小學(xué)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)研究導(dǎo)引與案例解析

1、小學(xué)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)研究導(dǎo)引與案例解析張奠宙1,唐彩斌2(1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系上海200062,2.杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心浙江杭州310002【摘要】綜合與實(shí)踐活動(dòng)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)四大領(lǐng)域之一,它的涵義是一種學(xué)生人人參與的必修學(xué)習(xí)活動(dòng),是具有可綜合性、思考性、操作性、趣味性的數(shù)學(xué)活動(dòng)。本文按照活動(dòng)的內(nèi)容, 將這一領(lǐng)域的活動(dòng)分為綜合應(yīng)用型,操作實(shí)踐型,數(shù)學(xué)欣賞型,數(shù)學(xué)文化型,數(shù)學(xué)素養(yǎng)型,并結(jié)合22個(gè)案例具體解析?！娟P(guān)鍵詞】綜合與實(shí)踐涵義分類案例義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿把小學(xué)數(shù)學(xué)分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何,統(tǒng)計(jì)與概率,綜合與實(shí)踐四大領(lǐng)域。與其他幾個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容和要求相比,綜合與實(shí)踐活動(dòng)領(lǐng)

2、域的內(nèi)容要求顯得尚不明晰,只有相應(yīng)的框架性目標(biāo)與個(gè)別案例,從現(xiàn)實(shí)教學(xué)狀況來(lái)看,僅僅有理念層面的引導(dǎo)難以付諸于教學(xué)行為,到底什么是小學(xué)數(shù)學(xué)的綜合與實(shí)踐活動(dòng)?綜合與實(shí)踐活動(dòng)有哪些基本的類型?怎樣組織綜合與實(shí)踐活動(dòng)的開(kāi)展?本文就是基于此而展開(kāi)討論,并提供25個(gè)典型的案例。一,數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的內(nèi)涵9年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿指出,“綜合與實(shí)踐”是一類以問(wèn)題為載體、師生共同參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)。針對(duì)問(wèn)題情境,學(xué)生綜合所學(xué)的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn),獨(dú)立思考或與他人合作,經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的全過(guò)程,感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與生活實(shí)際之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系,加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。我們認(rèn)

3、為,小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的內(nèi)容要符合以下的要求:1.問(wèn)題情景的綜合性、趣味性和挑戰(zhàn)性。綜合與實(shí)踐活動(dòng)不能是其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域的簡(jiǎn)單重復(fù),問(wèn)題情景必須較為開(kāi)闊,能夠?yàn)樗袑W(xué)生理解,又生動(dòng)有趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。綜合與實(shí)踐活動(dòng)不是難題,而是人人都能參與,起點(diǎn)低,開(kāi)放度大的問(wèn)題,現(xiàn)在目前技能難度系數(shù)高的問(wèn)題比較多,體驗(yàn)性與欣賞性的比較少。比如: 555555555999999999中間填幾能被7整除,就太難了。常見(jiàn)的去居民區(qū)調(diào)查等,并非小學(xué)生適合體驗(yàn)的實(shí)踐活動(dòng)。比如調(diào)查小區(qū)內(nèi)每戶人家的用水量,難免給居民帶來(lái)一定的不便,而調(diào)查所得數(shù)據(jù)背后的社會(huì)問(wèn)題,也并非一個(gè)小學(xué)生所能理解的。2.問(wèn)題解決過(guò)程中的活

4、動(dòng)性和可操作性。既然是實(shí)踐活動(dòng),并非只是做一道習(xí)題或考題那樣的單純。在綜合實(shí)踐活動(dòng)中,學(xué)生要“動(dòng)”起來(lái)。不止動(dòng)腦,還要?jiǎng)邮?包括其他的活動(dòng)。3.數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì),有助于提高學(xué)習(xí)著的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)的綜合與實(shí)踐活動(dòng)不是泛化的綜合型活動(dòng),即便是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的內(nèi)容相聯(lián)系,也要突出數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),即便是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系,也必須呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。比如:1000000顆黃豆有多重?事實(shí)上,百萬(wàn)顆黃豆的重量不重要,重要的是百萬(wàn)這個(gè)數(shù)的構(gòu)造。具體的實(shí)物1百萬(wàn)有多少這是人的生活體驗(yàn),不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。每個(gè)居民向?yàn)?zāi)區(qū)捐款500元月,多少居民能捐滿到1百萬(wàn)?13億人中有多少個(gè)1百萬(wàn)?這些素材不僅有現(xiàn)實(shí)背景,

