應用數(shù)學方向動力系統(tǒng)第六章溷沌性態(tài)22頁

1、第六章混沌性態(tài)上世紀70年代以來，科學技術的迅猛進步引起了非線性現(xiàn)象研究的蓬勃開展。目前，非線性問題的研究已形成了許多新的學科分支，如混沌動力學、分形幾何、孤立子理論和復雜性理論等。本章研究混沌動力學作一個簡要介紹。6.1一維映射的混沌性態(tài)任意給由閉區(qū)i同胚映射f(更一般地可假設f只是連續(xù)的，未必有逆，則僅考慮由正向迭代fn,n_0所生成的半動力系統(tǒng))，則由f所生成的一維離散流卻可以具有甚為復雜的動力性質(zhì)一混沌性態(tài)。這在許多一維應用模型中用數(shù)值方法較早地被發(fā)現(xiàn)，而嚴格地給由混沌(chaos)的數(shù)學定義則是1975由Li和Yorke完成的，見4。他們考慮閉區(qū)間I,簡單地，可取I=0,1上定義的連

2、續(xù)函數(shù)f,因f未必單值，故考慮由fn,n_0所生成的半動力系統(tǒng)。定義1.1若f滿足以下三個條件:k.(i)對任意自然數(shù)k,有xk?I,使f(xQ=Xk,且k=1時的周期點，f(xk)=xk*(ii)存在不可數(shù)集合N二I,使得當x,yN時，有(iii)對任意周期點x和廠N,有則稱f在I上為混沌的。由定義的條件可以看由，混沌性的要求實際上說明由f在I上所生成的運動具有很混亂的狀態(tài)。一方面其中有可數(shù)多個不同周期的周期運動，且條件(iii)說明其它運動都不漸近于這些周期運動；另一方面，除這些周期運動外，還有更多的不可數(shù)集上的運動，其中任意兩個運動之i若即若離，(ii)說明了它們有時靠得很近，有時又保持

3、一定距離，且隨n增大，一直如此。即使兩個運動的初始值靠得很近時也是如此，故稱這種性質(zhì)為對初始值的極端敏感性。這兩種周期與非周期的運動混雜在一起，就表現(xiàn)由I上的運動的復雜的混沌性態(tài)。定理1.1若f具有一個3-周期點，即存在I使f3(x)二x,則f在I上為混沌的該定理的證明可以用初等分析方法完成，詳情這里從略，可參見原文實際上，上世紀60年代前蘇聯(lián)數(shù)學家A.Sarkovskii(見文5)就曾證明過更一般的結論，他把自然數(shù)重新排列如下(通常稱為Sarkovskii序)3,5,7,|(,32,52,72川1,32n,52n,72n,11(,2n,2n,)|,2,1(1.1)定理1.2若f具有p-周期點

4、，則對序列(1.1)中p以后的任一自然數(shù)q,f必具有q-周期點。顯見，在p=3時的特例情形，它就成為定理1.1中由f具有3-周期點推出它具有以一切自然數(shù)為周期的結論，從這一點上看，定理1.2的結論要比定理1.1的相關結論廣泛得多。當然，文未涉及混沌性態(tài)。一維映射具有混沌性態(tài)的例子很多，且有著廣泛的應用背景，例如著名的Logistic模型f(x)=ax(1-x)即是其中的一個，它可視為有極限增長的蟲口模型。從經(jīng)濟應用中亦可導出該模型7。例題1.1設某種商品的第n期市場價格為pn,n=0,1,2,|(,則由市場價格平衡所確定的市場價格模型為ACpn1Pn(P°-Pn)，(1.2)BB其中

5、A,B,C為適當常數(shù)，尋求線性變換以簡化此模型，設z0為方程的正實根，令則式(1.2)可化為Xn(1-Xn)，(1.3)C其中=一(p°-2z。)？0視為系統(tǒng)的參數(shù)。記f(x)二x(1-x),它代表了區(qū)間I二0,1B上的一個連續(xù)可微的自映射f:I>I，其k-周期點對應于方程k廣(x)=x(1.4)的解(k=1時為不動點)，它在(x,y)平面上對應為y二fk(x)與直線y=x在第一象限的交點。由于Df(0)=孑，故當0：_1時，只有唯一的平凡點x=0。1以后則出現(xiàn)非平凡的不動點及周期點。當3：1?、,6時，將有兩個2-周期點，對應于4次方程的正根。k越大時，方程(1.4)的次數(shù)就

