省高中數(shù)學新教材中應用問題的思考

1、對高中數(shù)學應用問題的幾點思考摘要：數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，高中數(shù)學的學習目的之一，就是培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，要求學生會提出、分析和解決帶有實際意義或相關學科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題，使用數(shù)學語言表達問題，進行交流，形成應用數(shù)學的意識和能力。在高中數(shù)學新教材在每章開頭的序言，問題引入，例、習題，“實習作業(yè)”和“研究性課題”中都編排了大量的應用問題，說明了新教材對數(shù)學應用問題的高度重視。中學數(shù)學教學過程的始終都應注重學生應用意識的培養(yǎng)，加大應用問題的教學力度。關鍵詞： 數(shù)學 課程 應用問題 教學策略高中數(shù)學新教材在每章開頭的序言，問題引入，例題、習題，“實習作業(yè)”和“研究性課題”

2、中都編排了大量的應用問題， 說明了新教材對數(shù)學應用問題的高度重視。在新教材的教學中，一方面要根據(jù)教學目標認識到新教材為何對應用問題如此重視，另一方面要根據(jù)高中學生的認知規(guī)律和思維特點進行應用問題的教學，培養(yǎng)學生的應用意識和應用能力。 一、加強數(shù)學應用意識和能力的培養(yǎng)的必要性在普通高中新課程方案導讀中有一項對高中課程實施基本條件的滿意度的調(diào)查。在對課程的實用性，時代性，選擇性和靈活性一項的調(diào)查中，結(jié)果如下：（滿意度比較）很滿意滿意一般不滿意很不滿意未注意實用性312004312129429時代性282094262088639選擇性3018440124610430對數(shù)據(jù)的進一步調(diào)查還發(fā)現(xiàn)，不同身份

3、的人對高中課程內(nèi)容的特點的態(tài)度有所差別，大學生和高中生的不滿意度明顯高于其他身份的人。大學生是高中剛畢業(yè)不久的群體，他們對高中課程記憶猶新，且有機會洞察高中課程對進一步學習是否會產(chǎn)生較大的幫助。高中生是課程的真實體驗者，他們對高中課程的利弊有更深切的感受。從開放題來看，許多高中生反映，學校開的課程難以反映現(xiàn)代科技和社會發(fā)展的新內(nèi)容，脫離了學生經(jīng)驗和社會實際。 基于以上調(diào)查，筆者認為培養(yǎng)學生應用意識和能力的培養(yǎng)的必要性有以下三方面原因：首先，是時代發(fā)展的需要。過去我們的高中課程內(nèi)容陳舊，理論要求偏高，知識面窄。隨著社會的進步，現(xiàn)代科學技術(shù)的高速發(fā)展帶動了信息時代的到來。在這樣一個時代，數(shù)學出現(xiàn)了

4、技術(shù)化的傾向，它的全方位滲透，正日益轉(zhuǎn)化為人們在生產(chǎn)和日常生活中所必須具備的技術(shù)手段和工具。社會對數(shù)學應用的需求和數(shù)學的社會化功能，是當今時代的一個突出的特點，站在新世紀的數(shù)學教育的角度討論高中的應用題，可以更加深化我們的認識，更自覺地指導我們的行動，因此，強調(diào)數(shù)學的應用是未來社會的需要，是我們數(shù)學教育工作者義不容辭的責任。其次，是課程改革的需要。反思原來的數(shù)學課程中的應用問題，至少存在以下幾個問題：第一，其目的僅定位于鞏固新知識；第二，應用的層次較低，基本上限于套用現(xiàn)成的知識；第三，應用題所涉及的問題還是遠離學生生活，內(nèi)容比較枯燥；第四，應用題類型單一，數(shù)量少。這些已成為影響數(shù)學應用教育的極

