專(zhuān)題27+快速解決直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題的解題技巧-決勝高考數(shù)學(xué)之破解高考命題陷阱+Word版含解析

1、公眾號(hào)：高中資料共享免費(fèi)分享5000G學(xué)習(xí)資料破解高考命題陷阱一直線與國(guó)錐曲線綜合問(wèn)題的解獻(xiàn)巧一.命題陷阱1 .不用韋達(dá)定理與用韋達(dá)定理的選擇陷阱2 .范圍不完備陷阱3 .圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱4 .不用定義直接化簡(jiǎn)的陷阱（圓錐曲線定義的靈活運(yùn)用）5 .圓錐曲線中的求定點(diǎn)、定直線只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱6 .圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱二、知識(shí)回顧1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程72（1）5 十 % = 1,（4。0）,焦點(diǎn)"（-C,。）,乙（。,0）,其中c =. J +:,焦點(diǎn)”(O,-c),A(O,c),其中c = b a"2 .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

2、方程(1) ；= 1,( > 09b > 0) 焦點(diǎn)耳(一c,。),居(c,0),其中 c =+ b .(2)1=1,(«>0力>0),焦點(diǎn)片(0,-0),5(0,0),其中一 =>/片+九3 .拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) y2 =2px,y2 =-2px,M =2py,x2 =-2/?y,(/? >0).對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)分別為:尸（4. o）,產(chǎn)（Y, 0）,尸 ©4）,2o, - 4）.2222三.典例分析1.不用韋達(dá)定理與用韋達(dá)定理的選擇陷阱例L設(shè)橢圓二十二=1（ 人 0）的左焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為A ,離心率為1 .已知A是拋物線V = 2p

3、x（p 0） cr2的焦點(diǎn)，尸到拋物線的準(zhǔn)線/的距離為（I）求橢圓的方程和拋物線的方程：（II）設(shè)/上兩點(diǎn)產(chǎn)，。關(guān)于工軸對(duì)稱(chēng)，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)8 （B異于點(diǎn)A）,直線8Q與x軸相交于點(diǎn)。.若“尸。的面積為正，求直線A尸的方程.2【答案】（1）+- = 1, y2 = 4x. （2） 3x + #y-3 = 0,或3x-底，-3 =。.t解析】（I ）設(shè)尸的坐標(biāo)為（一6。）.依題意，-=i ；與=。, 口一解得d=lj匕/=2, 2222于是從=1所以，橢圓的方程為/+（ = 1,拋物線的方程為丁=4文22（II）解：設(shè)直線4P的方程為工=孫，+ 1（?工0）,與直線/的方程犬=一1聯(lián)立,

4、可得點(diǎn)尸（一1,一一），故。（一1,一）. mrn將x = 9+ 1與x?+ * = 1聯(lián)立，消去x,整理得（3，+4）3+62V = 0,解得y = 0,或> =絲一.由點(diǎn) 3'3? +43廠 +46i28異于點(diǎn)A ,可得點(diǎn)8（一；一）.由。（_1,一），可得直線8。的方程為 3nr + 4 3nr + 4m-6"i2、/ 八 /-3廠+4 八 2、- z&7132 3?.八/2 -3"廠八E電2）-（木百+2-京）=。，令尸。，解得、= E'故"E。.所以l.d一急=£ .又因?yàn)榈拿娣e為*'彩熹*=與整理得3?2

5、_2«l7l+2 = 0,解得|?|=如，所以? = ±如33所以，直線AP的方程為3工+#），-3 = 0,或31一#），-3 = 0.【陷阱防范工分析題目條件與所求關(guān)系，恰當(dāng)選取是否使用韋達(dá)定理 練習(xí)1.已知橢圓C:* + * = l（a>0>0）,且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為0 + 1,最小距離為V2-1.（1）求橢圓的方程;公眾號(hào)：高中資料共享免費(fèi)分享5000G學(xué)習(xí)資料（2）過(guò)點(diǎn)S 0,-1的動(dòng)直線/交橢圓。于48兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)。，使得以線段A3 k 3）為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6、2【答案】（1）橢圓方程為5+），2=1 ；（2）以線段A8為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)。（）.【解析】（1）橢圓方程為! + / =1（2）當(dāng):與x軸平行時(shí)，以線段聲為直徑的圓的方程為一+（>+；）當(dāng)/與）?軸平行時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為1+產(chǎn)=1.故若存在定點(diǎn)J2,則e的坐標(biāo)只可能為Q（0）.下而證明。（0,1）為所求：若直線/的斜率不存在，上述己經(jīng)證明.若直線/的斜率存在,設(shè)直線/:丁 =依-L 4（玉,）,8（,乃），,1V k Y _由 -3得（9 + 18公卜2-12 6-16 = 0,/+2）3-2 = 0 = 144代+64(9 + 儂2)>0,玉+± =-1

