論文標(biāo)題：淺談初中幾何中添加輔助線的技巧

1、-論文標(biāo)題：淺談初中幾何中添加輔助線的技巧 鄺淑瑩單位：三水中學(xué)附屬初中日期：2012-8-25聯(lián)系：淺談初中幾何中添加輔助線的技巧三水中學(xué)附屬初中數(shù)學(xué)科組 鄺淑瑩摘要：在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，平面幾何無疑占據(jù)著十分重要的地位，而且對于必須添置輔助線才能解決的題目,學(xué)生往往是無處下手,甚至是“胡思亂添,達(dá)不到解題的目的。因此,學(xué)生普遍對較為綜合的幾何問題望而生畏。其實縱使幾何題千變?nèi)f化，添加輔助線的方法各有不同，外表看如何添加線無章無循、無法可依。其實并非如此，無論什么樣的幾何題必存有圖形和條件(包括隱含條件)這兩方面。因而我們可以據(jù)圖形的特殊性添加輔助線；據(jù)條件的特殊性添加輔助線；還可以兩者兼顧

2、添加輔助線，本文通過以下幾種不同類型的幾何題談?wù)勌砑虞o助線解證幾何題的一些技巧。關(guān)鍵詞：添加，輔助線，構(gòu)造，根本圖形在平面幾何證明題中，添加輔助線是解題的關(guān)鍵，添加輔助線是溝通命題“條件和“結(jié)論的橋，輔助線的添置因題而異，變化萬千，雖無一個通法可以遵循，但還是有一定的規(guī)律和常用的方法。只要我們知道添加輔助線其實就是為了“補(bǔ)圖，在不完整的圖中構(gòu)造出根本的幾何圖形如三角形、平行四邊形、圓、兩個全等三角形、兩個相似三角形等，就可以利用它們的性質(zhì)、定理創(chuàng)造出有利的條件，從而使題目得以證明。當(dāng)然，至于構(gòu)造哪種根本圖形，這就必須充分分析條件和所求證結(jié)論的關(guān)系了，要想方設(shè)法把它們放在同一個根本圖形之中。只有

3、具體怎樣添加輔助線，這由以下三方面決定：由決定：什么，作出什么，并為充分運用條件提供的性質(zhì)定理添加輔助線。由所求決定：問什么，先要作什么。由條件集中的需要決定：為補(bǔ)全或構(gòu)造幾何關(guān)系十清楚確的一個三角形、一個平行四邊形、一個圓，或兩個全等三角形、兩個相似三角形而添加輔助線。根據(jù)平時的教學(xué)實踐，我通過以下幾種不同類型的幾何題分別就這方面談?wù)勌砑虞o助線的技巧和規(guī)律。一、證明線段相等例1：如圖，在ABC中，ABAC，D為AB上一點，E為AC延長線上的一點，BDCE，DE交BC于F ,試說明DF=EF。分析：證明線段相等的根本思路是證明線段所在的三角形全等，假設(shè)不能在圖中直接找出來，那就應(yīng)該通過添加輔助

4、線構(gòu)造出兩個全等的三角形。證法1：過D作AE的平行線交BC于點NAB=ACABC=ACBDN/AEBND=ACB,NDF=FECBND=ACBBND=ABCBD=NDBD=CEND=CE在NDF與CEF中NDF=FEC,NFD=CFE,ND=CENDFCEFAASDF=EF證法2：過E作AB的平行線交BC的延長線于點M，只要證明BDFMEF即可。技巧總結(jié)：證明線段相等是初中幾何中比較常見和重要的題型，而它的常用方法是證明這兩條線段所在的三角形全等，如果這樣的兩個三角形已經(jīng)出現(xiàn)在圖中，這種題目很多學(xué)生都掌握得不錯。但此題中的DF與EF所在的BDF與CEF很明顯并不全等，則接下來如何證明呢.此時不

