案例辨析——數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效途徑

1、案例辨析數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效途徑江蘇省豐縣中學(xué) 江遠(yuǎn)忠（中文摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其中很重要的一項(xiàng)內(nèi)容就是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)教師應(yīng)以獨(dú)具匠心的案例設(shè)計(jì)，師生恰當(dāng)?shù)幕?dòng)交流，借之以學(xué)生探索、辨析、感悟以及批判性思維活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解、掌握和應(yīng)用。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念，辨析）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其中很重要的一項(xiàng)內(nèi)容就是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，實(shí)踐表明，學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤或思維活動(dòng)中遇到的障礙，往往是由于沒(méi)有正確理解、掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)概念而造成的。但概念學(xué)習(xí)不是一個(gè)簡(jiǎn)單的的過(guò)程，而是一個(gè)復(fù)雜的、多階段、多層次的認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程。審視傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念課，教師常常一味從自己的理解和愿望出發(fā)，講解概念，殊不知，教師言之諄

2、諄，學(xué)生聽(tīng)之藐藐；教師不厭其煩，學(xué)生無(wú)動(dòng)于衷。然而如果摒棄對(duì)概念理解的繁瑣敘述，以獨(dú)具匠心的案例設(shè)計(jì)，師生恰當(dāng)?shù)幕?dòng)交流，借之以學(xué)生探索、辨析、感悟以及批判性思維活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解、掌握和應(yīng)用，使教學(xué)概念課真正從“機(jī)械重復(fù)”走向“互動(dòng)生成”。1.在辨析中比較，讓概念的導(dǎo)入和“生成”水到渠成從概念的同化來(lái)說(shuō)，要想掌握新概念，學(xué)生必須掌握那些作為定義項(xiàng)的概念，從新概念的形成來(lái)說(shuō)，學(xué)生必須具有刺激模式方面的有關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，否則，就不可能從中抽象出本質(zhì)的屬性。因此，教師在教學(xué)中，為了使學(xué)生易于接受和掌握數(shù)學(xué)概念，應(yīng)先創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)新概念的情境，想方設(shè)法喚起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，讓概念的

3、導(dǎo)入符合事物發(fā)展的規(guī)律,讓學(xué)生在活動(dòng)中思考、感悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的萌芽以及發(fā)生、發(fā)展的全過(guò)程，以領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的真諦，豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。案例1 “向量的數(shù)量積”這一定義式，往往學(xué)生在學(xué)了一段時(shí)間之后仍迷惑，數(shù)量積怎么要定義成這樣一個(gè)式子？以致把數(shù)量積與算術(shù)中的乘法相混淆，出現(xiàn)“向量中的乘法和原來(lái)學(xué)過(guò)的乘法不一樣了！”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。為此，筆者在給出這個(gè)概念時(shí)，采取以下思路：先給出學(xué)生初中已經(jīng)熟悉的物理中的情景：已知一物體在力F的作用下發(fā)生位移S，那么做功為：，（其中是F與S的夾角）。在向量中，也有極其類(lèi)似的情形：向量a、b及其夾角（如右圖），你能給出什么運(yùn)算結(jié)果？學(xué)生自然而然地回答表達(dá)式：ab！

4、那好我們就把這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式記作ab，讀作“向量a與b的數(shù)量積”。然后對(duì)比“功”的數(shù)量特征給出“數(shù)量積”的數(shù)量特征。在這里，物理問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)起到觸發(fā)學(xué)生思維的“信息源”的作用，學(xué)生通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)“ab”這種運(yùn)算定義式合情合理，一個(gè)新結(jié)構(gòu)式產(chǎn)生了！然后就像用“W”表示“功”一樣，我們用“ab”表示“ab”。這種過(guò)程使得新概念在原有知識(shí)基礎(chǔ)上自然得到同化和順應(yīng)。當(dāng)然要使概念的導(dǎo)入和“生成”水到渠成，教師必須盡可能為學(xué)生選擇一個(gè)好的素材、創(chuàng)設(shè)一個(gè)好的數(shù)學(xué)情景。要能有效激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)新精神，促使他們積極主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)、探索，而不是一個(gè)新概念的簡(jiǎn)單實(shí)例化的再現(xiàn)。案例2 新教材（蘇教版）“交集、并集”

