2017年度中考數(shù)學(xué)（解直角三角形）押軸題專練2

1、解直角三角形的押軸題解析匯編二 解直角三角形13. （2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令營活動中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達B地，在沿北偏東30方向走，恰能到達目的地C（如圖），那么，由此可知B、C兩地相距_m.【解題思路】由題意可知CAB=90-60=30，ABC=90+30=120，C=30，三角形ABC為等要三角形，故AB=BC=200【答案】200【點評】本題考察了方位角以及等腰三角形中等角對等邊這一性質(zhì).難度中等.18、（2011山西，18，3分）如圖，已知AB=12，ABBC于B，ABAD于A，AD=5，BC=10，點

2、E是CD的中點，則AE的長是 ?！窘忸}思路】延長AE交BC于F，ABBC，ABAD，ADBC，又E是CD的中點，CF=AD=5，BC=10。，BF=5，在RTABF中AB=12、BF=5，所以AF=13，所以AE=【答案】【點評】本題主要考察幾何圖形的計算牽涉到三角形全等、勾股定理等重要幾何知識，延長AE交BC于F的輔助線是本題的關(guān)鍵點。難度中等。6（2011廣西桂林，6，3分）如圖，已知RtABC中，C90，BC=3, AC=4，則sinA的值為（ ）A B C D【解題思路】由勾股定理知AB5，由三角函數(shù)定義知【答案】c【點評】本題考查勾股定理、三角函數(shù)定義等，難度較小16（2011內(nèi)蒙古

3、烏蘭察布，16，4分）某廠家新開發(fā)的一種電動車如圖，它的大燈A射出的光線AB,AC 與地面MN 所夾的銳角分別為 8和 10，大燈A與地面離地面的距離為lm則該車大燈照亮地面的寬度BC是 m .（不考慮其它因素）【解題思路】過點A作ADMN于D，則BC=BD-CD,而BD、CD分別在直角三角形ABD、ACD中求出：，則BC=BD-CD=【答案】【點評】本題主要考查了直角三角形的邊角關(guān)系及其應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，考查了考查考生應(yīng)用知識解決問題的能力.難度中等. 9. （2011山東煙臺，9,4分）如果ABC中，sinA=cosB=，則下列最確切的結(jié)論是（ ）A. ABC是直角三角

4、形 B. ABC是等腰三角形C. ABC是等腰直角三角形 D. ABC是銳角三角形【解題思路】根據(jù)sinA= ，得到A=450，cosB=，得到B=450，所以C=1800-450-450=900，所以ABC是等腰三角形，選擇C?！敬鸢浮緾【點評】特殊角的三角函數(shù)值大家可以根據(jù)特殊三角形的形狀，來識記三角函數(shù)值。本題難度低。10（2011四川綿陽10，3）周末，身高都為1.6米的小芳、小麗來到溪江公園，準備用她們所學(xué)的知識測算南塔的高度如圖，小芳站在A處測得她看塔頂?shù)难鼋菫?5，小麗站在B處測得她看塔頂?shù)难鼋菫?0她們又測出A、B兩點的距離為30米假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為10cm，則可計算出塔

5、高約為(結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732) （ ）A36.21米B37.71米C40.98米D42.48米【解題思路】如下圖，ABEF30米，CD1.5米，GDE90，DEG45，DFG30設(shè)DGx米，在RtDGF中，tanDFG，即tan30，DFx在RtDGE中，GDE90，DEG45，DEDGx根據(jù)題意，得xx30，解得x40.98CG40.98+1.542.48(米)【答案】D【點評】分別在兩個直角三角形中，設(shè)出未知數(shù)，由銳角三角函數(shù)把與已知線段在同一條直線上的兩條未知線段表示出來，然后構(gòu)建方程，解方程即可求出未知線段的長10（2011山東日照，10，4分）在RtA

6、BC中，C=90，把A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作cotA=則下列關(guān)系式中不成立的是 （A）tanAcotA=1 （B）sinA=tanAcosA （C）cosA=cotAsinA （D）tan2A+cot2A=1【解題思路】因為tanA=，所以tanAcotA=1【答案】A【點評】本題主要考察了初高中知識的銜接，余切作為高中的必學(xué)內(nèi)容在初中階段和三角函數(shù)概念相類似，因此學(xué)起來比較容易，本題就是考察的同學(xué)們辨別能力的應(yīng)用。2、（2011四川樂山，2，3分）如圖（1），在44的正方形網(wǎng)格中，tan= (A) 1 (B) 2 （C） （D）【解題思路】根據(jù)網(wǎng)格的特點：設(shè)每一小正方形的邊長為1

