高一數(shù)學(xué)教案：蘇教版用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字

1、2 22用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。（ 2）能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本， 從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征 （如 平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差） ，并做出合理的解釋。（3）會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。過(guò)程與方法在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中， 進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想， 理解數(shù)形結(jié)合 的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題， 認(rèn)識(shí)統(tǒng) 計(jì)的作用，能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界

2、的聯(lián)系。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。 難點(diǎn)：能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)設(shè)想【 創(chuàng)設(shè)情境 】在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊 10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運(yùn)動(dòng)員：7，8，6，8，6，5，8，10，7, 4;乙運(yùn)動(dòng)員：9，5，7，8，乙 6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)， 你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地 把握總體的規(guī)律， 我們要通過(guò)樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究。 用樣本 的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（板出課題） ?！?探究新知 】一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)探究：P62（1）怎樣將各個(gè)樣本數(shù)據(jù)匯總為一個(gè)數(shù)值，并使它成為

3、樣本數(shù)據(jù)的“中心點(diǎn)”？（2）能否用一個(gè)數(shù)值來(lái)描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學(xué)生回憶初中所學(xué)的一些 統(tǒng)計(jì)知識(shí)，思考后展開(kāi)討論）初中我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)眾數(shù)， 中位數(shù)，平均數(shù)等各種數(shù)字特征，應(yīng)當(dāng)說(shuō)，這些數(shù)字都能 夠?yàn)槲覀兲峁╆P(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。 例如前面一節(jié)在調(diào)查 1 00位居民的月均用水量 的問(wèn)題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是 2.25t （最高的矩形的中點(diǎn)） （圖略見(jiàn)課本第 62頁(yè)）它告訴我們，該市的月均用水量為 2. 25t 的 居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒(méi)有告訴我們到底多多少。提問(wèn)：請(qǐng)大家翻回到課本第 56 頁(yè)看看原來(lái)抽樣的數(shù)據(jù)，有沒(méi)有 2.25

4、 這個(gè)數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會(huì)是眾數(shù)呢？為什么？（請(qǐng)大家思考作答）分析：這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來(lái)的，所以存在一些偏差。提問(wèn)：那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢？分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有 50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值為2.02。（圖略見(jiàn)課本 63頁(yè)圖2.2-6）思考:2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中的原

5、因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）（課本63頁(yè)圖2.2-6 ）顯示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對(duì)這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。思考:中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但是它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)，你能舉例說(shuō)明嗎？（讓學(xué)生討論，并舉例）二 、標(biāo)準(zhǔn)差、方差1.標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，可是，有時(shí)平均數(shù)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷。某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示， 該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為17 6cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長(zhǎng)發(fā)育好，身高較高。

6、但是，假如這個(gè)平均數(shù)是從五十萬(wàn)名中學(xué)生抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來(lái)的話，那么，這個(gè)平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì)。因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)。例如，在一次射擊選拔比賽中 ，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊 10次，命中環(huán)數(shù)如下： 甲運(yùn)動(dòng)員：7, 8,6,8,6,5, 8,10, 7, 4;乙運(yùn)動(dòng)員：9, 5,7,8,乙6, 8,6 , 7 , 7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？我們知道，x甲二7,x乙二7。兩個(gè)人射擊的平均成績(jī)是一樣的。那么，是否兩個(gè)人就沒(méi)有水平差距呢？（觀察P6 6圖2 .2 -8）直觀上

7、看，還是有差異的。很明顯，甲的成績(jī)比較分散，乙的成績(jī)相對(duì)集中， 因此我們從另外的角度來(lái)考察這兩組數(shù)據(jù)?？疾鞓颖緮?shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差。 標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。樣本數(shù)據(jù)x1,x2J|, Xn的標(biāo)準(zhǔn)差的算法：（1）、算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) X。（2）、算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：Xj -1（i =1,2, l|l n）（3）、算出（2）中x -x（i =1,2,川n）的平方。（4）、算出（3）中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差。（5）、算出（4）中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。其計(jì)算公式為:S = jn（X廠 X）2 +（X2 -

8、 X）2 + III + （Xn - X）2顯然，標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。提問(wèn)：標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？從標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計(jì)算公式都可以得出：S - 0。當(dāng)s = o時(shí)，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。（在課堂上，如果條件允許的話，可以給學(xué)生簡(jiǎn)單的介紹一下利用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn) 差的方法。）2 .方差2從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方S （即方差）來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差， 作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：1 一 一 一s2r-x g-xp ill g-x）2n在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的， 但在解決實(shí)際

9、問(wèn)題時(shí)，-般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。【例題精析】例1：畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖，說(shuō)明他們的異同點(diǎn)。(1) 5,5,5,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,54,4,4,5 ,5 ,5 ,6 ,6 ,63,3,4,4,5 ,6 ,6 ,7 ,7(4 ) 2,2,2,2,5,8,8,8,8分析：先畫出數(shù)據(jù)的直方圖， 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。解：（圖略，可查閱課本P68）四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別為：0.00,0 .82,1 .4 9,2 .83。他們有相同的平均數(shù)，但他們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的。例23：（見(jiàn)課本P6 9）分析：比較兩個(gè)人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的 平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，我們可以通過(guò)抽樣分別獲得 相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，以此作為兩個(gè)總體之間的差異的估計(jì)值?！菊n堂精練】P；i 練習(xí) 1.2.34【課堂小結(jié)】1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總