5、少學(xué)生就會束手無策，頭腦空白，其實經(jīng)過簡單的分析之后，我們不難知道要添加輔助線才能解決，接下來我們要思考的應(yīng)該是如何添加輔助線。我們的最終的目的是證三角形全等，既然的圖中沒有一對全等的三角形，則我們?yōu)槭裁床豢梢酝ㄟ^添加輔助線構(gòu)造全等的三角形呢.如果要構(gòu)造全等三角形，前提就要構(gòu)造出相等的角或邊，再根據(jù)題意，這是一個等腰三角形，根據(jù)它的性質(zhì)，可以過一點作腰的平行線，從而得到一個新的等腰三角形，這樣自然就出現(xiàn)相等的角或邊了。由此可見，要想熟練掌握添加輔助線的技巧，必須對根本圖形的性質(zhì)十分熟悉，平時還要多總結(jié)規(guī)律：遇到等腰三角形，通常可以作腰的平行線，這樣會創(chuàng)造出很多有用的條件的。二、證明線段和差之間

6、的等量關(guān)系例2：如圖，在ABC中，B=60°，AD、CE是ABC的角平分線，且交于點O,求證：AC=AE+CD分析：要證AC=AE+CD，在AC上截取AF=AE，再證CD=CF。根據(jù)ABC中，B=60°，所以BAC+BCA=120°。因為AD平分BAC，CE平分ACB，可求出AOC=120°，AOE=60°，連接OF，易證AOEAOF，AOE=AOF=60°，可證CODCOF，則CD=CF，問題得證。證明：在AC上截取AF=AE，連接OF。在ABC中，B=60°，BAC+BCA=180°-B=180°-6

7、0°=120°AD平分BAC，CE平分ACB，OAC=OAB=1/2BAC，OCD=OCA=1/2ACB，在OAC中，AOC=180°-OAC+OCA=180°-1/2BAC+ACB=180°-1/2×120°=120°AOE=180°-AOC=180°-120°=60°在AOE和AOF中，AE=AF，OAE=OAF，OA=OA，AOEAOFSAS，AOE=AOF，AOF=60°COF=AOC-AOF=120°-60°=60°又COD=

8、60°，COD=COF在COD和COF中，COD=COF，OC=OC，OCD=OCF，CODCOFASA，CD=CF又AF=AE，AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC技巧總結(jié)：證明線段和差之間的等量關(guān)系也是初中幾何中比較常見的題型，由于要證明的三條線段AC、AE、CD都不在同一直線上，不少學(xué)生對此都是摸不著頭腦的，根本不知道從何入手。導(dǎo)致這樣的原因，其實歸根到底就是很多學(xué)生平時做完習(xí)題后不善于總結(jié)解題的規(guī)律和方法。對于這種題型，我們應(yīng)該從要證明等量關(guān)系的這三條線段是否共線入手，如果是共線，那就非常簡單，不用在這里多說，但我們遇到的題目往往是不共線，那怎么辦呢.在這里常用的

9、方法是通過等量代換，將這三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上，采用“截長補(bǔ)短的方法即可證明。結(jié)合例2，我們來看看是如何想到這樣添加輔助線的，這是最關(guān)鍵的一步。AC、AE、CD這三條線段中，AC最長，AE、CD稍短，而題目要證明AC=AE+CD，這時我們很自然會想到將長邊AC截成兩段較短的邊AF、CF，接著只要證明較短的兩邊分別與AE、CD相等即可。這時不妨先在AC上截取AF=AE，接著只需證明CD=CF即可，換句話來說就是先設(shè)定好一對等量關(guān)系，再利用這對等量關(guān)系去推理創(chuàng)造出更多的有利條件，用以證明剩下的一對等量關(guān)系。如何證明CD=CF呢.證明線段相等，很自然想到用例1講到的方法：構(gòu)造全等三角形來證明，怎么

