特崗教師考試數(shù)學(xué)專業(yè)知識總復(fù)習(xí)題綱

1、特崗教師考試數(shù)學(xué)專業(yè)知識總復(fù)習(xí)題綱集合一、復(fù)習(xí)要求1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補集，子集與并集的定義；2、掌握含絕對值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；4、理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會判斷兩個命題的充要關(guān)系；5 、學(xué)會用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價變換等思想方法。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1 、集合的概念：( 1 )集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；( 2)集合的分類：按元素個數(shù)分：有限集，無限集；按元素特征分；數(shù)集，點集。如數(shù)集 y|y=x 2,表示非負(fù)實數(shù)集，點集(x , y)|y=x 2 表示開口向上，以y

2、 軸為對稱軸的拋物線；( 3)集合的表示法：列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+=0, 1, 2, 3,;描述法。2、兩類關(guān)系：( 1 )元素與集合的關(guān)系，用或 表示；( 2)集合與集合的關(guān)系，用， =表示，當(dāng)A B 時，稱 A 是 B 的子集；當(dāng)A B時，稱A是B的真子集。3、集合運算(1)交，并，補，定義：AC B=x|x CA 且 xCB, AU B=x|x A,或 x C B, CA=x|x UI,且x A,集合U表示全集；(2)運算律，如An( bu C)=(An B)u (An C),cu (AnB)=(cua)u( cub),CU (AU B) = (CUA) n

3、 ( CUB)等。4 、命題：( 1 )命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復(fù)合命題；(2)復(fù)合命題的形式：p且q, p或q,非p；( 3)復(fù)合命題的真假：對p 且 q 而言，當(dāng)q、 p 為真時，其為真；當(dāng)p、 q 中有一個為假時，其為假。對p 或 q 而言，當(dāng)p、 q 均為假時，其為假；當(dāng)p、 q 中有一個為真時，其為真；當(dāng)p 為真時，非p 為假；當(dāng)p 為假時，非p 為真。(3)四種命題：記“若 q則p”為原命題，則否命題為“若非 p則非q"，逆命題為“若q則p "，逆否命題為"若非 q則非p其中互為逆否的兩個命題同真假，即等價。因此，四種命題為真的個數(shù)只能是偶

4、數(shù)個。5、充分條件與必要條件(1)定義：對命題“若 p則q”而言，當(dāng)它是真命題時，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時，q 是 p 的充分條件，p 是 q 的必要條件，兩種命題均為真時，稱 p 是 q 的充要條件；( 2)在判斷充分條件及必要條件時，首先要分清哪個命題是條件，哪個命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件p的所有對象組成集合 A,滿足條件q的所有對象組成集合 q,則當(dāng)A B時，p是q的充分條件。B A時，p是q的充分條件。A=B時，p是q的充要條件；( 3)當(dāng)p 和

5、q 互為充要時，體現(xiàn)了命題等價轉(zhuǎn)換的思想。6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會用反證法證明一些代數(shù)命題。7 、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。學(xué)會用集合的思想處理數(shù)學(xué) 問題。三、典型例題例 1、已知集合 M=y|y=x2+1, xCR, N=y|y=x+1 , xCR,求 MA N。解題思路分析：在集合運算之前，首先要識別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點集，從而解方程組。其次要化簡集合，或者說使集合的特征明朗化。 M=y|y=x 2+1, xC R=y|y > 1 , N=y|y=x+1 , xC R=y|y C RMAN=M=y|y >1

6、說明：實際上，從函數(shù)角度看，本題中的M N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合y|y=f(x), xC A應(yīng)看成是函數(shù) y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合與集合 (x, y) |y=x 2+1, xCR是有本質(zhì)差異的，后者是點集，表示拋物線y=x2+1上的所有點，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關(guān)，例y|y >1=x|x >1。例 2、已知集合 A=x|x 2-3x+2=0 , B+x|x 2-mx+2=0,且 AA B=B,求實數(shù) m范圍。解題思路分析：化簡條件得 A=1, 2, AA B=B B A根據(jù)集合中元素個數(shù)集合B分類討論，B=4

7、, B=1或2 , B=1, 22當(dāng) B=(j)時， =m-8<02 2 m 2.2，、一0當(dāng)B=1或2時，m無解1 m 2 0或 4 2m 2 0當(dāng) B=1, 2時,m=3綜上所述，m=3或 2, 2 m 2.2說明：分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素質(zhì)的一個重要方面，如本題當(dāng) B=1或2時，不能遺漏4 =0。例3、用反證法證明：已知 x、yCR, x+y > 2,求證x、y中至少有一個大于 1。解題思路分析：假設(shè)x<1且y<1,由不等式同向相加的性質(zhì)x+y<2與已知x+y >2矛盾假設(shè)不成立 x、y中至少有一個大于 1說明；反證

