數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是一種思維方式

1、數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是一種思維方式 案例 ：我朋友的兒子在美國(guó)讀書, 當(dāng)同班的小朋友只會(huì)掰手指算簡(jiǎn)單加減法時(shí)，他已會(huì)多位數(shù)乘除法。老師問：4+3= ?大家還沒反應(yīng)，他答：4+3 = 21 + 3。全班都傻了眼，就他得意洋洋。美國(guó)孩子和家長(zhǎng)見到他都豎拇指贊嘆“聰明！”我朋友當(dāng)然自以為是。在我朋友眼里，美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)太淺，整個(gè)一個(gè)“磨洋工”。一年級(jí)時(shí)，我朋友借來六年級(jí)的數(shù)學(xué)課本，他兒子一樣應(yīng)付自如。一學(xué)期結(jié)束后，朋友向?qū)W校提出，能否讓他兒子插班到三年級(jí)上數(shù)學(xué)？朋友心想，只要求上三年級(jí)，已經(jīng)很謙虛了。誰(shuí)知，在他們很“謙虛”地提出讓他每星期跳級(jí)到三年級(jí)去上一節(jié)數(shù)學(xué)課時(shí)，美國(guó)學(xué)校竟然不同意，并指出：你小孩擅長(zhǎng)的是中

2、國(guó)學(xué)校教的“算術(shù)”技巧，美國(guó)學(xué)校教的則是“數(shù)學(xué)”讀了那封老師代表校長(zhǎng)和學(xué)區(qū)（相當(dāng)于國(guó)內(nèi)的教育局）寫的信，我朋友非常不服氣，不屑地扔到一邊。直到后來對(duì)美國(guó)教育有更多了解時(shí)，我朋友才重新冷靜地閱讀了這封信（節(jié)錄）：關(guān)于 * 同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，我已和校長(zhǎng)羅伯特博士說過了。她也跟學(xué)區(qū)主管教學(xué)和課程的助理督導(dǎo)邁克威廉斯博士談了附上一年級(jí)數(shù)學(xué)課15個(gè)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)我們更強(qiáng)調(diào)的是孩子對(duì)那些隱藏在數(shù)學(xué)后面的概念的理解，從而在口頭上和書寫中能夠運(yùn)用他們所學(xué)的東西進(jìn)行交流，而不是對(duì)算術(shù)的死記硬背。我們的目標(biāo)是培養(yǎng)孩子成為解決問題的能手，學(xué)會(huì)思考，讓孩子把自信建立在自己的能力之上，從而去珍視數(shù)學(xué)。我們的

3、課程是讓孩子積極參與到學(xué)習(xí)中，通過循序漸進(jìn)、適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)去學(xué)習(xí)具體的操作計(jì)算。* 小朋友在中國(guó)學(xué)校學(xué)到的一些算術(shù)技巧，例如乘法和除法，對(duì)美國(guó)一年級(jí)小學(xué)生來說，不是循序漸進(jìn)的適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)。我們運(yùn)用的是絕對(duì)具有乘除法功能的組合法教學(xué)，從而使孩子在記住計(jì)算的數(shù)字之前已能理解乘除法的實(shí)際意義。* 小朋友當(dāng)然是一個(gè)具有計(jì)算技巧的優(yōu)秀學(xué)生。然而，算術(shù)僅僅是整個(gè)數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)部分。我們?cè)跀?shù)學(xué)課里，會(huì)運(yùn)用許多教學(xué)活動(dòng)來挑戰(zhàn)礦礦的思維，從而也對(duì)他本身形成一種挑戰(zhàn)。我們覺得，派一個(gè)邁阿密大學(xué)的在校生一對(duì)一地幫* ，將比到三年級(jí)上數(shù)學(xué)更適當(dāng)。如果你們想借三年級(jí)的數(shù)學(xué)教材在家里使用，我將樂意作出安排 分析 朋友讀了