7、6-,中)=18 代+9 1 - 18抬+922 -164 A12416 八7 9 + 18廠 3 9 + 18公 9=(玉，凹一 1),。分=(/, )3 - 1)， QAQE = xix2 +(y,-l)(y2-l) =（1+攵，）玉石一華（玉+/）+? =（1 +攵9，迎，即以線段A8為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)0（0,1）.練習(xí)2.設(shè)橢吟+ * 。）的左焦點(diǎn)為八右頂點(diǎn)為A 離心率嗎.已知A是拋物線V = 2px（p > 0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線1的距離為（I）求橢圓的方程和拋物線的方程:公眾號(hào)：高中資料共享免費(fèi)分享5000G學(xué)習(xí)資料(H)設(shè)/上兩點(diǎn)P,。關(guān)于工軸對(duì)稱(chēng)，直線AP與橢圓相交于

8、點(diǎn)5 (8異于點(diǎn)A),直線8。與x軸相交于點(diǎn)若“尸。的面積為如，求直線4尸的方程. 2【答案】(1)/+? = , 3,2=4x.(2) 3A + V6y-3 = 0,或3x-倔，-3 = 0.【解析】(I )設(shè)廠的坐標(biāo)為(y,0).依題意，- = L = a, c = L,解得。=1, c = -, = 2,于是 a 2222尸所以，橢圓的方程為/+±S = ,拋物線的方程為V=4x.(口)設(shè)直線N戶(hù)的方程為工二陽(yáng)十1(相工缶，與直線J的方程x=-1聯(lián)立，可得點(diǎn)尸(L2),故 m0(-1,2).將工二%+ 1與？ +竺=1聯(lián)立，消去壬整理得(3/ + 4)廿+ 6號(hào)=0,解得=0,

9、或 m3y=三普7 ,由點(diǎn)田異于點(diǎn)&，可得點(diǎn)以之=，忑),由2(l2),可得直線3。的方程為 5m +43wa +4 3jh +4m.-6加 2. . . . S/n1+4 . . 21c 人 -方”日 2377rB . .>27V 亡門(mén) (""tXx+)(2+iXy)=。> = 解傳x = "J_7故5;0).所以3相十4 m3jm +4m3m 十2 3m +2I血卜1一學(xué)三又因?yàn)榱η械拿娣e為坐，故:,名三乂二=半，整理得3優(yōu) +2 3m +222 3m!2 + 2 | zw |23，2#|昭|十2二0,解得|詡二坐，所以初二土當(dāng).所以，直線

10、a尸的方程為我+灰爐一3=0,或3/、&-3=0.V練習(xí)3.已知橢圓G： +/= 1,曲線G上的動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足：Jx +(>+ 26) + Jx- +(y_25/J) = 16 (1)求曲線G的方程：(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，第一象限的點(diǎn)48分別在G和G上，OB = 2OA,求線段的長(zhǎng).【答案】(1)二+三=1 ；(2) -0. 16 45【解析】（1）由己知，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)尸（0,-2-），Q（ 0,26）的距離之和為8,且|尸。|<8,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，而。=4, c = 2jJ，所以 =2, 22故橢圓G的方程為:+ 二 = 1. -16 4（2） A,3兩點(diǎn)的坐

11、標(biāo)分別為（.！，）3）,（修，為），由= 204及（1）知，O,A,8三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,8不在），軸 上，因此可設(shè)苴線的方程為），=履.A將y =五代入+ y2=i中，得（1+4攵2）/=4,所以七=74/1+4K將），=丘代入二+t=1中，得（4 + /卜2=16,所以片16 44 + A又由礪=2赤，得/=4看，即844 + 11 + 4 公解得攵2 = 1,易得4|喬,|喬）,86途,*喬），故|A8|=：逐一段"152.范圍不完備陷阱廠 V1例2.已知橢圓C： +亦=1（。>>0）的離心率為一，以橢圓長(zhǎng)、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為 cr b-24G（I）求橢

12、圓。的方程；（II）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線x = 4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AM、BM分 別交橢圓于兩點(diǎn)P、。，求四邊形力P8。面積的最大值.【答案】（I）+ = 1：（II）6. 43【解析】（I）由題設(shè)知，a = 2c、2ab = 4",又解得。=2, = 1 ,22故橢圓。的方程為三+二=1.43（II）由于對(duì)稱(chēng)性，可令點(diǎn)其中1>0.22得（27+/）/+4&+4/-108 =力將直線AM的方程y = ；（x+2）代入橢圓方程1+ J = 1 643+4產(chǎn)108”曰 2" 54 nl由孫迎=2，X=-2倚兩=J貝1丁?=3/ /

13、十r/，十r/r 十jt22再將直線的方程y = ,x2）代入橢圓方程9得（3+d）d-48-4/-12=0,+4-12 -m 2?-6 皿 &由物泡=3+產(chǎn)， 馬=2/尤g= 3+產(chǎn)貝% = #?故四邊形APBQ的面積為S = g|A8|卜.一），q卜2卜.一），q卜2（18r 6t27 + r +3 + r48f（9+產(chǎn)）（27 + /2）（3 + 產(chǎn)）48f（9 +f 2） _48（9 +產(chǎn)+ 12產(chǎn)19 +廣9 +/由于幾=> 6 ,io17且4十上在6,+6）上單調(diào)遞增，故2 +上28,A/從而，有5 =48A h2<6.當(dāng)且僅當(dāng)幾=6,即1=3,也就是點(diǎn)M的坐標(biāo)