8、法的理論依據(jù)是：欲證“若 p則q”為真，先證“若 p則非q”為假，因在 條件p下，q與非q是對立事件(不能同時成立，但必有一個成立)，所以當(dāng)“若 p則非 q”為假時，“若p則q” 一定為真。例4、若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A的什么條件。解題思路分析：利用“”、“"符號分析各命題之間的關(guān)系D C B AD A, D是A的充分不必要條件說明：符號“”、“”具有傳遞性，不過前者是單方向的，后者是雙方向的。例5、求直線：ax-y+b=0經(jīng)過兩直線 1： 2x-2y-3=0 和2: 3x-5y+1=0交點的充要條解題思路分析：從必要性著手，

9、分充分性和必要性兩方面證明。由 2x 2y 3 0 得 J,2 交點 P (" U)3x 5y 1 04 ' 4過點P1711a 4417a+4b=11充分性：設(shè)a, b滿足17a+4b=11, 11 17a一 b 4代入方程：ax y 11 17a 041117整理得：（y 12） a（x 17） 044此方程表明，直線 恒過兩直線y H 0 x 17 0的交點（17 U）4'44 ' 4而此點為1與2的交點充分性得證綜上所述，命題為真說明：關(guān)于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“”，雙向傳輸，同時證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，

10、從必要性著手，再檢驗充分 性。四、同步練習(xí)（1） 選擇題1、設(shè) M=x|x 2+x+2=0, a=lg（lg10）,則a與 M 的關(guān)系是A、a=M B 、M a C 、a M D 、M a2、已知全集 U=R A=x|x-a|<2, B=x|x-1| >3,且 An B=（j）,則 a 的取值范圍是A、0,2 B > （-2,2）C 、（0, 2 D 、（ 0, 2）3、已知集合M=x|x=a2-3a+2 , aCR,N、x|x=b2-b, bC R,則M,N 的關(guān)系是A、M NB、M N C 、M=N D 、不確定設(shè)集合 A=x|x CZ 且-10 < x< -

11、1 , B=x|xZ,且|x| W 5,則AU B中的元素個數(shù)A、5、A、1110集合M=1, 2, 3, 4, 5的子集是15B、166、對于命題“正方形的四個內(nèi)角相等”，A、所給命題為假BC它的逆命題為真D7、" a W 3 "是 COS a 豐 COS 3 ”的A、充分不必要條件BC充要條件8 、集合 A=x|x=3k-2玄早A、S B A B、16、31、15、32卜面判斷正確的是、它的逆否命題為真、它的否命題為真、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件,kCZ, B=y|y=3 +1, Z, S=y|y=6m+1 , mC Z之間的關(guān)、S=B AC 、 S B=A

12、 D 、 S B=A9、方程m4+2x+1=0至少有一個負(fù)根的充要條件是A、0Vme 1 或 m<0B、0Vme 1C m<1D、me 110、已知p：方程x2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q： a, b是整數(shù)，則p是q的A、充分不必要條件B、必要不充分條件充要條件D、既不充分又不必要條件（2） 填空題11、已知 M=m 1m_4 Z, N=x| Jx_3 N,則 MA N=。2212 、在100個學(xué)生中，有乒乓球愛好者60人，排球愛好者 65人，則兩者都愛好的人數(shù)最少是 人。13、關(guān)于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是 。14、命題“若ab=0,則a、b中至少有一個為

13、零”的逆否命題為 。15、非空集合p滿足下列兩個條件：(1) p 1,2, 3, 4, 5, (2)若元素aCp, 則6-a C p,則集合p個數(shù)是。（3） 解答題16、設(shè)集合 A=(x , y)|y=ax+1 , B=(x , y)|y二|x|,若 AC B 是單元素集合，求 a 取 值范圍。17、已知拋物線 C: y=-x2+mx-1,點M (0, 3) , N (3, 0),求拋物線 C與線段MN有 兩個不同交點的充要條件。18、設(shè) A=x|x 2+px+q=0 w 4 , M=1 , 3, 5, 7, 9 , N=1, 4, 7, 10,若 AA M=（j）, AH N=A 求p、q的

14、值。19、已知a x2 1 , b=2-x , c=x2-x+1 ,用反證法證明：a、b、c中至少有一個不小2于1。函數(shù)一、復(fù)習(xí)要求7、函數(shù)的定義及通性；2、函數(shù)性質(zhì)的運用。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、函數(shù)的概念：(1)映射：設(shè)非空數(shù)集 A, B,若對集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b與 之對應(yīng)，則稱從 A到B的對應(yīng)為映射，記為 f ： A- B, f表示對應(yīng)法則，b=f(a)。若A中不 同元素的象也不同，則稱映射為單射，若 B中每一個元素都有原象與之對應(yīng)，則稱映射為 滿射。既是單射又是滿射的映射稱為一一映射。(2)函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A, B上的映射，此時稱數(shù)集 A為定義域，象集C=