5、其不利的因素。因此，新教材依據(jù)課程內(nèi)容的選擇原則，并針對數(shù)學課程的現(xiàn)狀，立足于數(shù)學應用，充實數(shù)學內(nèi)容，所以新教材每章的開頭、結(jié)尾，以及在例習題中都補充了一定數(shù)量的應用問題。這些應用問題大都集知識性，探索性，趣味性于一體，而且一般都緊跟生活實際，如第一冊教材在研究函數(shù)表示方法一節(jié)，內(nèi)容本身既抽象又枯燥，以往教學時感覺最繁雜。新教材第16頁的例（2）是“近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題。給出曲線顯示了南極上空臭氧 層空洞的面積從1979年至2001年的變化情況。”這樣的教材對我們學習舊教材的一代來看，真是眼前一亮，極具吸引力，而對于學習繁忙的高中生來說無疑是他們了解世界

6、，學習知識的好時機。再次，是高考改革的需要。高考是一種選拔人才的考試，通過高考，選拔出具有較強的思維能力的優(yōu)秀人才。自1993年以來，我國高考試題中都有一定數(shù)量的應用問題，且呈顯逐年遞增的趨勢。但從考試結(jié)果看，考生的得分很不理想，這說明學生解決數(shù)學應用問題的能力急待提高。所以，我們必須進行教學改革，重視數(shù)學應用問題的教學。二、高中數(shù)學新教材中的應用問題 要彌補上述弊端，新教材給我們提供了良好的契機和素材。傳統(tǒng)教材對知識的來龍去脈和數(shù)學的應用重視不夠，不重視引導學生運用所學知識解決日常生活、生產(chǎn)中遇到的實際問題，學生學數(shù)學用數(shù)學的意識不夠，解決實際問題的能力脆弱。新教材對此做了大的調(diào)整，增加了具

7、有廣泛應用性、實踐性的教學內(nèi)容，重視數(shù)學知識的運用，增強數(shù)學應用意識，提高學生分析問題，解決問題的能力，把培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識貫穿在教材的各個方面。 1 、每一章的序言，都編排了一個現(xiàn)實中的應用問題，引入該章的知識內(nèi)容，以突出知識的實際背景。在教材的編排上，既用通俗易懂的語言，陳述問題，又附以插圖增強直觀形象性、趣味性。 如在第一章集合與函數(shù)概念以社會熱門話題入手：“神州五號載人航天飛船離地面的距離隨時間的變化而變化，上網(wǎng)費用隨上網(wǎng)時間的變化而變化，出國旅游人數(shù)日益增多，城市綠化面積不斷擴大都可以用函數(shù)模刻畫?！辈⑴湟陨裰菸逄柶痫w和在太空翱翔的壯闊畫面。這些知識幫助學生更好地了解社會的科技與

8、發(fā)展，生活與休閑，環(huán)境與其他，很好地激發(fā)學習欲望，增強了學生主動探索的內(nèi)動力。第二章基本初等函數(shù)這樣引入：“探測得知，一塊魚化石中碳14的殘存量約占原始含量的46.5,據(jù)此考古學家推測這群魚是6300多年前死亡的。你知道這里用到了哪個函數(shù)模型嗎？”簡短的話也大致描述了考古學的知識，運用知識可以揣測過去，探知未來，知識的力量多么偉大！這些地方看似很小，但是對于幫助學生了解社會，提高人生規(guī)劃能力，初步選擇職業(yè)等極具幫助。其他章節(jié)暫不做舉例。2 、在研究“具體問題”時以實際例子引入課題 高中數(shù)學的十章內(nèi)容中，分別就概念引入、實例說明、數(shù)學表示等方面有三十一處都恰當?shù)倪\用了實際問題和具體情景。例如在第

9、三章第二節(jié)研究幾類不同增長的函數(shù)模型首先給出兩個具體問題：例1：假設你有一比資金用于投資，現(xiàn)有三種方案共你選擇，回報如下：方案一：每天回報40元。方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元。方案三：第一天回報0.4元，以后每天比前一天翻一番。請問：你會選擇哪種投資方案？例2：公司為實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵；且獎金y隨銷售利潤的x增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=,y=.其中哪個模型能符合公司的要求？這兩個實例引入增強了問題的實際背景，