14、為（4,3）時(shí)，四邊形AP8。的面積取最大值6.【陷阱防范工涉及含參數(shù)問(wèn)題，求最值或范圍時(shí)要注意運(yùn)用均值不等式還是運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性.11練習(xí)L設(shè)點(diǎn)尸0,_ ,動(dòng)圓4經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且和直線），=-一相切，記動(dòng)圓的圓心A的軌跡為曲線 V 4J4（1）求曲線。的方程：（2）設(shè)曲線。上一點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為過(guò)P的直線交。于一點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作P。的垂線交C于另一點(diǎn)N,若MN是C的切線,求/的最小值.【答案】（1） / =），（2） rmin=-【解析】（1）過(guò)點(diǎn)A作直線AN垂直于直線-=-1于點(diǎn)N ,由題意得|AF|=|/W|,所以動(dòng)點(diǎn)4的軌跡是以尸為焦點(diǎn)，直線y =-為準(zhǔn)線的拋物線.所以拋物線C得方程

15、為犬=）二 4由題意知，過(guò)點(diǎn)尸（"）的直線P0斜率存在且不為0,設(shè)其為匕則左：7一戶(hù)=河“一當(dāng)y = Qx= ±生，則就二£ ,聯(lián)立方程整理得；媼底+維T）= 0.k I 拈 Jd = y即（比-弓口-（即T） = 0,解得x = r或x =二0卜_&住T）”而0V,2乙所以直線7Vg斜率為-1二z1上-f）2=-1口-他-叨，聯(lián)立方程廣ST =一反"一住一切整理得: K4v2 = y111=0,即k kx = k-t. :.N%(&T)+ 1 k(k-/) + l 丁k-，Pkx +x(k _/)女(攵一，)+ 1 = 0,丘 + 4(

16、攵/) + 1工一(k-/) = 0,解得x =，或k?(KH + l)_k(k-t) + _-r +kt k(t2-k2 -1) 一 k - k而拋物線在點(diǎn)N的切線斜率，k = y x =k(kT)+ l _2k(kT2MN是拋物線的切線,92 燈 + 1,_2k(kT)_22,整理得/+內(nèi)+ 1-2/2=0,. =/-4（1-2一）20,解得-彳（舍去）,練習(xí)2.已知雙曲線C：二-二=1的離心率為行，點(diǎn)（有，0）是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)。 cr I”（1）求雙曲線的方程；經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)勻作傾斜角為30。的直線/,直線/與雙曲線交于不同的A,8兩點(diǎn)，求48的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）二一二=1 （2）絲

17、且365【解析】22與雙曲線聯(lián)立方程組消），y得（1）因?yàn)殡p曲線C：二一二=1的離心率為點(diǎn)（JJ, 0）是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，所以。=JIc = 3/ = J5, cr b-I 16小 f |=（2）經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)吊作傾斜角為30。的直線/： y =Q54二+6%-27 = 0,."=一3，由弦長(zhǎng)公式解得ABF練習(xí)3.已知橢圓。的方程弓+左。），雙曲線三印的一條漸近線與1軸所成的夾角為30。，且雙曲線的焦距為4".求橢圓C的方程:設(shè)"，與分別為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過(guò)F?作直線/ （與x軸不重合）交橢圓于A , 8兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為E,記直線£

18、3;的斜率為我,求k的取值范圍.【答案】（1）+ = 1： （2）6276 >/6百'五In【解析】一條漸近線與X軸所成的夾角為30。知巳=330。= 土，即2=3必, a3又c = 2jj,所以/+。2=8,解得/=6, =2,所以橢圓。的方程為二+二=1. 62（2）由知片（2,0）,設(shè)4（玉,凹），8（七，>2），設(shè)直線A8的方程為x = " + 2.三+21 = 1聯(lián)立 6 2得(r+3)V+4)-2 = 0,x = ty+ 2,4/ 4a12由得%+石=尹” I4 I J2t尸+3 _ T6 一 r+6 一鼻廠+3 r +3J又耳（2,0）,所以直線K后

19、的斜率A =-2當(dāng)/ = 0時(shí)，攵=0；當(dāng)/ro時(shí),I/:|_ N _ 1心6嗚綜合可知，直線"E的斜率的取值范圍是IT，司，練習(xí)4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系M?），中，己知直線/:工一）=2 = 0,拋物線C:y2=2px（>0）（1）若直線/過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程：（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)P和Q .求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2-,-）.；求的取值范圍.4【答案】(1) y2=8x (2)詳見(jiàn)解析，(0,)【解析】 拋物線C:黃=2/。>0)的焦點(diǎn)為得由點(diǎn)小,0)在直線1:不一尸一2 = 0上，得£_0_2=0即P = 4.