15、f(x)|x C A為值域。定義域，對應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素，從邏輯上講， 定義域，對應(yīng)法則決定了值域，是兩個最基本的因素。逆過來，值域也會限制定義域。求函數(shù)定義域，通過解關(guān)于自變量的不等式(組)來實現(xiàn)的。要熟記基本初等函數(shù)的 定義域，通過四則運算構(gòu)成的初等函數(shù)，其定義域是每個初等函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函 數(shù)定義域，不僅要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域，還要考慮到外函數(shù)對應(yīng)法則的要求。理解函數(shù)定 義域，應(yīng)緊密聯(lián)系對應(yīng)法則。函數(shù)定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)和前提。函數(shù)對應(yīng)法則通常表現(xiàn)為表格，解析式和圖象。其中解析式是最常見的表現(xiàn)形式。求 已知類型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，抽象函數(shù)的解析式常用換元法

16、及湊合法。求函數(shù)值域是函數(shù)中常見問題，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，直接法的途徑有單調(diào)性，基本不 等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想，表現(xiàn)為法，反函數(shù)法等，在高等 數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值(極值)更加方便。在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個部分都存在著求取值范圍這一典型問題，它的一種典型處理方法就 是建立函數(shù)解析式，借助于求函數(shù)值域的方法。2、函數(shù)的通性(1)奇偶性：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時，應(yīng)在化簡解析式后進行，同時靈活運用定義域的變形，如f( x) f(x) 0 ,f( x) fTT1 (f(x) W0)。奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖象對稱。函數(shù)的奇偶性

17、是定義域上的普遍性質(zhì)，定義式是定義域上的恒等式。利用奇偶性的運算性質(zhì)可以簡化判斷奇偶性的步驟。(2)單調(diào)性：研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：定義法，即比差法；圖象法；單調(diào)性的運算性質(zhì)(實 質(zhì)上是不等式性質(zhì))；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則。函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì)，是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍的性質(zhì)，它的運用主要體現(xiàn)在不等式方面，如比較大 小，解抽象函數(shù)不等式等。(3)周期性：周期性主要運用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中，是化歸思想的重要手段。求周期的重要方法：定義法；公式法；圖象法；利用重要結(jié)論：若函數(shù)f(x)滿足

18、f(a-x)=f(a+x), f(b-x)=f(b+x), ab,則 T=2|a-b| 。(4)反函數(shù)：函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運用之一，在求反函數(shù)之前首先 要判斷函數(shù)是否具備反函數(shù)，函數(shù) f(x)的反函數(shù)f-1(x)的性質(zhì)與f(x)性質(zhì)緊密相連，如定 義域、值域互換，具有相同的單調(diào)性等，把反函數(shù)f-1(x)的問題化歸為函數(shù)f(x)的問題是處理反函數(shù)問題的重要思想。設(shè)函數(shù)f(x)定義域為A,值域為C,則f -1 f(x)=x, x e Aff -1(x)=x , xCC8、函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過程 中，充分發(fā)揮圖象的工具作用

19、。圖象作法：描點法；圖象變換。應(yīng)掌握常見的圖象變換。4、本單常見的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)。 在具體的對應(yīng)法則下理解函數(shù)的通性，掌握這些具體對應(yīng)法則的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的 函數(shù)模型。對于抽象函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法(變量代換法) 解題。聯(lián)系到具體的函數(shù)模型可以簡便地找到解題思路，及解題突破口。應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運用的重要題型。審清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，把握好模型是解應(yīng)用 題的關(guān)鍵。5、主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)方程，化歸等。三、典型例題例1、已知f(x) &3 ,函數(shù)y=g(x)圖象與y=f-1(x+1)的圖象關(guān)

20、于直線 y=x對稱，x 1求g(11)的值。分析：利用數(shù)形對應(yīng)的關(guān)系，可知 y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函數(shù)，從而化 g(x)問題為已知 f(x)。y=f -1 (x+1)x+1=f(y) x=f(y)-1y=f -1 (x+1)的反函數(shù)為 y=f(x)-1即 g(x)=f(x)-1g(11)=f(11)-1=-2評注：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系是互為逆運算的關(guān)系，當(dāng) f(x)存在反函數(shù)時，若 b=f(a), 則 a=f-1(b)。例2、設(shè)f(x)是定義在(-8, +8)上的函數(shù)，對一切 xC R均有f(x)+f(x+2)=0,?-1<x < 1時，f(x)=2x-1 ,求當(dāng)1&