5、而且還有數(shù)學(xué)意義。二.綜合與實(shí)踐活動(dòng)的類型小學(xué)數(shù)學(xué)的“綜合與實(shí)踐活動(dòng)”應(yīng)該是豐富多彩的。我們嘗試把“綜合與實(shí)踐活動(dòng)”的內(nèi)容分為以下5個(gè)主要類型:綜合應(yīng)用型,操作活動(dòng)型,數(shù)學(xué)欣賞型,數(shù)學(xué)文化型,數(shù)學(xué)素養(yǎng)型。并分別用案例加以說(shuō)明。1.綜合應(yīng)用型。這是指在實(shí)踐活動(dòng)中,需要把數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的知識(shí)和技能綜合起來(lái),靈活應(yīng)用解決問(wèn)題?？赡苁谴鷶?shù)與幾何內(nèi)容的結(jié)合,可能是統(tǒng)計(jì)與排列組合的結(jié)合,也可能是同一領(lǐng)域不同知識(shí)和技能的結(jié)合。案例1 班級(jí)旅游計(jì)劃。這是目前大量采用的實(shí)際應(yīng)用課題。活動(dòng)需要根據(jù)班級(jí)的實(shí)際情況,分交通、食品飲料、門(mén)票等開(kāi)支,以及班級(jí)人數(shù)、交款數(shù)額,學(xué)校補(bǔ)助,折扣計(jì)算等許多數(shù)據(jù)。高年級(jí)復(fù)雜些,低年級(jí)

6、簡(jiǎn)單些,根據(jù)具體情形設(shè)置。案例2 儲(chǔ)蓄計(jì)算。學(xué)習(xí)百分比以后,根據(jù)現(xiàn)行利率,計(jì)算不同存期(整存整取,6個(gè)月或12個(gè)月存期,利息轉(zhuǎn)存,求5年后的本利和。社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)是我國(guó)的經(jīng)濟(jì)體制。數(shù)學(xué)課程責(zé)無(wú)旁貸地應(yīng)當(dāng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的某些計(jì)算工具。案例3 身份證號(hào)碼的第18位檢驗(yàn)碼。身份證第18位是檢驗(yàn)碼,這是數(shù)碼信息時(shí)代的特色之一。根據(jù)網(wǎng)上公布的17個(gè)“權(quán)”,以及前17位身份證號(hào)碼,加權(quán)作和,然后除以11,所得余數(shù)可以相應(yīng)地得到第18位號(hào)碼。此問(wèn)題可以擴(kuò)充到書(shū)號(hào)、商品條形碼等問(wèn)題,雖然只用到加減乘除,卻充滿了時(shí)代氣息。案例4 做“紙獎(jiǎng)杯”。本案例可以用彩色紙(或者廢報(bào)紙做一個(gè)獎(jiǎng)杯,部件分別是長(zhǎng)方體,錐體、圓柱

7、體等立體圖形。主要幫助學(xué)生了解這些“可展為平面”的立體圖形的構(gòu)造。這里,特別指出,球面不是可展面,不能用紙做出來(lái)。案例5 用方格紙上架設(shè)坐標(biāo)系標(biāo)記教室。坐標(biāo)確定位置,關(guān)鍵是原點(diǎn)選取和坐標(biāo)軸架設(shè)。不同架設(shè)得到不同的標(biāo)記。每個(gè)學(xué)生對(duì)應(yīng)一對(duì)自然數(shù)坐標(biāo)之后,我們可以問(wèn)“兩個(gè)坐標(biāo)都相同”點(diǎn)是什么圖形?第一個(gè)坐標(biāo)是0 的同學(xué)構(gòu)成什么圖形。坐標(biāo)的作用不僅僅是確定位置,關(guān)鍵是表示集合圖象。2.操作活動(dòng)型。這是指學(xué)生需要借助肢體的操作活動(dòng)來(lái)完成的實(shí)踐活動(dòng),比較直觀,把顯性動(dòng)作與隱性的數(shù)學(xué)思考相結(jié)合完成。案例6 (巨人的手1昨晚外星人訪問(wèn)我校,留下一個(gè)巨大的手印(在黑板上。據(jù)說(shuō),這位外星人和地球人的外形十分相似。

