備戰(zhàn)高考高考數(shù)學(xué)闖關(guān)密練特訓(xùn)92簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積新人教A版含解析

1、9-2簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積闖關(guān)密練特訓(xùn)1.紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其實(shí)際方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是()A南 B北 C西 D下答案A解析將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為上，最右面為東，則前面為，可知“”的實(shí)際方位為南2一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為，那么這個(gè)三棱柱的體積是()A96B48C24D16答案B解析已知正三棱柱的高為球的直徑，底面正三角形的內(nèi)切圓是球的大圓設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，球的半徑為R，則a2R，又R3，R2，a4，于是Va

2、2·2R48.3(2012·新課標(biāo)全國(guó)，7)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A6 B9 C12 D18答案B解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)三棱錐，由俯視圖知三棱錐的底面是等腰三角形，底邊長(zhǎng)為6，底邊上的高為3，面積S×6×39，由正視圖和側(cè)視圖可知棱錐的高為3，體積V×9×39.4(文)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A2 B1C.D.答案B解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，其直觀圖如圖所示，其體積為V××1×1.(理

3、)(2011·濰坊二檢)如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為()A.B.C.D.答案B解析截去一角在正視圖中位于左側(cè)上部，在側(cè)視圖中位于右側(cè)上部，結(jié)合俯視圖可知，截去的一角應(yīng)位于幾何體的上部左前方，可畫(huà)出多面體的形狀如圖這個(gè)多面體是由長(zhǎng)方體截去一個(gè)正三棱錐而得到的，所以所求多面體的體積VV長(zhǎng)方體V正三棱錐4×4×6×(×2×2)×2.5(文)一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A22B42C2D4答案C解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面直徑和高都是2的圓柱和一個(gè)底面邊

4、長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱錐疊放而成故該幾何體的體積為V×12×2×()2×2，故選C.點(diǎn)評(píng)由三視圖想象幾何體的形狀時(shí)，一要注意常見(jiàn)柱、錐、臺(tái)的三視圖結(jié)構(gòu)特征，二要注意方位，三要注意細(xì)節(jié)本題中正視圖與側(cè)視圖都不變，若俯視圖中把外部的圓改為正方形，則幾何體就是上部為正四棱錐，下部為正四棱柱的組合體(理)(2011·湖南文，4)設(shè)下圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A942 B3618C.12 D.18答案D解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體其中，V球·()3，V長(zhǎng)方體2×3×318.所以

5、V總18.6.(2012·山西高考聯(lián)合模擬)一個(gè)幾何體是由若干個(gè)相同的正方體組成的，其正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體最多可由這樣的正方體組成的個(gè)數(shù)為()A12個(gè) B13個(gè) C14個(gè) D18個(gè)答案B解析由正視圖知該幾何體有三列，左右兩排都存在2層的情形，中間一排，只有一層，由側(cè)視圖知，該幾何體有三行，前后兩排都存在2層的情形，中間一排只有一層，因此此幾何體最多可由13個(gè)小正方體組成，你能求出最少可由多少個(gè)小正方體構(gòu)成嗎？7圓臺(tái)的上、下底半徑分別為2和4，母線(xiàn)長(zhǎng)為4，則截得此圓臺(tái)的圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的中心角為_(kāi)答案解析如圖，設(shè)PDx，則，x4，×2.8一個(gè)底面半徑為1，高為6

6、的圓柱被一個(gè)平面截下一部分，如圖(1)所示，截下部分的母線(xiàn)最大長(zhǎng)度為2，最小長(zhǎng)度為1，則截下部分的體積是_答案解析根據(jù)對(duì)稱(chēng)性把它補(bǔ)成如圖(2)所示的圓柱，這個(gè)圓柱的高是3，體積是所求幾何體體積的2倍，故所求的幾何體的體積是××12×3.故填.9圓柱內(nèi)切球的表面積為4，則圓柱的表面積為_(kāi)答案6解析設(shè)球半徑為R(R>0)，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，由條件知，4R24，R1.圓柱的表面積S2·R22R·2R6R26.10已知P在矩形ABCD的邊DC上，AB2，BC1，F(xiàn)在AB上且DFAP，垂足為E，將ADP沿AP折起，使點(diǎn)D位于D位置，連