21、lt;xW3時，函數(shù)f(x)的解析式。解題思路分析：利用化歸思想解題. f(x)+f(x+2)=0 . f(x)=-f(x+2)該式對一切xCR成立 以 x-2 代 x 得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)當(dāng) 1<xW3 時，-1<x-2 < 1 . f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5f(x)=-f(x-2)=-2x+5f(x)=-2x+5(1<xW3)評注：在化歸過程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過程中還體現(xiàn)了整體思想。例3、已知g(x尸-x 2-3 , f(x)是二次函數(shù)，當(dāng) x -1 ,

22、2時，f(x)的最小值，且 f(x)+g(x)為奇函數(shù)，求f(x)解析式。分析：用待定系數(shù)法求f(x)解析式設(shè) f(x尸ax 2+bx+c (aw0)則 f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3由已知f(x)+g(x)為奇函數(shù)53 / 62f(x)=x 2+bx+3下面通過確定f(x)在-1 , 2上何時取最小值來確定b,分類討論。f (x) (x )2 3 ,對稱軸 x 242(1)當(dāng) b >2, bW-4時，f(x)在-1 , 2上為減函數(shù) 2(f(x)min f(2) 2b 72b+7=1b=3 (舍)(-1 , 2) , -4<b<2 時2(f(x)minb2

23、3f( -) 3241b 2也(舍負(fù))b(3)當(dāng) w-1, b>2時，f(x)在-1 , 2上為增函數(shù) 2(f(X) min=f(1)=4-b . 4-b=1 b=3- f(x) x2JXx3,或 f(x) x3 3x 3評注：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通常對對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行討論，是求值域的基本題型之一。在已知最值結(jié)果的條件下，仍需討論何時取得最小值。例4、定義在 R上的函數(shù)y=f(x) , f(0) W0,當(dāng)x>0時，f(x)>1 ,且對任意的 a、bC R,有 f(a+b尸f(a)f(b),(1)求證：f(0)=1 ;(2)求證：對任意的 xCR,恒有f(x)&g

24、t;0 ;(3)證明：f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x) - f(2x-x 2)>1 ,求x的取值范圍。分析：(1)令 a=b=0,貝U f(0)=f(0). f(0) w0 . f(0)=1(2)令 a=x, b=-x則 f(0)=f(x)f(-x)f( x)1f(x)由已知x>0時，f(x)>1>0當(dāng) x<0 時，-x>0 , f(-x)>0f(x)1f( x)又 x=0 時，f(0)=1>0對任意 x e r f(x)>o(3)任取 x2>x1,貝U f(x 2)>0 , f(x 1)>0 , x2-x 1&g

25、t;0f(xc)- f(x2) f( x1) f(x2x1 ) 1 f(x1)1. f(x 2)>f(x 1) f(x)在R上是增函數(shù)(4) f(x) f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0) , f(x)在R上遞增由 f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>00<x<3評注：根據(jù)f(a+b尸f(a) f(b)是恒等式的特點，對a、b適當(dāng)賦值。利用單調(diào)性的性質(zhì)去掉符號“ f”得到關(guān)于x的代數(shù)不等式，是處理抽象函數(shù)不等式的典型方法。例 5、已知 lgx+lgy=2lg(x-2y) ,求 log、.萬x 的值。 y分析：在化對數(shù)

26、式為代數(shù)式過程中，全面挖掘x、y滿足的條件x 0, y 0由已知得x 2y 0 2 xy (x 2y)x=4y , x 4 y. x, , log 2 y log ,2 4 4例6、某工廠今年1月，2月，3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件,為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月 產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用y=abx+c (其中a, b, c為常數(shù))或二次函數(shù),已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由。分析：設(shè) f(x尸px 2+qx+r (pw0)f (1) p q r 1則 f (2)

27、 4p 2q r 1 f (3) 9p 3q r 1.3p 0.05 q 0.35 r 0.7f(4)=-0.05X 42+0.35 X4+0.7=1.3設(shè) g(x)=ab x+cg(1) ab c 1則 g(2) ab2 c 1.2g(3) ab3 c 1.3a 0.8b 0.5c 1.4g(4)=-0.8 x 0.5 4+1.4=1.35 |1.35-1.37|<|1.3-1.37| 選用y=-0.8 x (0.5) x+1.4作為模擬函數(shù)較好。四、鞏固練習(xí)(一) 選擇題1 、定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在-1 , 0上單調(diào)遞增，設(shè)a=f(3) , b=