10、構(gòu)造呢.這時很容易會想到連接OF了。這種“截長補(bǔ)短的方法在這種類型的證明題中是經(jīng)常用到的方法，我們平時應(yīng)該多總結(jié)和體會。三、證明線段成比例例3：如圖，過ABC的頂點C任作一條直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和E。求證：AE：ED=2AF：FB。分析：要證明線段成比例，通常用到相似三角形對應(yīng)邊成比例這個性質(zhì)，但結(jié)合題意并沒有出現(xiàn)相似的條件，故無法證明，這時容易想到通過添加輔助線來構(gòu)造所需的條件，如何添加.我們不難會想到可以通過引平行線構(gòu)造相似三角形的根本圖形“A“*型。證法1：過D作DGCF，交AB于點G ，則AEFDDG,BDGBCFAE:ED=AF:FG,BG:BF=BD:BC點D是BC

11、的中點 BD:BC=1:2BG:BF=BD:BC=1:2 FG= BF/2AE:ED=AF:BF/2AE:ED=2AF:FB證法2：過點B作BNCF交AD的延長線于點N,則AEFANB,BDNCDE,AE:EN=AF:FB,BD:CD=ND:DE點D是BC的中點 BD:CD=1:1ND:DE=BD:CD=1:1EN=2EDAE:EN=AE:2ED=AF:FBAE:ED=2AF:FB證法3：過點B作BMAD交CF的延長線于點M,則AEFBMF“*型,CEDCMB“A型證明略證法4：過點D作DHAB交CF的于點M,則DHEAFE“*型,CHDCFB“A型證明略技巧總結(jié)：對于證明線段成比例這種類型題

12、目，學(xué)生往往感覺比較迷惘，不知所措，原因是要證明成比例的線段往往不是的兩個相似三角形的對應(yīng)邊，或者它們只是兩個外表上完全沒有關(guān)系的三角形的邊，甚至它們不是三角形的邊，就像本例子：要證明的四條邊AE、ED、AF、FB不是兩個相似三角形的邊，如果只用此圖根本無法證明，所以我們應(yīng)該想到必須添加輔助線構(gòu)造出相似三角形，又由于“A“*型是最根本和最常見的相似三角形的根本圖形，故容易想到引平行線構(gòu)造這兩種根本圖形。那如何引平行線.過哪一點引.這也不是隨便引的，我們必須結(jié)合題意想清楚，題目中出現(xiàn)了一個重要條件：點D是BC的重點，這是一個特殊點，可以過這一點引平行線。也可以過或求證中線段的端點引平行線。另外，

13、我們需要時刻提醒自己最終要證明的是什么本例是AE、ED、AF、FB這四邊的關(guān)系，所以引平行線時應(yīng)盡量使這些求證的線段和線段成比例即把這些線段放在相似的三角形中，最好能夠放在一對相似三角形之中，如果不夠條件的話，可以放在有公共邊的兩對相似三角形之中，最后通過一些等量關(guān)系也可以得出答案。對于這些技巧和方法，我們可以在平時的練習(xí)中多加總結(jié)和歸納即可，只要掌握好這些技巧，不難會想出不止一種的證明方法。四、一般四邊形的求解問題例4：如圖，四邊形ABCD中，BAD=120°，ABC=90°，AD=3，BC=3，BD=7。求：1CD的長 2AB的長。分析：對于一般的四邊形，它不具有特殊的

14、性質(zhì)，所以如果直接求解，當(dāng)然是無法解決的。但此時經(jīng)過對題目的分析，由于條件中出現(xiàn)了120°、90°角和一些線段的長度，所以利用這些條件將原四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和特殊的三角形可使問題得到解決。解：(1)過點D作DEAB交BA的延長線于點E，作DFBC于F， ABC=90°四邊形EBFD為矩形ED=BF,EB=DFBAD=120°DAE=60°，ADE=30°AE=1/2AD=1.5，DE= AE=3 /2=BFFC=BC-BF=3 -3 /2=3 /2DF是BC的中垂線CD=BD=7(2)在RtBDF中，DF=13/2=6.5AB=BE-A