5、這一概念的教學(xué)，教材上安排的教學(xué)情境是：用Venn圖分別表示下列各組中的三個(gè)集合：（1），（2）， （3）（略） 上述集合中，A、B、C具有怎樣的關(guān)系？編者在這里的思路非常清楚，借助實(shí)例向?qū)W生直觀展示交集的概念。但由于太直觀簡(jiǎn)單，學(xué)生基本不需要探索、抽象、概括等思維活動(dòng)就能輕松獲取新知識(shí)，學(xué)生投入的積極性并不會(huì)很高，而且對(duì)于難點(diǎn)（并集的定義）又沒(méi)有提供背景材料。于是筆者在組織教學(xué)時(shí)，選擇教材的一個(gè)例題：“學(xué)校先舉辦排球賽，某班45名同學(xué)中有12名同學(xué)參賽，后來(lái)又舉辦了一次田徑賽，這個(gè)班有20名同學(xué)參賽。已知兩項(xiàng)都參賽的有6名同學(xué)，這個(gè)班共有多少名同學(xué)沒(méi)有參加過(guò)比賽？”作為引入問(wèn)題讓學(xué)生討論，通

6、過(guò)畫(huà)圖及演算，學(xué)生能得出19名的答案。然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)求解過(guò)程進(jìn)行反省，結(jié)合Venn圖，學(xué)生便能自己抽象概括出交集與并集的定義。尤其是對(duì)于并集定義中“或”的意義（本節(jié)課的難點(diǎn)）有了深入的理解，即含有三層意義xA但xB；xA且xB； xB但xA。這樣安排，使學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的同時(shí)，自然感悟出新的概念。 2在辨析中調(diào)整，準(zhǔn)確把握概念的“內(nèi)涵”和“外延” 鄭毓信教授曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“現(xiàn)代教學(xué)思想的一個(gè)重要內(nèi)容，即是認(rèn)為學(xué)生的錯(cuò)誤不可能單純依靠下面的示范和反復(fù)的練習(xí)得到糾正，而必須是一個(gè)自我否定的過(guò)程”。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓，最后茅塞頓開(kāi)，使得在教學(xué)過(guò)程的種種細(xì)節(jié)處能夠起到及時(shí)地開(kāi)發(fā)

7、，巧妙地利用，智慧地引領(lǐng)，同時(shí)喚醒學(xué)生的悟性和靈感，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念真正的理解。案例3 在“概率”一節(jié)中，為幫助學(xué)生區(qū)別古典概型與幾何概型的概念，我提出了以下問(wèn)題：連續(xù)擲兩次骰子，以出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)中的，問(wèn)點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率是多少？這樣的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)脫口而出幾何概型問(wèn)題！算一下圓面積與正方形面積的比不就清楚了嗎。仔細(xì)推敲，卻另有情形，發(fā)現(xiàn)是在可能的36個(gè)點(diǎn)中，出現(xiàn)點(diǎn)(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,0)，(2,3)，(3,1)，(3,2)的可能性，屬于典型的“古典概型”問(wèn)題，于是。在這里幾何概型“有形無(wú)實(shí)”，不是對(duì)學(xué)生的概念理解出現(xiàn)偏差的“當(dāng)頭棒喝”嗎？！“抽象”和“嚴(yán)謹(jǐn)”是