7、接DB、DC得四棱錐DABCP.(1)求證：DFAP；(2)若PD1，且平面DAP平面ABCP，求四棱錐DABCP的體積解析(1)APDE，APEF，DEEFE，AP平面DEF，APDF.(2)PD1，四邊形ADPF是邊長(zhǎng)為1的正方形，DEDEEF，平面DAP平面ABCP，DEAP，DE平面ABCP，S梯形ABCP×(12)×1，VDABCP×DE×S梯形ABCP.能力拓展提升11.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2.動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，點(diǎn)Q是棱CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上若EF1，DPx，A1Ey(x，y大于零)，則三棱錐PEFQ的體

8、積()A與x，y都有關(guān) B與x，y都無(wú)關(guān)C與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān) D與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)答案C解析設(shè)P到平面EFQ的距離為h，則VPEFQ×SEFQ·h，由于Q為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q到直線(xiàn)EF的距離為定值，又EF1，SEFQ為定值，而P點(diǎn)到平面EFQ的距離，即P點(diǎn)到平面A1B1CD的距離，顯然與x有關(guān)與y無(wú)關(guān)，故選C.12(2011·陜西文，5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為()A8B8C82 D.答案A解析由三視圖知，原幾何體為如圖所示一正方體挖去一個(gè)與正方體等高底面是正方形的內(nèi)切圓的圓錐，則其體積為V23×12×28.故選A.13(2011&

9、#183;東北三校)一個(gè)幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，側(cè)視圖為等腰三角形，俯視圖為正方形，則這個(gè)幾何體的體積等于()A.B.C.D.答案A解析由三視圖知，這是一個(gè)四棱錐，其底面為正方形，一條側(cè)棱垂直于底面其長(zhǎng)度為2，底面正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為1，邊長(zhǎng)為，體積V×()2×2.14(文)一等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)的表面積為24，一圓錐與此圓柱一個(gè)底面重合，頂點(diǎn)在另一個(gè)底面上，則此圓錐的表面積為_(kāi)答案4(1)解析設(shè)圓柱底半徑為R，則2R22R·2R24，R2，圓錐的底半徑為R2，高為4，母線(xiàn)長(zhǎng)l2，圓錐的表面積SR2Rl444(1).(理)圓錐的高為4，側(cè)面積為1

10、5，其內(nèi)切球的表面積為_(kāi)答案9解析設(shè)圓錐底面半徑為r(r>0)，則母線(xiàn)長(zhǎng)l，由rl15得r·15，解之得r3，l5.設(shè)內(nèi)切球半徑為R，作出圓錐的軸截面如圖，則BDBO13，PD532，PO4R，ODPB，R24(4R)2，R，球的表面積S4R29.15(文)(2011·安徽省淮南市模擬)如圖是以正方形ABCD為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，且ABBC，AE1，BFDH2，CG3.(1)證明：截面四邊形EFGH是菱形；(2)求幾何體CEFGH的體積解析(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BFE平面CDHG，且平面EFGH分別交平面ABFE、平面CDHG于

11、直線(xiàn)EF、GH，所以EFGH.同理，F(xiàn)GEH.因此，四邊形EFGH為平行四邊形因?yàn)锽DAC，而AC為EG在底面ABCD上的射影，所以EGBD.因?yàn)锽F綊DH，所以FHBD.因此，F(xiàn)HEG.所以四邊形EFGH是菱形(2)解：連接CE、CF、CH、CA，則VCEFGHVVCABFEVCADHE，其中V是幾何體的體積，AE1，BFDH2，CG3且?guī)缀误w是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分，所以該幾何體的體積為V()2×24，VCABFE×S四邊形ABFE×BC×(AEBF)×AB×BC×(12)××1.同

12、理，得VCADHE1，所以，VCEFGHVVCABFEVCADHE4112，即幾何體CEFGH的體積為2.(理)(2011·江西文)如圖在ABC中，B，ABBC2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PDBC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)當(dāng)棱錐APBCD的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，求證：ABDE.解析(1)令PAx(0<x<2)，則APPDx，BP2x，因?yàn)锳PPD且平面APD平面PBCD，故AP平面PBCD.所以VAPBCDSh(2x)(2x)x(4xx3)令f(x)(4xx3)，由f (x)(43x

