高考數(shù)學(xué)講義微專題13利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題(含詳細(xì)解析)

1、微專題13 利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題、基礎(chǔ)知識(shí): 1、使用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題(1)題目特點(diǎn)：敘述中體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的關(guān)系(涉及的量也許有多個(gè)，但均能夠用兩個(gè)核心變量進(jìn)行表示)。以其中一個(gè)為自變量，則另一個(gè)變量可視為自變量的函數(shù)，進(jìn)而搭建出函數(shù)模型，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)，均值不等式等工具求出最值(2)需用到的數(shù)學(xué)工具與知識(shí)點(diǎn)：分段函數(shù)：當(dāng)自變量的不同取值導(dǎo)致解析式不同時(shí)，可通過(guò)建立分段函數(shù)來(lái)體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，在題目中若有多種情況，且不同的情況對(duì)應(yīng)不同的計(jì)算方式，則通常要用分段函數(shù)進(jìn)行表示。導(dǎo)數(shù)：在求最值的過(guò)程中，若函數(shù)解析式不是常見(jiàn)的函數(shù)(二次函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)等)，則可利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而求得

2、最值均值不等式：在部分解析式中(可構(gòu)造和為定值或積為定值)可通過(guò)均值不等式迅速的找到最值。分式函數(shù)的值域問(wèn)題：可通過(guò)分離常數(shù)對(duì)分式進(jìn)行變形，并利用換元將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)求解(3)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系: 面積問(wèn)題：可通過(guò)尋底找高進(jìn)行求解，例如:1平行四邊形面積底高梯形面積 一 (上底 下底) 局2A _1二角形面積一底高2商業(yè)問(wèn)題：利潤(rùn)營(yíng)業(yè)額成本貨物單價(jià)數(shù)量成本本息總和本金利息本金利率本金總價(jià)單價(jià)數(shù)量利息問(wèn)題：利息本金利率(4)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意變量的取值范圍應(yīng)與實(shí)際情況相符，例如：涉及到個(gè)數(shù)時(shí)，變 量應(yīng)取正整數(shù)。涉及到錢，速度等問(wèn)題，變量的取值應(yīng)該為正數(shù)。2、使用線性規(guī)劃模型解決實(shí)際問(wèn)題(1)

3、題目特點(diǎn)：敘述中也有兩個(gè)核心變量，但條件多為涉及兩核心變量的不等關(guān)系，且所求是關(guān)于兩個(gè)核心變量的表達(dá)式，這類問(wèn)題通常使用線性規(guī)劃模型來(lái)解決問(wèn)題(2)與函數(shù)模型的不同之處函數(shù)模型：體現(xiàn)兩核心變量之間的等量關(guān)系，根據(jù)一個(gè)變量的范圍求另一個(gè)變量的范圍 (或最值)線性規(guī)劃模型：體現(xiàn)關(guān)于兩變量的不等關(guān)系，從而可列出不等式組，要解決的是含兩個(gè)變量的表達(dá)式的最值。(3)解題步驟：根據(jù)題目敘述確定未知變量(通常選擇兩個(gè)核心變量，其余變量用這兩個(gè)進(jìn)行表示)，并列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決(4)注意事項(xiàng)：在實(shí)際問(wèn)題中，變量的取值有可能為整數(shù)，若最優(yōu)解不是整數(shù)，則可在最優(yōu)解附近尋找?guī)讓?duì)整點(diǎn)

4、，代入到目標(biāo)函數(shù)中并比較大小3、使用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題(1)題目特點(diǎn)：題目以幾何圖形(主要是三角形)作為基礎(chǔ)，條件多與邊角相關(guān)csinC(2)需要用到的數(shù)學(xué)工具與知識(shí)點(diǎn):一 asin A sinB 正弦定理：設(shè) VABC三邊a,b,c所對(duì)的角分別為 A,B,C ,則有 余弦定理(以a和對(duì)角A為例)，a2 b2 c 2bccosA三角函數(shù)表達(dá)式的化簡(jiǎn)與變形函數(shù)y Asin x 的值域(3)解題技巧與注意事項(xiàng)：在求邊角問(wèn)題時(shí)，應(yīng)把所求的邊或角放在合適的三角形中在直角三角形里，已知一條邊，則其它邊可用該邊與內(nèi)角的三角函數(shù)值進(jìn)行表示 在圖形中要注意變量的取值范圍二、典型例題： 例1：如圖所示，將