20、£jL所以拋物線c的方程為/ = 8x.(2)設(shè)用6。(叼321線段PQ的中點(diǎn)時(shí)人佻)因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，所以直線I垂直平分線段PQ于是直線PQ的斜率為T(mén)，則可設(shè)其方程為yS由卜=2/"消去x得 >2 + 2py_2pb = 0(*) y = -x + h因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以其。乃，從而4 = (2)24(23>0,化簡(jiǎn)得 + 28>0.方程(*)的兩根為 >'2 = p ± J p +2pb » 從而)b =:''J： = /?.因?yàn)镸(x°,yo)在直線上,所以%=2

21、 - p.因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2 因?yàn)镸(2 - p,-p).在直線y = -x+b上所以一 =一(2 )+ b ,即力=2 2”.4由(D 知+ 2/?>0,于是+ 2(2 2)>0,所以<一.34因此的取值范闈為(05).【方法總結(jié)】在利用代數(shù)法解決范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系：(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的

22、取值范圍.3.圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱例3.已知圓E：(x + l + y2=8,圓心為耳，定點(diǎn)5(1,0),尸為圓6上一點(diǎn)，線段PF?上一點(diǎn)N滿足 PF?=2NF,直線上一點(diǎn)Q,滿足QVPK=O.(I)求點(diǎn)。的軌跡。的方程：(II)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0。是以"鳥(niǎo)為直徑的圓，直線/:，=履+?與0。相切，并與軌跡。交于不同的兩點(diǎn)_3 4'A,8.當(dāng)。4。8 =幾且滿足時(shí)，求AOAB面積S的取值范圍.2a/2 2出火2【答案】(I)+/=1：(II)2【解析】（I ） ."西=2愿.N為線段巡中點(diǎn),麗聞二0.即為線段颶的中垂線 .|。尸| = |0瑪| I克尸I

23、= |理2| + QP =忸迎| + 與照=2應(yīng) .由橢圓的定義可知。的軌跡是以P3迄為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2點(diǎn)的橢圓,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十二=1 （。人 0）, cr lr則。=y/2 , C = 1 ,：.h1由 2 + '，消去 y整理得(1 + 2/)V + 4knix + 2nr -2 = 0. y = kx + m直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)， A = (4km)2 - 4 (1 + 2(2/- 2)= 8 (2公-> +1)>0,將川=芯+1代入上式,可得攵2>。，設(shè) A(x”J, 8(七,力)，=.2點(diǎn)Q的軌跡C的方程為 + y2=o2（II） ;圓。與直線

24、/相切，則 x +x2 =4km1 + 2攵 22m2 - 2:.)、=(H +)(心：2 +加)=k1 xxx2 + km (x +x2) + nrm2-2k21 + 2公(M + D物)(1 + 2-)2).AB = "M+1)(M+x)_4xm2 = J/. 2 = OA OB = xxx2 + yy2V-2-,解得，公2.滿足公0。 5531I 2（一十一）又S =/8| .忖EM故AOAB面積S的取值范圍為當(dāng)，茗.【陷阱防范】：涉及到三角形面積時(shí)用弦長(zhǎng)公式還是用把三角形分成兩個(gè)或幾個(gè)三角形求而積練習(xí)1.設(shè)A（x“J, 3（毛,為）是橢圓?+a=1（4人°）上的兩點(diǎn)

25、，橢圓的離心率為短軸長(zhǎng)為2,已知向量而= （；,）, n ,且，力_L”, 0為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若直線A3過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（O,c）, （ c為半焦距），求直線A8的斜率A的值；（2）試問(wèn)：A4O8的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）女=±2： （2）見(jiàn)解析.【解析】D由題可得：5=1,所以，橢圓的方程為1+/ = 142設(shè)dS的方程為；y = 4:十指，代入:十一 = 1得：（廿十4）/十2屏c1=0.a_ _一2展十巧=¥7?A>01不到=5毋十4即+遐.三佻十之=0,解得；k=±24 1 F+4/4 Ar + 4 4

26、（2）直線A8斜率不存在時(shí)，即內(nèi)=，'1 = y2Vmln2 ：.mn=0,即玉 2- 號(hào)-=0又 A點(diǎn)在橢圓上k卜孝，1凹1=點(diǎn). S=1|x,|弘一刈=-%,|-2| = 1,故AAOB的面積為定值1 22當(dāng)直線A8斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為），=辰+加，y = kx + m聯(lián)立,2, 得：(2 + 4)x2 + 2hnx + m2 -4 = 0-+ X = 14-2kmm2 -4 % + X) = , xas = - , A>01 - k2+4-抬+4£儂=胴h一引=加 ?。?+石一4中2 = 2 W ； T 乙乙A 1" 4所以三角形的而積為定值1.X

27、1 V21練習(xí)2,設(shè)橢圓）+ = = 1（。>>0）的左焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為A ,離心率為一.己知A是拋物線cr2y2 = 2Px（p > 0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線/的距離為 2（I）求橢圓的方程和拋物線的方程：（U）設(shè)/上兩點(diǎn)P,。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)8（8異于點(diǎn)A）,直線8。與x軸相交于點(diǎn)若"尸。的面積為如，求直線4尸的方程. 2【答案】（1）/+=1, y2 =4x. （2） 31 + #），-3 = 0,或3x-#y-3 = O.【解析】（I ）設(shè)廠的坐標(biāo)為（y,0）,依題意，- =八a,一c = ,，解得。=1,c = -, = 2,于是

