【高考數(shù)學(xué)大題精做】專(zhuān)題05立體幾何中最值問(wèn)題(第三篇)(解析版)

1、【高考數(shù)學(xué)大題精做】15 / 12第三篇立體幾何專(zhuān)題05立體幾何中最值問(wèn)題對(duì)應(yīng)典例利用側(cè)面展開(kāi)圖求最值典例1利用目標(biāo)函數(shù)求最值典例2利用基本不等式求最值典例3【典例1】【河南省非凡吉?jiǎng)?chuàng)聯(lián)盟 2020屆調(diào)研】如圖，AB是圓柱的直徑，PA是圓柱的母線(xiàn)，AB 3, PA 3，3 ,點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn)(1)求三棱錐P ABC體積的最大值；(2)若AC 1, D是線(xiàn)段PB上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，點(diǎn) E是線(xiàn)段PA上的動(dòng)點(diǎn)，求CE ED的最小值.【思路引導(dǎo)】1 一.(1)二棱錐的圖為定值，要根據(jù)二棱錐體積公式V - Sh可知，要使得體積最大，就要底面積最大，又因3為邊AB為定值，故當(dāng)C到AB的距離取得最

2、大值時(shí)，底面積最大，故此時(shí)棱錐的體積最大；(2)反向延長(zhǎng) AB至C，使得C ,D,E三點(diǎn)共線(xiàn)，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，距離最短，則 CD為CE ED最小值.(1)三棱錐P ABC高h(yuǎn)3M , AB 3 ,點(diǎn)C到AB的最大值為底面圓的半徑則三棱錐P ABC體積的最大值等于1 3、,3 1 3 3 T32 24(2)將PAC繞著pa旋轉(zhuǎn)到PAC使其共面,且C在AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上,連接CD , CD與pa的交點(diǎn)為E ,此時(shí)CE ED最小，為C D ;1-由AB 3, PA 3J3,且易知PA AB ,由勾股定理知PB 6 ,因?yàn)锳B PB ,所以 APB 300,2 0 2 則 DBC 60°, BD

3、 -PB 4；3CB CA AB 1 3 4,則 BDC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，故CD 4 ,所以CE ED的最小值等于4.【典例2】【江西省新余市第四中學(xué) 2020屆月考】已知梯形 ABCD 中，AD/BC, / ABC = / BAD =，AB=BC=2AD=4 , E、F分別是 AB、CD 上的點(diǎn)，EF/ BC, AE = X, G是BC的中點(diǎn).沿 EF將梯形ABCD翻折，使平面 AEFD，平面EBCF .(1)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x),求f(x)的最大值;(2)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值.【思路引導(dǎo)】(1)由AEFD 平面EBCF ,

4、 EF /BC/AD ,可得AE EF ,進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)定理得到AE ±平面EBCF，進(jìn)而建立空間坐標(biāo)系E xyz,可得f xVd bcf Va bfc的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),uv易求出f x有最大值；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論平面BCF的一個(gè)法向量為n20,0,1 ,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面 BDF的法向量，代入向量夾角公式即可得到二面角D BF C的余弦值.解：(1)二.平面 AEFD 平面 EBCF ,AE，EF,.AE,面平面EBCF ,AE，EF,AE，BE,又BE，EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz.則A (0, 0, 2),B (2,0, 0)

5、, G (2, 2, 0), D (0, 2, 2),E (0, 0, 0) /AD /面 BFC,所以f XVa-BFC= -S bfc3AE 4 4 x x3 2.82時(shí)f x有最大值為一.3uv(2)設(shè)平面 DBF 的法向量為 n1 x, y,z , - AE=2, B (2, 0, 0),uuvuuvD (0, 2, 2), F (0, 3, 0) ,. BF 2,3,0 , BD (2, 2, 2)uv uuvn1 BD 0x, y,z則 uv uuv ,即n1 BF 0x, y,z2,2,20 2x 2y 2z 02,3,00 ' 2x 3y 0uv 取 x= 3,則 y=

6、2, z= 1, .a 3,2,1面BCF的一個(gè)法向量為uvn20,0,1uv uv貝U cos< n1, n2 >=uv ivni n2T414 .由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為：一1414【典例3】【北京市昌平區(qū)2020屆模擬】EH /如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1中，E, H分別是棱A1B1, D1C1上的點(diǎn)(點(diǎn)E與B1不重合)，且A1D1.過(guò)EH的平面與棱BB1, CC1相交，交點(diǎn)分別為 F, G.(I)證明：AD /平面 EFGH ;(II) 設(shè)AB=2AA 1="2" a .在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1

