易前的使用時間（以下簡稱“使用時間”）進行統(tǒng)計，得到頻率分

10、布直方圖如圖1.OD©H.H7WLC-I!印it用動脈第（1）記“在2017年成交的二手車中隨機選取一輛，該車的使用年限在（8?16”為事件?試彳t計？的概率；（2）根據該汽車交易市場的歷史資料，得到散點圖如圖2,其中？?單位：年）表示二手車的使用時間，？單位：萬元）表示相應的二手車的平均交易價格.由散點圖看出，可采用？?=e?+?為二手車平均交易價格？長于其使用年限？的回歸方程，相關數據如下表（表中？方ln?2?=-040=1?,X*1010£-110小二hl7PL*3014479.7*SBBP根據回歸方程類型及表中數據，建立？長于？酌回歸方程;該汽車交易市場對使用8年以

11、內（含8年）的二手車收取成交價格4%的傭金，對使用時間8年以上（不含8年）的二手車收取成交價格10%的傭金.在圖1對使用時間的分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值.若以2017年的數據作為決策依據，計算該汽車交易市場對成交的每輛車收取的平均傭金.附注：對于一組數據（？,？?）,（？,？?）,？（？?,？?!,其回歸直線？?=?+?勒斜率和截距的最小二乘估計分別為儂£?=1?%?奢?=?參考數據：e2.9519.1?氐75=5.75?8551.737?e0.650.527?e1.85=0.16,【答案】（1）0.40;（2）?=e3.55。3?0.29萬元【詳解】（1）由頻率分布

12、直方圖得，該汽車交易市場2017年成交的二手車使用時間在（8,12的頻率為0.07X4=0.28,在（12,16的頻率為0.03X4=0.12，所以？=0.28+0.12=0.40,（2）由？?=?+?ln?=?+?即？鐵于？酌線性回3方程為?=?+?L10q工？?=1?10?豁79.75-10X5.5X1.9q今因為？?=?1=12.丁="c"怠=-0.3,?=?-沏?？1.9-（-0.3）X5.5=3.55工？?=渴?10?吊385-10X5.52''，所以？長于？的線性回D3方程為？?=3.55-0.3?即？長于？的回歸方程為昨e3.55-0.3?根據

13、中的回歸方程?=e3.55-。3?和圖1,對成交的二手車可預測：使用時間在（0,4的平均成交價格為e3.55-0.3X2=e2.9519.1,對應的頻率為0.2,使用時間在（4,8的平均成交價格為e3.55-0.3X6=e1.75-5.75,對應的頻率為0.36,使用時間在（8,12的平均成交價格為e3.55-0.3x10=e0.55=1.73,對應的頻率為0.28,使用時間在（12,16的平均成交價格為e3-55-0-3x14=e-0.650.52,對應的頻率為0.12,使用時間在（16,20的平均成交價格為e3-55-0-3x18=e-1-850.16,對應的頻率為0.04所以該汽車交易市

14、場對于成交的每輛車可獲得的平均傭金為(0.2X19.1+0.36X5.75)X4%+(0.28X1.73+0.12X0.52+0.04X0.16)X10%=0.290920.29萬元例5.菜農定期使用低害殺蟲農藥對蔬菜進行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農藥，食用時需要用清水清洗干凈，下表是用清水x（單位：千克）清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農藥y（單位：微克）的數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.y（微克）20x（千克）O1?82匯（?-?=18匯（？0?）2?=18匯（？?？（？?？?=18匯（？0?（?？?=13381110374121-751其

15、中?=?（I）根據散點圖判斷，？=?芍吟?+?哪一個適宜作為蔬菜農藥殘量？藥用水量？?勺回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（n）若用解析式？?=?+?為蔬菜農藥殘量？有用水量？的回歸方程，求出？巧？的回歸方程.（c,d精確到0.1）（出）對于某種殘留在蔬菜上的農藥，當它的殘留量低于20微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜，請估計需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?（精確到0.1,參考數據卷=2.236）附：參考公式：回歸方程昨?+【答案】（1）見解析；（2）?=?叩斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：肉.器？?%?在?/?=（?務？?,-2.0?2+60.0;（3）需要用4.5千克的

16、清水清洗一千克蔬菜（I）根據散點圖判斷？=?+?宜作為蔬菜農藥殘量哂用水量？的回歸方程類型;（n）令？?=?,先建立y關于w的線性回歸方程，由于處岑?7）（?曾？二穹-心-2.0.?=38+2X11=60.學?=*?M374，.y關于w的線性回歸方程為？=-2.0?+60.0,.y關于x的回歸方程為?=-2.0?2+60.0.（出）當？?<20時，-2.0?2+60.0<20,?>2v5=4.5.為了放心食用該蔬菜，估計需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜。L8（II）令？=V?先建立？長于？勺線性回歸方程，由于於?=8_?：.=曙=68,£?=<?-?）21.6.?=563-68X