4、此信，我也讀了此信。也多了一份思考：這封信非常講究遣詞造句。比如，在講到* 及中國(guó)學(xué)校時(shí)，她始終用“算術(shù)”這個(gè)概念，而說到美國(guó)學(xué)校時(shí)，她都說“數(shù)學(xué)”。所謂“算術(shù)”，計(jì)“算”之技“術(shù)”也，似屬雕蟲小技。數(shù)學(xué)，是關(guān)于“數(shù)”的學(xué)問，是研究符號(hào)和數(shù)字之間的關(guān)系，以及如何用這些符號(hào)和數(shù)字來解釋世間與之有關(guān)的現(xiàn)象。因此，數(shù)學(xué)是學(xué)術(shù)中的極品。到底美國(guó)小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)是“磨洋工”， 抑或是我們把數(shù)學(xué)這門大學(xué)問當(dāng)成了計(jì)算的技巧？我在研究美國(guó)教育時(shí)，終于有了一些感悟。比如關(guān)于雞兔同籠的計(jì)算：籠里有 5 個(gè)頭和 14 只腳，一共幾只兔幾只雞？在許多人眼里，這完全是一個(gè)計(jì)算問題。設(shè)兔為 X,雞為 Y, x+y=5; 4

5、x+2y=14。到底我們?cè)摪阉醋魉阈g(shù)教學(xué)，還是數(shù)學(xué)教學(xué)？讓我們來看美國(guó)的數(shù)學(xué)教育是怎樣處理類似問題的：某個(gè)住在湖邊的老人養(yǎng)有狗和鴨子。某天，老人看到5個(gè)頭和14只腳。老人看到的是多少條狗？多少只鴨？老師：能不能找到解決問題的方法？學(xué)生們紛紛要求回答問題。學(xué)生A:要找到答案并不難，只要兩個(gè)等量關(guān)系：一個(gè)解決腳的問題，另一個(gè)解決頭的問題老師制止學(xué)生A繼續(xù)往下講，說道：“很好！誰(shuí)來設(shè)計(jì)這兩個(gè)等量關(guān)系？”學(xué)生B:設(shè)3句為X,設(shè)甲1為Y; 4x+2y=140學(xué)生C寫道：x+y=5o老師：這兩個(gè)等量關(guān)系對(duì)不對(duì)？學(xué)生七嘴八舌：“對(duì)啦！”老師：現(xiàn)在我們不要去計(jì)算答案。我們按照這兩個(gè)公式來推理，看看答案是否合

6、理大家你望我，我望你。不讓計(jì)算，卻去猜答案。老師葫蘆里賣的什么藥？老師： 犯愁了？不錯(cuò)！我們現(xiàn)在不打算去計(jì)算準(zhǔn)確的答案，我們只是去猜測(cè)大致的答案。學(xué)生仍然丈二和尚摸不著頭腦老師：既然你們不回答，那我就來問你們，5 條狗和 4 只鴨，對(duì)不對(duì)？學(xué)生哄然：不對(duì)！5 條狗和 4 只鴨，一共是9 個(gè)頭，老人只看到5 個(gè)頭。老師：那么，誰(shuí)能告訴我，狗腳和鴨腳的數(shù)目？學(xué)生們又是你望我，我望你，不知所措老師：如果我告訴你們，狗不少于4 條。你們認(rèn)為怎么樣？學(xué)生B:不對(duì)，請(qǐng)看看我設(shè)計(jì)白公式：腳的總數(shù)是 14,而4條狗就有16條腿。除非老人喝醉了，把自己的腳也數(shù)進(jìn)去了！哄堂大笑！老師：非常好！那能不能是3 條狗呢

7、？學(xué)生們陷入思考學(xué)生C:那也不對(duì)！老師很感興趣地問：“為什么？”學(xué)生C:除非有1只鴨子，少了兩條腿。您看我設(shè)計(jì)的公式，總共有 5個(gè)頭。3條狗有12只腳。要符合5個(gè)頭，14只腳的條件，就只剩兩個(gè)鴨頭，兩只鴨腳。因此，除非有1只鴨沒有腳又是一陣哄堂大笑！老師：好吧，讓我們假設(shè)所有的狗和鴨子都是進(jìn)化完整的，沒有缺胳膊少腿的。那么，該有多少只鴨子呢？學(xué)生再?zèng)]有像前面那樣沉默，而是議論紛紛。學(xué)生D:不管怎么說，前提是不能超過 5個(gè)頭，14只腳。老師：如果狗少于3 只，我們能在鴨子的數(shù)量上做什么文章呢？學(xué)生E:這就是說，鴨子必須是3只以上。因?yàn)椋^的總數(shù)是 5個(gè)，狗少于3只，鴨子沒有 3 只以上湊不夠5

