2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版.word版本可編輯.歡迎下載支持.2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共40分）1. （5 分）（2015 北京）復(fù)數(shù) i （2-i）=（）A. l+2i B. 1 - 2iC. - l+2i D. - 1 - 2i,x-y<02. （5分）（2015北京）若x, y滿足< x+y<l ,則z=x+2y的最大值為（）A. 0 B. 1 C.2 D. 223. （5分）（2015北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為（）A. （ -2, 2） B. （ -4, 0） C. （ -4, -4） D. （0, -8）4.

2、（5分）（2015北京）設(shè)a,。是兩個(gè)不同的平面，m是直線且mu a, “m少是一的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5. （5分）（2015北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A. 25 B. 4m C. 2+2不 D. 56. （5分）（2015北京）設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A.若 ai+a2>。，貝ij a2+a3>0 B.若 ai+a3V0,貝ij ai+a2VoC.若 OVaiVa2,則 a2'% % D.若 ai0,則（a2 - ai） （a? - 33） >07. （5

3、分）（2015北京）如圖，函數(shù)f （x）的圖象為折線ACB,則不等式f （x） 210g2 （x+1） 的解集是（）A. x -IVxWO B. x -IWxWI C. x - l<x<l D. x - 1VxW28. （5分）（2015北京）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述 了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C.甲車以80千米J、時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D.某城市.機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車

4、比用乙車更省油二、填空題（每小題5分，共30分）9. （5分）（2015北京）在（2+x） 5的展開式中，x3的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）210. （5分）（2015北京）已知雙曲線-y2=l （a>0）的一條漸近線為心+y=0,則 aa=11. （5分）（2015北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2, 2L）到直線P （cose+Vine） =6的距離 3為.12. （5 分）（2015北京）在ABC 中，a=4, b=5, c=6,則型顯&=.sinC13. （5 分）（2015北京）在aABC 中，點(diǎn) M, N 滿足 AI=2MC，BN=NC> 若MN=xAB+yAC， 則 x=,

5、 y=.14. （5 分）（2015北京）設(shè)函數(shù) f （x） = 2',4（x - a） （x- 2a）5 x-l若a=l,則f （x）的最小值為:若f （x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.三、解答題（共6小題，共80分）15. （13分）（2015北京）已知函數(shù)f （x） Win&o旺-拆sin 2A.2 22（I ）求f （x）的最小正周期：（II）求f （x）在區(qū)間-n, 0上的最小值.16. （13分）（2015北京）A, B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單 位：天）記錄如下：A 組：10, 1L 12, 13, 14, 15, 16B 組；12

6、, 13, 15, 16, 17, 14, a假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立，從A, B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B 組選出的人記為乙.（I）求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率；（H）如果a=25,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長的概率；（ffl）當(dāng)a為何值時(shí)，A, B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）17. （14分）（2015北京）如圖，在四棱錐A-EFCB中，ZAEF為等邊三角形，平面AEF 平而 EFCB, EFBC, BC=4, EF=2a, ZEBC=ZFCB=60°, O 為 EF 的中點(diǎn).（I ）求證：AO±BE.（n）求二面角F-AE-

7、B的余弦值；（ID）若BE_L平而AOC,求a的值.18. （13分）（2015北京）已知函數(shù)f （x）1 - X（I）求曲線y=f （x）在點(diǎn)（0, f （0）處的切線方程：3（H）求證，當(dāng) x£ （0, 1）時(shí)，f （x）三）；3（HI）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f （x） H葉=）對(duì)x£ （0, 1）恒成立，求k的最大值.22f19. （14分）（2015北京）已知橢圓C=1 （a>b>0）的離心率為Y2,點(diǎn)P （0, a D21）和點(diǎn)A （m, n） （mWO）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.（I）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m, n表示）：（II）設(shè)O為原

8、點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N,問：y軸上是否 存在點(diǎn)Q，使得NOQM=NONQ?若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.,2an? an<1820.（13分）（2015北京）已知數(shù)列匕外滿足£2*1忘36,且加+1=2%一 36,< n=l, 2,），記集合 M=an n£N*.（I ）若ai=6,寫出集合M的所有元素；（H）如集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（川）求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共40分）1. （5 分）（2015北京）