10、考察學生分析問題的能力，抽象數(shù)學模型，動手作圖象能力等等，為順利解決問題作了鋪墊。更重要的是暗示了學習數(shù)學，函數(shù)的重要性，今后無論是個人理財還是工作，都離不開這些知識，學生學起來往往更投入，更認真。 3 、例題中的應用問題 例題中安排應用問題，一方面可以培養(yǎng)學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的應用意識，而且通過范例講解，使學生掌握解決應用問題的一般思想和方法。新教材的十章內(nèi)容中共有 41 個例題是涉及數(shù)學應用的，占例題總數(shù)的 14.6% ，它們都非常接近學生的生活實際和所學知識，難易適中，示范性強。 4 、練習、習題、復習題中增加了應用問題的分量 為使學生鞏固所學知識，逐步提高分

11、析問題、解決問題的能力，新教材在練習題，習題，復習題中增加了大量的應用問題，其中涉及行程問題、物理、化學、生物問題，儲蓄等各個方面，量大面寬，情景新穎，融知識性，趣味性，自主實踐性于一體。 5 、閱讀材料 問題生動有趣，貼近學生生活，擴大學生閱讀面的閱讀材料，新教材中共安排了 15 個，其中： （ 1 ）歷史故事方面的，如第二章函數(shù)的“對數(shù)和指數(shù)發(fā)展簡史”，第五章平面向量中的“人們早期是怎么樣測量地球的半徑的？” （ 2 ）介紹數(shù)學應用方面，如第八章圓錐曲線的光學性質(zhì)及應用，第十章抽簽有先后，對各人公平嗎？。 （ 3 ）擴充知識方面，有第五章平面向量中的“向量的三種類型”等。 6 、新增了“實

12、習作業(yè)”和“研究性課題”。 為了使學生親自體驗數(shù)學知識的應用，靈活運用數(shù)學知識解決實際問題，加強學生學習的自主活動性，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。新教材安排了三次實習作業(yè)，一是 “函數(shù)關系的實習作業(yè)”，讓學生調(diào)查研究附近商店、工廠、學校潛在的函數(shù)問題；二是利用“平面向量”知識解決不能直接測量的距離、方向問題。三是“線性規(guī)劃的實際應用”。 研究性課題是培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)新能力的重要內(nèi)容，新教材分別在第三、五、七、九章中安排了四個研究性課題：“分期付款中的有關計算”、“向量在物理學中的應用”、“線性規(guī)劃的實際應用”、“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”，讓學生動手操作，選擇優(yōu)化方案、歸納概括，恰當建模，運用理論

13、指導實踐。 三、高中數(shù)學教材中應用問題的教學策略高中新教材的數(shù)學應用問題遍及教材的各個方面，教學時針對不同內(nèi)容采取不同教法 ，有的放矢，各有側(cè)重，就會取得較好的效果。 （ 1 ）章頭序言，指導閱讀，留下懸念 對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。 （ 2 ）重視例題的示范作用 例題是連接理論知識，與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系，建模，解決數(shù)學問題、還原為實際問題諸環(huán)節(jié)都應很好的起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進行啟發(fā)式教學，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視

14、數(shù)學理論知識與實際應用的聯(lián)系。 （ 3 ）指導練習，鞏固方法 充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，應用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業(yè)的機會，主要糾正數(shù)學語言轉(zhuǎn)化過程，及解題的規(guī)范過程；復習題由于綜合性強，學生解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。 （ 4 ）課外閱讀，補充提高 對于不作教學要求的閱讀材料，根據(jù)教學進度提出閱讀要求，布置學生進行課外閱讀，培養(yǎng)學生的閱讀能力，擴大知識面，激發(fā)學生的學習興趣。 （ 5 ）實習作業(yè)，重視實際操作與團結(jié)協(xié)作 完成實習作業(yè)，可以打破單一沉寂的課堂教學