8、只。老師：有道理。狗只能少于3 只，鴨不能少于3 只。那么，我們應(yīng)該尋找的下一個(gè)線索是什么呢？學(xué)生思索老師：如果是3只鴨子，鴨腳應(yīng)該是學(xué)生們：6 只鴨腳。老師：對(duì)！如果是3 只鴨子， 6 只鴨腳，狗的數(shù)目又該怎么算呢？學(xué)生A:如果狗腳不能多于12只，這就是說，狗不能多于3條，鴨子至少得有3只才能湊夠5個(gè)頭。3只鴨，鴨腳就是6只。于是，狗只能是2條，狗腳老師高興地大笑：“好！不要往下說了。請(qǐng)大家用公式計(jì)算吧?！钡搅诉@一步，再用公式計(jì)算，簡(jiǎn)直是吃豆腐：狗是2 條，鴨是3 只。學(xué)生 B 有些不太高興：“老師，看到您那么高興，我倒有些費(fèi)解了。這 2 條狗、 3 只鴨的答案， 我們推理來推理去，花了快一

9、節(jié)課的時(shí)間。其實(shí)， 一開始就讓我們拿公式來算，早就該做完了”老師微笑著點(diǎn)頭：“你提出了一個(gè)非常好的問題，甚至超過了2 條狗， 3 只鴨的答案。請(qǐng)大家想一想，為什么我們沒有一開始就用公式來計(jì)算，而是花了一節(jié)課的時(shí)間來走完整個(gè)推理的過程？”學(xué)生E:我們浪費(fèi)了不少時(shí)間去推論那些不正確的答案。學(xué)生C:我不同意“浪費(fèi)”的說法。有時(shí)候，你不能證實(shí)一個(gè)答案是錯(cuò)的，你就不能證實(shí)另一個(gè)答案是對(duì)的。學(xué)生F:但是，值不值得花那么多時(shí)間？學(xué)生們七嘴八舌老師會(huì)心地笑了：“謝謝大家！數(shù)學(xué)課不是算術(shù)，更不是用一個(gè)似懂非懂的公式去計(jì)算一個(gè)只有公式才能告訴你的答案。公式告訴你做什么？怎么做？我們充其量像個(gè)計(jì)算器。 要真正理解：

10、為什么這么做是對(duì)的？為什么那么做是不對(duì)的？問題就不那么簡(jiǎn)單了。就像知道點(diǎn)擊電腦的什么鍵，電腦會(huì)怎么反應(yīng)一樣，那是電腦操作員的工作。只有理解：為什么點(diǎn)擊電腦的這里會(huì)產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果？為什么點(diǎn)擊那里會(huì)產(chǎn)生那個(gè)結(jié)果？那才能成為電腦程序員。我們要的是通過演繹推理和歸納推理來證實(shí)和證偽某些答案，以及在這個(gè)過程中所培養(yǎng)和鍛煉的推理能力?！睌?shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是一種思維方式其實(shí)，美國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)是在企圖回答學(xué)數(shù)學(xué)的目的問題：數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算和應(yīng)用公式。數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是一種思維方式，是演繹推理和歸納推理的邏輯思維方式。對(duì)許多美國(guó)人來說，學(xué)數(shù)學(xué)并不一定是目的，而是通過學(xué)數(shù)學(xué)來培養(yǎng)自己的能力。同時(shí)，通過學(xué)數(shù)學(xué)來理解世界、理解世間與之

