【KS5U解析】吉林省長春市朝陽區(qū)實驗中學2019-2020學年高二上學期期末考試數(shù)學（理）試題 Word版含解析

1、吉林省實驗中學2019-2020學年度上學期高二年級期末考試數(shù)學（理）試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.有不同的語文書9本，不同的數(shù)學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學科的書2本，則不同的選法有a. 21種b. 315種c. 153種d. 143種【答案】d【解析】由題意，選一本語文書一本數(shù)學書有9×7=63種，選一本數(shù)學書一本英語書有5×7=35種，選一本語文書一本英語書有9×5=45種，共有63+45+35=143種選法.故選d.2.把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機分給甲、乙

2、、丙、丁4個人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是a. 對立事件b. 互斥但不對立事件c. 不可能事件d. 以上都不對【答案】b【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)兩個事件能否同時發(fā)生來判斷出它們是不是互斥事件，然后通過兩個事件是否包含了所有的可能事件來判斷它們是不是對立事件，最后通過兩個事件是否可能出現(xiàn)來判斷兩個事件是否是不可能事件，最后即可得出結(jié)果，【詳解】因為事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件，因為事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不包含所有的可能事件，所以它們不是對立事件，所以它們是互斥但不對立事件，故選b【點睛】本題考查了事件

3、的關系，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的事件，而對立事件是指概率之和為1的互斥事件，不可能事件是指不可能發(fā)生的事件，考查推理能力，是簡單題3.從甲口袋內(nèi)摸出1個白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出1個白球的概率是，如果從兩個口袋內(nèi)各摸出一個球，那么是 （ ）a. 2個球不都是白球的概率b. 2個球都不是白球的概率c. 2個球都是白球的概率d. 2個球恰好有一個球是白球的概率【答案】a【解析】考點：等可能事件的概率分析：兩個球不都是白球的對立事件是兩個球都是白球，從甲口袋內(nèi)摸出1個白球和從乙口袋內(nèi)摸出1個白球是相互獨立事件，根據(jù)對立事件和相互獨立事件的公式得到結(jié)果解：兩個球不都是白球的對立事件是兩個球都是白

4、球，兩者是相互獨立的，兩個球都是白球的概率p=×=，兩個球不都是白球的概率是1-=，故選a4.若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點p(m，n)在直線xy4上的概率是()a. b. c. d. 【答案】d【解析】試題分析：利用分布計數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出. 解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個結(jié)果出現(xiàn)的機會都是等可能的，點p（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點p（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12

5、,故選d考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎題5.如圖，正方形abcd內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是a. b. c. d. 【答案】b【解析】設正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選b.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計

6、算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件a區(qū)域的幾何度量，最后計算.6.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由正態(tài)分布的特征得，選a.7.已知隨機變量，若，則隨機變量的均值及方差分別為（ ）a. 和b. 和c. 和d. 和【答案】b【解析】【分析】先利用二項分布的數(shù)學期望和方差公式求出和，然后利用數(shù)學期望和方差的基本性質(zhì)求出和的值.【詳解】，由二項分布的數(shù)學期望公式得，由二項分布的方差公式得，則，故選b.【點睛】本題考查二項分布的數(shù)學期望與方差的計算，同時也考查了數(shù)學期望與方差的性質(zhì)，解題的關鍵在于利用二項分布的期望與方差的公式進行計算，屬于中等題.8.如圖是某體

7、育比賽現(xiàn)場上評委為某位選手打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是( )a. 5和1.6b. 85和1.6c. 85和0.4d. 5和0.4【答案】b【解析】【分析】去掉最低分分，最高分分，利用平均數(shù)的計算公式求得，利用方差公式求得.【詳解】去掉最低分分，最高分分，得到數(shù)據(jù)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，.【點睛】本題考查從莖葉圖中提取信息，并對數(shù)據(jù)進行加工和處理，考查基本的運算求解和讀圖的能力.9.在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為4求得【詳解】解：對于，對于1

8、03r4，r2，則x4的項的系數(shù)是c52（1）210故選點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題. 二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.10.在平面直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點，在軸上，離心率為.過的直線交于，兩點，且的周長為，那么橢圓的方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析】根據(jù)題意，的周長為，即，結(jié)合橢圓的定義，有，即可得的值；又由橢圓的離心率

9、，可得的值，進而可得的值；由橢圓的焦點在軸上，可得橢圓的方程【詳解】根據(jù)題意，的周長為，即，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有，即，橢圓離心率為，即，則，所以，故，則，則橢圓的方程為.故選：a.【點睛】本題考查橢圓的標準方程和簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎題.11. 下列說法中，正確的個數(shù)是（ ）（1）在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等. （2）如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這一組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不改變.（3）一個樣本的方差s2=（x一3）2+（x3）2+ +（x一3）2，則這組數(shù)據(jù)總和等于60.（4）數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為.a. 4b. 3c. 2d. 1【答案】a【解析】試

10、題分析：對于（1），根據(jù)頻率分布直方圖，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，故正確；對于（2），根據(jù)平均數(shù)和方差的意義，一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不改變；對于（3），由s2=（x一3）2+（x3）2+ +（x一3）2知樣本容量為20，平均數(shù)為3，故總和為60；對于（4），由方差的定義知，數(shù)據(jù)的方差為數(shù)據(jù)的方差的4倍，故選a.考點：統(tǒng)計的有關概念12.若直線與曲線恰有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】試題分析：由題意知，曲線的圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成，故直線與曲線恰有三個公共點的臨界直線有：當直線過點時，