6、越高，只能用數(shù)值方法求解。已得出下述一系列的值：這些值k均為分支值。因隨著的增大而經(jīng)過k時，系統(tǒng)(1.3)將分支由新的2k-周期點。當二：=3.569946|(時，f將具有所有以2k方哥及其它整數(shù)為它的周期點而由現(xiàn)混沌性態(tài)，見圖1.1o這種現(xiàn)象常稱為倍周期分岔。圖1.1倍周期分岔在這種倍周期分岔以至于呈現(xiàn)混沌的過程中，M.Feigenbaum發(fā)現(xiàn)了一個重要的規(guī)律，即如下極限值存在：y_yF=limk二4.669202111。(1.5)n"k_k1且證明了對各種不同的線段映射出現(xiàn)倍分岔的一系列參數(shù)值，盡管因具體映射不同而不同，但其極限值(1.5)均為同一常數(shù)。因此這是一個普適常數(shù)(un

7、iversalconstant)，被稱為Feigenbaum常數(shù)。這也說明了，在一維離散動力系統(tǒng)中，混沌性態(tài)是很普遍的現(xiàn)象，從上世紀70年代起，對它們的研究，包括圓周上的自映射所定義的一維系統(tǒng)的研究成果極為豐富。許多人把定義1.1作了各種改進與推廣，并討論f滿足怎樣的條件時會出現(xiàn)混沌性態(tài)，以及相關的周期點集，非游蕩集等等之間的關聯(lián)性質(zhì)。又聯(lián)系到概率測度中的拓撲熵、Liapunov指數(shù)等，進一步與任意維數(shù)的概率測度空間上的遍歷理論(ergodictheory)相聯(lián)系9和10o6.2二維映射的混沌性態(tài)，Smale馬蹄為了闡述二維映射所確定的離散系統(tǒng)中出現(xiàn)的混沌性態(tài)，須用到符號動力系統(tǒng)的一些有趣的動

8、力性質(zhì)，早見于，現(xiàn)作一簡介。2.1符號動力系統(tǒng)取數(shù)字1和2作為兩個符號集A=1,2,記整數(shù)集為Z。任意取A的元素可排列成如下的雙向無限的二重序列：=HC'AJH/A/'d/'o/-i/'2jH/-kAl,(2.1)其中rA,rZo式(2.1)所確定的？?稱為一個符號序列。注意，一個序列的中位置(零位置)必須指出，例如，有兩個不同的周期序列都可以寫成：一個是0=1，另一個是°=2。所有可能作出的各種不同的符號序列'的集合記作F(2.2)易見集合門2具有連續(xù)統(tǒng)的勢，即為一個不可數(shù)的Cantor集。對門2中的另一個元素定義與間的距離函數(shù)d：22>

9、;R(非負實數(shù)的集合)為0d(,)=、2?,(2.3)i其中此非負項級數(shù)顯然收斂，因為所有-1時d=3，故一般地0乞d(，)-3。易于驗證這一定義滿足距離的三條公里，故2成為一個距離空間，可證它是緊致(compact)完備(complete)和完全不連通的(即，的任何連通子集只含一點)，證明可見口，口等。在定義(2.3)之下，內(nèi)點？的(0)鄰域為U；()=|d(),：；?(2.4)易知，如果一切i二.j,對一N空N,其中N是通過(2.3)及(2.4)由；確定的莫個正數(shù)，則:川wU(.)。因此，鄰域U()相當于中塊''-NdH''0/'1/'2A1