7、D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn).記該點(diǎn)取自幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p,當(dāng)點(diǎn)E, F分別在棱 A1B1上運(yùn)動(dòng)且滿(mǎn)足 EF=a時(shí)，求p的最小值.【思路引導(dǎo)】 解法一：(I) 證明：在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi 中，AD /AiDi又 EH / AiDi, AD / EH./AD 0平面 EFGHEHU 平面 EFGH AD 平面 EFGH.(II) 設(shè) BC=b ,則長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi 的體積 V=AB- AD- AA=2a2b, 幾何體 EBiF-HCiG 的體積 Vi= (i/2EBi BF) - iCi=b/2 - EB- i F EBi2+ Bi F2=a2E

8、Bi2+ Bi F2<(EBi2+ Bi F2) /2 = a2/ 2,當(dāng)且僅當(dāng) EB-i=Bi F= la 時(shí)等號(hào)成立從而 Vi< 2b /4 .故 p=1-Vi/V >1a2b 7工=82a2b 8解法二:(I)同解法(II)設(shè) BC=b,則長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi 的體積 V=AB AD- AA=2a2b ,幾何體EBiF-HCiG的體積Vi= (i/2 EB-i B F) - iCi=b/2 EB-1 - i F設(shè)/ BiEF=0 (0° wew),90/ EB-i=" a" cos,Bi F ="a" si

9、n 0故 EB-i b F = a2sin 0當(dāng)且僅當(dāng)sin 2 0 =i 0 =4川等號(hào)成立.a2b從而V4a2b42a2b7 ,當(dāng)且僅當(dāng)sin 280 = iP 0 =45時(shí)等號(hào)成立.所以，p的最小值等于7/8【針對(duì)訓(xùn)練】1.【廣東省佛山市第一中學(xué) 2020屆月考】如圖，正方體 ABCD AB1C1D1的棱長(zhǎng)為a, E、F分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AE= BF = x.(1)當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐 B1 BEF的體積最大?(2)求異面直線(xiàn)AiE與BiF所成的角的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)首先得到體積函數(shù)，然后利用均值不等式確定取得最值時(shí)x的值即可；(2)首先作出異面直線(xiàn) AE與BiF所成的

10、角，然后結(jié)合余弦定理求得角的余弦值取值范圍，最后利用余弦值的范圍確定異面直線(xiàn) AE與BF所成的角的取值范圍.【詳解】(1)幻工工.K+#尸=,3 266224- a .當(dāng)x 時(shí)，二梭錐B BEF的體積取大.2(2)在AD上取點(diǎn)H使AH = BF = AE,則/此片，川二(?。三胃再用獷，所以 HAE(或補(bǔ)角)是異面直線(xiàn) AE與BF所成的角；在 RtAAH 中，ah 行x2，在 RtAAAE 中，AEJa2 x2 ,在 RtHAE 中，he &x2 V2x，222在HAE 中，cosHAEAH2 AE2 eh22AH AEc c cc 1a211T所以 a2 X2 a2 2a2, 1,

11、- cosHAE 1, 0HA1E -2 x2 a2232 .【安徽省安慶市2020屆模擬】如圖，ABC內(nèi)接于圓O, AB是圓O的直徑，四邊形 DCBE為平行四邊形， DC 平面ABC ,AB 2,EB 、.3.(1)求證：DE，平面ADC ;(2)設(shè)AC x, V(x)表示三棱錐B ACE的體積，求函數(shù) V(x)的解析式及最大值.【思路引導(dǎo)】(1)要證(1)要證DE 平面ADC ,需證BC 平面ADC ,需證DC BC, BC AC ,用綜合法書(shū) 寫(xiě)即可.1(2)由(1)可知BE 平面ABC ,所以體積為BE SABC , AC x BC y47 EB J3，禾”用 3均值不等式求解最大值.

12、詳解：證明：.四邊形 DCBE為平行四邊形，CD/ BE,BC/DE. DC，平面 ABC, BC?平面 ABC, DCXBC.AB 是圓。的直徑，BOX AC,且 DCAAC=C. .BC,平面 ADC. DE / BC,DEL平面 ADC;(2) . DC，平面 ABC,BE,平面 ABC.在 RtAABE 中,AB=2,EB=3V;在 RtAABC 中，: AC=x,BC=4- x2- V(0< x<2). SAABC=12AC?3C=12x?4-x2 V ,V(x)=VE- ABC=3v/6x?4- x2，,(0< x<2).x2(4- x2)? (x2+4-

13、x22)2=4,當(dāng)且僅當(dāng) x2=4- x2,即 x=2vM,取等號(hào)，x=2vt1體積有最大值為 3V3.3 .【浙江省金華市十校 2020屆模擬】如圖，在三棱錐 P ABC中，AB BC, AP PC, ABC 60 , AP PC ,直線(xiàn)BP與平面ABC(0,1).uuv uuuv成30°角，D為AC的中點(diǎn)，PQ PC ,(l)若PB PC ,求證：平面 ABC 平面PAC ;(I)若PB PC ,求直線(xiàn)BQ與平面PAB所成角的正弦值的取值范圍【思路引導(dǎo)】 由題意可得直線(xiàn) BP與平面ABC所成角是 PBD ,即 PBD 30 .設(shè)AC 2a,則BD J3a , PD a ,由余弦定

