專題03隨機變量的分布列、期望、方差-2019浙江高考數(shù)學(xué)試題探源與變式

1、2019浙江高考試題探源與變式專題三隨機變量的分布列、期望、方差【母題原題1】【2019浙江，7設(shè)。則隨機變量X的分布列是:X0a1P2 3132 3則當。在(。,1)內(nèi)增大時()B. Q(X)減小D. O(x)先減小后增大A. D(X)增大c. o(x)先增大后減小【答案*】D【解析】方法1：由分布列得E(x)=彳，則0(X) =-0 x- +1x- +313i) *瀉(嗎)4*則”在(0,1)內(nèi)增大時，O(X)先減小后增大.故選D.【母題原題2】【2018浙江，7設(shè)隨機變量孑的分布列是g012pl-pP221則當在(0, I)內(nèi)增大時,A. D (c)減小 B. D 增大C. D(4)先減

2、小后增大 D. D (先增大后減小【答案*】D【解1-pE(O=0x-y +pX-+2x-=p22nnn點睛：E0 = Z%Pi，D© = Z(xE©)% = x/pj-E2). i=li=li=1【母題原題3】【2017浙江，8)已知隨機變量。滿足P (。二1)二口，P(q=0)=l-p：, i=l,2.若 0<p1<p3< i ,則2A. E(§)< E(Q D«,)< D(4) B. E信)< E($), D(4)> D(%)C. E信)E,D(1)< D(芻)D. E(§)> E($

3、)，D(4J> D©)【答案*】A【解析】E(4) = P,EG) = p” .E信)<E).VD«I) = A(l-pI),D() = p2(l-p2),：。(燈一。© ) = (Pl - 2 )。一 P2 ) <。，故選 A.【名師點睛】求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后 利用排列，組合與概率知識求出X取各個值時的概率.對于服從某些特殊分布的隨機變量, 其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽 到的某類個體的個數(shù).由已知本題隨機變量,服從兩點分布,由兩點分布數(shù)學(xué)期望。方差

4、 的公式可得A正確.【命題意佟I】1.分布列的概念及其性質(zhì)；2.考查期望、方差的關(guān)系及其計算公式；3.考查運 算求解能力、分析與解決問題的能力.【命題規(guī)律】離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點題型，前幾年以解答題為主，常與 排列、組合、概率等知識綜合命題.以實際問題為背景考查離散型隨機變量的均值與方差在 實際問題中的應(yīng)用，是高考的主要命題方向.近三年浙江卷略有淡化，難度有所降低，主要 考查分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望、方差的計算，及二者之間的關(guān)系.同時，考查二次函數(shù)性質(zhì) 的應(yīng)用，逐漸形成穩(wěn)定趨勢.【答題模板】求離散型隨機變量均值、方差的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值：(2

5、)求X的每個值的概率：(3)寫出X的分布列；(4)由公式求出E(X)、方差.【方法總結(jié)】1 .求離散型隨機變量均值、方差的基本方法已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解：(2)已知隨機變量看的均值、方差，求g的線性函數(shù)的均值、方差和標準差，可 直接用4的均值、方差的性質(zhì)求解：(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們 的均值、方差公式求解.2 .六條性質(zhì)E(C)= C (C為常數(shù))(2) E(aX+b) = aE(X)+b (/為常數(shù))(3) E(Xi+X2) = E(X1) + E(X2)如果X,匕相互獨立，則七(X1

6、 X2) = E(X J E(X?) £>(X) = E(X2)-(E(X)2(6) D(aX+b) = a2D(X)3.均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若X是隨機變量，則 = /(X)一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算.生事源而腐秘一、選擇題1.【浙江省金華十校2019屆第二學(xué)期高考模擬】設(shè)隨機變量J的分布列是一c012P1P2則當在(0,1)內(nèi)增大時()A. E(9減小,。優(yōu))減小B.石侑)減小，D&)增大C.4鄉(xiāng)增大，。值)減小D.石侑)增大，增大【答案*】A【解析】由題意得E4) = Ox: + lx4 + 2

7、x? = l-4，所以"在(0,1)內(nèi)增大時，頤§)減少: 22220(4 = 。一 (1_7)2x； + 1 (17)x§+2 (1 §)2xF = 1 乙乙乙乙乙乙乙2所以當P在(0,1)內(nèi)增大時,。(鄉(xiāng)減少.故選：A.2 .【浙江省浙南名校聯(lián)盟2019屆高三上學(xué)期期末】已知隨機變量X的分布列如下表:X-101PabcDX<-其中。力,c > 0.若x的方差3對所有a e (0,1 -田都成立，貝ij()0<bW之A. 320<b 4 B. 3<b<l C. 3【答案*】D【解析】由x的分布列可得：X的期望為EX=

8、-a + c, a + b+c = l, 所以X的方差OX = ( - 1 +q -c)2q + (a-c)2/? + (1 + q-c)2c =(a-c)2(q + b + c) - 2(a- c)2 + a + c =- (a-c)2 + q + c,=-(2a - 1 + b)2 + l-b=-4a-+ 1因為aw (0,1)_l-b所以當且僅當“=亍時，DX取最大值1-6，1122DX < . x1 二 b 二又 3對所有aW(0,l-b”；成立，所以只需3,解得 3,所以3故選D3 .【浙江省嘉興市2019屆高三上期末】已知隨機變量的分布列如下，則E (，)的最大值是()-10