28、f( 21 ) , c=f(2)，則 a, b, c 大小關(guān)系是A、 a>b>c B 、 a>c>b C 、 b>c>a D 、 c>b>a2、方程loga(x 2) Jx 9>0且2金1)的實數(shù)解的個數(shù)是3、y (1)|11 、已知 f(x)=1og sx+3, x 1 , 9,則 y=f(x)2+f(x 2)的最大值是 。12、已知 A=y|y=x 2-4x+6 , y C N, B=y|y=-x 2-2x+18 , yC N,則 An B 中所有元素的 和是 o13、若()(x) , g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=m ()(x)+ng

29、(x)+2 在(0, +8)上有最大值，則 f(x) 在(-8, 0)上最小值為 。14、函數(shù) y=1og 2(x2+1) (x>0)的反函數(shù)是 。1a b a c x x x|的單調(diào)減區(qū)間是38, -1 ) U1 , +8)D、 ( - 8, +A (-00, 1) B 、 (1, +oo)Coo)9、函數(shù)y 10gl (x解答題16、若函數(shù)f(x) "ax1的值域為-1 , 5,求a, c。 x c 4x 12)的值域為 2A、(-8, 3 B 、(-8, -3 C 、(-3, +8) D 、 (3, +8)10、 函數(shù)y=1og 21ax-1|(awb)的圖象的對稱軸是直

30、線x=2,則a等于A 1 B 、二 C 、2 D 、-2226 、有長度為24的材料用一矩形場地，中間加兩隔墻，要使矩形的面積最大，則隔壁的長度為A、 3 B 、4 C 、6 D 、12(二) 填空題7 、已知定義在 R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)0WxW1時，f(x)=x ,則f(15)= 28、已知y=1og a(2-x)是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是 。9、函數(shù)f(x)定義域為1 , 3,則f(x 2+1)的定義域是 。15、求值:(三)17、設(shè)定義在-2 , 2上的偶函數(shù) 實數(shù)m的取值范圍。f(x)在區(qū)間0 , 2上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m)10 、

31、函數(shù) f(x)=x 2-bx+c 滿足 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=3 ,則 f(b x)與 f(c x)的大小關(guān)系18、已知0<a<1,在函數(shù)y=1og ax (x>1)的圖象上有 A B, C三點，它們的橫坐標(biāo)分 別是 t , t+2 , t+4(1)若 ABC面積為 S,求 S=f(t);(2)判斷S=f(t)的單調(diào)性；(3)求S=f(t)最大值。19、設(shè) f(x)= a2, xCR2x 1(1)證明：對任意實數(shù)a, f(x)在(-8, +oo)上是增函數(shù)；(2)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，求 a;(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，對于給定的正實數(shù)k,解不等式f 1(

32、x) log2Lx。k20、設(shè) 0<a<1,函數(shù) f(x)= log a x_3 的定義域為m, n,值log aa(n-1) , log aa(m- x 31),(1)求證：m>3(2)求a的取值范圍。數(shù)歹U、復(fù)習(xí)要求11、 等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式及性質(zhì);2、一般數(shù)列的通項及前 n項和計算。、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1 、數(shù)列，是按照一定順序排列而成的一列數(shù)，從函數(shù)角度看，這種順序法則就是函數(shù) 的對應(yīng)法則，因此數(shù)列可以看作是一個特殊的函數(shù)，其特殊性在于：第一，定義域是正整 數(shù)集或其子集；第二，值域是有順序的，不能用集合符號表示。研究數(shù)列，首先研究對應(yīng)法則通項公式：

33、an=f(n) , nCM,要能合理地由數(shù)列前n項寫出通項公式，其次研究前n項和公式 S： S = a1 + a2+-an,由Sn定義，得到數(shù)列中的重要公式：anS1n 1SnSn 1 n 2一般數(shù)列的an及S,除化歸為等差數(shù)列及等比數(shù)列外，求Sn還有下列基本題型：列項相消法，錯位相消法。2、等差數(shù)列(1)定義，an為等差數(shù)列an+1-a n=d (常數(shù))，n N+2an=an-1+an+1 ( n > 2, n N+)；(2)通項公式：an=an+(n-1)d , an=am+(n-m)d ;前n項和公式：Sn na1皿d幽22(3)性質(zhì)：an=an+b,即an是n的一次型函數(shù)，系數(shù)

