常微分方程與級(jí)數(shù)

1、實(shí)驗(yàn)6 微分方程與級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?. 學(xué)習(xí) Matlab 求解微分方程命令dsolve；2. 學(xué)習(xí) Matlab Taylor 級(jí)數(shù)展開命令；3. 鞏固冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、和等概念。l學(xué)習(xí) Matlab 命令l求解一階微分方程l求解二階微分方程lTaylor 展開式l級(jí)數(shù)求和實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1. 學(xué)習(xí)Matlab命令Matlab求解微分方程命令 dsolve 調(diào)用格式：dsolve(微分方程) 給出微分方程解析解，表示為的函數(shù)；dsolve(微分方程,初始條件) 給出微分方程初值問題的解析解，表示為的函數(shù)；dsolve(微分方程,變量 x) 給出微分方程的解析解，表示為 x 的函數(shù)；dsolve(微分

2、方程,初始條件,變量 x) 給出微分方程初值問題的解析解，表示為x的函數(shù)；求函數(shù)的Taylor 展開式 taylor 命令，調(diào)用格式：taylor(f(x) f(x) 的5次 Taylor 多項(xiàng)式；taylor(f(x),n) f(x)的n-1次Taylor多項(xiàng)式；taylor(f(x),a) f(x)在 a 點(diǎn)的Taylor多項(xiàng)式。求級(jí)數(shù)和命令 symsum，調(diào)用格式：symsum(S,n) symsum(S,k,m,n) nS nmkS2. 求解一階微分方程微分方程在輸入時(shí)，y應(yīng)輸入Dy，y”應(yīng)輸入D2y，D應(yīng)大寫。例1symssyms x; x;dsolve(Dy+2dsolve(Dy+

3、2* *x x* *y=xy=x* *e(-x2)e(-x2) 在 Command Window中鍵入：22xxexydxdy 求下面微分方程的通解ans = 1/2*e(-x2)+exp(-2*x*t)*C112221Ceeyxtx 系統(tǒng)默認(rèn)的自變量是 t，把 x 當(dāng)作常數(shù)，把 y 當(dāng)作 t 的函數(shù)求解。若輸入命令：symssyms x; x; dsolve(Dy+2*x*y=x*e(-x2),x)ans = -1/2/(-1+log(e)*exp(-x2*log(e)+exp(-x2)*C1例2下的特解；下的特解；在初始條件在初始條件求微分方程求微分方程eyeyyxxx201 dsolve

4、(x*Dy+y-exp(x),y(1)=2*exp(1),x) 在 Command Window中鍵入：ans = 1/x*exp(x)+1/x*exp(1) 例3下的特解；下的特解；條件條件在初始在初始求微分方程求微分方程10cos2)1(02 xyxxydxdyxdsolve(x2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0, y(0)=1, x) 在 Command Window中鍵入： ans = (sin(x)-1)/(x2-1)3 求解二階微分方程例4的通解；的通解；求微分方程求微分方程03 xeyy dsolve(D2y+3*Dy+exp(x)=0,x) 在 Command Win

5、dow中鍵入： ans = -1/4*exp(x)+C1+C2*exp(-3*x)例5的通解；的通解；求微分方程求微分方程02 yeyy dsolve(D2y-exp(2*y)*Dy=0,x) 在 Command Window中鍵入：ans = 1/2*log(-2*C1/(-1+exp(2*x*C1+2*C2*C1)+x*C1+C2*C1 C2展開式；展開式；階階處的處的展開式及在展開式及在階階點(diǎn)處的點(diǎn)處的在在求函數(shù)求函數(shù)TaylorxTaylorxxy6650cos syms x;taylor(cos(x)4 Taylor展開式例6ans = 1-1/2*x2+1/24*x4 syms x

6、;taylor(cos(x),pi/3,7)ans = 1/2-1/2*3(1/2)*(x-1/3*pi)-1/4*(x-1/3*pi)2+1/12*3(1/2)*(x-1/3*pi)3+1/48*(x-1/3*pi)4-1/240*3(1/2)*(x-1/3*pi)5-1/1440*(x-1/3*pi)6 5 級(jí)數(shù)求和；求求 121nn例7 syms n; symsum(1/2n,1,inf)ans = 1syms n;symsum(sin(pi/(n*(n+1),1,inf)例8的斂散性；的斂散性；判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 1)1(sinnnn ans = sum(sin(pi/n/(n+1),pi = 1 . inf)由結(jié)果看，其中仍含有sum，說明matlab不能求其和，可采用其它判別法。取比較級(jí)數(shù)為 p 級(jí)數(shù) 121nnp 級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。limit(sin(pi/(n*(n+1)/(1/n2),n,inf)取二者通項(xiàng)比值的極限ans = pisyms n;limit(n+1)*(3/4)(n+1)/(n*(3/4)n),n,inf)例9的斂散性；的斂散性；判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 1)43(nnnans =3/4用比值判別法，求極限nnnn