5、一矩形花壇 ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇 AMPN ,要求M在AB的B延長(zhǎng)線上， N在AD的延長(zhǎng)線上，且對(duì)角線 MN過(guò)C點(diǎn)。已知AB 3米，AD 2米。(1)設(shè)AN x (單位：米)，要使花壇 AMPN的面積大于32平方米，求x的取值范圍；(2)若x 3,4)(單位：米)，則當(dāng)AM ,AN的長(zhǎng)度分別是多少時(shí)，花壇 AMPN的面積最大？并求出最大面積。(1)思路：根據(jù)相似三角形可得線段比例:SampnAN3x2AM x 232 ,解出x的范圍即可解：QVNDC:VNAMND DCAMDCAN DCANANSampn3x232解得:NDANAM3x282，3 U(2)思路：求解：設(shè)fAN AD

6、AM 3x x-23x 依題息可得:x 232 x 64 0 x 08,AMPN面積的最大值，即求表達(dá)式3x2x 3,4)3x23L的最大值,x 2分離常數(shù)求解即3xND DC,從而解出 AMAN AM4=3x2x 22,1,2,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可得:1時(shí)，y達(dá)到最大值，即y27此時(shí)t 13,所以AN 3,AM答：當(dāng)AN3,AM9時(shí)，四邊形 AMPN的面積最大，為27m2例2:時(shí)下網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假 設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量 y (單位：千套)與銷售價(jià)格：x (單位：元/套)滿足的關(guān)系式m2y 4 x 6 ,其中2 x 6,m為常數(shù).已知銷售

7、價(jià)格為 4兀/套時(shí)，每日可售出x 2套題21千套.(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.(保留1位小數(shù))m2解：(1)將x 4,y 21代入關(guān)系式可得：21m 4 4 6 m 102(2 )思路：依題意可得售出一套，所得利潤(rùn)為x 2元，所以總的利潤(rùn)102f x x 20 4x6 ，其中2 x 6,利用導(dǎo)數(shù)判定 f x的單調(diào)性，進(jìn)而 x 2可求得最大值點(diǎn)x10斛：依題思所狄利潤(rùn) f x x 2 y x 2 4x6x 2化簡(jiǎn)可得：f x4x3 56x2f' x 12x2 11

8、2x 240令f x 0 ,即解不等式 3x10Q2 x 6 解得x 310f x在2,10單調(diào)遞增，在3240x 278 2 x 64 3x 10 x 610 x 6010,6單調(diào)遞減3-10什r例3:某人銷售某種商品,發(fā)現(xiàn)每日的銷售量y (單位：kg)與銷售價(jià)格x (單位：元/kg)滿足關(guān)系式y(tǒng)150x 6 177x 6a(x 9)2,6 x 9,其中a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為8元/kg時(shí),x, 9 x 15該日的銷售量是80kg.(1)求a的值;(2)若該商品成本為6元/kg ,求商品銷售價(jià)格x為何值時(shí)，每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.一, 1502 . 一解：(1)當(dāng) x 8時(shí)，80 a

9、 8 9 ,解得：a 5x在x 取得取大值，即x ; 3.3 31505 x 9 ,6 x 9x 6y 177x,9 x 15 x 6(2)思路：依題意可得銷售商品所獲得利潤(rùn)f x x 6 y,所以f x也是一個(gè)分段函數(shù)，可以考慮分別求出每段函數(shù)值的最大值，然后進(jìn)行比較即可挑出f x的最大值。解：設(shè)商品利潤(rùn)為 f x ,則有f x x 6 y,由第(1)問(wèn)可得：150177,915,6x9, 一一，2當(dāng) 6 x 9時(shí)，f x 150 5 x 9 x 62貝 Ufx5x92x6x915 x 7 x 9令f x 0 ,由x 6,9 解得：6x7f x在6,7單調(diào)遞增，在 7,單調(diào)遞減f x f 7

10、1702當(dāng) 9 x 15時(shí)，f x 177 x2 6x x 3186f x在9,15單調(diào)遞減f xf 9 150f 7f 9f x max 170例4:已知某食品廠需要定期購(gòu)買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價(jià)格為1.8元/千克，每次購(gòu)買配料需支付運(yùn)費(fèi) 236元，每次購(gòu)買來(lái)的配料還需支付保管費(fèi)用，其標(biāo)準(zhǔn)如下：7天以內(nèi)(含7天)，無(wú)論重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天數(shù)，根P是多少元?據(jù)實(shí)際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付(1)當(dāng)9天購(gòu)買一次配料時(shí)，求該廠用于配料的保管費(fèi)用（2）設(shè)該廠x天購(gòu)買一次配料，求該廠在這 x天中用于配料的總費(fèi)用 y （元）關(guān)于x的

