2015高考數(shù)學(xué)人教A版本（8-8圓錐曲線的綜合問題）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

1、【走向高考】2015屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8-8圓錐曲線的綜合問題課后強(qiáng)化作業(yè) 新人教A版基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化一、選擇題1若點(diǎn)P到直線y2的距離比它到點(diǎn)A(0,1)的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線 D拋物線答案D解析由條件知，點(diǎn)P到直線y1的距離與它到點(diǎn)A(0,1)的距離相等，P點(diǎn)軌跡是以A為焦點(diǎn)，直線y1為準(zhǔn)線的拋物線2方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()A兩條直線 B兩條射線C兩條線段 D一條直線和一條射線答案D解析原方程化為或10，2x3y10(x3)或x4，故選D.3若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓y21短軸端點(diǎn)，且該雙曲線的離心率與此橢圓的離心率之積為1

2、，則該雙曲線的方程為()Ax2y21 By2x21C.y21 D.x21答案B解析橢圓y21的短軸端點(diǎn)為(0，±1)，離心率e1.雙曲線的頂點(diǎn)(0，±1)，即焦點(diǎn)在y軸上，且a1，離心率e2，c，b1，所求雙曲線方程為y2x21.故選B.4長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，2，則點(diǎn)C的軌跡是()A線段 B圓C橢圓 D雙曲線答案C解析設(shè)C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，則把代入式整理可得：x2y21.故選C.5(2012·天津模擬)設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)

3、，Q為圓周上任一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|MQ|.|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，(5>|AC|)a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.故選D.6已知log2x、log2y、2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x，y)的軌跡為()答案A解析由log2x，log2y,2成等差數(shù)列得2log2ylog2x2y24x(x>0，y>0)，故選A.二、填空題7設(shè)P為雙曲線y21上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是_答案x24y21

4、解析設(shè)M(x，y)，則P(2x,2y)，代入雙曲線方程得x24y21，即為所求8P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_答案1解析設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，Q(x，y)，P(x1，y1)，(cx1，y1)，(cx1，y1)，(x，y)，由得，代入橢圓方程1中得，1.9已知A、B分別是直線yx和yx上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2，P是AB的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為_答案y21解析設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)P是線段AB的中點(diǎn)，A、B分別是直線yx和yx上的點(diǎn)，y1x1和y2x2.代入中得，又|2，(x1x2)2(y

5、1y2)212.12y2x212，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y21.三、解答題10.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓A：(x1)2y216上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0)，點(diǎn)M是BN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AN上，且·0.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)試判斷以PB為直徑的圓與圓x2y24的位置關(guān)系，并說明理由解析(1)點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，又·0，PM垂直平分BN，|PN|PB|，又|PA|PN|AN|，|PA|PB|4，由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓設(shè)橢圓方程為1，由2a4,2c2可得，a24，b23.可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為1.(2)設(shè)PB中點(diǎn)為C，則|OC|AP|(|A

6、N|PN|)(4|PB|)2|PB|.兩圓內(nèi)切.能力拓展提升11.(2013·寧夏育才中學(xué)模擬)已知平面上一定點(diǎn)C(1,0)和一定直線l：x4，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQl，垂足為Q，(2)·(2)0.(1)問點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線方程；(2)點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上，若(1)，求的取值范圍解析(1)由(2)·(2)0，得2420.設(shè)P(x，y)，則(x4)24(x1)2y20，化簡(jiǎn)得1，即點(diǎn)P在橢圓上，其方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，(1)，0，(x11，y1)(x21，y2)0，因?yàn)?，所以1，又因?yàn)?，所以2，

7、由得12，化簡(jiǎn)得x2.因?yàn)?x22，所以22，解得3，所以的取值范圍為，312(2013·烏魯木齊診斷)已知點(diǎn)F(1,0)，F(xiàn)與直線4x3y10相切，動(dòng)圓M與F及y軸都相切(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F任作直線l，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，由點(diǎn)A，B分別向F各引一條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，記PAF，QBF，求證sinsin是定值解析(1)F的半徑為1，F(xiàn)的方程為(x1)2y21.由題意動(dòng)圓M與F及y軸都相切，分以下情況：動(dòng)圓M與F及y軸都相切，但切點(diǎn)不是原點(diǎn)的情況作MHy軸于H，則|MF|1|MH|，即|MF|MH|1，則|MF|MN|(N是過M作直線x1的垂線的垂足)，則點(diǎn)M

8、的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x1為準(zhǔn)線的拋物線點(diǎn)M的軌跡C的方程為y24x(x0)動(dòng)圓M與F及y軸都相切且切于原點(diǎn)的情況此時(shí)點(diǎn)M的軌跡C的方程為y0(x0,1)(2)由于直線l過點(diǎn)F與C交于A、B兩點(diǎn)，且F不盡在C上，l只能與y24x(x0)交于兩點(diǎn)當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為yk(x1)，由得k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21.sinsin1.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，也可得sinsin1.綜上，有sinsin1.13(2013·株洲模擬)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且ABC的重心為拋物線的