8、今晚他還要來(lái),請(qǐng)問(wèn)1荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾的設(shè)計(jì)要給他坐桌子要多高?書(shū)應(yīng)該多大?鉛筆應(yīng)該多長(zhǎng)?他們用的硬幣面積有多大。學(xué)習(xí)“比例”內(nèi)容以后可以進(jìn)行這一綜合實(shí)踐活動(dòng)。這一活動(dòng)將比例、幾何圖形、數(shù)字計(jì)算綜合起來(lái),適合小學(xué)生的趣味需要和數(shù)學(xué)水平。測(cè)量,是基本數(shù)學(xué)活動(dòng),但要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)本質(zhì)。本題的價(jià)值在于:將測(cè)量的手段服務(wù)于“相似形”的對(duì)應(yīng)邊成比例。案例7 認(rèn)識(shí)算盤(pán)。珠算已經(jīng)成為我國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn),目前正在申報(bào)世界非物質(zhì)遺產(chǎn)。僅就“德育”層面分析,珠算就是必須認(rèn)識(shí)的。珠算是半抽象的計(jì)算模型。它的位置記數(shù)方法清晰,加減過(guò)程透明,易于理解。尤其因?yàn)橹樗闶且环N學(xué)具,甚或是玩具。學(xué)生動(dòng)手撥弄算珠,是難得的動(dòng)手計(jì)

9、算的數(shù)學(xué)活動(dòng),至于為什么中國(guó)的算盤(pán)上面有兩顆珠?它的數(shù)學(xué)意義是什么?加減統(tǒng)一的思維方法,更是值得學(xué)生探討學(xué)習(xí)的。此外,對(duì)于智障兒童來(lái)說(shuō),珠算是學(xué)習(xí)數(shù)字計(jì)算的必用工具。案例8:自制飛機(jī)飛多遠(yuǎn)?(選自美國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn),2000用一張A4紙折飛機(jī),能夠飛多遠(yuǎn)呢?為了反應(yīng)飛機(jī)飛的距離需要收集相應(yīng)的數(shù)據(jù),幾次比較合適?加上別針會(huì)是怎樣的結(jié)果?這是一個(gè)收集數(shù)據(jù)進(jìn)行探究實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐活動(dòng)?？砂匆韵虏襟E操作(1用一張A4紙折飛機(jī),能夠飛多遠(yuǎn)呢?(2要比飛的距離?飛幾次比較合適?(3用哪個(gè)數(shù)代表飛行距離?(4在機(jī)頭上加上一個(gè)別針,再次測(cè)量飛行距離;看看結(jié)果會(huì)是怎樣?(5加兩個(gè)別針再作試驗(yàn);(6分析數(shù)據(jù),推斷:是不是別針

10、加得越多越遠(yuǎn)?(7加3個(gè)別針驗(yàn)證;(8歸納:影響飛機(jī)飛行距離的因素。會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)不是想象的那樣,太重了反而飛不遠(yuǎn)了。案例9 三角與折扣(張景中院士提供把正方形壓扁成菱形,菱形的面積與壓扁的角度有關(guān);把壓扁后菱形的面積所打的折扣叫做正弦。如果邊長(zhǎng)是1有一個(gè)角為a的菱形的面積叫做角a的正弦,那么平行四邊形的面積=sinA×a×b?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出三角形等其他平面圖形的面積。這個(gè)案例源自張景中院士的“三角下放”的設(shè)想。在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積的時(shí)候,幾乎所有學(xué)生開(kāi)始的直覺(jué)都是相鄰兩邊的乘積就是平行四邊形的面積。這樣的想法具有一定的合理的成份,問(wèn)題是要打一個(gè)折扣:sin A。對(duì)任意A