7、，可以確定的對邊為2，鄰邊為1，然后利用正切的定義tan=的對邊/的鄰邊=2.故A、C、D不正確?！敬鸢浮緽?！军c評】網(wǎng)格問題是近幾年來中考的熱點，它考查了學(xué)生的讀圖、析圖的能力，充分利用網(wǎng)格的特點，構(gòu)建適當?shù)膱D形，確定圖形相應(yīng)的邊長或角的度數(shù)，根據(jù)題目條件要求列式計算。難度中等9. （2011山東濱州，9，3分）在ABC中,C=90, A=72,AB=10,則邊AC的長約為(精確到0.1) B.9.5 C【解題思路】解直角三角形，已知一個銳角和斜邊求鄰邊，用余弦。，解得：=3.093.1【答案】C【點評】本題主要是解直角三角形的問題，關(guān)鍵是畫出圖形找到可以利用的三角函數(shù)，難度較小。10 （2

8、011山東濰坊，10，3分）身高相等的四名同學(xué)甲、乙、丙、丁參加風(fēng)箏比賽，四人放出風(fēng)箏的線長、線與地面的夾角如下表（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），則四名同學(xué)所放的風(fēng)箏中最高的是（ ）同學(xué)甲乙丙丁放出風(fēng)箏線長140m100m95m90m線與地面夾角30454560A甲 B乙 C丙 D丁 【解題思路】甲同學(xué)的風(fēng)箏高度為：140sin30=70(m)；乙同學(xué)的風(fēng)箏高度為100sin45707(m)；丙同學(xué)的風(fēng)箏高度為：95sin45du3672(m)；丁同學(xué)的風(fēng)箏高度為：90sin60779(m)，所以丁的風(fēng)箏最高【答案】D【點撥】此題考查了解直角三角形的知識解決此題的關(guān)鍵是建構(gòu)以放出風(fēng)箏線、風(fēng)箏的高、線與

9、地面的夾角所組成的直角三角形難度中等ABC（山東臨沂 第13題 3分）如圖，ABC中，cosB,sinC,AC5,則ABC的面積是（ ）A. B.12 C.14 D.21解題思路：過點A作ADBC于點D,在RtACD中，由sinC,求出AD=3，根據(jù)勾股定理得CD=4；在RtABD中，由cosB,得B=450，AD=BD=3，求得BC=3+4=7，由三角形的面積公式得ABC的面積是：73=.故選A.解答：選A.點評：本題考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面積等知識.解直角三角形的問題通常都是通過作高線來解決，然后運用三角函數(shù)關(guān)系求出三角形的各邊長.本題難度較小.16. （2011山東濱州，

10、16，4分）在等腰ABC中，C=90則tanA=_.【解題思路】由題意可得：A=45，tanA=tan45=1【答案】1【點評】考察對銳角三角函數(shù)的理解，有圖可知：tanA=1.難度較小。ACDBEFG20(本題滿分10分)（2011山東德州，20，10分）某興趣小組用高為1.2米的儀器測量建筑物CD的高度如示意圖，由距CD一定距離的A處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為，在A和C之間選一點B，由B處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為測得A，B之間的距離為4米，試求建筑物CD的高度【解題思路】建筑物CD與EF的延長線交于點G，從而構(gòu)成兩個直角三角形，然后利用銳角三角函數(shù)的定義，列方程解決，解決本題的關(guān)

11、鍵是構(gòu)造直角三角形【答案】解：設(shè)建筑物CD與EF的延長線交于點G，DG=x米在中,，即 在中，即， 解方程得：=19.2答：建筑物高為20.4米【點評】解直角三角形是每年中考的必考知識點之一，主要考查直角三角形的邊角關(guān)系及其應(yīng)用，此類問題的一般解法是通過添加輔導(dǎo)線構(gòu)造直角三角形進行求解，問題難度一般不大19 （2011山東濰坊，19，9分）今年“五一”假期，某數(shù)學(xué)活動小組組織一次登山活動他們從山腳下A點出發(fā)沿斜坡AB到達B點，再從B點沿斜坡BC到達山頂C點，路線如圖所示斜坡AB的長為1040米，斜坡BC的長為400米，在C點測得B點的俯角為30已知A點海拔121米，C點海拔721米（1）求B點