10、/'N-(2.5)這對于后面的論證是很有用的。在i4上可定義一個映射C：2；二'2，稱作為(左)位移(shift):-00=，對每一個i,i=i1。(2.6)亦即是把，的每一位置上的元素各向左移動一位所得到的符號序列。由此可知二J存在，它即為右位移。易證二，二的連續(xù)性。所以，二為自同胚映射，它在門2上確定了一個動力系統(tǒng)，記作(門2,二)，它是一個拓撲動力系統(tǒng)，且具有如下有趣而重要的動力性質(zhì)。定理2.1對每個正整數(shù)N，匚具有N-周期點。證明可用下列窮舉法列出所有以正整數(shù)為周期的周期點：1- 周期點有兩個：Hl,1,1*,1川2,2*,2,Hl,;2- 周期點有4個：除上述1-周期

11、點外，還有它們可以這樣得出：取中位置及其右一位兩個連續(xù)位置上A的兩個元素的排列，應有22種：11,22，12，21。然后，把它們向左、向右連續(xù)移動兩位，再移動兩位以至無窮所得到的。故滿足c2AJ=。依此類推，3-周期點有8個，即中位置開始向右三個位置上取1,2的23個不同的排列再一次次移三位所得，N-周期點有2N個。盡管這樣的排列有重復，但總會有新的以任意整數(shù)為周期的周期點出現(xiàn)。證畢。定理2.2:二的所有周期點的集合，記作Per(；)，它在內(nèi)處處稠密，即有證明任取心三：2及'的鄰域U.(),只要說明在U；(?)內(nèi)存在周期點即可，由前知鄰域U.(.)確定一中塊(2.5)將此(2N1)個位

12、置的排列連續(xù)地向左、向右移動(2N1)位，再移動(2N1)位，如此繼續(xù)，可得出一個符號序列，它顯然成為一個(2N1)-周期點，且在U；()內(nèi)。證畢。定理2.3存在一條軌道，它在2內(nèi)處處稠密（這一性質(zhì)常稱為可遷性（transitivity）。證明今作由符號序列，使在匚迭代之下，軌道匚（）在門2內(nèi)處處稠密。n目的元素從中位置向左可以任取，從中位置開始向右先排1,再排2,即一個位置的兩種不同排列，再依次排由兩個位置的4種不同排列，三個位置的8種不同排列，依次繼續(xù)，即得山1*,2,1,1,1,2,2,1,2,2,（271,1,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,2,1,1,2,1,2,2,2,1,

13、2,2,2，川.因此，任給一點，以及任一鄰域Up）,由（2.5）,即給由了中塊這是（2N1）個位置上的一種排列,它一定由現(xiàn)在（2.7）所確定的的右方（可能很遠處）。用匚n作用于，即把的元素一次次向左位移。故總存在足夠大的n,使上述（2N1）元素排列中的人移到；（）的中位，從而進入了二的鄰域U;（可。這就證明了過的軌道稠密于。證畢。從以上性質(zhì)可見，二在門2內(nèi)所生成的運動，除去可數(shù)多個周期點外，更多的是不可數(shù)多個處處稠密的遍歷運動，也就是說，整個空間門2為二的非游蕩集。這也是混沌定義的幾條性質(zhì)所要求的。不同的是，那里的運動分布在一個閉區(qū)間上，而符號動力系統(tǒng)的運動則在一個抽象的完全不連通的離散空間中

14、o符號動力系統(tǒng)還具有如下的拓撲混合性質(zhì)。定義2.1設f為緊距離空間X上的同胚映射，若對任意的兩個非空開集U,VX,總存在正整數(shù)N,使當n?N時，有則稱f在X上為拓撲混合的。定理2.3c在門2上為拓撲混合的。證明設U,V為2內(nèi)的兩個非空開集，取a,U,b?V,則存在鄰域U;（a）,U;（b）及相應的N，使因而又取n_2NV時，由上式右端可知此集合非空。證畢。2.2Smale馬蹄為了回答老數(shù)學家N.Levinson在高維系統(tǒng)結構穩(wěn)定性問題的討論中所提出的質(zhì)疑，S.Smale作出了下列平面點映射的有名例子，通常稱為Smale馬蹄。圖2.1馬蹄映射的構造在R2內(nèi)取單位正方形S=0,10,1(圖2.1(