28、a 22222=/一°2=2所以，橢圓的方程為/+土=,拋物線的方程為/= 4%. 4322（1【）解:設(shè)直線AP的方程為工=少+ 1（加工0）,與直線/的方程犬=一1聯(lián)立，可得點(diǎn)尸（一1,一一），故。（一1,一）. mm將x = D，+ l與犬+工=1聯(lián)立，消去工，整理得（3/+4）3+6機(jī)v = 0,解得y = 0,或），=_.由點(diǎn) 3'''3廣+43廠 + 4 6i28異于點(diǎn)A ,可得點(diǎn)8（一.一；）.由。（1,一）,可得直線8。的方程為 3"+4 3/77+4m6/772、/ 八 /-3？+4 八 2、八, 八 &門(mén)32 3？,八,2

29、 3廠-一-)(x + l)-(一 +l)(y-)= 0,令 y =。，解得 x =故 £)(_,0) 所以3r + 4 m3廠 + 4m3nr + 2 3nr + 2口盜=5冷.又因?yàn)榈拿娣e為*故?熹*=爭(zhēng)整理得3?2_2#"H+2 = 0,解得所以 ? = ±亞.所以，直線AP的方程為3x+6y-3 = 0 ,或 333x-庖- 3 = 0.4.不用定義直接化簡(jiǎn)的陷阱（圓錐曲線定義的靈活運(yùn)用）例4.已知橢圓二十二=1與拋物線V=2px（p>0）共焦點(diǎn)A,拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)釉的距離cr b-等于明用卜1,且橢圓與拋物線的交點(diǎn)0滿足|。周=*.（I）求拋物線

30、的方程和橢圓的方程：（II）過(guò)拋物線上的點(diǎn)尸作拋物線的切線），=丘+ ?交橢圓于A、B兩點(diǎn)，設(shè)線段相的中點(diǎn)為C（%,y。），求 %的取值范圍.22(2) (-10).【答案】（1）工+ 22 = 1：98【解析】（1）拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于|岫|一1,點(diǎn)M到直線x = 1的距離等于點(diǎn)M到焦點(diǎn)F2的距離，得工=-1是拋物線丁2=2/>的準(zhǔn)線，即一”=一1,2解得 =2, 拋物線的方程為V=4x： 可知橢圓的右焦點(diǎn)鳥(niǎo)（1,0）,左焦點(diǎn)片（1,0）,553由I。用=5得%+1 =于 又yj=4.%，解得。5，±7 5由橢圓的定義得2a = |。耳卅0周=+二=6, 2 24

31、= 3,又c = l,得匕2="2一。2=8,，橢圓的方程為二十二=1. 98（2）顯然上工0, m工0由?, 消去得陟”一4»+4m=0>y =4工由題意知A = 16-16Mw=Q,得也2=1y = kx+m由/ ./，消去）?得（婢+ 8*+1隨出+9疝¥至一其中b、二（18加一4（9/+8乂9/-72）> 0，化簡(jiǎn)得/一，+8 > 0,又上=J_,得刪4 一由小一9<0,解得0<»?<9, m設(shè)/（小比）/（孫為），則$=笥也=一孤片，由上"二口:得%1,.的取值范圍是（一1二。）m 9【陷阱防范】：

32、涉及圓錐曲線方程時(shí)要考慮定義的幾何意義，往往可以簡(jiǎn)化解題步驟.22練習(xí)l已知雙曲線c：，一今=15>°，人>°）的漸近線方程為：3'=±J冥，右頂點(diǎn)為。,。）（I）求雙曲線。的方程；（II）已知直線>=工+加與雙曲線。交于不同的兩點(diǎn)A,8,且線段48的中點(diǎn)為M（Xo，%）,當(dāng)飛。0時(shí)，求血的值。X。2【答案】（1） X為（1,0）,所以a = l/ = J5,即/一上=1（2）直線），=1+ 2與雙曲線。聯(lián)立方程組消y得 - -= 1（2） 33【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C：1 二=1（。>0,>0）的漸近線方程為：曠=

33、7;底，所以，又右頂點(diǎn) cr Zra2x2 - 2mx- nr -3 = 0,/. X)= 9 y0 =叫" /. 的值為 3 22%練習(xí)2.設(shè)橢圓。：二+5=1（。>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為、E，其焦距為2c,點(diǎn)在橢圓的外部，點(diǎn)P是橢圓。上的動(dòng)點(diǎn)，且|產(chǎn)用十 |PQ|v二忻用恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（A.3 0,二4)B.【答案】D【解析】點(diǎn)。C,2在橢圓的外部，則3 22,2> ,解得2/>/, a由橢圓的定義得|P娼+ |PQ| = 2|P引+ |PQ|, -歸用+ |PQ| = |PQ| |P周引QE| = (.尸局+1 PQ| v *忻周恒成

