(整理)不定積分與定積分的運(yùn)算.

1、精品文檔精品文檔不定積分與定積分的計(jì)算1 .不定積分1.1 不定積分的概念原函數(shù)：若在區(qū)間I上F'(x) = f(x),則稱(chēng)F(x)是/的一個(gè)原函數(shù).原函數(shù)的個(gè)數(shù)：若網(wǎng)幻是/在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),則對(duì)Vc， 尸+ C都是/在區(qū)間I上的原函數(shù)；若 G(l)也是/在區(qū)間I上的原函 數(shù)，則必有 G；一：一.可見(jiàn)，若F,則/的全體原函數(shù)所成集合為F(x) + c I cf R.原函數(shù)的存在性：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).不定積分：的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為/(»的不定積分。記作f (x)dxIx.上連續(xù)，aw I ,則f(t)dt是的一個(gè)1 a了原函數(shù)。1.2不定積分的計(jì)算(1)裂項(xiàng)積分

2、法例 1:x-z一1dx = x-，2 dx = (x2 -1 )dx = - - x 2arctanx Cx2 1x2 1x2 13例2:dxcos2 x sin2x ,22 .,2- = 22dx = (csc x sec x)dx22(x 1) -x=22dx =x2(x2 1)dx 2xcos xsin x cos xsin xdx 12 二 一一一 arctan x C1 x2 x(2)第一換元積分法有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后，就可利用基本積分表求出積分。例如，求不定積分Jcos2xdx ,如果湊上一個(gè)常數(shù)因子2,使成為C ,1C ,1C C1cos2xdx=- co

3、sx*2xdx=- cos2xd 2x =sin2x C222dx例 4：3 -x1- =2= 24.1. x=2arctan x C例5:J 一 =d 1 =- 1 1 d1 x2 1 x21 x2 x x 1 1 x.W2.1二wJ wT2卜即2C"1.：arctan x例 6: f-、x(1 x)arctan x , t = xdx = 2d x = 2arctant2 dt=2 arctant d(arctant) =(arctgt)2 c = (arctg . x)2 c .(3)第二換元積分法第二換元積分法用于解決被積函數(shù)帶根式的不定積分，代換方法如下:被積函數(shù)包含n/a

4、x+b,處理方法是令Uax + b=t, x =(tn-b)； a被積函數(shù)包含Ja2-x2 (a > 0),處理方法是令x = sin t或x = cost ;被積函數(shù)包含da2 +x2 (a a 0),處理方法是令x = tant;被積函數(shù)包含Jx2 a2 (a >0),處理方法是令x=sect;例 7 ：計(jì)算 f Ja2 - x2 dx(a > 0 )解：令jix 二 asint, - _ t :x一，則t =arcsin 一，一a W x E a ,且=a cost = a cost,dx = acostdt,從而-x2dx，2 ,2 ,fa cost .a costd

5、t =a J cos tdta.1 cos2t 出a 1 . t sin 2t J，C = t sin t cost C由圖2.1知.x sin t 二一a工 .a -xcost 二a所以 a2 -x2dxa 一 x a一arcsin 一 一2a . x x -2 20arcsin 一 a - x C2 a 2,一，dx t*'12dtdt例 8: =6 t =-6 (1 t)dt 6 =x-3x21-t1-t(4)分部積分法當(dāng)積分f f(x)dg(x)不好計(jì)算，但fg(x)df (x)容易計(jì)算時(shí)，使用分部積分公式 jf (x)dg(x) = f (x)g(x) - >g(x)d

6、f (x).常見(jiàn)能使用分部積分法的類(lèi)型:(1) Jxnexdx , fxn sinxdx,xn cosxdx等，方法是把 ex,sin x,cosx移至U d 后面, 分部積分的目的是降低x的次數(shù)(2) fxn lnm xdx, jxn arcsinm xdx, jxn arctanm xdx等，方法是把 xn移到 d 后面, 分部幾分的 目的是化去ln x, arcsin x, arctan x .2 x ,2 , x 2 x x例 9： x e dx = x de = x e - e 2xdx =2 x2 xxx、Yo_x e -2 xdx = x e -2(xe - e dx) = ex