12、的海拔；（2）求斜坡AB的坡度【解題思路】（1）過點C作CFAM，F(xiàn)為垂足，過點B作BEAM，BDCF，構(gòu)建直角三角形BCD，求得CD長，進而確定B點的海拔；（2）利用（1）的結(jié)論，求得BE長，在RtABE中，；利用勾股定理求得AE，進而確定斜坡AB的坡度【答案】解：（1）如圖所示，過點C作CFAM，F(xiàn)為垂足，過點B作BEAM，BDCF，E、D為垂足在C點測得B點的俯角為30，CBD=30，又BC=400米，CD=400sin30=400=200（米）B點的海拔為721200=521（米）（2）BE=DF=CFCD=521121=400（米），AB=1040米，（米）AB的坡度，所以斜坡AB的

13、坡度為1：2.4【點撥】本題考查了解直角三角形的知識解直角三角形是每年中考的必考知識點之一，主要考查直角三角形的邊角關(guān)系及其應(yīng)用，難度一般不會很大，本題將解直角三角形與仰角、俯角結(jié)合起來，主要考查考生應(yīng)用知識解決問題的能力，解題關(guān)鍵是正確建立直角三角形邊角關(guān)系難度中等第17題圖BClDA17（廣東省，17，7分）如圖，小明家在A處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路. 現(xiàn)新修一條路AC到公路l. 小明測量出ACD=30，ABD=45，BC=50m. 請你幫小明計算他家到公路l的距離AD的長度（精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：，）.【解題思路】由題意可知AD=DB，在RtACD中

14、，把DC、AD作為直角邊，解這個直角三角形。【答案】因為在RtABD中，ABD=45，所以AD=DB，設(shè)AD=，在RtACD中，=，=68.3【點評】解直角三角形是每年中考的必考知識點之一，主要考查直角三角形的邊角關(guān)系及其應(yīng)用，難度一般不會很大，本題主要考查考生應(yīng)用知識解決問題的能力，很容易入手，容易出錯的地方是近似值的取舍，難度中等（山東 濟寧）67.536.9APB第18題18、（6分）日本福島出現(xiàn)核電站事故后，我國國家海洋局高度關(guān)注事態(tài)發(fā)展，緊急調(diào)集海上巡邏的海檢船，在相關(guān)海域進行現(xiàn)場監(jiān)測與海水采樣，針對核泄漏在極端情況下對海洋環(huán)境的影響及時開展分析評估。如圖，上午9時，海檢船位于A處，

15、觀測到某港口城市P位于海檢船的北偏西67.5方向，海檢船以21海里/時 的速度向正北方向行駛，下午2時海檢船到達B處，這時觀察到城市P位于海檢船的南偏西36.9方向，求此時海檢船所在B處與城市P的距離？（參考數(shù)據(jù)：,）【解題思路】此題作PCAB構(gòu)造RtAPC和RtPCB，通過公共邊PC=x將未知量BC和CA通過BC+CA=AB(已知)來求解！最后由sinB=求出PB?！敬鸢浮拷猓哼^點P作PCAB,垂足為C，設(shè)PC=x海里在RtAPC中，tanA= AC= = 2分 67.536.9ACPB第18題在RtPCB中，tanB= BC= = 4分 AC+BC=AB=215 +=215 ,解得 x=6

16、0sinB= PB= = 60 =100(海里)海檢船所在B處與城市P的距離為100海里。 6分【點評】此題是解直角三角形中典型的底部不能到達問題。構(gòu)造直角三角形，通過公共邊PC 為“中介”搭橋，將未知量BC和CA通過BC+CA=AB(已知)來求解！難度中等。21（2011山東聊城 21，8分）（本題共8分）被譽為東昌三寶之首的鐵塔，始建于北宋時期，是我市現(xiàn)存的最古老的的建筑，鐵塔由塔身和塔座兩部分組成（如圖1）。為了測得鐵塔的高度，小瑩利用自制的測角儀，在點測得塔頂?shù)难鼋菫?，在點測得塔頂?shù)难鼋菫椋阎獪y角儀的為1.6米，的長為6米，所在的水平線于點（如圖2），求鐵塔的高（結(jié)果精確到0.1米）

17、21題圖1【解題思路】在中，設(shè)出的長度，表示出的長度，再在中根據(jù)和的關(guān)系，運用三角函數(shù)解決。【答案】解：在中，設(shè)米，,。在中，即。又,則(米)。即鐵塔的高約為5.4米?！军c評】解直角三角形是每年中考的必考知識點之一，主要考查直角三角形的邊角關(guān)系及其應(yīng)用，難度一般不會很大。本題的關(guān)鍵找到兩個直角三角形的相關(guān)量，運用三角函數(shù)進行解決。22（2011四川眉山，22，8分）在一次數(shù)學(xué)課外活動中，一位同學(xué)在教學(xué)樓的點A處觀察旗桿BC，測得旗桿頂部B的仰角為30，測得旗桿底部C的俯角為60，已知點A距地面的高AD為15cm求旗桿的高度【解題思路】過A作AEBC，構(gòu)造兩個直角三角形，然后利用解直角三角形的知