9、復(fù)數(shù) i （2-i）=（）A. l+2i B. 1 - 2iC. - l+2i D. - 1 - 2i【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則解答.【解答】解：原式=2i - i?=2i - （ - 1） =l+2i；故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算：關(guān)鍵是熟記運(yùn)算法則.注意i2=-l.,x-y<02. （5分）（2015北京）若x, y滿足，x+y<l ,則z=x+2y的最大值為（）A. 0 B. 1 C. W D. 22【分析】作出題中不等式組表示的平而區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移， 即可求出z取得最大值.x-y<0【解答】解：作出不等式組,表示的平面區(qū)域，當(dāng)

10、1經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值:匾大值=0+2X2.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值，著重考查了二元一次 不等式組表示的平而區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3. （5分）（2015北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為（）A. （ -2, 2） B. （ -4, 0） C. （ -4, -4） D. （0, -8）【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果.【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下；x=l9 y=1,k=0 時(shí)，s=x - y=0» t=x+y=2；x=s=0, y=t=21k=l 時(shí)，s=x

11、- y= - 2, t=x+y=2：x=s= - 2, y=t=2,k=2 時(shí)，s=x - y= - 4, t=x+y=O：x=s= - 4, y=t=O,k=3時(shí)，循環(huán)終止，輸出（x, y）是（-4, 0）.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，是基礎(chǔ)題目.4. （5分）（2015北京）設(shè)a, B是兩個(gè)不同的平而，m是直線且mu a, "mB"是"aB" 的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【分析】并得不到a仇根據(jù)面面平行的判定定理，只有a內(nèi)的兩相交直線都平行于

12、B，而。，并且mu a,顯然能得到m仇 這樣即可找出正確選項(xiàng).【解答】解：mua, 得不到a仇因?yàn)閍, B可能相交，只要m和a, B的交線平行 即可得到m仇a仇mua, .,.m和B沒有公共點(diǎn)，即aB能得到m仇“mB"是"a 1的必要不充分條件.故選B.【點(diǎn)評(píng)】考查線而平行的定義，線面平行的判定定理，而而平行的定義，而面平行的判定定 理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念.5. （5分）（2015北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表而積是（）A.B. 4m C. 2+275 D. 5分析根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA 而ABC, AC=AB, E為BC

13、中點(diǎn),EA=2, EA=EB= 1, OA=1,： BC_L而 AEO, AC=V5. OE=V5判斷幾何體的各個(gè)而的特點(diǎn)，計(jì)算邊長，求解面積.【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OAlffil ABC, AC=AB, E 為 BC 中點(diǎn)，EA=2, EC=EB=1, OA= 1»可得 AEJ_BC, BC1OA.運(yùn)用直線平面的垂直得出：BClifilAEO, AC=VS. OE=VS* Sa ABC=i- X 2 X 2=2» Sa oac=Sa oab=- XM 5X 1.Sa bcoJ- X2xV5=V5. 2依該三棱錐的表面積是2+2V5,故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考

14、查了空間幾何體的三視圖的運(yùn)用，空間想象能力，計(jì)算能力，關(guān)鍵是恢復(fù)直 觀圖，得出幾何體的性質(zhì).6. （5分）（2015北京）設(shè)匕力是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A.若 ai+a2>0，貝ij a2+a3>0 B.若 ai+a3V0,則 ai+a2<0C.若 OVaiVaz，則 a2>&產(chǎn)+ D.若 ai0,則（a2 - ai） （az - 33） >0【分析】對(duì)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.【解答】解：若ai+a2>0，貝ij2ai+d>0, a2+a3=2ai+3d>2d, d>0時(shí)，結(jié)論成立,即A不正 確：若 ai+a3&l

15、t;0, WiJ ai+a2=2ai+d<0, a2+a3=2ai+3d<2d, dVO 時(shí),結(jié)論成立，即 B 不正確:汨）是等差數(shù)列，OVaiVaz, 2a2=ai+a3>2J& 二即 C 正確；若 ai0,則（a2 - aj） （a2-a3）= - d20,即 D 不正確.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).7. （5分）（2015北京）如圖，函數(shù)f （x）的圖象為折線AC北則不等式f（X）210g2 （x+1） 的解集是（）A. x -IVxWO B. x -IWxWI C. x - l<xl D. x - 1VxW2

16、【分析】在已知坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合得到不等式的解集. 【解答】解：由已知f （x）的圖象，在此坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，如圖滿足不等式f （x） >log2 （x+1）的X范圍是1VxS1；所以不等式f （x） 210g2 （x+1）的 解集是x| - IVxWl:故選c.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合求不等式的解集；用到了圖象的平移.8. （5分）（2015北京）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述 了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B.以相同速

