2020年【通用版】高考數(shù)學(xué)(藝術(shù)生)考前沖刺專題《立體幾何初步》測試題(含答案)

1、專題9立體幾何初步測試題命題報(bào)告:1. 高頻考點(diǎn)：三視圖的認(rèn)識，幾何體的表面積和體積的求解。2. r考情分析：高考主要以選擇題填空題形式出現(xiàn)，每年必考，重點(diǎn)考查三視圖和表面積、體積的綜 合，與球有關(guān)的外接和內(nèi)切問題。3.重點(diǎn)推薦：基礎(chǔ)卷 16題，涉及數(shù)學(xué)文化題的應(yīng)用，是近幾年熱點(diǎn)問題；一.選擇題1.所有棱長都為1的正四棱錐的體積是（）A、2 B 、叵 C 、巨 D 、蟲3363【答案】：C【解析】正四棱錐的側(cè)棱、高、底面對角線的一半構(gòu)成直角三角形，所以高為1 6&-x lx二3161正四棱錐的底面積為 1,所以體積為一 ，故選C.2.將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截去一個(gè)棱錐，得到的

2、幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）.由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體【解析】 先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)視圖3. （2018金山一模）將正方體（如圖（1）所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖（2）所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為區(qū)A. L-J B .刃C晶瘍AS43(1) ©( )區(qū)國區(qū)1解析】根據(jù)題意,得i點(diǎn)a在平面ecca上的投影是瓦點(diǎn)、D在平面bcc：昆上的投影是C,棱蛇:在平面BCCB上的投彩是8人Mh在平面BCC瓜上的投嵬是寸"民口在平面BCCR上的投裳是是被擋住的棱,應(yīng)畫成虛線？如圖所示,故選,B，4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形

3、的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為產(chǎn)八士., 1i 111 一 . 1-A.90 兀B.63 兀C.42 兀答案 B解析 法一（割補(bǔ)法）由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一D.36tt一個(gè)圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示.將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱體從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的 2，所以該幾何體的體積 V=兀X 3 2* 4+兀X 3之X 6X 2 = 63兀.1 一.2 一 一法一.（估值法）由題忌知，2V圓柱V凡何體V圓柱，又V圓柱=兀*3 *10=90兀，45

4、兀 V凡何體90兀.觀察選項(xiàng)可知只有 63兀符合.5.在棱長為a的正方體中，P、Q是體對角線 AC上的動(dòng)點(diǎn),a 且PQ -,則三棱錐P-BDQ的體積為（2 a3 D2412【答案】：A【解析】特殊化處理，讓點(diǎn) Q與C重合，則三棱錐 P-BDC的體積為所求,S因?yàn)闀r(shí)沿=丁4,由三角形的相似比可得P到底面BCD的距離為3，2.3Tjr 1 1 2 a。P-BCD =一黑一& X= j-晌，.- ，二 3 3場洋八 所以a ,故選A.366 . （2018-?煙臺(tái)一模）已知三棱錐 P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球 。的球面上， ABC是邊長為6 的正三角形,PA, PB, PC兩兩垂直，則球。的體

5、積為（AB. - 1C. 3兀 D. 4 ："【答案】：A工解析】:ABC是邊長為加的正三角形 PA, PB, PC兩兩垂直"FPFPC二1由三棱鎮(zhèn)P-甌的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上n蜘0相當(dāng)于接長為1的正方體做展璘，故rWJ+J+J一逗 敵球0的體 22積陽母TTrX冬JT,故選：A. uaZAB CD 一 .4闔 G D.7 .長方體 -的體積為V, P是DDi的中點(diǎn)，Q是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體 P-CDQ的體積是()A、1V6、-V124【答案】：D【解析】設(shè)長方體的長、寬、高分別為AB=a, BC或 AA, c ,則有V=abc,產(chǎn)。=q 5毋” =1 CD 一m二1

6、口匕2 ,22由題意知 -一，所以廠 _lc口nJ 1 l 1 _ 1 ： _一二 " 一" 1-V128 . （2018?三明二模）如圖，已知正方體ABCD- ABGDi的棱長為2,則以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（A.直線 AC與AD為異面直線B. AiCi/平面 ACDC. BDXAC D.三棱錐 D-ADC勺體積為三【解析】由正方體 ABCD- AiBCiD的棱長為2,知：在 A中，直線 AiG?平面AiBiGDi, BD?平面AiBiGD,Di?直線AiCi,由異面直線判定定理得直線 AG與AD為異面直線，故 A正確；在B中，: AG/AC, AC?平面 ACD, AC?