11、有關(guān)的各種現(xiàn)象。許多美國(guó)人相信，學(xué)數(shù)學(xué)的目的是掌握一種思維方式，是一種解釋世間許多現(xiàn)象的工具，是訓(xùn)練思維能力的手段。我到過國(guó)內(nèi)不少地方聽數(shù)學(xué)課，情況卻剛好相反。老師總是“趕集”式地、急急忙忙地直奔最簡(jiǎn)單的方式和答案。有一次，我到某重點(diǎn)小學(xué)去聽數(shù)學(xué)課，老師踩著步點(diǎn)趕時(shí)間，課上得似乎挺活，但只給答對(duì)問題的學(xué)生一顆糖，答不對(duì)的，不給糖。沒得到糖的孩子，心思都在別人的糖上。更要命的是，老師也不解釋為什么不對(duì)。課后，我問老師，為什么不向?qū)W生解釋錯(cuò)的原因？這位年輕的老師很不好意思，但又頗有些理直氣壯地說：“根據(jù)教學(xué)大綱的進(jìn)度，時(shí)間不夠。”我建議道：能不能在課后，由知道的同學(xué)給不知道的同學(xué)解釋為什么錯(cuò)。后來

12、，她給我來電話，說是我的建議收到了很好的效果。我發(fā)現(xiàn)，我們國(guó)內(nèi)的一些老師總是爭(zhēng)分奪秒地“趕”教學(xué)內(nèi)容，像上了發(fā)條似地踩著步點(diǎn)上課，“好”的老師可以按照設(shè)計(jì)好的教案在剛講完課、對(duì)學(xué)生說“下課”時(shí)，鈴聲正好響起。已經(jīng)有好幾個(gè)美國(guó)老師跟我說到這種讓他們嘆為觀止的現(xiàn)象：“怎么上課可以像發(fā)射宇宙飛船一樣精確？好像遙控一樣?！逼鋵?shí)，“以老師為中心”和“以內(nèi)容為中心”的教學(xué)，是完全可以做到的。該講的內(nèi)容講完了，至于結(jié)果怎么樣就無法顧及了。正像美國(guó)老師無法理解中國(guó)老師可以踩點(diǎn)下課一樣，中國(guó)老師在聽了我介紹美國(guó)的教學(xué)以后，也搖著頭說：“好是好啦，可是他們?cè)趺茨芡瓿山虒W(xué)內(nèi)容呢？”然而，只講已知的正確的東西，忽略讓

13、學(xué)生去證實(shí)或證偽自己的假設(shè)，就是忽略了學(xué)生的懷疑精神的培養(yǎng)。鼓勵(lì)學(xué)生去證實(shí)或證偽某個(gè)假設(shè)，強(qiáng)調(diào)的是自我教育。上面那位美國(guó)老師，通過證實(shí)和證偽的過程培養(yǎng)學(xué)生演繹推理和歸納推理的能力，可謂用心良苦！“聰明”的孩子與“智慧”的學(xué)生為什么年齡越小時(shí)，中國(guó)孩子領(lǐng)先美國(guó)孩子越多，隨著年齡的增長(zhǎng)這種差距卻越來越小，到高中以后，中國(guó)孩子與優(yōu)秀的美國(guó)孩子就基本沒有差距了？經(jīng)過多年的觀察與研究，我發(fā)現(xiàn)，中國(guó)教育培養(yǎng)的是聰明的孩子，美國(guó)教育培養(yǎng)的是智慧的學(xué)生。聰明的孩子和智慧的孩子有什么本質(zhì)的區(qū)別？我們以“西安事變”的教學(xué)為例子，可清晰地看出兩者的巨大差別：中國(guó)的大多數(shù)學(xué)校，老師講完史實(shí)后，要求學(xué)生記時(shí)間、地點(diǎn)、人物、事件等，以“學(xué)會(huì)”為目的，滿足于考試結(jié)果。美國(guó)的教育則是八仙過海：比如，可能什么都不教，讓孩子們分成幾組，分別制做一份當(dāng)時(shí)各黨各派報(bào)紙，或者只給幾個(gè)辯論題，讓孩子組成正反方進(jìn)行辯論。即便是常規(guī)教學(xué)，老師也會(huì)啟發(fā)孩子的發(fā)散性思維：如果蔣不妥協(xié)？如果張、楊不和共產(chǎn)黨合作？如果張、楊把蔣處死？如果蔣逃出西安甚至讓學(xué)生自己設(shè)想發(fā)散性的問題。無論哪種方式，學(xué)生都在收集材料、研究材料、組織觀點(diǎn)的過程中，培養(yǎng)了“會(huì)學(xué)”的能力。第 5 頁(yè) 共 6 頁(yè)美國(guó)學(xué)者賈尼絲薩博把培養(yǎng)