17、度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C.甲車以80千米J、時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【分析】根據(jù)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，以及圖象，分別判斷 各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A,從圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40千米每小時(shí)時(shí)的燃油 效率大于5千米每升，故乙車消耗1升汽油的行駛路程遠(yuǎn)大于5千米，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于選項(xiàng)B,以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最小，故B錯(cuò)誤， 對(duì)于選項(xiàng)C,甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，里程為80千米，燃油效率為10,故 消耗8升

18、汽油，故C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)樵谒俣鹊陀?0千米/小時(shí)，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正確. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵掌握題意，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（每小題5分，共30分）9. （5分）（2015北京）在（2+x） 5的展開式中，x3的系數(shù)為40 （用數(shù)字作答） 【分析】寫出二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，利用x的指數(shù)為3,求出r,然后求解所求數(shù) 值.【解答】解：（2+x） §的展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+i=c"25 rxr，所求x3的系數(shù)為：02 2=40. 故答案為：40.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的求法，考查計(jì)算能力.210. （5

19、分）（2015北京）己知雙曲線-y2=l （a>0）的一條漸近線為立x+y=O,則a= aV33 .【分析】運(yùn)用雙曲線的漸近線方程為y=±三，結(jié)合條件可得即可得到a的值.aa2【解答】解：雙曲線三-尸=1的漸近線方程為丫=土三，a2a由題意可得a解得a4.3故答案為：叵.3【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.11. （5分）（2015北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2,三）到直線p （cose川QinO） =6的距離為1 .【分析】化為直角坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式距離公式即可得出.【解答】解：點(diǎn)P （2,）化為73）.3直線 p （c

20、os9+V3sin9） =6 化為 一 6二0.點(diǎn)P到直線的距離cU卜"5 心十（75）2故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì) 算能力，屬于中檔題.12. （5 分）（2015北京）在AABC 中，a=4, b=5, c=6,貝律坦以 1 sinC【分析】利用余弦定理求出cosC, cosA,即可得出結(jié)論.【解答】解：ABC 中,a=4, b=5, c=6,AcosC=15-36 2X4X5 8c°sa=25+36-16學(xué)2X5X6 4.,.sincJ 否,sinA=-, 84, sin2A 當(dāng)士.哀h 3"

21、; 故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).13. (5分)(2015北京)在AABC中，點(diǎn)M, N滿足前=2低，BN=NC，若謠=x'S+yX己 則 X=2，y= -X .-26一【分析】首先利用向量的三角形法則，將所求用向量而，記表示，然后利用平面向量基本 定理得到X, 丫值.解答解：由已知得到面二前十石片前蔣&4正巧(標(biāo)-正)弓蕊一正：由平面向量基本定理，得到X=l, y= -1； 26故答案為：L, -1. 26【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量基本定理的運(yùn)用，一個(gè)向量用一組基底表示，存在唯一的實(shí)數(shù) 對(duì)(X, y)使，向量等式成立.14. (5 分

22、)(2015北京)設(shè)函數(shù) f(X)= 2" 一祗”<1.4(x - a) (x- 2a), x>l若a=l,則f (x)的最小值為-1 :若f (x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 工0<1或給2. -2【分析】分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；分別設(shè)h (x) =2、-a, g (x) =4 (x-a) (x-2a),分兩種情況討論，即可求出a的范圍.- 1 Yi【解答】解：當(dāng)a=l時(shí)，f (x) = ",4(x-l)(x-2), x>l當(dāng) x<l 時(shí)，f (x) =2X- 1 為增函數(shù)，f (x) A - 1,當(dāng) x&g

23、t;l 時(shí)，f (x) =4 (x- 1) (x-2) =4 (x2-3x+2) =4 (x-2) 2- h 2當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)X>>|時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng) X=2時(shí)，f (x) min=f () = - h 22設(shè) h (x) =2、- a, g (x) =4 (x - a) (x - 2a)若在xVl時(shí)，h (x)=與、軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以 a>0,并且當(dāng) x=l 時(shí)，h (1) =2-a>0,所以 0<aV2,而函數(shù)g (x) =4 (x-a) (x - 2a)有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a21,且aVl,所以工WaVl,2若函數(shù)h (x) =2、- a在xVl