18、識解答【答案】過A作AEBC，垂足為E，由題意可知，四邊形ADCE為矩形，EC=AD=15，在RtAEC中，tanEAC=，AE=（米），在RtAEB中，tanBAE=，BE=AEtanEAB=tan30=5（米），BC=CE+BE=20（米）故旗桿高度為20米【點評】此題考查了解直角三角形的知識，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵難度中等23.（山東省威，23,10分）一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，ABCF, F=ACB=90, E=45, A=60,AC=10，試求CD的長. 【解題思路】過點B作FC的垂線段，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角度，解直角三角形，求的線段CD的長

19、度.【答案】解：過B點作BMFD于點M，在ACB中，ACB=90, A=60,AC=10，ABC=30,BC=ACtan60=10,ABCF, BCM=30,BM=BCsin30=10=5,CM=BCcos30=10=15, 在EFD中，F(xiàn)=90, E=45,EDF=45, DM=BM=5,CD=CM-DM=15-5.【點評】本題主要考察解直角三角形的內(nèi)容，包含了平行線的性質(zhì)等知識. 過點B作FC的垂線段BM，在直角三角形ABC中求得BC的長，在直角三角形BCM中得到CM、BM的長，在直角三角形BMD中求出DM的長，由CD=CM-DM得到結(jié)果.難度中等.26 （2011四川廣安，26，9分）某

20、校初三課外活動小組，在測量樹高的一次活動中，如圖7所示，測得樹底部中心A到斜坡底C的水平距離為8. 8m在陽光下某一時刻測得1米的標桿影長為0.8m，樹影落在斜坡上的部分CD= 3.2m已知斜坡CD的坡比i=1：，求樹高AB。（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.7）_D_C_B_Ai=1：圖7【解題思路】化特殊為一般，利用轉(zhuǎn)化的思想進行解題【答案】解：如圖，延長BD與AC的延長線交于點E，過點D作DHAE于HCD=3.2 DH=1.6 CH= HE=1.28 AB=16_D_C_B_Ai=1：_H_E【點評】本題屬應(yīng)用題，主要考察了坡度比及相似三角形的應(yīng)用 （2011四川內(nèi)江，20，10分）放風(fēng)箏是

21、大家喜歡的一種運動星期天的上午小明在大洲廣場上放風(fēng)箏他在A處時不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹的樹梢上，風(fēng)箏固定在D處此時風(fēng)箏線AD與水平線的夾角是30為了便于觀察，小明迅速向前移動邊收線到達了離A處7米得B處，此時風(fēng)箏線BD與水平線的夾角是45已知點A、B、C在一條直線上，ACD=90，請你求出此時小明收回的風(fēng)箏線的長度是多少（本題中風(fēng)箏線均視為線段，1.414，1.732，結(jié)果精確地1米） 【思路分析】在兩個直角三角形中分別用DC表示出BC、AC，根據(jù)AB=7，AB+BC=AC列關(guān)于DC的方程求解DC，再通過解兩個直角三角形求解AD、BD，二者差即收回風(fēng)箏線長度【答案】解：在RtDBC中，DBC=

22、45，BC=DC；在在RtDAC中，DAC=30，AC= DCAB=7，AB+BC=AC7+DC= DC，DC9.6（米）BD= DC13.6（米），AD=2 DC=19.2（米）AD-BD6（米），即小明收回的風(fēng)箏線的長度是6米【點評】在含有多個直角三角形的題目中，如果有能解的直角三角形則選用恰當?shù)娜呛瘮?shù)求出有關(guān)的量，為解其他直角三角形提供條件；如果所有直角三角形均不能直接解，則用含有未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量運用方程思想來解答21. （滿分8分）（2011山東煙臺，21,8分）綜合實踐課上，小明所在小組要測量護城河的寬度。如圖所示是護城河的一段，兩岸ABCD，河岸AB上有一排大樹，相鄰兩棵