9、焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4xy200.(1)求拋物線C的方程；(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足POOQ，證明：直線PQ過定點(diǎn)解析(1)設(shè)拋物線C的方程為y22mx，由消去x得2y2my20m0.>0，m>0或m<160.設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則y1y2，x1x2(5)(5)10.再設(shè)A(x3，y3)，由于ABC的重心為F(，0)，則解得點(diǎn)A在拋物線上，()22m(10)m8，拋物線C的方程為y216x.(2)證明：當(dāng)PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為ykxb，顯然k0，b0，POOQ，kPOkOQ1，設(shè)P(xP，yP)，Q(xQ，y

10、Q)，xPxQyPyQ0.將直線ykxb代入拋物線方程，得ky216y16b0，yPyQ.從而xPxQ，0.k0，b0，整理得b16k.直線PQ的方程為ykx16k，PQ過點(diǎn)(16,0)；當(dāng)PQ的斜率不存在時(shí)，顯然PQx軸，又POOQ，POQ為等腰三角形由得P(16,16)，Q(16，16)，此時(shí)直線PQ過點(diǎn)(16,0)，直線PQ恒過定點(diǎn)(16,0)14.(2014·鶴壁淇縣檢測(cè))如圖所示，已知C為圓(x)2y24的圓心，點(diǎn)A(，0)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在直線上，且·0，2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程解析圓(x)2y24的圓心為C(，0)，半徑r

11、2，·0，2，MQAP，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，即QM是AP的中垂線，連接AQ，則|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|2，又|AC|2>2，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，由c，a1，得b21，因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2y21.考綱要求了解曲線與方程的關(guān)系，能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題和實(shí)際問題補(bǔ)充說明1常見的軌跡(1)在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是連結(jié)兩定點(diǎn)的線段的垂直平分線(2)平面內(nèi)到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(3)平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑

12、的圓(4)平面內(nèi)到定直線的距離等于某一定值的點(diǎn)的軌跡是與這條直線平行的兩條直線(5)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是以兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，2a為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓(6)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離差的絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是以兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a的雙曲線(7)平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線距離相等(定點(diǎn)不在定直線上)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線2求軌跡方程的其他方法(1)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，可直接設(shè)出曲線的方程，再根據(jù)已知條件確定其系數(shù)(2)參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、

13、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(3)交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程2加強(qiáng)知識(shí)交匯的訓(xùn)練向量、三角函數(shù)、不等式與解析幾何交匯，特別是向量進(jìn)入解析幾何已成為新的命題熱點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)這種融合多處知識(shí)，而又比較淺顯，考查對(duì)學(xué)科最基礎(chǔ)知識(shí)和最基本方法的掌握的小題訓(xùn)練3在有關(guān)直線與圓錐曲線相交的問題中，要注意判別式的作用，不要因?yàn)楹鲆晫?duì)判別式的討論致誤例已知拋物線C：y22px(p>0)過點(diǎn)A(1，2)(1

14、)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由錯(cuò)解(1)將A(1，2)代入y22px，得p2，故所求拋物線C的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.(2)假設(shè)存在直線l，設(shè)l：y2xt，由直線OA與l的距離d，得，解得t±1.故符合題意的直線l存在，其方程為2xy10或2xy10.請(qǐng)自己訂正備選習(xí)題1(2013·?？谡{(diào)研)已知雙曲線1的離心率是，則n的值為()A2B3C4D6答案C解析由題意可得n(12n)>0，0<n<1

15、2，a2n，b212n，c2a2b212，雙曲線的離心率e，n4.2(2013·長(zhǎng)春二調(diào))若F1，F(xiàn)2是橢圓1(a>2b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別過F1，F(xiàn)2作傾斜角為45°的兩條直線與橢圓相交于四點(diǎn)，以該四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形和以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積比等于，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案B解析由題可知，所作的四邊形為平行四邊形，可求得其面積為S1；以橢圓頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，其面積為S22ab，從而，a2b23bc，a2b2c2，2b2c23bc，bc或b.當(dāng)bc時(shí)，acb，與條件a>2b矛盾，不成立；當(dāng)b時(shí)，a2b2c2c2，則，因此e.3(2013·貴州六校聯(lián)考)設(shè)曲線x2y20與拋物線y24x的準(zhǔn)線圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為D，P(x，y)為D內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)zx2y5的最大值為()A4B5C8D12答案C解析由x2y20得曲線為y±x.拋物線的準(zhǔn)線為x1，所以它們圍成的三角形區(qū)域?yàn)槿切蜝OC.由zx2y5得yx(5z)，作直線yx，平移直線yx，當(dāng)平移到經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線