哥廷根數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的起點(diǎn)高斯時(shí)代

1、哥廷根數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的起點(diǎn)高斯時(shí)代1795年，18歲的卡爾-弗里得利希高斯(CarlFriedrichGauss,17771855)到哥廷根大學(xué)深造。在此之前，他已獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了許多初等幾何、代數(shù)、數(shù)論和分析中的重要定理，包括素?cái)?shù)定理和二次互反律。入學(xué)后，他不僅仍長(zhǎng)于發(fā)現(xiàn)，而且著力于嚴(yán)格的證明。比如，他給出了代數(shù)基本定理的第一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，嚴(yán)格導(dǎo)出了可用圓規(guī)直尺作的正多邊形的條件，徹底討論了割圓方程，引人了模整數(shù)同余的概念，證明了二次互反律在研究中，高斯將歐幾里得在幾何中的嚴(yán)格精神導(dǎo)人數(shù)論、代數(shù)和分析。對(duì)于證明，他強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)明性和優(yōu)美性。1817年3月，高斯回顧二次互反律的七種證明之一時(shí)說：“高級(jí)算術(shù)的特點(diǎn)

2、是：通過歸納能愉快地發(fā)現(xiàn)許多最漂亮的定理；但要證明它們常常要經(jīng)過多次失敗，最終的成功則依賴于深刻的分析和有幸發(fā)現(xiàn)的莫種結(jié)合數(shù)學(xué)這一分支中不同理論之間的奇妙結(jié)合?！彼M(jìn)而認(rèn)為，即使你已經(jīng)得到一個(gè)證明，但“就高級(jí)算術(shù)而論，你絕不能以為研究已告結(jié)束，或把尋找另外的證明當(dāng)作多余的奢侈品。有時(shí)候，你開初并沒得到最美和最簡(jiǎn)單的證明，而恰是這種證明才能深入到高級(jí)算術(shù)之真理的奇妙聯(lián)系中去。這是吸引我們?nèi)パ芯康闹饕獎(jiǎng)恿?，并常能使我們發(fā)現(xiàn)新的真理?！边@里，高斯道出了純數(shù)學(xué)研究的一個(gè)基本思想，即尋找數(shù)學(xué)內(nèi)部蘊(yùn)涵的本質(zhì)聯(lián)系是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)目標(biāo)，而且是獲得新真理的重要途徑。高斯的科學(xué)素養(yǎng)是雙重的，他的算術(shù)研究和成功地預(yù)

3、測(cè)第一顆小行星位置的創(chuàng)舉，使他在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都享有崇高的榮譽(yù)。高斯一生中從事了天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、地磁學(xué)、力學(xué)、屈光學(xué)和其他物理學(xué)的實(shí)驗(yàn)及理論研究，通過這些研究，他又建立了像曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)、位函數(shù)理論這些重大的數(shù)學(xué)理論。56歲時(shí)，他還跟韋伯(WilhelmWeber,18041891)合作發(fā)明了電報(bào)。正如數(shù)學(xué)史家斯特洛伊克(DJStruik)所說，高斯在他自己的活動(dòng)領(lǐng)域中，以最強(qiáng)有力的方式表達(dá)了他那個(gè)時(shí)代的新觀念。如果說康德站在哲學(xué)的山巔從理念上把數(shù)學(xué)捧為一切科學(xué)真理的化身，那么，高斯是用具體和切實(shí)的創(chuàng)造性工作，使人們真正體驗(yàn)到純粹數(shù)學(xué)的廣闊前景和應(yīng)用數(shù)學(xué)的無比威力。應(yīng)該指出，高斯的數(shù)學(xué)觀已在康德的觀念上前進(jìn)了一步，他否認(rèn)全部純數(shù)學(xué)知識(shí)的先驗(yàn)性。在數(shù)論領(lǐng)域，他繼續(xù)追隨康德，承認(rèn)“數(shù)只是我們心靈的產(chǎn)物”；在幾何領(lǐng)域，他否定了康德，認(rèn)為“空間確實(shí)具有超乎我們心靈以外的實(shí)在性，我們不能把它的定理說成是先驗(yàn)的”。高斯的這種看法可能跟他發(fā)現(xiàn)非歐幾何有關(guān)：既然能把歐幾里得幾何中的一條公理改成相反的內(nèi)容而導(dǎo)出同樣和