8、數(shù)學(xué)概念的重要特征，而敘述數(shù)學(xué)概念的語(yǔ)言又是經(jīng)過(guò)高度抽象、精心提煉，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中我們經(jīng)常要求學(xué)生“理解”，要求學(xué)生仔細(xì)觀察、判別某一細(xì)微之處（如某一句的意思、某一關(guān)鍵詞的意思），甚至逐字逐句加以推敲、分析，但僅僅限于字面的表述顯然是不夠的，學(xué)生往往對(duì)這樣的語(yǔ)言和名詞仍不理解或理解不到位。在教學(xué)中，要結(jié)合具體的事例詮釋概念的內(nèi)涵與外延。這里既可以以“形似而神非”的個(gè)案來(lái)校正；也可以巧設(shè)“案例組”。在對(duì)“案例組”的辨析中，通過(guò)歸納、抽象、概括、提煉，使學(xué)生理解一類(lèi)事物的共同本質(zhì)屬性，明確概念的內(nèi)涵和外延。當(dāng)然，這樣的“案例組”往往可以通過(guò)具有該本質(zhì)屬性的事物或不具有該本質(zhì)的事物混合組成。案例4

9、橢圓的定義式，學(xué)生常?；\統(tǒng)地記為：，為幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握定義式的內(nèi)涵，教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)以下簡(jiǎn)單問(wèn)題組，讓學(xué)生討論： 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，的距離之和為2，則P點(diǎn)的軌跡為： A 橢圓 B 兩條射線(xiàn) C 線(xiàn)段 D 不存在 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，的距離之和為4，則P點(diǎn)的軌跡為： A 橢圓 B 兩條射線(xiàn) C 線(xiàn)段 D 直線(xiàn) 。 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，的距離之和為6，則P點(diǎn)的軌跡為： A 橢圓 B 兩條射線(xiàn) C 線(xiàn)段 D 直線(xiàn) 。結(jié)合以上問(wèn)題通過(guò)分析容易得到：.當(dāng)2a2c時(shí)，軌跡不存在；.當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡為一條線(xiàn)段；.當(dāng)2a2c時(shí)，軌跡為橢圓。這樣就有效加深了學(xué)生對(duì)橢圓概念中"ac&qu

10、ot;這一條件的理解。當(dāng)然，設(shè)置的“案例組”要盡可能讓學(xué)生有思考的空間，只有設(shè)置的問(wèn)題讓學(xué)生“跳一跳才能摸得到桃子”，才能更好地引起學(xué)生的認(rèn)知沖突或驚訝等心理反應(yīng).，課堂教學(xué)效益才能最大化。案例5 函數(shù)周期性及其最小正周期是學(xué)生較難理解的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，在學(xué)生了解其概念之后，給出以下問(wèn)題，讓學(xué)生展開(kāi)討論：函數(shù)是周期函數(shù)嗎？；呢？；呢？函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，最小正周期是多少？ 函數(shù)仍是周期函數(shù)嗎？有無(wú)正周期？對(duì)函數(shù)，對(duì)都有，則的最小值為：通過(guò)上述問(wèn)題的研究，幫助學(xué)生弄清以下問(wèn)題：周期函數(shù)定義域的結(jié)構(gòu)特征 最小正周期的存在狀況 周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律 周期函數(shù)的圖像特征。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生真正弄清

11、周期函數(shù)、最小正周期的概念，不僅加深了對(duì)關(guān)鍵字詞、式的理解，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上也從“了解”上升為“理解”的層面。因此，概念教學(xué)要求教師要把教材當(dāng)作原材料，通過(guò)精心的加工和重組，以活鮮的素材形式顯現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生積極地參與教學(xué)過(guò)程，并組織、監(jiān)控、調(diào)整自己的思維活動(dòng)。這樣的教學(xué)，體現(xiàn)了教學(xué)過(guò)程不是由教師向?qū)W生灌輸知識(shí)，將知識(shí)單向地傳授給學(xué)生，而是學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者、引導(dǎo)者，使教學(xué)活動(dòng)真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的活動(dòng)。3在應(yīng)用中辨析，使概念學(xué)習(xí)得到“升華”數(shù)學(xué)概念的教學(xué)如果僅僅停留在記憶的層面上肯定不夠，還必須上升到抽象層面去理解應(yīng)用，使概念的形成由“過(guò)程”向“抽象”再到“具體”的轉(zhuǎn)換，在應(yīng)用中將抽象的定義轉(zhuǎn)換