24、時(shí)，與x軸沒有交點(diǎn)，則函數(shù)g(X)=4 (x - a) (x - 2a)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)aWO時(shí)，h (x)與x軸無交點(diǎn)，g (x)無交點(diǎn)，所以不滿足題意(舍去)，當(dāng)h (1) =2-aW0時(shí)，即a，2時(shí)，g (x)的兩個(gè)交點(diǎn)滿足xi=a, x2=2a,都是滿足題意的, 綜上所述a的取值范圍是LwaVl,或a22.2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算 能力以及分類能力，屬于中檔題.三、解答題（共6小題，共80分）15. （13 分）（2015北京）已知函數(shù) f （x） Win三：o±-«sin 2.2 22（I ）求f（X）的最小

25、正周期：（II）求f （x）在區(qū)間-n, 0上的最小值.【分析】（I）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（X）,再由正弦函數(shù)的周期，即可得到所求：（O 由x的范圍，可得的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得最小值. 4【解答】解：(I ) f (x) =V2sinAcos2L - V2sin 2A2 22=?-sinx -(1 - cosx)22 兀 ,兀最=sinxcos+cosxsin -=-442=sin (x+) -42則f (x)的最小正周期為2n：(n)由-nwxwo,可得則當(dāng)x=-"時(shí)，sin （x+）取得最小值-1, 44則有f（x）在區(qū)間On, o上的最小

26、值為-1-YZ. 2【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，同時(shí)考查正弦函數(shù)的周期和值域，考查 運(yùn)算能力，屬于中檔題.16. （13分）（2015北京）A, B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：A 組：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B 組；12, 13, 15, 16, 17, 14, a假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立，從A, B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B 組選出的人記為乙.（I ）求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率：（n）如果a=25,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長的概率：（川）當(dāng)a為何值時(shí)，A, B兩組病人康復(fù)時(shí)間的

27、方差相等？（結(jié)論不要求證明）【分析】設(shè)事件Ai為"甲是A組的第i個(gè)人”，事件R為“乙是B組的第i個(gè)人”，由題意可知 P (Ai) =P (Bi) i=l, 2,77(I )事件等價(jià)于"甲是A組的第5或第6或第7個(gè)人，由概率公式可得；<n)設(shè)事件“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間wC=A4B 1 U A5B1 U A6B1 U A7B1 U A5B2U A6B2 U A7B2 U A7B3 u a6b6u a7b6> 易得 P (C)=iop(A4B1),易得答案：(in)由方差的公式可得.【解答】解：設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人”,事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人”

28、,由題意可知 P (Ai) =P (Bi)上，i=l, 2,77(I )事件"甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天”等價(jià)于"甲是A組的第5或第6或第7個(gè)人”，甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率P (A5UA6UA7)=P (As) +P(A6)+P (A7)=芻； 7<n)設(shè)事件c為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長”，則 C=A4B 1 U A5B1 U A()B 1 U A7B U A5B2 U A6B2 U A7B2 U A7B3 U A6B6U A7B(V：.P (C) =P (A4B1)+P (A5B1)+P (A6B1) P+ (A7B1) +P (A5B2)+P (A6B2

29、) +P(A7B2)+P (A7B3) +P(a6b6) +P (A7B6)= 10P (A4B1)=10P (A4)P (Bl) =1 49(m)當(dāng)a為11或18時(shí)，A, B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等.【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，屬基礎(chǔ)題.17. (14分)(2015北京)如圖，在四棱錐A-EFCB中，ZAEF為等邊三角形，平面AEF，平面 EFCB, EFBC, BC=4, EF=2a, ZEBC=ZFCB=60°, O 為 EF 的中點(diǎn).(I )求證：AO±BE.(n)求二面角F - AE - B的余弦值；(m)若BE_L平而AOC

30、,求a的值.【分析】(I )根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明AO±BE.<n)建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角F-AE-B的余弦值；(川)利用線而垂直的性質(zhì)，結(jié)合向量法即可求a的值【解答】證明：(I) .:AEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，AAO1EF,平而 AEFJ_平面 EFCB, AOu 平面 AEF,，AO_L 平而 EFCBAAO1BE.(II)取BC的中點(diǎn)G,連接OG,VEFCB是等腰梯形，AOG1EF,由(I )知AO_L平而EFCB,OGu 平而 EFCB,，OA_LOG,建立如圖的空間坐標(biāo)系，則 OE=a, BG=2, GH=a, (aW2), BH=2