34、立，. 2 +色v * x 2c , 32 3解得£>3,即e上.所以橢圓離心率的取值范圍是）,選D.5.圓錐曲線中的求定點(diǎn)定直線（只考慮一般情況不考慮特殊位置）陷阱例5.已知過(guò)拋物線C:產(chǎn)=2px（>0）的焦點(diǎn)尸,斜率為的直線交拋物線于4（%,）1）,3（,片）（ <） 兩點(diǎn)，且|A卸=6.（1）求該拋物線C的方程:（2）己知拋物線上一點(diǎn)4）,過(guò)點(diǎn)用作拋物線的兩條弦用。和ME,且判斷直線。石是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由.【答案】（1）r=4x： （2）定點(diǎn)（8,-4）【解析】 拋物線的焦點(diǎn)個(gè) go) 一,直線A8的方程為：y = 2X-L y2 = 2 Px2聯(lián)立方程組

35、 _應(yīng)(,消元得：x22px + ? = 0,2X)+ x2 = 2 p, xxx2 = £./. AB = Jl + 2+ x, y = V?-4/?2 - p2 = 6解得 =2.拋物線。的方程為：y2 = 4x.(2)由(1)可得點(diǎn)M(4,4),可得直線。石的斜率不為0,設(shè)直線OE的方程為：x = my+t,、x = my +1, ,聯(lián) u , ，得廠一 4/nj' - 4/ = 0 ,y' = 4x則 = 16?2 +16/ > 00.設(shè) D(x，y),E(,q,%)，則 X + >2 = 4?,)1為=4f -V MD-ME =(再一4,y 4)

36、-(x2 -4,y2 -4)= xlx2-4(%1+x2)+16 + y1y2-4(y1 + y2)+16= -4 + + 16+>'1y2-4(>>1 + >'2) + 16=M %+ 3y % -4(y + y2) + 32 lo=r 16/ - 12f+ 32 -16m = 0即產(chǎn)一+ 32 = 16尸 + 166，得：(r-6)2 =4(2/n + l)/. r-6 = ±2(2nz+l),即/ =46+8或I = Ti+4,代人式檢驗(yàn)均滿足（），/.直線 DE 的方程為：x = my+4ni+8 = ? （y+4）+8 或 x =m（

37、y - 4）+4.直線過(guò)定點(diǎn)（8,T）（定點(diǎn)（4,4）不滿足題意，故舍去）.【陷阱防范】：1.定點(diǎn)與定值問(wèn)題的解決，一般通過(guò)取極端位置（即特定位置）探索出定點(diǎn)或定值，然后再進(jìn)行一 般性證明.2.解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān): 直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算 是此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.練習(xí)1已知拋物線C:y = 2/,直線/：），=履+ 2交。于4、8兩點(diǎn)，M是48的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交 C于N點(diǎn).（1）證

38、明：拋物線。在N點(diǎn)處的切線與A3平行；（2）是否存在實(shí)數(shù)k,使以48為直徑的圓M經(jīng)過(guò)N點(diǎn)？若存在，求出”的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在實(shí)數(shù)&=±2使以A8為直徑的圓M經(jīng)過(guò)N點(diǎn).【解析】 證明：設(shè)A（%,y）, 3（孫丹），把丁 =h+2代入y = 2/得2/一62 = 0.kk （k k1人2由（1）知 =5（y+ g）= -（2+Lq+4） = + 2,又因?yàn)锳/N垂直于x軸， 2所以= gjl +"?所以玉+x, = , xv =,所以N ,一 .1 - 2 N ” 414 8 J因?yàn)椋?/）' = 4x,所以拋物線在N點(diǎn)處

39、的切線斜率為k,故該切線與A8平行.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使以48為直徑的圓M經(jīng)過(guò)N點(diǎn)，貝" MN| 二 1|A8|.2所以，1 +4，？，16 +女1 = 士上,解得&=±2.2 4所以，存在實(shí)數(shù)&=±2使以48為直徑的圓M經(jīng)過(guò)N點(diǎn). 2222練習(xí)2.已知命題：方程匚=1表示焦點(diǎn)在），軸上的橢圓：命題9：雙曲線二-土 = 1的離心率2m m - 15 m。£（1,2）,若vg是真命題，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.【答案】0<m<15.X2 v2x2 v21【解析】將方程丁一二 二1改寫(xiě)為 + d = L只有當(dāng)1-a>2掰>

40、;0>即0<相<；時(shí),方程表2m m-12m 1 一的3示的曲線是焦點(diǎn)在N軸上的橢圓，所以命題?等價(jià)于0掰<；;2J2.因?yàn)殡p曲線4=1的離心率，所以巾>0,且解得0切15,所以命題g等 5 m5價(jià)于0<m<15 .或q為真，則0z<15.6 .圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱例6.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，點(diǎn)F（1,O）,直線工=一1與動(dòng)直線），= 的交點(diǎn)為線段板的中垂線與動(dòng)直線y=的交點(diǎn)為P.（1）求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡E的方程：（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為A, B,求證：Z4A/8的大小為定值.【答案】（1）曲線E

41、的方程為）*=4x. （2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)橹本€尸=篦與x=T垂直，所以血印為點(diǎn)尸到直線文=一1的距離.連結(jié)尸尸，因?yàn)槭瑸榫€段MF的中垂線與直線丁 =雙的交點(diǎn)，所以從尸=尸尸.所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線.焦點(diǎn)為F（L。）,準(zhǔn)線為x = T.所以曲線E的方程為/=4x.（2）由題意，過(guò)點(diǎn)M（l,）的切線斜率存在，設(shè)切線方程為y = A（x+l）,、y = kx + k + n. z ,聯(lián)立、得 b，2-4y + 4攵+ 4 = 0,）廣=4K所以 =16-4k（4&+4）= 0,即公+加一 1 = 0 （*）,因?yàn)?=2+40,所以方程（*）存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為用，匕，因?yàn)樯灼?