15、氛圍，激發(fā)學生的探索精神，培養(yǎng)學生的實踐能力，進一步培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和創(chuàng)新能力。但實際問題的因素是錯綜復雜的，這就要求學生在調(diào)查、分析、研究的基礎上，抓住本質(zhì)，通過篩選，去粗取精，結(jié)合數(shù)學知識，進行建模解決實際問題。如第五章三角函數(shù)中的實習作業(yè)，對不能直接測量的兩點的距離，教師選定符合要求的地點，組織學生實際測量，通過計算器進行計算，學生興致很高，特別是對“已知兩邊和一對角”解三角形的三種情況，通過動手操作，實地測量，加深影響，激發(fā)了學生的探索精神，增強了學生的感性認識。 （ 6 ）研究性課題，重視自主探究 “研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應用性的特點，它既是所學內(nèi)

16、容的實際綜合應用，又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。 3.6 的“研究性課題”，一個有關分期付款的問題，因為很多人一次性地支付售價較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進營銷策略，方便顧客購物和付款，它與每個家庭的日常生活密切相關，在今天的商業(yè)活動中應用日益廣泛。對它的探究將會引起學生極大的興趣，教學這一課題時，應突出以學生探究為主，教師點拔、介紹為輔，教師不斷提出問題，介紹情況、啟發(fā)誘導。鼓勵學生研究和探索。四、解應用題注意以下幾點數(shù)學應用題的教學，是提高學生分析問題，解決問題能力的好途徑。但由于這類題目往往文字敘述長，數(shù)學背景陌生，涉及面又廣，因而閱讀和理解至關重要，這

17、里要做到以下三點： 1 、消除心理障礙 許多學生一見應用題文字這么長，數(shù)學中的情景又比較陌生，連題目都沒有看完，就望而生畏，置之不理。實際上，這種情況下的題目也是對學生必理素質(zhì)的嚴峻考驗，所以我們要求學生要樹立信心，提高心理承受能力，保持冷靜，認真對待，不能隨意放棄，而且在平時教學過程中注意有計劃，有目的地加一些應用題進行分析，每次考試都盡可能地考查一道與復習內(nèi)容相關的應用題，以便幫助學生消除心理障礙。 2 、排除語言障礙 要排除語言障礙，必須做好讀題和翻譯工作。讀題是翻譯的基礎，通過讀題，抓住關鍵的數(shù)量關系，然后準確地翻譯為數(shù)學語言，從而達到解決問題的目的。主要能做到兩點：一、讀題時要抓住題

18、目中的關鍵字、詞、句，弄清題中的已知事項，初步了解題目中講的是什么事情，要求的結(jié)果是什么。二、能復述要點，深思題意，一般情況下，可翻譯成自己的方言，也可采用圖表示意的方式。3、用數(shù)學模型法指導數(shù)學應用題教學閱讀是為了理解題意，列式是為了表達題意，列式是解應用題的關鍵，它是對文字、圖象的抽象。建模的過程是將文字語言、符號語言、圖表語言和數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化過程。這個過程要求學生有較強的翻譯和解釋能力。一個題目可能有較多的模型應讓學生選擇自己最熟悉或運算過程少、技巧性不太強的數(shù)學模型來解答題目，一般地來說，可采用下列策略來建立數(shù)學模型。（1） 雙向推理列式，利用已知條件順向推理，運用所求結(jié)果進行逆向搜索

19、。例1、 如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a,b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當a,b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最?。ˋ,B孔的面積忽略不計）本題可抓住“求質(zhì)量分數(shù)最小值”和已知中的關鍵句“質(zhì)量分數(shù)與a,b的乘積成反比”，設y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，列式（比例系數(shù)k0）然后在題目中搜索題目的原條件2ab+4b+2a=60轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題為：和為定值，求積的最大值等，可求解當a=6,b=3時，質(zhì)量分數(shù)最小。說明：順向推理可聯(lián)想有關的公式、概念等，逆向推理可以明確方向，所以雙向推理有助于靈感的突然出現(xiàn)