9、aP1 412 1。-b 4515119A. 8B. 64C. 4D. 64【答案*】B【解析】=_ 廬 + 二 b 化簡得到4 4,根據(jù)：根據(jù)分布列的性質(zhì)的到,所有的概率和為1,且每個概率都介于0和1之間，得到b-a=0, 0. ) =- 1 x + q( b =根據(jù)公式得到4" J 4_15次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)最大值在軸處取，代入得到- 64. b =- 此時 8.經(jīng)檢驗適合題意.故答案為：B.0 < a < -4.【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】已知 4,隨機變量的分布列如下：-101p341一 a4a當a增大時，（）A.夙C增大,，（）增大 B.鳳）減小，（）

10、增大C.爪6）增大，（f）減小D.鳳f）減小，（）減小【答案*】A3E （£） =a 【解析】分析：由隨機變量 （ 的分布列，推導(dǎo)出4,從而當a增大時，E571D （）=-to） 2+0<。<增大：44.由 4,得到當a增大時，。紇）增大.3E （O = a 詳解：由隨機變量§的分布列，得4, I.當?shù)锎髸r，E «）增大；D（C = -l-a + 2x5 +（0-a + 1j2x-aj + l-a + |j2xa=-a2 + |a + =-fa-）2 + - 0 < a < -k 4/4, 4,，當砒大時，D增大，故選A.5.【浙江省寧波市

11、2019屆高三上期末】已知S是離散型隨機變量，則下列結(jié)論錯誤的是（）A Pg如咐蜀b.（E（*的C. D（f） = D（l-0 D. D（f2） = D（l-f）2）【答案*】D【解析】P（田蜀二。卜沁蜀4P伏蜀二當“ 丁， 在 A 中，I 3J 33/ I 3） 33 ）,故 A 正確；在B中，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得國產(chǎn)工四9），故B正確：在c中,由方差的性質(zhì)得。延）=。（1-9,故c正確;在 D 中,。/）工。（1-92） = 4。（9 +。6）,故 D 錯誤.故選D.6.【2018年浙江省普通高等學(xué)校全國招生統(tǒng)一考試模擬】已知隨機變量4（，= 1,2）的分布 列如表所示：012P£

12、 3Pi2丁 Pi1 2若。V P < V 2 V q，則（） 23A.鳳。）七©）,。（。）<。值）B.磯貓伊仁）,。信）.俗）C. EE（蜃），。佃）> D（4）D. E,E體）,。信）> D值）【答案*】D【解析】由題意得E信）=P, + 2（| - J =/不1 2V0<Pl<-<p2<-E（4）>E（&）。（。）=苴。一同芻）丁 + /山一七©）丁+（|，2 七（同2。(芻產(chǎn)外化一力 +/,力 +(1-,)產(chǎn)3) 3) 5 ) 51Q9 1設(shè)/(x) = V - 1工+ ；,則x)在0,二上單調(diào)遞減.3

13、93 >1270<<-<2<-.。信)>。信) 故選D.7.【2018年4月浙江省金華十校高考模擬】隨機變量的分布列如下:-101Pabc其中a, b, c成等差數(shù)列，則以的最大值為（2523A. 3 B. 9 C. D.【答案*】A 28=a + c, a + b + c = 1, b = -,c =a,【解析】因為4 b, c成等差數(shù)列，332 * =- a + c =- 2a + §Df = ( -1 + 2a -1)2 x a +(2a -|)2 x b + (1 + 2a -1)2 x 6 - aj=-4a2 + + ( =- 4(a -

14、 + + U3933 32則。1的最大值為§ .本題選擇4選項.0 < a < 一8.12017屆浙江省高三上學(xué)期高考模擬】已知 2,隨機變量6的分布如下:-101Pa12012當。增大時，()A. E(9增大,。延)增大B. 減小,增大C. £(0增大,D(9減小D. £仔)減小，D(f)減小【答案】BE() =- Q + ?【解析】由題意得，2,19191191員。= (-a + - + l)2xa + (-a + a)+(-a+-I)2 x - 乙乙乙乙乙2cl 八 1=_q/ + 2q + -0<a <-c,八 八4,又： 2, J

15、故當Q增大時，減小，。(打增大，故選B.9.【2017年12月浙江省重點中學(xué)期末熱身】已知隨機變量§滿足尸傳= O) = L9?p(g = l) = x, p(g = 2) = 士一X,若0<xv±,則()A. E(J)隨著工的增大而增大，0(4)隨著X的增大而增大B. E(J)隨著大的增大而減小，。(與隨著x的增大而增大C. E(J)隨著x的增大而減小，。/)隨著x的增大而減小D. E(J)隨著x的增大而增大，。(劣隨著X的增大而減小【答案*】C【解析】,隨機變量看滿足尸(4 = 0) = ：, P(J = l) = x, P( = 2) = j-xE(J) = 0

16、x； + lxx + 2xD)=+37 33； V 3;=一.一 一 X + - = - X d + 39 I 6 J 120 < x < 3.E(4)隨著X的增大而減小，O(g)隨著X的增大而減小故選C二、填空題10.【2018屆浙江省寧波市5月模擬】已知隨機變量X的分布列如下表:Xa234P13b1614若EX = 2,則a =； DX =5【答案*】0. 2【解析】+/> + - + =l,Ab = - 由題得36441111所以EX = ax + 2 X + 3x + 4x = 2 3464解得a=0.DX = (0 2)2 .：+(2-2產(chǎn)：+ (3-2)2.；+ (4-2)2.： = . 所以3464 25故答案為：0, 2-102PX13y1L【浙江省2018年12月重點中學(xué)高三期末熱身】已知隨機變量的分布列為:若則+ > =：.214【答案*】§§【解析】由分布列的性質(zhì)以及期望公式可得, 12X = V = - X + V =-解得 3.3.-lxx+0 + 2y = i1%+y+=13,*,D(c=('i4)2x§+(°4)24