34、a為等差數(shù)列的公差；S n=an2+bn,即S是n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)；k若an, bn均為等差數(shù)列，則an± Q,ak ,ka n + c (k, C為常數(shù))均為等差數(shù)1 1列；當(dāng) m + n = p + q 時，am+an=ap+aq,特例： a1 + an = a2+an-1=a3 + an-2 =；當(dāng) 2n=p+q 時，2an=ap+aq；當(dāng)n為奇數(shù)時，S2n-1 =(2n-1)a n； S奇=a中，S偶=工a中。2 23 、等比數(shù)列(1)定義： a=q (q 為常數(shù)，anW0) ； an2=an-1 an+1 (n>2, nC N+)； an(2) 通項公式：an=

35、a1qn-1, an=amqn-m;na1q 1前 n 項和公式：Sna1(1 qn) a1anq；q 11 q 1 q(3)性質(zhì)當(dāng) m+n=p+q時，aman=apaq, 特例： aian=a2an-i =a3an-2 =，k當(dāng)2n=p+q時，an2=apaq,數(shù)列ka n , ai 成等比數(shù)列。i 14、等差、等比數(shù)列的應(yīng)用（1）基本量的思想：常設(shè)首項、公差及首項、公比為基本量，借助于消元思想及解方 程組思想等；（2）靈活運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡化計算；（3）若an為等差數(shù)列，則aan為等比數(shù)列（a>0且awl）；若an為正數(shù)等比數(shù)列，則log aan為等差數(shù)列（a&g

36、t;0且awl）。三、典型例題例1、已知數(shù)列an為等差數(shù)列，公差 dw0,其中aki , ak2 ,，akn恰為等比數(shù)歹U,若 ki=1, k2=5, k3=17,求 ki+k2+- - +kno 解題思路分析：從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手 設(shè)an首項為ab公差為d a 1, as, a17成等比數(shù)列2 a 5 =a1a172. . （ a+4d） =a1（a 1+16d）a 1=2d設(shè)等比數(shù)列公比為 q,則q 些 an 4d 3 a1a1Xakn項來說，在等差數(shù)列中：akn a1 （31）d ka在等比數(shù)列中：akn a1qn 1 a13n 1kn 2 3n 1 1k1 k2 kn (2 30

37、 1) (2 311)(2 3n 11) 2(13n 1) n3n n 1注：本題把 k1 + k2+-+kn看成是數(shù)列kn的求和問題，著重分析 kn的通項公式。這是 解決數(shù)列問題的一般方法，稱為“通項分析法”。例2、設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，3為數(shù)列an的前n項和，已知 $=7, Ss=75,Tn為數(shù)列 昆的前n項和，求Tn。n解題思路分析：法一：利用基本元素分析法c7 6S7 7a1 d 7設(shè)an首項為ab公差為d,則2c15 14S1515a1-d 75a12d 1. Sn2 n2. 之2 0 口 至n22 2此式為n的一次函數(shù) Sn_為等差數(shù)列 nIn2 an 44法二：an為等差數(shù)列，設(shè)

38、Sn=An2+Bn2S7 A 7 7B 7_ 一 _2 _1252S15 A 1515B 75A 解之得：BSn -n2 5n ,下略22注：法二利用了等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例3、正數(shù)數(shù)列an的前n項和為且2高 an 1 ,求: (1)數(shù)列an的通項公式；1(2)設(shè)bn ,數(shù)列bn的前n項的和為Bn,求證：Banan 1解題思路分析：(I)涉及到an及Sn的遞推關(guān)系，一般都用an=$-Sn-1 2§ an 12 - 4S n = (an+1) 4Sn-1=(a n-1+1)2 (n>2) 4(S n-Sn-1 ) = (a n+1)2-(a n-1+1)24a n=an -a

39、n-1 +2an-2a n-1整理得：(a n-1 +an)(a n-a n-1 -2)=0a n>0(n>2)消元化歸。 a n-a n-1 =2a n為公差為在 2 Snan 1a n=2n-12的等差數(shù)列中，令n=1, a1(II ) bn (2n11-Bn (一2 al11)(2n1一)a21)1La21(2 2n1) a3-)2n 111(一 一)anan 11 1 (一2 al112 2an 1注：遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，例本題由4s=(a n+1)2 推出是函數(shù)中的變量代換法。在數(shù)列中一般用n-1 , n+1等去代替n,4Sn-1=(a n-1+1)2,它其實就實際

40、上也就是說已知條件中的遞推關(guān)系是關(guān)于 n的恒等式，代換就是對 n賦值。例4、等差數(shù)列an中，前m項的和為77 (m為奇數(shù))，其中偶數(shù)項的和為33,且a1-am=18,求這個數(shù)列的通項公式。分析：利用前奇數(shù)項和和與中項的關(guān)系令 m=2n-1, n NkS2n 1(2n 1)an 77S 偶(n 1)an332n 177n 133n=4m=7 a n=11a i+am=2an=22又 ai-a n=18a i=20, am=2d=-31 一211bn (一) n ,已知bi+b2+b3=一 , bib2b3=_ ,求等差數(shù)列的通 288a n=-3n+23例5、設(shè)an是等差數(shù)列,項an o解題思路