11、BC,它的面積就1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC。案例10 兩顆骰子數(shù)值之差的統(tǒng)計(jì) 擲兩顆骰子得到兩個(gè)數(shù),注意大數(shù)減小數(shù)后的差數(shù). 是否有一個(gè)差數(shù)比其他差數(shù)更可能出現(xiàn)?如果你擲這兩顆骰子20次,看看結(jié)果如何?3.數(shù)學(xué)欣賞型的活動(dòng)。數(shù)學(xué)與語(yǔ)文的學(xué)習(xí)有很多不同。學(xué)習(xí)唐詩(shī),會(huì)欣賞不會(huì)做;但是數(shù)學(xué)剛好相反,數(shù)學(xué)會(huì)做卻往往不會(huì)欣賞。我們應(yīng)該讓學(xué)生在會(huì)做數(shù)學(xué)的同時(shí)也能夠?qū)W會(huì)欣賞某些數(shù)學(xué)。欣賞不只是直觀的形象美,領(lǐng)域也不局限在幾何領(lǐng)域,包括代數(shù)領(lǐng)域的和諧美、應(yīng)用美、規(guī)律美等。案例11 收集各種幾何圖案(包括常見(jiàn)圖案、交通標(biāo)志、商標(biāo),建筑外形等。這是直觀的觀察活動(dòng),著重于外觀之美。結(jié)

12、合圖案的來(lái)源說(shuō)明其意義,增加幾何圖形美觀的人文價(jià)值。如五環(huán)旗幟與無(wú)大洲、五種膚色等案例12圓規(guī)畫(huà)米老鼠。規(guī)定只能用圓規(guī)在坐標(biāo)方格紙上畫(huà)出米老鼠的形象,而且指出各段圓弧的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)度。這個(gè)活動(dòng)涉及數(shù)學(xué)欣賞,但它不僅僅是客觀地欣賞數(shù)學(xué)美,而要主觀地創(chuàng)造美麗的圖案。具體的操作辦法是根據(jù)米老鼠的形象用圓規(guī)畫(huà)出相應(yīng)圓或圓弧,要求學(xué)生熟練使用圓規(guī),熟練操作技能。同時(shí)要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確描述每一個(gè)組成部分的畫(huà)法，圓心位置，半徑大小，借助坐標(biāo)及方格準(zhǔn)確刻畫(huà)。 案例 13：數(shù)與式的和諧美。 數(shù)學(xué)美不僅在圖形和幾何領(lǐng)域，也蘊(yùn)含在數(shù)與代數(shù)的領(lǐng)域。比如：和諧美： 交換律 a+b = b+a; a×bb&#

13、215;a；看起來(lái)很和諧， 如 1/2×1/31/6, 分子分母分別相乘，也是和諧的； 但分?jǐn)?shù)的加法， 把分子分母分別相加，表面和諧卻是錯(cuò)誤的，許多同 學(xué)寫(xiě)出 1/21/32/5；就是根據(jù)“和諧”的愿望， 可惜是錯(cuò)的； 式的規(guī)律美：如 1×11 11×11121 111×11112321 1111×11111234321 美妙的結(jié)果： 任何三角形內(nèi)角和都是 180 度； 三角形三條高交于一點(diǎn)， 三條中線交于一點(diǎn)， 三條角平分線交于一點(diǎn)。 美妙之極， 驚嘆自然規(guī)律之深 刻。 案例 14 在一塊矩形場(chǎng)地要設(shè)置一些花壇，使得花壇的面積恰好為場(chǎng)地的 一