14、理得 PB a或2a.(I)若 PB PC,則 PB2a,由勾股定理可得PDDB ,又PD AC ,據(jù)此可得PD 平面ABC,平面PAC 平面ABC.(l)若 PBPC ,則 PB a,故 PQ 72 a , BQ 72"1a ,設(shè)hQ是Q到面PAB的距離,hC是C到面PAB的距離，則hQ由等體積法可得hC2.21,2.21aa，hQ -aa .設(shè)直線(xiàn)BQ與平面PAB所成角為 ，則sin2、一 217,據(jù)此可得直線(xiàn)BQ與平面PAB所C 21成角的正弦值的取值范圍為0,7試題解析: AB BC, AP PC, D 為 AC 的中點(diǎn),BD AC , PD AC, AC 平面 PBD ,直

15、線(xiàn)BP與平面ABC所成角是 PBD, PBD 30 .設(shè)AC則BD由余弦定理得 PB a或2a.(i)若PB則PBPBD 中 PD2 DB2 PB2. PD DB ,又PDACACDB平面ABC , .平面PAC 平面ABC .(I)若PBPBuuuv a, . PQuuuvPC , PQ V2BQ 2 2設(shè)hQ是Q到面PAB的距離,hC是C到面PAB的距離,則 hQhC ,由等體積法：1 § 2a3 414a v2a h0 ，4 %2 21 a ,2 .21設(shè)直線(xiàn)BQ與平面PAB所成角為sinHQBQ2.212.211a、2 20,1 ，10,2 . 0 sin21故直線(xiàn)BQ與平面

16、PAB所成角的正弦值的取值范圍為4 .【北京市城六區(qū)2019屆高三模擬】已知三棱錐 P ABC (如圖1)的平面展開(kāi)圖(如圖2)中，四邊形 ABCD為邊長(zhǎng)為 J2的正方形，AABE和BCF均為正三角形，在三棱錐 PABC 中:(I)證明：平面PAC 平面ABC;(I求二面角A PC B的余弦值;(I若點(diǎn)M在PC上，t足CMCP1 2、 ，一,一，一,點(diǎn)N在BP上，且BM AN ,求 3 3BN 一BN的取值范BP圍.【思路引導(dǎo)】第一問(wèn)取AC中點(diǎn)O,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得PO AC ,根據(jù)題中所給的邊長(zhǎng)，利用勾股定理求得PO OB,利用線(xiàn)面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結(jié)果；第二問(wèn)根

17、據(jù)題中所給的條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出結(jié)果；第三問(wèn)利用向量間的關(guān)系，利用向量垂直的條件，利用向量的數(shù)量積等于0,得出所求的比值與 的關(guān)系式,利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求得結(jié)果 .(D方法1:設(shè)AC的中點(diǎn)為O ,連接BO , PO.由題意PA PB PC &，PO 1，AO BO CO 1因?yàn)樵?PAC中，PA PC,。為AC的中點(diǎn)所以PO AC ,因?yàn)樵?POB 中，PO 1, OB 1, PB J2所以PO OB因?yàn)?AC OB O, AC, OB 平面 ABC所以PO 平面ABC因?yàn)镻O 平面PAC所以平面PAC 平面ABC方法

18、2：設(shè)AC的中點(diǎn)為O ,連接BO , PO.因?yàn)樵?PAC中，PA PC,。為AC的中點(diǎn)所以PO AC ,因?yàn)?PA PB PC , PO PO PO , AO BO CO所以 POA POBPOC所以 POAPOB POC 90所以PO OB因?yàn)?AC OB O, AC, OB 平面 ABC所以PO 平面ABC因?yàn)镻O 平面PAC所以平面PAC 平面ABC方法3：設(shè)AC的中點(diǎn)為O ,連接PO ,因?yàn)樵?PAC中，PA PC ,所以PO AC設(shè)AB的中點(diǎn)Q ,連接PQ , OQ及OB .因?yàn)樵?OAB中，OA OB, Q為AB的中點(diǎn)所以O(shè)Q AB .因?yàn)樵?PAB中，PA PB , Q為AB的中點(diǎn)所以PQ AB .因?yàn)?PQ OQ Q, PQ,OQ 平面 OPQ所以AB 平面OPQ 因?yàn)镺P 平面OPQ所以O(shè)P AB因?yàn)?AB AC A, AB, AC 平面 ABC所以PO 平面ABC因?yàn)镻O 平面PAC所以平面PAC 平面ABC(I)由PO 平面ABC, OB AC ,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則yO 0,0,0 , C 1,0,0 , B 0,1,0 , A 1,0,0 , P 0,0,1uuv由OB 平面APC ,故平面APC的法向量為OB 0,1,0uuvuuv由 BC 1, 1,0 , PC1,0, 1v一設(shè)平面PBC的法向量為n x