23、大樹之間的距離均為10米.小明先用測角儀在河岸CD的M處測得=36，然后沿河岸走50米到達N點，測得=72。請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)幫小明他們算出河寬FR（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）.（參考數(shù)據(jù)：sin 360.59，cos 360.81，tan360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan723.08） ABCDEFMNR【解題思路】過點F作FGEM交CD于點G，易證四邊形ENGF是平行四邊形再在直角FNR中，利用三角函數(shù)求解?！敬鸢浮拷猓哼^點F作FGEM交CD于G.則MGEF20米. FGN36.GFNFGN723636.FGNGFN，F(xiàn)NGN502030（米）.在RtFNR中，F(xiàn)R

24、FNsin30sin72300.9529（米）.【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用。不規(guī)則圖形可以通過作平行線轉(zhuǎn)化為平行四邊形與直角三角形的問題進行解決。本題難度中等。24、（2011山西，24，7分）如圖，某校綜合實踐活動小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭前得臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺階下的C點處，測得樹頂端D的仰角為60。已知A點的高度AB為2米，臺階AC夫人坡度為1：（即AB：BC=1：）且B、C、E三點在同一條直線上，請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度（測傾器的高度忽略不計）?！窘忸}思路】本題的實質(zhì)就是求線段DE的長度，過點

25、A作AFDE于F，可設(shè)DE=x，在RTAFD中可求出AF=，在RTABC中可求出BC=，在RTCDE中可求出CE=，AF=BE=BC+CE，=+，所以x=6。.【答案】解：如圖過點A作AFDE于F， 則四邊形ABEF為矩形。 AF=BE，EF=AB=2，設(shè)DE=x， 在RTCDE中，CE= 在RTABC中，因為=，AB=2 BC=在RTAFD中，DF=DEEF=x2，AF=AF=BE=BC+CE，=+解得x=6答：數(shù)DE的高度為6米。【點評】本題主要考察三角函數(shù)的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的應(yīng)用、特殊三角函數(shù)值、勾股定理等做此類題的關(guān)鍵在于熟練的運用三角函數(shù)來表示直角三角形的各邊，最易出錯的地方弄混邊

26、角之間的關(guān)系。難度中等。23（2011，天津，23， 8分）某校興趣小組坐游輪拍攝海河兩岸美景，如圖，游輪出發(fā)點A與望海樓B的距離為300m，在A處測得望海樓B位于A的北偏東30方向，游輪沿正北方向行駛一段時間后到達C，在C處測得望海樓B位于C的北偏東60方向，求此時游輪與望海樓之間的距離BC（取173，結(jié)果保留整數(shù)）。【解題思路】：對照示意圖，明確題意，先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再進一步歸結(jié)為解直角三角形，自然會作出垂線段。【答案】：根據(jù)題意，AB=300；如圖，過點B作BDAC，交AC延長線于點D；在RtADB中，BAD=30，BD=AB=300=150，在RtCDB中，sinDCB=，

27、BC=173；答：此時游輪與望海樓之間的距離約為173m?！军c評】：本題著重考察了解直角三角形的相關(guān)知識，化實際問題為數(shù)學(xué)問題、綜合推理論證能力。因題型常見，難度中等。19、（2011杭州，19，6分）在ABC中，AB=, AC=,BC=1. (1) 求證：A30;(2) 將ABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積?！窘忸}思路】（1）用勾股定理逆定理判定ABC為直角三角形，再求出sinA與sin30進行比較。（2）利用圓錐的側(cè)面積和底面積公式計算表面積?！敬鸢浮拷猓海?），是直角三角形，且C=900.，. （2）所求幾何體的表面積為【點評】本題主要考查勾股定理的逆定理、銳角的三角函數(shù)

28、值、有關(guān)圓錐的計算。難度中等21（2011浙江，21，10分）,圖1為已建設(shè)封頂?shù)?6層樓房和其塔吊圖，圖2為其示意圖，吊臂AB與地面EH平行，測得A點到樓頂D點的距離為5m，每層樓高3.5m，AE,BF,CH都垂直與地面。 （1）求16層樓房DE的高度；（2）若EF=16m，求塔吊的高CH的長（精確到0.1m）【解題思路】本題是解直角三角形類問題，本題的關(guān)鍵是在ACG中已知A，CBG，AB。求CG的長答案：（1）DE=3.516=56m(2) ACG中.tan15=,tan35=,則AG=，BG= ，AB=16=CG（）?？傻肅G=6.945，所以CH=AD+DE+CG=5+56+6.94567.9m?！军c評】本題題型常見方法典型，難度中等21（2011浙江臺州21，10分）丁丁制作一個形如圖1的風(fēng)箏，想在一個矩形材料中裁剪出如圖2陰影所示的梯形翅膀，請你根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)幫丁丁計算出BE、CD的長度（精確到個位，）【