15、a)。幾何式地定義映射f:S>R2如下：1將S沿鉛直方向拉長(拉伸的倍數(shù)J2)，同時沿水平方向壓縮(倍數(shù)為:-)2使成為一長條(圖2.1(b)，然后彎曲成馬蹄形(圖2.1(c)，且落在包含S的區(qū)域內(nèi)并使彎曲部分在S之外(圖2.1(d)。此彎曲的馬蹄形就是S在f之下的像f(S),稱之為Smale馬蹄。f(S)與外形無關。為了簡便起見，我們假定壓縮和拉伸是線性的，且在交集中的鉛直長條是矩形。映射f及其逆可以是可逆且光滑的，逆映射f-將馬蹄反向(經(jīng)由步驟d>a)變換成S。這個逆映射映圖2.1(d)中點邊正方形S到圖2.1(a)中的點邊水平馬蹄。我們假定這個馬蹄與原正方形S的交為兩個水平的

16、長方形。把交Sf(S)上的兩個長條表示為V和V即(見圖2.2(a)?，F(xiàn)在我們開始做最重要的一步，即執(zhí)行映射f的第二次迭代。在這個迭代下，兩個鉛直長條V1和V2將變換成兩個細小的馬蹄交正方形S于四個窄小的鉛直長條Vii,V21,V22和V12(見圖2.2(b),記作類似地2.2鉛直和水平長條其中Hi和H2是水平長條(如圖2.2(c)所示)，且這里，窄小水平長條Hj如圖2.2(d)所示。注意f(H2,i=1,2,f2(Hj)=Vj,i,j=1,2(圖2.3)。2圖2.3轉換f(Hj)二Vj,i,j=1,2進一步迭代映射f,我們得到2k鉛直長條，它們是交S'fk(S),k=1,2,|(。類似

17、地，f的迭代給由2k個水平長條，它們是交f(S),k=1,2,|)(o在f或f'的迭代下，大多數(shù)點離開了正方形So忽略這些點，我們只考慮在f或f4的迭代下始終保留在正方形S上的點的集合：圖2.4不變集的位置顯然，如果集上非空，它是由f定義的離散動力系統(tǒng)的不變集。這個集合可以表示為無限交：顯然，集合上有一個特殊的外形，且位于集的內(nèi)部，后者是4個小正方形(見圖2.4(a)o進一步，集合上位于集的內(nèi)部，這是16個小正方形的并(圖2.4(b)。依此類推，取極限，我們得到一個Cantor(分形)集引理2.1存在小與上間的同胚映射hr,即上的點與符號序列集合2一對應.證明對任何點X?上，定義一個符

18、號序列：其中'k11若fk(x)H1,#k右fk(x)H2,k=0,_1,_2,(2.8)第12頁這里，f°=id(衡等映射)。顯然，式(2.9)定義了一個映射hr.-?;:2。為了驗證這個映射是可逆的，取一個符號序列-?2，固定m?0，考慮集合例如，若m=1,集R是四個交集y-Hk之一。一般情況下，Rm屬于一個鉛直長條和一個水平長條之交。這些長條當m；?匚時會越來越窄，分別趨于一條鉛直的線段和一條水平的線段。這樣的線段交于一點，滿足h(x)=?。這樣，h2是一對一映射。這也意味著上非空。證畢。注2.1若我們使用SR2上的距離和由(2.3)給由門2的距離，映射一？二及其逆是連

19、續(xù)的(同胚)。現(xiàn)在考慮點x？上及其對應的符號序列？=h(x)，其中h是前面構造的映射?？紤]點y=f(x)，即在馬蹄映射下x的像。由于y上(由上的定義)，存在一個符號序列-h(y),現(xiàn)在的問題是，？和二之間有什么關系？作為我們從(2.8)很容易看到的，這種關系存在且非常簡單，即因為fk(f(x)=fk八x)。換言之，序列二可以通過序列的位移而得到，即因此，f在不變集上的限制等價于符號序列集2的位移映射匚。我們可以把這個結果表示為如下簡短的引理。引理2.2對馬蹄映射f,存在2與上間的同胚映射一八一？二2,使(2.9):(f(z)=；(z)，對一切ZT這時稱fI)，與(，二)拓撲共輾。結合引理2.1