15、E=6.5-1.5=5技巧總結(jié)：此題是求線段的長度，如果這些線段在*些特殊的圖形中，如三角形、矩形、菱形等，則這比較容易求解，我們可以利用這些特殊圖形具有的一些特殊性質(zhì)來求。但對于此題，這只是一個一般的四邊形，它沒有特殊性質(zhì)，所以我們不難想到這必須通過添加輔助線，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形等一些特殊的圖形。如何轉(zhuǎn)化呢.這不是胡亂添加的，我們必須從題目的條件出發(fā)，思考如何才能用上條件求解。條件中出現(xiàn)了ABC=90°，不難想到過點D作DFBC，此時已經(jīng)出現(xiàn)直角三角形FDC，但左邊的四邊形仍只是梯形而已，無法利用AD=3，BAD=120°這兩個條件求其它邊，所以還必須添加輔助線才能解決

16、。故我們會想到過點D作DEAB，構(gòu)造出矩形EBFD，而且AED還是直角三角形，這時就可以利用直角三角形的特殊性質(zhì)，求出其它的邊和角了。概括起來，解決一般四邊形問題的思路應(yīng)該是將其轉(zhuǎn)化為特殊四邊形和三角形。五、從所需求證結(jié)論的形式入手思考如何添加輔助線例5：如圖，平行四邊形的兩鄰邊長分別為a、b，兩對角線的長分別為m、n。求證：m2+n2=2(a2+b2)。分析：僅從條件出發(fā)，很難想到如何添加輔助線來解決，這四條邊a、b、m、n好似沒有直接的關(guān)系,這時我們可以先考慮所求證的結(jié)論的形式，它與勾股定理a2+b2 =c2的形式有類似的地方，故可以考慮用勾股定理解決，接著不難會想到應(yīng)該添加輔助線構(gòu)造直角

17、三角形來完成證明。證明：作DEAB,CFAB,E、F分別為垂足四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC,DAE=CBFDEA=CFB=90°DEACFBAE=BF在RtDAE中，DE2=b2-AE2=CF2在RtCAF中，m2=(AB+BF)2+CF2=(a+ BF)2 +b2-AE2同理，n2=(AB-AE)2+DE2=(a-AE)2 +b2-AE2將上面兩式相加，得m2 + n2 =(a+ BF)2 +b2-AE2 +(a-AE)2 +b2-AE2 =a2+2a*BF+BF2+2b2-2AE2+a2-2a*AE+AE2=2a2+2b2=2(a2+b2)即m2+n2=2(a2+b2)

18、技巧總結(jié)：這種證明題是不常見的，所以當(dāng)它出現(xiàn)在學(xué)生面前時，學(xué)生普遍會感覺到束手無策。對于這種類型題目就不能用前面所提及的方法即從條件出發(fā)，通過分析，從而推出結(jié)論來證明了。那是不是沒有方法了呢.既然不能從入手，我們可以從證明的結(jié)論入手，它的形式兩條線段平方和與勾股定理十分類似，從而很容易想到添加高，構(gòu)成直角三角形，以便運用勾股定理。這是執(zhí)果索因的分析方法。在推證過程中，必須及時與所需證明的結(jié)論比較，使條件和結(jié)論聯(lián)系起來。通過這樣的“由因?qū)Ч啊皥?zhí)果索因，以溝通條件和結(jié)論。這種分析綜合的方法，在數(shù)學(xué)證明題中是比較重要的。綜上所述，幾何題千變?nèi)f化,添加輔助線的方法各有不同，外表看如何添加無章無循,其實并非如此。只要我們平時做練習(xí)時多作總結(jié)和歸納，便可有所領(lǐng)悟。其實解證幾何問題的根本思路就是要利用條件和圖形去求所需求的關(guān)系。這往往需要將條件與所求條件集中到一個或兩個幾何關(guān)系十清楚確的根本圖形之中。如一個三角形特別是直角三角形、等腰三角形，一