11、函數(shù) 關(guān)系式，并求出該廠多少天購(gòu)買一次配料才能使平均每天支付的費(fèi)用最少?解：（1）第8天剩余配料為2 200 400 （千克）第9天剩余配料為200千克該廠用于配料的保管費(fèi)為：P 70 0.03 400 0.03 200 88 （元）(2)當(dāng) X 7時(shí)，y 360x 10x 236236 370x當(dāng) x 7時(shí)，y 360x 236 70 6 x 73x2 321x 432綜上所述：y236 370x, x 73x2 321x 432,x 7設(shè)W為平均每天支付的費(fèi)用，則 W ?x236 370x ,x 7x3x2 321x 432,x 7 x當(dāng)x 7時(shí)，W236 370x c370x236，當(dāng)x

12、 7時(shí)，Wx28267404_ .432當(dāng) x 7時(shí)，W 3x 321 3 x144144x321 3 2 x 321 393x， x_ ,144等號(hào)成立條件：xx 12xWmin 393 (元)例5:甲，乙兩校計(jì)劃周末組織學(xué)生參加敬老活動(dòng)，甲校每位同學(xué)的往返車費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)，乙校每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)，兩校都有學(xué)生參加，甲校參加活動(dòng)的學(xué)生比乙校至少多1人，且兩校同學(xué)往返總車費(fèi)不超過(guò)45元，如何安排 甲，乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù)，才能使收到服務(wù)的老人最多？此時(shí)受到服務(wù)的老人最多有多少人？ 思路：本題涉及的變量有兩個(gè)：甲校人數(shù)與乙校的人數(shù)，且所給條件均為關(guān)于兩校

13、人數(shù)的不等式，所以可聯(lián)想到線性規(guī)劃問(wèn)題?？稍O(shè)甲校人數(shù)為x,乙校人數(shù)為y,所求問(wèn)題為目標(biāo)函數(shù)z 3x 5y ,列出約束條件后通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可求出z的最大值解：設(shè)甲校人數(shù)為 x,乙校人數(shù)為y,依題意，x,y應(yīng)滿足的條件為:5x 3 y 45x, y目標(biāo)函數(shù)z3x 5y可得。動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)M時(shí),3x -,通過(guò)數(shù)形結(jié)合55z取得最大值5xQ M : x3y 45 y 1求救,6,5如圖,zmax3x5y43某海濱浴場(chǎng)的岸邊可近似地看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有人救生員沒(méi)有直接從 A處游向B處，而是沿岸邊自 A跑到距離B最近的D處，然后游向B處，若救生員在岸邊的行進(jìn)速度為6米/秒，在海中的行

14、進(jìn)速度為2 米/秒，BAD 450。(1)分析救生員的選擇是否正確;(2)在AD上找一點(diǎn)C,使救生員從A至ij B的時(shí)間為最短，并求出最短時(shí)間A解：(1)思路：所謂“選擇是否正確”,是指方案二所用的時(shí)間是否比直接游到B處時(shí)間短,所以考慮分別求出兩種方案所用的時(shí)間,再進(jìn)行比較即可。解：從圖形可得：AB 300 0 300，2,所以t1sin45o如2 150/(s) 2而 |AD BD| 300，所以 t2 300 300200(s)Qtit2 ,所以救生員的選擇是正確的(2)思路：要求得時(shí)間的最值，考慮創(chuàng)設(shè)一個(gè)變量x ,并構(gòu)造出時(shí)間關(guān)于 x的函數(shù)f x再求出f x的最小值即可。不妨設(shè)CD則BC

15、| V3002x2，所以時(shí)間x的最小值即可300 x 3002 x2,再求導(dǎo)求出 f解：設(shè)|CD| x,則|BC J3002 x2 ,設(shè)所用時(shí)間為fx工 300 x,3002 x2f x 62,，1 1 2x3002X2 3xf x -6 2 2.3002 x26,3002 x2令 f' x 0 ,即解不等式 3x J3002 x2 0 3x 53002 x222222 300-,9x2 3002 x2x2 ,解得：x 75V28f x在0,75j2單調(diào)遞減，在 75j2,300單調(diào)遞增f x min f 75應(yīng)50 100 72 （秒）答：當(dāng)|CD| 75應(yīng)時(shí)，救生員所用的時(shí)間最短，

16、為 50 100企秒答：甲，乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù)分別為6和5時(shí)，受到服務(wù)的老人最多，最多為 43人2例7:某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計(jì)180m,擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18布，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi) 40元；小房間每間面積為 15nt可以住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi) 50元；裝修大房間每間需要 1000元，裝修小房間每間需要 600元.如果他只能籌款 8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，每天能獲得最大的房租收益？（注：設(shè)分割大房間為x間，小房間為y間，每天的房租收益為z元），求x,y各為多少時(shí)，每天能獲得最大的房租收益？每天能