12、為具體的形態(tài)，暴露數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，以及樸素的數(shù)學(xué)思考過(guò)程。案例6 為使學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性能深刻理解并應(yīng)用，設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)系式， 問(wèn)？學(xué)生先是通過(guò)兩式相加，進(jìn)而因式分解給出結(jié)果，但達(dá)不到設(shè)計(jì)目的。于是我把兩式改為：， 問(wèn)？在原解法行不通的情況下，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)題設(shè)條件的觀察，構(gòu)造函數(shù)，顯然是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又由條件知：，所以。在這里，能否構(gòu)造出函數(shù)式，并及時(shí)把握準(zhǔn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，合理使用其性質(zhì)，是檢驗(yàn)學(xué)生思維水平的標(biāo)志。由題設(shè)尋找切入點(diǎn)，跨越關(guān)鍵，是實(shí)現(xiàn)由知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，在對(duì)該題不同解法的比較、辨析中，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生思維的目的。案例7 在一次“古典

13、概型”討論課上，我向?qū)W生提出如下問(wèn)題：“某信鴿訓(xùn)練場(chǎng)向甲、乙兩林區(qū)放飛4只鴿子，則甲林區(qū)剛好有一只鴿子的概率是多少？”甲林區(qū)鴿子數(shù)乙林區(qū)鴿子數(shù)0413223140一學(xué)生當(dāng)即作如下分析： 甲乙兩林區(qū)的鴿子數(shù)如右圖，甲林區(qū)剛好有一只鴿子是五種情形中的一種，故所求概率為1/5。顯然，該生錯(cuò)在對(duì)“等可能事件”的理解上，而且存在這種錯(cuò)誤理解的可能不止少部分學(xué)生，鑒于此，我并沒(méi)有立即講評(píng)，而是讓學(xué)生繼續(xù)考慮還有什么思路？略停一分鐘：生2：每只鴿子有兩種放飛途徑，共有216種放飛方式，而甲林區(qū)有一只鴿子的方式只有4種。故，所求概率為1/4！。（這時(shí)候?qū)W生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論不一致?。┽槍?duì)以上兩個(gè)結(jié)論，組織學(xué)生展開(kāi)討

14、論： 師：上述兩種思路，你能確定哪一種是錯(cuò)誤的？ 生齊答：第一種！師：為什么錯(cuò)？生：（無(wú)語(yǔ)）師：那我們分別按方法2的思路研究其它四種情形發(fā)生的概率：師生共同討論產(chǎn)生下表：情形甲林區(qū)鴿子數(shù)乙林區(qū)鴿子數(shù)發(fā)生的概率041/16134/16226/16314/16401/16合計(jì)1這時(shí)學(xué)生恍然大悟：情形15不是等可能事件，當(dāng)然概率不是1/5！以上過(guò)程讓學(xué)生更深層地領(lǐng)會(huì)到等可能事件發(fā)生的意義，在應(yīng)用中學(xué)生對(duì)“等可能事件”的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍。張奠宙先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”。筆者理解，這種“對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”只有在應(yīng)用中才能得到驗(yàn)證，在應(yīng)用的同時(shí)使得概念學(xué)習(xí)得到“升華”，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念才是數(shù)學(xué)解題的“靈魂”，從而讓學(xué)生的思維變得更開(kāi)闊，更活躍，更富有活力。建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，在概念教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)匾氚咐?，讓學(xué)生在辨析、比較中自然體會(huì)出一個(gè)新概念的起源、發(fā)展并完善，達(dá)到優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的目的。參考文獻(xiàn)：1鄭毓信 數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代發(fā)展M. 南京：江蘇教育出版社，1999.2曹才翰 章