20、和引理22及、2上位移動態(tài)的明顯性質(zhì)，我們可得如下定理：定理2.4(Smale1963)馬蹄映射f有一個閉的不變集二，具包含一個具有任意周期的周期軌道的可數(shù)集和一個非周期軌道的不可數(shù)集，在它們當中存在任意近上的任何點的軌道。注2.2由Smale馬蹄的構造過程可以看出f,具有結構穩(wěn)定性的特征。因為f的基本要求是把兩個鉛直的長條映為兩個水平長條，且邊界對應邊界。由此知微小地攝動f知會使這些鉛直，水平長條變形為曲線邊界，而仍然縱向與橫向跨越正方形S，從而在(攝動之后的)F的迭代后仍可得由上述類似的不變集匚，仁仍具有混沌性的特征。注2.3上述f在S內(nèi)保持了線性，橫向壓縮和縱向擴張，這是雙曲不動點的基本

21、特征，由此可見這種雙曲性可進一步引伸到系統(tǒng)的整個不變集上。而得出雙曲不變集的概念，這在高維系統(tǒng)結構穩(wěn)定性中起重要作用。6.3橫截同宿與橫截異宿環(huán)3.1 橫截同宿定理為了判斷具體的二維映射具有混沌性態(tài)，J.Moser首先把Smale馬蹄的做法進行了推廣(見口)。仍考慮(x,y)平面上的正方形S=0,10,1。如果。乞h(x)叮，x0,1,且存在常數(shù)0:二1,使對0_B_X2_1有|h(X1)h(X2)"|為X2|，(3.1)則稱曲線y=h(x)為一條水平曲線。若有兩條水平曲線y二hi(x)和y二h2(x)滿足則稱點集合為一水平長條稱為水平長條H的直徑。類似地可定義鉛直曲線x=v(y)及

22、鉛直長條V直徑d(V)定義3.1對符號動力系統(tǒng)(2,二)及S上的同胚f,若存在S內(nèi)某個子集上到門2的同胚：,使二二9,x.-,(3.2)第19m個(m_2),分別記作則稱f以門2上的位移二為子系統(tǒng)設在S中有互不相交的水平長條和互不相交的鉛直長條各Hi,Vi,i=1,2jH,m。定理3.1設S上的(微分)同胚f滿足如下條件：1 )f(Hi)=V,且邊界映為邊界，i=1,2,111,m;m11 )對鉛直長條V(J",每一i二m也是鉛直長條，滿足d(V;)2d(V),0:<1為常數(shù)，對水平長條H(J已，每一i1為水平長條，且滿足d(HJ豈d(H);貝|f以二為子系統(tǒng)因為m-2,條件i

23、)說明了至少有兩個水平長條映為鉛直長條。條件ii)則如Smale馬蹄一樣在水平方向為壓縮，鉛直方向為拉伸，從而可以推由混沌性態(tài)。但條件ii)一般是較難驗證的，Moser又用了一個涉及到導算子的條件來代替。記對p=(xp,yp)?R2,分別以p為頂點作鉛直扇形Sp和水平扇形S":設如下條件iii)成立。miii)對任意pHi,有0:?：1,使且對任意(xo,y。)？Sp,有|yi_JJ|y。|,其中(,yj=(Df)p(x,y。)；又對任意mqVi,有且對任意(x。，yokSq_,有|x|_'lx。|,其中(x，yj二(DfJ)q(x。，y。)。定理3.2設S上的微分同胚f滿足