17、獲得最大的房租收益是多少？思路：本題的主要變量是 x,y,從題目中可發(fā)現(xiàn)對(duì) x,y的約束條件有 3個(gè)，一個(gè)是房間數(shù)必須是非負(fù)整數(shù)，所以 x,y N ,第二個(gè)條件是室內(nèi)面積為180m2,所以大小房間面積和要不大于180m2 ,第三個(gè)條件是裝修費(fèi)用總和不高于8000元，據(jù)此列出約束條件：18x 15y 180200x150y,所1000x 600y 8000,所求收益 z x, y N以該模型為線性規(guī)劃問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可。解：依題意可得對(duì) x, y的約束條件為：18x 15y 1806x5y601000x 600y 80005x3y40,所求目標(biāo)函數(shù)為z 200x 150yx, y Nx, yN作

18、出可行域，依圖可得：直線過(guò) M 3,8或M 0,12時(shí)，z最大，即zmax 18000答：當(dāng)大房間為3間，小房間為8間；或者不設(shè)大房間，小房間為12間時(shí)，收益最大，最大 值為18000元例8:某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測(cè)量可知邊界AB AD 4萬(wàn)米,BC 6萬(wàn)米，CD 2萬(wàn)米(1)請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地 ABCD的面積及圓面半徑 R的值(2)因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD,CD不能變更，而邊界 AB, BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧ABC上設(shè)計(jì)一點(diǎn) P,

19、使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值解：（1）在VABC中，由余弦定理可得： _ 22_ 2_AC AB BC 2AB BC cosB 在VADC中，由余弦定理可得： _ 22_ 2_AC AD DC 2AD DC cosD 因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓 B D 180o cosB cosD所以由可得：42 62 2 4 6cosB 42 2 2 2 4 2cos B1解得：cosB B 60D 12021 1SABCD SVABC SVADCAB BC sin B AD DC sin DABCD V ABCV ADC2 214 6 sin60o 12 4 sin120o 8

20、« （萬(wàn)平方米）22由余弦定理可得：AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB 28AC 2 .7AC 2 72R sin B 、3"2"4 2132.2iR 3(2)設(shè) APx,CPSAPCDSVAPCSVADC由(1)可知SVADC若要APCD面積最大，只需 SVAPC取大SVAPC-AP CPsin P -AP3 CPsinB xy4在VAPC中，由余弦定理可得:AC2_22 _AP2 PC2 2AP PC cosP即28o2xy cos60xy 28Q x22xy28xy 2xy xy ,即 xy28當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號(hào)成立Sapcd2 .39:3所以

21、四邊形APCD的最大面積為例9:如圖是一塊平行四邊形園地ABCD ,經(jīng)測(cè)量，AB20m,BC 10m, ABC 1200,(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，試確定點(diǎn) E的位置ABCD的邊上，不計(jì)路的寬度)擬過(guò)線段 AB上一點(diǎn)E設(shè)計(jì)一條直路 EF (點(diǎn)F在四邊形 將該園地分為面積比為 3:1的左，右兩部分，分別種植不同的花卉，設(shè) EB x,EF y (單 位：m)(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式(3)試確定點(diǎn)E,F的位置，使得直路 EF長(zhǎng)度最短解：(1)當(dāng)F與C重合時(shí)，SVBEFBE h (設(shè)h為平行四邊形的高)SabcdAB hBE1h - AB h41 一 rr 1依也忌可信：SVBEF-SABCD即二

22、42一 1-一BE AB即E為AB的中點(diǎn) 2(2) Q E在線段AB上0 x 20當(dāng) x 10,20 時(shí),可得F在線段BC上Q AB 20m, BC10m, ABC120oSyabcdABBC sin ABC20100.31SVEBF-SYABCD425 V3 Q SVEBF1 BE2BFsin120o ABF100在VBEF中EF2SEBE2EFBF2 2BE BFcosEBFx20,10 時(shí),BCFCF 10 x當(dāng)BECF時(shí),100c 100 o2x cos120 x當(dāng)BECF時(shí),100002 100x點(diǎn)F在線段CD上,此時(shí)四邊形EBCF為梯形或平行四邊形CFEFEF2x2 5x 25綜上所述可得:(3)即求y的最小值當(dāng) x 10,20 時(shí)，y10 sin60o，由 Sebcf1 _一 一一二 &ABCD25>/3 信:41022x 10 2 2 1 0 2x 10 cos120o10210 2x 2 22 10000x2100,102. x2 5x 25,0 x等號(hào)成立條件：x2 10000 x 10 x當(dāng) x 0,10 時(shí)，y 22 x2 5x 25一_ _o1010 2x cos602 x2 5x 25x 20102 10000x一210010000一2100 10