7、平面 ACD,A1C1/平面 ACD,故 B正確；在 C 中，二,正方體 ABC。ABiCD 中，AC± BQ AC，DD, BDA DD,AC±面 BDD,BD1XAC,故 C正確；在,故D錯(cuò)誤.故選：D.9 .如圖是棱長為2的正八面體（八個(gè)面都是全等的等邊三角形）D中，三棱錐Di-ADC勺體積:,球。是該正八面體的內(nèi)切球，則球 。的A.B.C.D.【解析】：由題意，該八面體的棱長為2,設(shè)球。的半徑為r一 S 表近,解得r=W,所以球O的表面積為: VsA.表面積為（E10. (2018年東北.三省三校，(哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué))三模 )棱長為2的正方體

8、ABC。A1BGD中，E為棱AD中點(diǎn)，過點(diǎn)Bi,且與平面 ABE平行的正方體的截面面積為( )A. 5B. 2 KC, 2. ；D. 6【答案】.C【解析】；取區(qū)中點(diǎn)1氐D;中點(diǎn)。連結(jié)DF、£尸、原DG、6次，見二棱長為2的正方體AfiCD-A此CM中，E為棱All中點(diǎn)，二EE/DFj AiE/®j又 MEClM=E,&E、EEu平面 鳥斑, DG、DF匚平面 D70G,二過點(diǎn)口，且與平面A：0E平行的正方體的裁面為四邊形DFB島'/DF=JBL=fi；G=DG= V4+1 =75, DEj=$4+4+ 4=2«.心，過點(diǎn)BtJ且與平面A；BE平行

9、的正方體的截面面積為：S菱形FE GD. 乂 DE 乂 斯"乂2詹乂 2V?2遂.故選：J 1u£4GBE為線段11.如圖，若 Q是長方體ABCD- AiBiCiD被平面EFGHB去幾何體 EFGHg后得到的幾何體，其中AiBi上異于Bi的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB上異于Bi的點(diǎn)，且EH/ AD,則下列結(jié)論中不正確的是()A. EH/ FG B.四邊形EFG卷矩形C. Q是棱柱D.四邊形EFGHT能為梯形【答案】D;【解析】：若FG不平彳T于EH,則FG與EH相交，交點(diǎn)必然在 B1C1上，與EH/ B1C1矛盾，所以FG/ EH,古A正確；由EH!平面A1ABB1得到EHL EF,可

10、以得到四邊形 EFGH矩形,故B正確；將Q從正面看過去，就知道是一個(gè)五棱柱，故 C正確；因?yàn)镋FGHB去幾何體 EFGHBD后，EH/, BC CF,所以四邊形 EFGH可能為梯形，故 D錯(cuò)誤.故選：D.12 .九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻薨，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”已知 l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,則該楔體的體積為（）A. 10000立方尺B. 11000立方尺C. 12000立方

11、尺D. 13000立方尺【答案】：A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示:沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直,則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱,則三棱柱的體積V1X3X 2X2=6,四棱錐的體積V2=X 1 X3X 2=2 3由三視圖可知兩個(gè)四棱錐大小相等,V=V+2V2=10立方丈=10000立方尺.故選： A.二.填空題xOy則它的直觀圖的面積是13 .正AOB勺邊長為a,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系答案揮1 解析回出坐標(biāo)系x'O'y',作出OAB勺直觀圖O'AB'（如圖）.D'為O A

12、'的中點(diǎn).易知D' B'=-DBD為OA勺中點(diǎn)），S；AO A B，=；x 4&OAB=乎X 號a2=a2. 22441614 .如圖，已知正方體 ABCDA1BCD的棱長為1,則四棱錐 A-BBDD的體積為.1【答案I .Q 3【解析】由題意可知四棱錐 A-BBDD的底面是矩形，邊長為 1和曲 四棱錐的高為1AG=J22,則四棱錐 A1-BBD1D的體積為1x 1X 2X=1.故答案為J.32 3315 .有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示），/ AB仔45° , AB= AD= 1, DCL BC則這塊菜地

13、的面積為 .答案 2+2解析 如圖1,在直觀圖中，過點(diǎn) A作AE! BC垂足為E此IB22Z ABE= 45 ,BE= 2AD= EC= 1.在 RtABE中，AB= 1,又四邊形AECM矩形，2. BC= BE+ EC= *+1.由此還原為原圖形如圖 2所示，是直角梯形 A B C D'.在梯形 A B C D'中,A D' =1, B C =¥+1，A B' =2.這塊菜地的面積 S= 2（A' D' +B' C' ） A B' =1x 1 + 1+、2 X2=2+ 呼.16 .九章算術(shù)中對一些特殊的幾何體有

