高一數(shù)學教案：蘇教版用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字

1、2 22用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（2課時）教學目標：知識與技能（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差。（ 2）能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本， 從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征 （如 平均數(shù)、標準差） ，并做出合理的解釋。（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。過程與方法在解決統(tǒng)計問題的過程中， 進一步體會用樣本估計總體的思想， 理解數(shù)形結合 的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法。情感態(tài)度與價值觀會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題， 認識統(tǒng) 計的作用，能夠辨證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界

2、的聯(lián)系。重點與難點重點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差。 難點：能應用相關知識解決簡單的實際問題。教學設想【 創(chuàng)設情境 】在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運動員各射擊 10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運動員：7，8，6，8，6，5，8，10，7, 4;乙運動員：9，5，7，8，乙 6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)， 你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地 把握總體的規(guī)律， 我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進行研究。 用樣本 的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（板出課題） ?！?探究新知 】一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)探究：P62（1）怎樣將各個樣本數(shù)據(jù)匯總為一個數(shù)值，并使它成為

3、樣本數(shù)據(jù)的“中心點”？（2）能否用一個數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學生回憶初中所學的一些 統(tǒng)計知識，思考后展開討論）初中我們曾經(jīng)學過眾數(shù)， 中位數(shù)，平均數(shù)等各種數(shù)字特征，應當說，這些數(shù)字都能 夠為我們提供關于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。 例如前面一節(jié)在調查 1 00位居民的月均用水量 的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是 2.25t （最高的矩形的中點） （圖略見課本第 62頁）它告訴我們，該市的月均用水量為 2. 25t 的 居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少。提問：請大家翻回到課本第 56 頁看看原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有 2.25

4、 這個數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會是眾數(shù)呢？為什么？（請大家思考作答）分析：這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。提問：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)呢？分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有 50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。由此可以估計出中位數(shù)的值為2.02。（圖略見課本 63頁圖2.2-6）思考:2.02這個中位數(shù)的估計值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中的原

5、因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）（課本63頁圖2.2-6 ）顯示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。思考:中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點，但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓學生討論，并舉例）二 、標準差、方差1.標準差平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，可是，有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷。某地區(qū)的統(tǒng)計顯示， 該地區(qū)的中學生的平均身高為17 6cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學生生長發(fā)育好，身高較高。

6、但是，假如這個平均數(shù)是從五十萬名中學生抽出的五十名身高較高的學生計算出來的話，那么，這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學生的身體素質。因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)。例如，在一次射擊選拔比賽中 ，甲、乙兩名運動員各射擊 10次，命中環(huán)數(shù)如下： 甲運動員：7, 8,6,8,6,5, 8,10, 7, 4;乙運動員：9, 5,7,8,乙6, 8,6 , 7 , 7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？我們知道，x甲二7,x乙二7。兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察P6 6圖2 .2 -8）直觀上

7、看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中， 因此我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)?？疾鞓颖緮?shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標準差。 標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。樣本數(shù)據(jù)x1,x2J|, Xn的標準差的算法：（1）、算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) X。（2）、算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：Xj -1（i =1,2, l|l n）（3）、算出（2）中x -x（i =1,2,川n）的平方。（4）、算出（3）中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差。（5）、算出（4）中平均數(shù)的算術平方根，即為樣本標準差。其計算公式為:S = jn（X廠 X）2 +（X2 -

8、 X）2 + III + （Xn - X）2顯然，標準差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。提問：標準差的取值范圍是什么？標準差為0的樣本數(shù)據(jù)有什么特點？從標準差的定義和計算公式都可以得出：S - 0。當s = o時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。（在課堂上，如果條件允許的話，可以給學生簡單的介紹一下利用計算機來計算標準 差的方法。）2 .方差2從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方S （即方差）來代替標準差， 作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：1 一 一 一s2r-x g-xp ill g-x）2n在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的， 但在解決實際

9、問題時，-般多采用標準差?！纠}精析】例1：畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖，說明他們的異同點。(1) 5,5,5,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,54,4,4,5 ,5 ,5 ,6 ,6 ,63,3,4,4,5 ,6 ,6 ,7 ,7(4 ) 2,2,2,2,5,8,8,8,8分析：先畫出數(shù)據(jù)的直方圖， 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標準差的計算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標準差。解：（圖略，可查閱課本P68）四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標準差分別為：0.00,0 .82,1 .4 9,2 .83。他們有相同的平均數(shù)，但他們有不同的標準差，說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的。例23：（見課本P6 9）分析：比較兩個人的生產質量，只要比較他們所生產的零件內徑尺寸所組成的兩個總體的 平均數(shù)與標準差的大小即可，根據(jù)用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得 相應的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標準差，以此作為兩個總體之間的差異的估計值?！菊n堂精練】P；i 練習 1.2.34【課堂小結】1.用樣本的數(shù)字特征估計總