42、一1,所以NAMfi = 90。,為定值.【陷阱防范】：1.定值問(wèn)題的解決，一般通過(guò)取極端位置（即特定位置）探索出定值，然后再進(jìn)行一般性證明.2.解決定值方法一般有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明定值與變量無(wú)關(guān)：（2）直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、 推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想 和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.x2 y25練習(xí)L點(diǎn)P是雙曲線）一.=1（>0/>0）上的點(diǎn)，"，凡是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是二，且 cr lr-4p£p= o,若"/5用的面積是9,則。+力的值等于

43、（）.A. 4 B. 7 C. 6 D. 5【答案】BC Ja2 +b2 5 b 3【解析】雙曲線的離心率是一=X= -=>- = - , PFPA=0/. P£ _L PF；,ZFR 的面積S = 1|P|-|P/s |= 9,產(chǎn)用P用=18.在aPF】F2中，由勾股定理可得4c2 =PF1 |2+儼6|2=（忙£卜|乙|）2+2|尸£口尸鳥(niǎo)| = 4。2+36,./+ =c+9, :.b = 39 :.a = 4,= 故選 C.練習(xí)2.如圖，拋物線G：V=8x與雙曲線G：今有公共焦點(diǎn)廠”點(diǎn)A是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且|Ag| = 5.（I）求雙曲線C,的

44、方程：一（II）以K為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N:（x2+y2=i.已知點(diǎn)尸0,、萬(wàn)），過(guò)點(diǎn)P作互 相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線L和4,設(shè)被圓M截得的弦長(zhǎng)為s，被圓N截得的弦長(zhǎng)為，.試探索; 是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.2【答案】（I ） X2-= 1： （II）為定值JL 3t【解析】（I ）拋物線G：V=8x的焦點(diǎn)為巴（2,0）,雙曲線C?的焦點(diǎn)為月（一2,0）、7s（2,0）.設(shè)A（小,先）在拋物線G ： V = 8X上，且|A用=5.由拋物線的定義得，x0 + 2 = 5, .x°=3./.=8x3,，%=4=2-76 .|A 司="3 + 2+（&

45、#177;26） =7又點(diǎn)4在雙曲線上，由雙曲線定義得，2« = |7-5| = 2, ：,a = .2雙曲線的方程為：%2-= 1.（II）-為定值.下而給出說(shuō)明:設(shè)圓”的方程為：(工+2丫+)，2=/，雙曲線的漸近線方程為：y = ±43x.圓M與漸近線y = 土石x相切，圓M的半徑為r= = JJ.故圓M:(x + 2+y2=3.依題意卜的斜率存在且均不為零，.所以 設(shè)乙的方程為y J5 = Z(xl),即依一 y + JJ k = O,設(shè)、的方程為y_0 = _，(x_i)，即x+b®_i = o, kI®_1點(diǎn)M到直線h的距離為4 = 1，點(diǎn)N

46、到直線 ' 的距離為八=1 , 直判被長(zhǎng)1卜番卜用紇 直線，2被圓N截得的弦長(zhǎng)f = 2l =2苔 ,故士為定值6. t.5=k幣k-6k2 _ 6(&_陰 ,f 72 息 2k2 ：2(限_代)四.真題再現(xiàn)L平而直角坐標(biāo)系X。中，已知橢圓。：=十二=1(。0)的離心率為半，左、右焦點(diǎn)分別是耳,尼，以 (/ b2K為圓心以3為泮徑的圓與以凡為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓。上.(I)求橢圓。的方程；X2 V2(1【)設(shè)橢圓石：了了 十/=1, P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線 =辰+機(jī)交橢圓£ 于A8兩點(diǎn), 射線P。交橢圓E于點(diǎn)。.(i)求儂的值; |OP|(

47、ii)求AA3Q面積的最大值.【答案】（I） L+,，2=i： di） （ i ）2： （ii） 66 .4一 （?二爐可得5 = 1 J【解析】工由題意知2。= 4 ,則。=2，又£ =省 a 2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為W + / = 1.4（ii）由（I）知橢圓e的方程為1+乙=1, 16 4設(shè)P（Xo，%）, 踹=彳，由題意知。（石0，-4）因?yàn)橥? 又+（二,左）_ = 1 ,即£ .+4=1所以4=2，即獸1644 4OP（ii）設(shè)將y = kx + m代入橢圓E的方程，可得（1+4攵2）12 +8左氏 + 4-16 = 0由>（），可得 >2 <