41、分析： a n為等差數(shù)列b n為等比數(shù)列從求解b n著手b ib3=b223_ i2 =8b2=l2bi b3i78bib2-4bi 2bib3b2bn2(-)n i 23 2n 或 bn 14n1 22n 5481 abn (2)nan log 1 bn 2a n=2n3 或 a n=-2n+5注：本題化歸為bn求解，比較簡單。若用an求解，則運算量較大。例6、已知an是首項為2,公比為1的等比數(shù)列，Sn為它的前2(i )用 Sn 表不' Sn+1；n項和,(2)是否存在自然數(shù) c和k,使得Sk 1 cSk c解題思路分析：2成立。(2)Sn 14(1Sk i cSkc3c (- S

42、k2)c Sk0 (*)1 、-Sk4(1 I)4231一Sk(-Sk 2)2-Sk022式(*)-Sk 2 c Sk2Sk+i>&-Sk 2 -Si 2 122又 Sk<4由得：c=2或c=3當(dāng)c=2時 S1=2k=1時，c<Sk不成立，從而式不成立 -S2 2 - c222Sk1 23由 &<&+1 得：-Sk23 一 一當(dāng)2 2時，|Sk 2 c,從而式不成立 當(dāng)c=3時，S2,吩=3當(dāng)k=1, 2時，C<S不成立式不成立ISk134c,ISk2ISk123 一 一當(dāng)k>3時，-Sk 2 c,從而式不成立2綜上所述，不存在自然數(shù)

43、 c, k,使Sk 1 c 2成立Sk c例7、某公司全年的利潤為 b元，其中一部分作為資金發(fā)給n位職工，資金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相等)從大到小，由 1到n排序，第1位職工得資金b元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職n工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金。(1)設(shè)ak (1wkwn)為第k位職工所得資金額，試求 a2, a3,并用k, n和b表示ak(不必證明)；(2)證明：ak<ak+1 (k=1, 2,，n-1 ),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義。解題思路分析：談懂題意，理清關(guān)系，建立模型第1位職工的獎金a1bn第2位職

44、工的獎金a21(1l)bnn第3位職工的獎金a31(11)2nn第k位職，的獎金ak1(11)knnb1b ak ak1 /(1 1)k1b 0此獎金分配方案體現(xiàn)了 “按勞分配”或“不吃大鍋飯”等原則。例8、試問數(shù)列 igi00sinn 1 的前多少項的和最大，并求這個最大值(lg2=0.3010 )解題思路分析：法一：an2 ( lg ,2)(n 1)a n為首項為2,公差為lg 22的等差數(shù)列n(n 1)2Sn2n( lg 2)0.07525n2 2.07525n2 220.07525(n 13.8)13.80.07525 n C Mn = 14 時，(Sn)ma=14.35法二：. a

45、1=2>0, d= lg ,2 0a n是遞減數(shù)列，且 與必為最大值ak 0ak 102 (k 1)( lg2) 02 k( lg .2)0k 14.2k 13.2k=14 (S n)ma=S4=14.35四、同步練習(xí)(一)選擇題1 、已知a, b, a+b成等差數(shù)列，a, b, ab成等比數(shù)列，且 0<log mab<1,則m取值范 圍是A、m>1 B 、1<m<8 C 、m>8 D 、0Vm<1 或 m>82、設(shè)a>0, b>O, a, X1, X2, b成等差數(shù)列，a, y1, y2, b成等比數(shù)列，則 X1+X2與y1+

46、y2的大小關(guān)系是A X1+X2<y1+y2BC X1+X2<y1+y2D12、已知S是an的前n項和,A是等比數(shù)列B、X1+X2>y1+y2、X1+X2>y1+y2S=pn (PCR, nCM),那么數(shù)列a n、當(dāng)Pw 0時是等比數(shù)列C 當(dāng)PW0, PW1時是等比數(shù)列 D、不是等比數(shù)列13、 an是等比數(shù)列，且 an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=25,則 a3+a5 等于A 5 B、10 C 、15 D 、2014、 已知a, b, c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y=aX2+2bX+c的圖象與X軸交點個數(shù)是A、0 B 、1 C 、2 D 、1 或 215、 設(shè)