7、(x2 -2x 2) CIn x例 10: . 丁 x.11 .1 .dx = In xd 二lnx -dlnx = xx x1 dx 1-In x = (In x 1) C例 11:(1 6x2)arctan xdx = arctan xd(x 2x3)=x 2x3arctan x 一x 2x31 x2dx =x 2x3 arctanx j 2x 2 dx =3212_x 2x arctanx -x -ln 1 x C例 12:cos2 xdx = cosxdsin x = cosxsin x - isin2 xdx =cosx sin x + x - J cos2 xdx,x 1斛得 co

8、s xdx sin 2x c.2 4例 13:sec xdx = secx sec xdx = secxdtgx = secxtgx - tgxsecxtgxdx23= secxtgx - (sec x -1)secxdx = secxtgx - sec xdx» i secxdx =3,= secxtgx ln | secx tgx | - sec xdx,解得sec3 xdx =-secxtgx - ln | secx tgx| c.以上兩例所示的通過(guò)分部積分與解方程的方法求解不定積分是一種技巧例14設(shè)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是snx,求x(x)dx。 x解:sin x _ xc

9、osx -sin xf(x) = =2xxx cosx 一 sin x sin xxf (x)dx = xd( f (x) = xf (x) - - f (x)dx =x2 cxx2sin x =cosx - cx評(píng):本題主要考察原函數(shù)和不定積分的概念以及分部積分法arctanx例15計(jì)算xRx(1x2)2說(shuō)明涉及到arcsin x,arctan x的積分一般有兩種處理方法.(1)用分部積分法；(2) 作變量替換令arcsinx = 1或arctanx = tarctan xarctan x解法一：e-rdx-3d(1 x2)=2 earctanxd(1 x2)，2 (x2尸2：11x2arc

10、tan x e11 x2dx.arctan xI arctan x e=/ e + f3dxd x2(1 x2)2評(píng):分部積分后,后面的積分計(jì)算更加困難.為此我們考慮變量替換法解法二:令 arctanx = y, x = tan yarctan xxe .3-dx 二(1 x2)2tan y ey sec2 y . y .1 y,1 arctan x=e21 x211 x2評(píng):變量替換后幾分的難度大大降低，Jsinyeydy是每種教材上都有的積分.2.定積分定積分的計(jì)算主要用牛頓萊布尼茲公式通過(guò)不定積分計(jì)算(1)基本積分法例16計(jì)算廣dx(1 5x2 ),1x2解："v x =tan

11、t,則dx(1 5x2) ,1 x2Tt石- 0sec2 tdt(1 5tan2t)sect五一石costdt0 cos21 5sin216 d(2sint)2 0 1 (2sint)21 ，一.、=-arctan(2sint)(2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小信函數(shù)例17計(jì)算f3xx 2dx0Q解:32381°xx -2dx = Iox(2 - x)dx+ f2x(x -2)dx =- 一 3例 17 計(jì)算 §maxx,1 xdx3 dy = sin ye dy =-e (sin y - cosy) C sec y2解:ii°maxx,

12、1 xdx=。2(1 x)dxxdx =- 5(3)利用函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn)定積分0f(x)dx= J aof(x)dx當(dāng)f (x)是奇函數(shù)當(dāng)f (x)是偶函數(shù)1c c例 18 計(jì)算 j(x + U1 + x2)2dx1 11解：(x .1 x ) dx=1dx 2x .1 x dx=2+0=21例19計(jì)算j(x十x)e"xdx解：J(x + x)e"dx= Jxe*dx + J1xe* dx_1。. 一 1=02 xe dx = 2 - 4e二八x 2 .例20計(jì)算J 4*xdx xV 1 e分析：被積函數(shù)即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，無(wú)法利用函數(shù)的奇偶性化 簡(jiǎn)。但是積分區(qū)間是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，可考慮使用化簡(jiǎn)公式的推導(dǎo)方法。二-x _,_2 解：z.e sin x x-7 1 edx 二二 x24 e sin x1 ex_x _ 2 e sin x1 exdxc 八X -20 e sin x1 exdx =0esin2 3(-y)4：1 e，d(.y) = ；e's1n y1 e-ydy =tsin2 y01 - eydy= 07sin2 x1 exdx所以ji4n-4一X 2 e sin x1 exdxin04一X2e sin x1 ex:.0dx