48、4 + 16）2 則有x1+x2 =Skm 4/n2 -16.I . 4416k2 +4-/ 所以打引="4/一 因?yàn)橹本€y = kx + m與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, c z11 ii 2>J6k2 +4-/7?21777 I所以AOAB的面積S = 一 小民一 xj =2 + 46 1 + 4公 1 1 ""1 + 4 公2個(gè)（6內(nèi)+4-"/）尸1 + 4-2nr nrx2 + 8kMx + 4m2 -4 = 0匚&3 =，將），=履+ ？代入橢圓C的方程可得。+ 4F）由ANO ,可得加？Kl + 4攵2 由可知0</<1因此

49、5 = 2/4一，"=2，一/+4/，故S42VJ當(dāng)且僅當(dāng)7 = 1 ,即=1+4公 時(shí)取得最大值2/由（i）知，ABQ面積為3s，所以AA3Q而積的最大值為6G . 222 .已知橢圓E：5 + y = l （a>Z?>0）的半焦距為原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（c,0）,（0力）的直線的距離為;c.（I）求橢圓E的離心率：（II）如圖，AB是圓入1:" + 2+（），-1=*的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)A, B兩點(diǎn)，求橢圓E的 2方程.【答案】（I） : （II） + = 1. 2123【解析】（I）過(guò)點(diǎn)（c,0）, （0,b）的直線方程為加+.-兒=0,則原點(diǎn)O到直線的距

50、離d = . hc =, yb2 +c2。由4 =1c,得a = 2b = 24蘇一c?,解得離心率£ =正. 2a 2（ID解法一：由（I）知，橢圓E的方程為Y+4）?=4/.依題意，圓心M（2,1）是線段AB的中點(diǎn)，且IABI=JHT 易知，AB不與x軸垂直，設(shè)其直線方程為），=攵（x + 2） + l ,代入得(1 + 4k2 )x2 + 8k Qk + l)x + 4(2k +1)2-4Z?2 =0設(shè)y。儀聲,y。則石十%二4<2Jt+l>-敏i+4?由兩十與二-4另一丁為產(chǎn)二一4,解骨上二1.從而再為=8-2斤.于是|AB|二由|AE|=、®）得J10

51、（層一2）=廂,解得2=3.故橢圓E的方程為二+二二1. 12 3解法二：由（D知，橢圓E的方程為產(chǎn)+4,，2=42.（2）依題意，點(diǎn)A, B關(guān)于圓心M（2,1）對(duì)稱(chēng)，且lABLx/ni.設(shè)4司41）上（工2，丫2），則X12+4y=4/, x2:+4y22 =4/，兩式相減并結(jié)合$+=-441 + 丁2=2,得（內(nèi)一%）+8 y -y2 =0.易知，AB不與x軸垂直，則再。心，所以AB的斜率kq =二 L '再一看 2因此AB直線方程為y = '（x + 2）+l,代入得/ + 4工+8-*2=0. 2所以玉+=5，玉& = 8-2".于是I AB 1= J

52、1 +（ IX, x, 1= J（，l +看） -= yjO（b 2）.由IABI=Jib,得/0面-2）=加,解得 =3.22故橢圓E的方程為1+工=1.12 33 .如圖，設(shè)橢圓二+），2=i（”>1）. cr（I）求直線產(chǎn)丘+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用，八k表示）:（II）若任意以點(diǎn)A （0.1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）二:（II）o<<.1 +（廣內(nèi)2y = kx + 【解析】（I）設(shè)直線y = kt + l被橢圓截得的線段為AP,由, 得+r = i Ur0 +2.2仙=0 ,故2crk1 + 4乂一因此網(wǎng)二百卜引=三號(hào)

53、.百.（H）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P, Q,滿足|ap|=|aq|.記直線AP, AQ的斜率分別為占，且公，公0,%由（I）知,|aq| = 2 華華 111+。乂；一故2a2 k. |1 + k； _ 2/ 圖正門(mén)1+/奸1 +白遮所以（k： 一項(xiàng)1 + k；+,J（2-/快遲=0 .由于K工0 , k,0>0得1+奸+片+/（2一/）將后=0,因此/ 1 y 1+ 1 + 1 = + a2（a2 -2）>th 八內(nèi)）因?yàn)槭疥P(guān)于勺，3的方程有解的充要條件是1 + /（/_2）>1,所以因此，任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓

54、至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1 v a W 2，由。=£ = 亙二1得,所求離心率的取值范圍為0ve«走.a a25,已知橢圓C： 9/+/= /（?> 0）,直線/不過(guò)原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與。有兩個(gè)交點(diǎn)a, B,線段A8的中點(diǎn)為M.（I）證明：直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值；（II）若/過(guò)點(diǎn)（竺,?），延長(zhǎng)線段OM與。交于點(diǎn)P,四邊形Q4P3能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)/的斜 3率，若不能，說(shuō)明理由.【答案】（I）詳見(jiàn)解析：（II）能，4一近或4 + >/7.【解析】（I ）設(shè)直線/:y = kt + Z> （攵=。/00）, A（X1,y）, B（x2,y2） 加（如，£3）y = kx+b 代入9x2 + y2 = /得（A? + 9）x2 + 2kbx + b -m' =0 ,故xM = ,二= ,2 k 4 9o/?vovA/ =kxM+b = -一.于是直線OM的斜率=*=-7,即心“.攵=-9所以直線OM的斜率與/的K+9xMk斜率的乘積