13、2)0，得x.當(dāng)x(0，)時(shí)，f (x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(，2)時(shí)，f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減所以，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值，即當(dāng)VAPBCD最大時(shí)，PA.(2)設(shè)F為AB的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E，則有EF綊BC，PD綊BC，EF綊PD，四邊形EFPD為平行四邊形，DEPF.又APPB，所以PFAB，故DEAB.16(2012·新課標(biāo)全國(guó)文，19)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ACB90°，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)(1)證明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比分析(1)

14、證兩個(gè)平面垂直，可轉(zhuǎn)化為在其中一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直；(2)平面BDC1分棱柱成兩部分，下面部分BADC1C為四棱錐，可直接求體積，上面部分可用間接法求得體積，從而確定兩部分體積之比解析(1)由題設(shè)知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由題設(shè)知A1DC1ADC45°，所以CDC190°，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)設(shè)棱錐BDACC1的體積為V1，AC1.由題意得，V1××1×1.又三棱柱

15、ABCA1B1C1的體積V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為11.點(diǎn)評(píng)本題考查線(xiàn)面的位置關(guān)系及幾何體體積的求法求解幾何體的體積時(shí)，若遇不規(guī)則的幾何體時(shí)，經(jīng)常采用割補(bǔ)法和間接法求其體積1用單位正方體搭幾何體，使它的正視圖和俯視圖如圖所示，則符合條件的幾何體體積的最小值與最大值分別是()A9,13 B7,16 C10,15 D10,16答案D解析由俯視圖知底層有七個(gè)小正方體，結(jié)合正視圖知，最左邊一列，最多都是三層，最少只有一行是三層，故左邊一列最多9個(gè)、最少5個(gè)；中間一列最多都是二層有6個(gè)，最少只有一行二層，共4個(gè)；右邊一列只一層一行，故最多96116個(gè)，最少5

16、4110個(gè)2一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為()A280 B292 C360 D372答案C解析由三視圖知該幾何體是兩個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，上面的長(zhǎng)方體的表面積為(6×8)×2(8×2)×26×2140.下面的長(zhǎng)方體的表面積為(10×8)×2(10×2)×2(8×2)×26×2220.故表面積為140220360.選C.3如圖，已知在多面體ABCDEFG中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，則該多面

17、體的體積為()A2B4C6D8答案B解析補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABMCDEFN并連接CF，易知三棱錐FBCM與三棱錐CFGN的體積相等，故幾何體體積等于長(zhǎng)方體的體積4.故選B.點(diǎn)評(píng)1.也可以用平面BCE將此幾何體分割為兩部分，設(shè)平面BCE與DG的交點(diǎn)為H，則ABCDEH為一個(gè)直三棱柱，由條件易證EH綊FG綊BC，平面BEF平面CHG，且BEFCHG，幾何體BEFCHG是一個(gè)斜三棱柱，這兩個(gè)三棱柱的底面都是直角邊長(zhǎng)為2和1的直角三角形，高都是2，體積為4.2如圖(2)，幾何體ABCDEFG也可看作棱長(zhǎng)為2的正方體中，取棱AN、EK的中點(diǎn)C、F，作平面BCGF將正方體切割成兩部分，易證這兩部分形狀相同，體積相

18、等，VABCDEFG×234.4在一個(gè)倒置的正三棱錐容器內(nèi)放入一個(gè)鋼球，鋼球恰與棱錐的四個(gè)面都接觸，過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是()答案B解析球與正三棱錐底面的切點(diǎn)為底面正三角形的中心，故在截面圖中，此切點(diǎn)將截面三角形的這一條邊(底面正三角形的高)分為12兩部分，截面過(guò)三棱錐的高和一條側(cè)棱，故截面圖中球大圓與側(cè)棱外離且圓心在三角形的高(即棱錐的高)上，這條高應(yīng)是頂點(diǎn)與底面中心的連線(xiàn)段，故選B.5四棱錐PABCD的底面為正方形，側(cè)面PAD為等邊三角形，且側(cè)面PAD底面ABCD，點(diǎn)M在底面正方形ABCD內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足MPMC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡一定是()答案B解析由滿(mǎn)足條件MPMC，可知點(diǎn)M應(yīng)在線(xiàn)段PC的所有中垂線(xiàn)構(gòu)成的平面內(nèi)，又點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)，所以點(diǎn)M的軌跡平面與平面ABCD的交線(xiàn)，則必為直線(xiàn)，故D不正確又BP不等于BC，故A不正確由題意知PDDC，所以D點(diǎn)在M的軌跡上設(shè)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連接