14、特定的稱謂，例如：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵.將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對的棱刨開，得到一個(gè)陽馬（底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個(gè)鱉月需（四個(gè)面均勻直角三角形的四面體）.在如圖所示的塹堵 ABC- ABC中，AA=AC=5 AB=3, BC=4由則陽馬C1 - ABBA1的外接球的表面積是 ?！敬鸢浮?0兀【解析】：由題意知，直三棱柱 ABC- ABC中,AA=AC=5, AB=3, BC=4,四棱錐Ci- ABBAi的外接球即為直三棱柱的外接球,以AR BG BB為共頂點(diǎn)，畫出長方體，如圖所示,則長方體的外接球即為三棱柱的外接球;=/50,，所求的外接球的直徑為體對

15、角線2R=AC='，外接球的表面積是 S=4tt R2=ti?(2R) 2=50兀.三.解答題17 .已知某線段的正視圖、俯視圖、側(cè)視圖對應(yīng)線段長度分別為2, 4, 4,試求此線段的長度。ASCD AiB CjD, 【解析】：如圖想象出線段 BDi所在的空間幾何體是長方體-,可得其正視圖、俯視圖、側(cè)視圖分別為設(shè)長方體三條棱長分別為a, b, c,則有口十T 16 22a b 4,小十小二16八,從而得BDi =10分P ABCD,下部的形狀是正四18 .現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐棱柱ABCDAiBGD(如圖所示)，并要求正四棱柱的高 OO是正四棱錐的高

16、 PO的4倍，若AB= 6 m, P0= 2m,則倉庫的容積是多少?【解析】由PO= 2 m,知OO= 4PO= 8 m.因?yàn)锳B = AB= 6 m,所以正四棱錐 P AiBCD的體積V錐=, AiB2 , PO= X 6 2 2= 24(m|3) ; 4分33正四棱柱 ABCD- A BCD的體積V柱=八百 OO= 62X8=288(m3),所以倉庫的容積 V= V錐+ V柱=24+288=312(m3).故倉庫的容積是 312 m3. 12分19.如圖，長方體 ABCDAiBGD 中，AB= 16, BC= 10, AA = 8,點(diǎn) E, F分別在 AiB, DC 上，AiE= DF=

17、4.過點(diǎn)E, F的平面oc與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值【解析】(1)交線圍成的正方形 EHG欣口圖所示.(2)如圖，作 EM/LAB 垂足為 M 則 A陣AE= 4, EB= 12, EM= AA=8.因?yàn)樗倪呅?EHG的正方形，所以 EH= EF= BC= 10.于是 MH=EHEIM= 6, AH= 10, HB= 6. 1故 S 四邊形 AiEHA= X(4+ 10)X8= 56,一1S 四邊形 EBBH= 2X (12+6)X8= 72.因?yàn)殚L方體被平面 a分成兩個(gè)高為10的直棱

18、柱，9 7.所以其體積的比值為 7 9也正確 12分7 920.在三柱 ABG-ABC 中，側(cè)面 AACC，底面 ABC AA=AC= AC= AB= BC= 2,且點(diǎn) O為 AC中點(diǎn).(1)證明：AO,平面ABC(2)求三棱錐G ABCW體積.證明因?yàn)锳A = AC,且O為AC的中點(diǎn)，所以AOL AC 3分又平面 AACC平面 ABC平面AACCA平面 ABC= AC且 AC?平面 AACC, AO,平面 ABC 6 分(2)解 . AC / AC, AC?平面 ABC AC?平面 ABC .A1C1/平1面ABC即C到平面ABC勺距離等于 Ai到平面 ABC勺距離.由(1)知 ACL 平面

19、 ABC& AiO= aAAO =，3,V1 -abb V1 abb qSL abc - AiO= wXjX2Xl3xy3=1. 12分33 221.如圖所示，在三棱錐 P ABC, PAL底面ABC D是PC的中點(diǎn).已知/ BAC=j, AB= 2, AC= 2y3, PA= 2.求:(1)三棱錐P- ABC勺體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值一，一1【解析】（1） &abc= 2*2X2 43=2,13,1三棱錐P ABC勺體積為 V= 3SAABC.（2）如圖，取PB的中點(diǎn)E,連接DE AE則ED/ BC所以/ AD既異面直線BCW AD所成的角（或其補(bǔ)角）.在4ADE中，DE= 2, AE=業(yè)，AD= 2,cos / ADE=22+ 22-22X2X2 =34.3故異面直線B9AD所成角的余弦值為4. 12分22. （20187W淀區(qū)二模）如圖，已知菱形AECM對角線AC, DE交于點(diǎn)F,點(diǎn)E為的AB中點(diǎn).將三角形 ADE沿線段DE折起到PDE的位置，如圖2所示.（I ）求證：DE1平面PCF，（II）證明：平面 PBCL平面PCF;（出）在線段 PD, BC上是否分別存在點(diǎn) M N,使得平面CFM/平面PENP若存在，t#指出點(diǎn) M N的位置， 并證明；若不存在，請