11、即，故；當直線與橢圓的上部分相切，即，即時，此時，故實數(shù)的取值范圍是，選項a為正確答案考點：1、直線與圓錐曲線的位置關系；2、數(shù)形結(jié)合的思想【易錯點晴】本題主要考查的是直線與圓錐曲線的位置關系，屬于中檔題；要求滿足條件：直線與曲線恰有三個公共點，實數(shù)的取值范圍，可以轉(zhuǎn)化為直線的圖象與曲線的圖象有三個交點時實數(shù)的取值范圍，作出兩個函數(shù)的圖象，通過圖象觀察臨界直線，從而求出的取值范圍；本題曲線的圖象是易錯點，畫圖時要分類討論，知圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成二、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分）13.將某班的名學生編號為，采用系統(tǒng)抽樣（等距）的方法抽取一個容量為的樣本，且隨機

12、抽得第一組的一個號碼為，則最后一組的號碼是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進行求解即可【詳解】號碼間隔為，隨機抽得的第一組的一個號碼為，最后一組的號碼為.故答案為：.【點睛】本題考查對系統(tǒng)抽樣方法定義的理解，屬于基礎題.14.已知，則_【答案】【解析】【分析】令分別代入等式的兩邊，得到兩個方程，再求值.【詳解】令得：，令得：，.【點睛】賦值法是求解二項式定理有關問題的常用方法.15.某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎(參與游戲活動的都有獎),且相應獲獎的概率是以為首項、2為公比的等比數(shù)列,相應獲得的獎金是以700元為首項、-140為公差的等差數(shù)列則參與這項游戲活動獲得獎金的期望是

13、_元【答案】500【解析】【詳解】由題設,知獲一、二、三等獎的概率分別為.由,得.于是,.又獲一、二、三等獎的獎金分別為.故=500(元).16.在區(qū)間和上分別各取一個數(shù)，記為和，則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是_【答案】【解析】【分析】本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出方程表示焦點在軸上的橢圓時，點對應的平面圖形的面積大小和區(qū)間和分別各取一個數(shù)點對應的平面圖形的面積大小，并將他們一齊代入幾何概型計算公式進行求解【詳解】若表示焦點在軸上的橢圓，則，它對應的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示：則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率：.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型的應用，解題關鍵是正確建

14、立模型進而分析解決問題，屬于?？碱}型.三、解答題（本大題有6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17. 某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：(1)求分數(shù)在50,60)的頻率及全班人數(shù)；(2)求分數(shù)在80,90)之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中80,90)間的矩形的高.【答案】（1）25；（2）0.016.【解析】試題分析：解題思路：（1）通過莖葉圖得出數(shù)據(jù)即可求解；（2）觀察頻率直方圖中的各個矩形的高與面積即可.規(guī)律總結(jié)：以圖表給出的統(tǒng)計題目一般難度不大，主要考查頻率直方圖、莖葉圖、頻率分布表給出.試題解析：

15、(1)分數(shù)在50,60)的頻率為0.008100.08，由莖葉圖知：分數(shù)在 50,60)之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為25.(2)分數(shù)在80,90)之間的頻數(shù)為25271024，頻率分布直方圖中 80,90)間的矩形的高為÷100.016. .考點：1.莖葉圖；2.頻率直方圖.18.已知拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為，直線與拋物線有兩個不同交點（）求拋物線的方程；（）求的取值范圍【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根據(jù)拋物線的定義得，求出的值，然后寫出拋物線的方程即可；（）聯(lián)立直線與拋物線的方程得，由于直線與拋物線有兩個不同交點，故，解出的取值范圍即可.【詳解】（）由，得：，

16、解得：，所以拋物線的方程為；（）由，得：, 因為直線與拋物線有兩個不同交點，所以， 解得：且，所以k的取值范圍是【點睛】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線位置關系的應用，屬于?？碱}型.19.某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響（）假設這名射手射擊次，求有次連續(xù)擊中目標，另外次未擊中目標的概率；（）假設這名射手射擊次，記隨機變量為射手擊中目標的次數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望【答案】（）；（）分布列見解析，.【解析】分析】（）這名射手次射擊中次連續(xù)擊中，則連續(xù)次擊中目標有三種情況：分別是前三次、中間三次、最后三次，依次計算每種情況發(fā)生的概率，求和即可得解；（）由題知，每次射

17、擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則，利用二項分布的概率公式列出分布列并求出期望即可.【詳解】解：（）設“第i次射擊擊中目標”為事件；“射手在5次射擊中， 有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件a，則 ；（）為射手在5次射擊中擊中目標次數(shù)，則， .012345【點睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，解題時應注意二項分布的合理運用，屬于高考常考題型.20.如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，且,為中點. （1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平面，可得，再由正方形中，得，由線面垂直的判定定理可

18、得平面，從而可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得證； （2）以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，再分別求出面的一個法向量和平面的一個法向量，再由向量的夾角運算可求得二面角的余弦值.【詳解】解：（1）證明：平面，又正方形中，平面，又平面，是的中點，所以，平面（2）以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，由題意知：，設平面的法向量為，則，令，得到，平面，又正方形中，平面又，平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，由圖示可知二面角為銳角，則.二面角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的線面垂直關系的證明和求二面角的問題，關鍵在于需證明線垂直于面內(nèi)的

19、兩條相交直線，在運用向量法求得法向量的夾角的余弦值后需判斷二面角是銳角還是鈍角，再取相應的值，屬于基礎題.21.已知點a(0，2)，橢圓e： (a>b>0)的離心率為，f是橢圓e的右焦點，直線af的斜率為，o為坐標原點. (1)求e的方程；(2)設過點a的動直線l與e相交于p，q兩點.當opq的面積最大時，求l的方程.【答案】（1） （2） 【解析】試題分析：設出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點軸時，不合題意；當直線斜率存在時，設直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設，因為直線的斜率為，所以，. 又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設由題意可設直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當，所以，即或時.所以點到直線的距離所以，設，則，當且僅當，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題