24、條件i)和川)，則取-yi)，可使定理12 1的條件ii)也成立，即f以二為子系統(tǒng)。證明從略，可參見。下面介紹重要的橫截同宿定理。定理3.3(Smale-Birkhoff)設二維點映射f具有雙曲不動點O,且Ws(O)與Wu(O)橫截相交在異于O的一點P,則f具有混沌性態(tài)。證明從略，可參見。注3.1在混沌定義1.1中，條件i)通?？煞艑挒榫哂腥我獯笾芷诘闹芷邳c，其它兩條件仍保持，則運動仍具有及混亂的性態(tài)。13 2橫截異宿環(huán)對具體的點映射要證明橫截同宿點的存在性并非易事，本段將把橫截同宿環(huán)引伸到橫截異宿環(huán)，它在一些點映射問題的研究中也有很好的應用，將以Henon映射為例說明。利用所謂霧狀引理的思想

25、，引入橫截n-環(huán)的概念，且不難得知，由橫截異宿環(huán)的存在可推出橫截同宿而導出混沌性質(zhì)。定義3.2設平面點映射f具有雙曲鞍點p1J|,pn,且對每一i=1)U,n,Wu(pi)與Ws(Pi.J橫截相交于一點qi,其中Pn八npi,則稱f具有橫截n-環(huán)。圖3.1回生了橫截2一環(huán)的例子。由于異宿點q,q2的存在，將Ws(pJ,Wu(pj延伸，可使這四條分界線相交無限多次，從而得到山和p2的同宿環(huán)，且在p2的同宿環(huán)，且在Pi,p2附近均會Poincare柵欄而由現(xiàn)混沌性態(tài)。下面用Henon映射來說明橫截2-環(huán)的應用。圖3.1例3.1考慮Henon映射(3.3)22f(x,y)=(ABy-x,x),(x,

26、y)R.1976年M.Henon對三體運動的Poincare映射提由了這一簡化模型，并用數(shù)值方法說明當a=1.4,B=0.3時f具有混沌性態(tài)。此后這一映射引起不少學者的興趣，起先用數(shù)值方法得知f呈現(xiàn)混沌性態(tài)的參數(shù)是零星而隔離的。后用定性方法可推由它具有橫截2-環(huán)而得由混沌性態(tài)的大片參數(shù)區(qū)域。對于B=1的保面積映射，口證明了A10是(3.3)具有混沌性態(tài)的充分必要條件。對B=1,我們介紹如下口的結果。首先在之下證明(3.3)存在橫截2-環(huán)。易知，(3.3)有兩個雙曲鞍點R(Xi,yJ,i=1,2,其中在所設條件下，易推得因此有B2ABx2xi:x2.(3.4)4如圖3.2,作112則由f(x,y

27、)=(y,八Axy)可得Bf(AGRD1)=曲邊三角形C1RD1,它由兩條拋物線弧段以及x=-上的直線段CD1所圍成。進入P的Ws(R)為f-1的不變集，它應保持在兩2拋物線段之間，從而與CiDi交于一點Ni,它在fJ之下的像為C；D1中的一點No再作類似于上面的分析可知，Wu(P2)的一支必與C2D2相交于一點N2,點N2在f之下的II'像位于C2D2中的一點N2,如圖3.2。由(3.4)式可知故C；Di整個位于曲邊三角形C2F2D2的下方，同樣可知，C2D2整個位于曲邊三角形suCiFiDi的右方。因此W(F)與W(F2)的相應兩支必相交于一點Q2。借助于估計Df及DfJ的值，易證

28、明在Q2點Ws(R)及Wu(P2)的切向斜率分別大于i和小于i,因此兩者在Q2橫截相交。類似地可證，在所設條件下Ws(P)及Wu(F2)的各一支必橫截相交于第二象限的一點Q2,見圖3.2o從而得到一個橫截2-環(huán)，故f具有混沌性態(tài)。對于B_-i或-i：B:i的情況，口中也給由了相應的充分條件，以證明橫截2-環(huán)的存在性。6.4Melnikov方法前面幾節(jié)介紹了離散系統(tǒng)的混沌性態(tài)及其判定方法，對連續(xù)流由Poincare-Bendixson的極限集理論可知平面定常系統(tǒng)不會出現(xiàn)混沌性態(tài)。而對三維以上的定常系統(tǒng)或者二維非定常系統(tǒng)就可能出現(xiàn)混沌性態(tài)。利用MeInikov方法來研究這類系統(tǒng)的Poincare映