31、 - a, EH=BHtan6O°=V3 C2- a)t則 E (a, 0, 0), A (0, 0, V3a), B (2, «(2一 a), 0),EA= ( - a, 0, V3a)> BE= (a-2, -E(2- d),o),設(shè)平面AEB的法向量為n= (x, y, z),則E三次即加“田。，.nBE=0 Q- 2)x+«(a- 2)尸0令 z=l,則 x=V5，y= - 1,即 n= (5/3* - 1, 1 )平面AEF的法向量為需(0, 1, °),則 cos<f，n >=-|m|nI一漁5即二面角F-AE-B的余弦值為

32、-在:5(m)若 BE,平面 AOC,則 BE1OC,即 BEOC=O,VB&= (a-2, - 73(2- a), 0), qc=( -2,近(2- 之)，0),ABE-0C=-2 (a-2) -3 (a-2) 2=0,解得a=A.3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系利用向量 法是解決空間角的常用方法.18. (13分)(2015北京)已知函數(shù)f (x) =1占之，1 - x(I)求曲線y=f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程：3(H)求證，當(dāng) x£ (0, 1)時(shí)，f (x) >2(x+斗)；(HI)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(X)

33、膜肝=)對(duì)x£ (0, 1)恒成立，求k的最大值.【分析】(1)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求在曲線上某點(diǎn)處的切線方程.(2)構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明命題成立.(3)對(duì)k進(jìn)行討論，利用新函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)k的取值范圍.【解答】解答：(1)因?yàn)閒 (x) =ln (1+x) -In (1 -x)所以又因?yàn)閒 (0) =0,所以曲線y=f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為y=2x.3(2)證明：令 r (x) =f (x) - 2(X+A_)t 則-39 4g1 (x) =f (x) -2 (1+x2) =51- K2因?yàn)間' (x) >0 (0<x<l),所

34、以g (x)在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞增.所以 g (x) >g (0) =0, xG (0, 1),3 即當(dāng) (0, 1)時(shí)，f (x) >2 (x+").33(3)由(2)知，當(dāng) kW2 時(shí)，f (x) >k&+江)對(duì) x£(0，1)恒成立. 33當(dāng) k>2 時(shí)，令 h(x)=f(x) -kQ+上)，則/、c /、1 /1、kx4 " (k - 2)h' (x) =f (x) - k (1+x-)=,所以當(dāng)0cxe時(shí)1- J,h* （x） VO,因此h （x）在區(qū)間（0,2.）上單調(diào)遞減.0<x<3h (x)

35、 <h (0) =0, BP f (x) <k(x+a).33所以當(dāng)k>2時(shí)，f （x） >kx+=r）并非對(duì)x£（0，1）恒成立.J綜上所知，k的最大值為2.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線方程的求法及新函數(shù)的單調(diào)性的求解證明.在高考中屬?？碱}型, 難度適中.2 v 2萬19. （14分）（2015北京）已知橢圓C x 、 （a>b>0）的離心率為在，點(diǎn)P （0, a2 b221）和點(diǎn)A （m, n） （mWO）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.（I ）求橢圓c的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m, n表示）：（II）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線P

36、B交x軸于點(diǎn)N,問：y軸上是否 存在點(diǎn)Q，使得NOQM=NONQ?若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由."b=lc V2【分析】（I）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出£歪-求解即可.2一八2.2 la -b +c 、（II）求解得出0）, N（-,0）,運(yùn)用圖形得出tan/OQM=tan/ONQ,迎二 1一口 1+nXM 為2求解即可得出即yQ2=XMXN，方/,根據(jù)m, m的關(guān)系整體求解. 乙%=1 c V2【解答】解：（I ）由題意得出仁可1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編例.解得：b=l, c=l2.號(hào)+y2=l,乙VP (0, 1)和點(diǎn) A，PA的方程為：y-

37、(m, n), - l<n<l1x, y=0 時(shí)，xm=_m ,l-nAM 一1-n(II) ;點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A (m, n) (mO)二點(diǎn) B (nit - n) (mWO)二直線PB交x軸于點(diǎn)N,AN (0), 1+n存在點(diǎn) Q，使得NOQM=NONQ, Q (0, yQ), ，tan Z OQM=tan Z ONQ，.Q = N , 即 yq2=xm*xn. +n2=lXM 為 .229 m 個(gè)y(r=42,l-n2* Yq= ±V，故y軸上存在點(diǎn)Q,使得NOQM=NONQ, Q (0, 也或Q (0,-血)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線圓錐曲線的方程，位置關(guān)系，數(shù)