14、半， 花壇的形狀要盡量美觀。 （源自日本 1993 年一次國(guó)際會(huì)議上現(xiàn)場(chǎng)課的題 目） 這是一道開(kāi)放題， 可以有無(wú)數(shù)種設(shè)計(jì)。問(wèn)題要求學(xué)生把數(shù)學(xué)和美術(shù)結(jié)合起 來(lái)， 用豐富的想象力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)計(jì)算， 獲得滿意的結(jié)果。 評(píng)價(jià)時(shí)可以要求 至少給出 5 種不同的設(shè)計(jì)。 4 數(shù)學(xué)文化型活動(dòng)。 數(shù)學(xué)是一種文化。 數(shù)學(xué)所承載的人文精神是我們需要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。數(shù) 數(shù)學(xué)文化最容易聯(lián)系的是有關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容 案例 16 圓周率的演變 中國(guó)古代從先秦時(shí)期開(kāi)始，一直是取“周三徑一”的數(shù)值來(lái)進(jìn)行有關(guān)圓的計(jì) 6 算。東漢的張衡不滿足于這個(gè)結(jié)果，他從研究圓與它的外切正方形的關(guān)系著手得 到圓周率。魏晉時(shí)期，劉徽提出用“割圓術(shù)”來(lái)

15、求圓周率，把圓內(nèi)接正多邊形的 面積一直算到了正 3072 邊形，并由此而求得了圓周率 為 3.14 和 3.1416 這兩 個(gè)近似數(shù)值。這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算最精確的數(shù)據(jù)。以后到了南北朝 時(shí)期，祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力，終于使圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)以后 的第七位。比西方國(guó)家早一千一百多年。 華羅庚和陳景潤(rùn)、 案例 16 華羅庚和陳景潤(rùn)、哥德巴赫猜想 華羅庚的傳奇人生是大家熟悉的。在學(xué)習(xí)奇、偶數(shù)的時(shí)候， 可以舉行這樣 的活動(dòng)， 讓大家收集資料， 寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)作文。 陳景潤(rùn)與哥德巴赫猜想：1742 年，歌德巴赫寫(xiě)信給著名數(shù)學(xué)家歐拉，信中 提出如下問(wèn)題：每一個(gè)偶數(shù) n6，都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)

16、p1,p2 之和，即 n=p1+p2. 這 就是至今仍未能完全解決這個(gè)世界著名的難題，歌德巴赫猜想。 我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了（12） ，即一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)之積的和。 大家可 以試試 案例 17 對(duì)稱和對(duì)聯(lián) 清 泉 石 上 流 照 間 松 月 明 它們有什么共同點(diǎn)？ 變化中的不變性質(zhì)。 案例 18 無(wú)限的想象 小學(xué)數(shù)學(xué)有許多無(wú)限， 自然數(shù)全體就是無(wú)限的。 因如分?jǐn)?shù)后有無(wú)限循環(huán)小數(shù)， 幾何里有無(wú)限延長(zhǎng)不相交的平行線。 聯(lián)想杜甫的詩(shī)： “無(wú)邊落木蕭蕭下， 不盡長(zhǎng)江滾滾來(lái)” 讓大家談?wù)勎覀冾^ 。 7 腦中的無(wú)限。 無(wú)限的宇宙， 無(wú)限的思念 5 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)素養(yǎng)型 案例 19 九宮格里的四方連。 如圖在九

17、宮格中找出四方連圖形，并用 4 個(gè)數(shù)算出 24。 這是一個(gè)數(shù)與形結(jié)合的綜合實(shí)踐活動(dòng)，一方面學(xué)生需要知道 四方連的幾種不同形式，同時(shí)要要平移四方連感知到每一個(gè)四連 方出現(xiàn)在九宮格的不同位置；另一方面，根據(jù)四方連出現(xiàn)的位置不同，對(duì)應(yīng)的 4 個(gè)數(shù)需要經(jīng)過(guò)計(jì)算，求得結(jié)果 24。 本圖可勾劃出 28 個(gè)四方連圖，這些圖中的數(shù)均能通過(guò)計(jì)算算出得數(shù) 24。 在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的變化關(guān)系，從特殊到一般，從不可 檢測(cè)到可以檢驗(yàn)，從描述走向證明。 案例 20圖形分類 如圖所示，桌上散落著一些扣子，請(qǐng)同學(xué)們想一想可以把這些扣子分成幾 類？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？然后，數(shù)一數(shù)每一類各有多少顆扣子，并用文字