47、mClog 2m的整數(shù)部分用 F(m)表示，則F(1)+F(2)+F(1024)的值是A 8204 B 、 8192 C 、 9218 D 、 80217 、若 X 的方程 X2-X+a=0 和 X2-X+b=0 (aw b)的四個根可組成首項為-的等差數(shù)列, 4則a+b的值為1124132431728、在100以內(nèi)所有能被3整除但不能被7整除的正整數(shù)和是A 1557 B 、 1473 C 、 1470 D 、 13689 、從材料工地運送電線桿到500m以外的公路，沿公路一側(cè)每隔50m埋栽一根電線桿，已知每次最多只能運3根，要完成運載20根電線桿的任務(wù)，最佳方案是使運輸車運行A、11700m

48、 B 、14700m C 、14500m D 、14000m10 、已知等差數(shù)列an中，|a3|二|a 9| ,公差d<0,則使前n項和9取最大值的正整數(shù) nA 4或 5 B 、5或 6 C 、6 或 7 D 、8或 9(二)填空題11、已知數(shù)列an滿足a1+2a2+3a3+ +nan=n(n+1)(n+2),則它的前 n項和Sn=。12、設(shè)等差數(shù)列an共有3n項，它的前2n項之和為100,后2n項之和為200,則該 等差數(shù)列的中間n項的和等于 。13、設(shè)數(shù)列an, bn (bn>0) , n C N+滿足 an lg1一絲lgn (nCM),則nan為等差數(shù)列是bn為等比數(shù)列的

49、條件。14、長方體的三條棱成等比數(shù)列，若體積為216cm5,則全面積的最小值是 cm2。15、若不等于1的三個正數(shù)a, b, c成等比數(shù)列，則(2-log ba)(1+log ca)=。(三)解答題16、已知一個等比數(shù)列首項為1,項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85,偶數(shù)項之和為170,求這個數(shù)列的公比和項數(shù)。17、已知等比數(shù)列an的首項為a>0,公比q>-1 (qw1),設(shè)數(shù)列b n的通項 bn=an+1+an+2 (n C M),數(shù)列a n,b n的前n項和分另U記為 An, R,試比較 A與Bn大小。18、數(shù)列an中，a1=8, a4=2 且滿足 an+2=2an+1-an (nC

50、Nk)(1)求數(shù)列a n通項公式；(2)設(shè) Sn=|a 1|+|a 2|+ +|a n| ,求 Sn；1(3)設(shè)bn (nC N+) Tn=b1+b2+ - +bn,是否存在取大的整數(shù) m 使得對于任n(12 an)意的nC Nk,均有Tnm成立？若存在，求出 m的值；若不存在，說明理由。32三角函數(shù)一、復(fù)習(xí)要求16、 三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制等概念；2 、三角公式，包括誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式和差倍半公式等； 3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、角的概念的推廣。從運動的角度，在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進負(fù)角及大于3600的角。這樣一來，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)角的終邊確定時，其大小不

51、一定(通常把角的始邊放 在x軸正半軸上，角的頂點與原點重合，下同)。為了把握這些角之間的聯(lián)系，引進終邊 相同的角的概念，凡是與終邊“相同的角，都可以表示成 k - 360°+a的形式，特例，終邊 在X軸上的角集合 a | a =k 180°, kC Z,終邊在y軸上的角集合 a | a =k 180°+90°, k C Z,終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 a | a =k 900, kC Z。在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大 小?；《戎剖墙堑亩攘康闹匾硎痉?，能正確地進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，

52、扇形弧長公式 二| a|R,扇形面積公式 S 1 R 1R2 | |,其中a為22弧所對圓心角的弧度數(shù)。2 、利用直角坐標(biāo)系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。三角函 數(shù)定義是本章重點，從它可以推出一些三角公式。重視用數(shù)學(xué)定義解題。設(shè)P(x , y)是角a終 邊上 任一點(與原點不 重合)，記r |OP | JXy2 ,則yx,yxsin, cos ,tan, cot°rrxy利用三角函數(shù)定義，可以得到(1)誘導(dǎo)公式：即 k t 與a之間函數(shù)值關(guān)系(kC2Z),其規(guī)律是“奇變偶不變，符號看象限”；(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系。3、三角變換公式

53、包括和、差、倍、半公式，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例，對公式要熟 練地正用、逆用、變用。如倍角公式：cos2 a =2cos2 a -1=1-2sin 2 a ,變形后得 cos21 cos2 , sin21cos2 ,可以作為降哥公式使用。22三角變換公式除用來化簡三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備。三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外，還出現(xiàn)了前面幾種函數(shù)所沒有的周期性。周期 性的定義：設(shè) T為非零常數(shù)，若對 f(x)定義域中的每一個 x,均有f(x+T尸f(x),則稱T 為f(x)的周期。當(dāng)T為f(x)周期時，kT (kCZ, kw0)也為f(x)周期。三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱為幾 何作圖法，熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。5、本