29、射，在一定條件下可以得出橫截同宿，從而判定系統(tǒng)具有混沌性質(zhì)?，F(xiàn)就二維定常系統(tǒng)的周期性攝動系統(tǒng)(它有很廣泛的應用背景)來介紹這一方法?？紤]系統(tǒng)X=f(x)；g(x,t)(4.i)5)(glf=，存在T0使g(x，t?T)三g(x，t)。:為小參數(shù),飛且設；=0時的無攝動系統(tǒng)為Hamilton系統(tǒng)。即有H函數(shù)H(xi,X2)使進一步，對無攝動系統(tǒng)，即；=0時系統(tǒng)作如下假設：A1)具有過鞍點po的同宿軌道A2)設"二q(t)|tR一P。,-0的內(nèi)部充滿周期軌道T(t),一(-1,0)。設d(x,I0)=infq|x-q|,我們有l(wèi)im:.八suptRd(q：(t),I)=0.A3)設h：.

30、二H(q(t)和T是T(t)的周期，貝T是h.的可微函數(shù)且在I0內(nèi)部有dT/dh.0.注意到，假設A2和A3意味著當一；0時，.單調(diào)增趨于無窮大。；=0時系統(tǒng)的軌線結構如圖4.1(a)。圖4.1WS(P。)與Ws(P。)非橫截相交。在(X!,X2,t)空間中看，其軌線為垂直(X!,X2)平面的直線，組成母線平行于t軸的柱面。當I;卜。甚小時，空間軌線產(chǎn)生小的攝動，它不再位于母線鉛直的柱面上。我們?nèi)缦玛P于攝動的結果。弓I理4.1在上面的假設下，對充分小的；系統(tǒng)(4.1)存在唯一的雙曲的T-周期軌道(4.2)/x；(t)=P0(；).對應地，在截面t=t。上的Poineare映射有唯一雙曲不動點p

31、;=p。十0俾)。證明這是隱函數(shù)的定理的直接應用。由假設，DPot0(Po)的譜中不含1從而Id-DPpo)是可逆的。因此P：在空間(x,s)中存在一條光滑的不動點曲線(p;,g)通過點(po,0)。證畢。周期軌線(4.2)的穩(wěn)定流形Ws(.)與不穩(wěn)定流Wu(.)形各有一支通過：0的柱面鄰近。以間隔T,平行于(x,X2)平面的截面去截斷此三維流，在截面t二t0上得到圖4.1(b),其中Pto=Po0(;)為截面與(4.2)的交點，它是一個雙曲鞍點，其穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形如圖4.1(b)中虛線表示。一般說，它們將分隔開來。從截面t=to上的無攝動系統(tǒng)的軌道0上一點qo(O)的法線上去計算其分離量，即

32、可導由Melnikov函數(shù)。下面就通過求微分方程攝動后的解關于；的展開式的一次近似來得由其表達式。設在無攝動系統(tǒng)的解x=qo(x)鄰近系統(tǒng)(4.1)有軌線q：和q；分別位于Ws(?和Wu(.)上。它們可依：展開：q：(t,t。)=q(t一切+口勺:(11。)+0(),t亡t。,日勺),uu2qg(t,t)=q(t1)Zqi(t,t)+0(名),t乏(皿)t.當：？一；0時上式關于相應區(qū)間上的t一致成立。在截面t=t。上點qo(0)處，考慮d(to)=q；(t,t。)q；(to,t)=f(q(0)(qiU(t0,t)-qiS(t0,口);0(;2),(4.4)I(0)1其中ab=36-八26表示

33、兩向量a=(知a?)T和b=(b),b2)T的向量積的模，故(_f)fA.(q;-q;)為4；-q：在2=2上的投影，即幾在點qo(0)的法線方向上的投影，IfiJ因此d(to)代表了Ws(pto)與Wu(pto)在此方向上分離開的距離，從而Ws(p;)與Wu(p?)相交二d(t)=0。(4.5)第32為了便于計算d(t0)的一階近似，MeInikov引入函數(shù)M(t尸f(qo(t-to)g(q(t-t),t)dt.(4.6)通常把式(4.6)稱為Melnikov函數(shù)?，F(xiàn)證M(to)d(t)=.If(qo(O)l，20(；).(4.7)為此，令(4.8)s(t,t°)=f(q0(t-t

34、。)q:(t,t。),uu.:(t,t)=f(q(t-to)5(t,t).因為計算導數(shù)得到上式最后一步是因為trac(Df)三0。從t0至U：積分上式得因為limf(qo(t-to)八f(P°O且qf(t,t。)有界,故從而-:s(to,to)=t。f(q。)g(q0(t-to),t)dt(4.9)類似推導可得u(to,to)=J-f(q0)g(q0(t-to),t)dt.(4.10)把式(4.9)和(4.10)相加，即得(4.6)。從而可以得由如下結論。定理4.1若Melnikov函數(shù)M(to)不依賴于；，且以t。為簡單零點，即M(t。)=0,M(t。)=0,則|;產(chǎn)0且甚小時，有

35、橫截同宿點，從而系統(tǒng)(4.1)的解具有混沌性態(tài)。如果M(to)=0對所有to成立，則這一結論說明，在任卞2）平面上，鞍點Po的鄰近存在一系列無窮多個點，系統(tǒng)（4.1）以它們?yōu)槌踔邓鶎能壍朗侵芷诘?，以T的各種不同倍數(shù)（且趨于無窮大）為周期。實際上，早在20世紀40年代，N.Levinson等就曾對具有周期強迫力的二階振動方程證明了這種結論，如果從Poincare截面上去看，這正是馬蹄映射所反映出的復雜性。也正是受到這些例子的啟發(fā)，Smale構造出奇妙的馬蹄映射。這一定理有許多應用。下面一個例子說明。例題4.1考慮含非線性電容的振蕩電路系統(tǒng)(4.11)2X；kXxX二口cost,其中X表示電流

36、量。把系統(tǒng)（4.11）化為方程組X=y,2(4.12)y=-xx-；ky'cost.當；=0時(4.12)為Hamilton系統(tǒng)，具有類似于圖4.1(a)的結構，不同的是鞍點在右邊，即x軸上的點A(1,0)，而B(0,0)為中心。其H-函數(shù)為H(x,y)=3x23y22x3.(4.13)同宿軌道:0為H(x,y)二1(4.14)故為了得到簡化的參數(shù)表達式，令x=1-u2,-二1，則6du-lx3dt.(4.15)u3-2u2取to使x（to）=-L即得u（to）=±o積分式（4.15）,易得到幾的參數(shù)形式為22321x=1sech(t-t0)2 2(4.16)3 iiysec

37、h2(tt°)th(tto)222令口2丸，則2易得而可利用復變積分的殘數(shù)定理來求出。令則tk*其中ImJ表示J的虛數(shù)部。對函數(shù)利用Cauchy定理其中R(A)為f(z)在點A(0,一i)處的殘數(shù)，路徑L如圖4.2所示。2當時，故從而可得6±32M(t0)k(4-1)csch；："sin?t0.52因此，如果參數(shù)k,<滿足條件(4.17)則，M(t。)有簡單的零點，由定理4.1知，系統(tǒng)(4.1)的解具有混沌性態(tài)。4.26.5混沌的信息與特征前面已經(jīng)介紹混沌的例子，并分析了產(chǎn)生混沌的原因。本節(jié)闡述混沌的定量表征Lyapunov指數(shù)、測度熵等。主要有6.5.1Lyapunov指數(shù)考慮一個簡單的線性常微分方程dxaxdt(5.1)其解為x=x°eat，它是按指數(shù)規(guī)律變化的。設有初值相鄰的兩條軌道，當a0時，它們之間按指數(shù)規(guī)律eat分離；當a：:0時，其