初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)名師哥德爾

1、哥德爾哥德爾,K. F(G del , Kurt Friedrich)1906 年4月28日生于奧匈帝國的布爾諾 (今屬捷 克斯洛伐克)；1978年1月14日卒于美國普林斯頓.數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)哲學(xué).哥德爾的父親在青年時代即從維也納遷移到興旺的紡織工業(yè)基地布爾諾定居,他富有自力更生的創(chuàng)業(yè)精神,后來成了那里一家主要紡織廠的治理方面的領(lǐng)導(dǎo)者.哥德爾的母親一家由萊茵河地區(qū)到布爾諾從事紡織工業(yè),她曾在布爾諾一所法語學(xué)校讀書,受過較好的教育, 她終生對文化事業(yè)保持興趣,她生育了哥德爾兄弟二人,哥德爾的哥哥比他大四歲,后來成 了一位放射學(xué)家.哥德爾有一個幸福的童年,但他膽小又愛吵鬧,在六七歲時患了急性風(fēng)濕

2、性關(guān)節(jié)炎,危害了他的健康,特別是影響了他的心臟.他的才智很早就顯露出來了.由于他經(jīng)常提出各式各樣的問題,家里人常稱他為“為什么先生"(Mr Why) . 1912年,他六歲時進入布爾諾的巴黎學(xué)校上學(xué)二從1916年到:1924年,他的學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀,二特別是在數(shù)學(xué)、語言和神學(xué)方面二| 表現(xiàn)尤為突出.=第一次世界大戰(zhàn)直接影響了哥德爾及其家庭,雖然布爾諾地區(qū)遠離戰(zhàn)爭前線但戰(zhàn)后,|1918年奧匈帝國解體了,出現(xiàn)了新國家：奧地利、捷克斯洛伐克、匈牙利等.1924年哥德爾畢業(yè)于布爾諾大學(xué)預(yù)科,然后到維也納大學(xué)學(xué)習(xí).當時,維也納作為1919年新創(chuàng)立的奧地利共和國的首都, 是當時的政治、經(jīng)濟、文化中央

3、.1929年哥德爾成了奧地利的公民.在維也納大學(xué),哥德爾先學(xué)物理, 后主攻數(shù)學(xué).他參加了以攻讀 B.羅素(Russell)的專著?數(shù) 學(xué)的哲學(xué)導(dǎo)論?(Introduction to mathematical philosophy, 1919)為中央的討論班.在19261928年期間哥德爾也參加了維也納M.施利克(Schlick)的哲學(xué)小組,但他并不贊成邏輯實證論觀點,1929年他逐漸離開了這一小組,但他仍與該組成員R.卡納普(Carnap)保持一般的接觸.哥德爾離開石里克小組的主要原因是他已建立了自己的獨到的哲學(xué)觀 點.哥德爾的老師、數(shù)學(xué)家 P.富特溫勒(Furtw ngler)對他有很大的影

4、響.他的導(dǎo)師 H.哈 恩(Hahn)的研究興趣主要是現(xiàn)代分析、集合論、拓撲、邏輯、數(shù)學(xué)根底和科學(xué)哲學(xué),在知識 背景方面直接影響了哥德爾.但是,哥德爾在確定自己的研究方向時,起重要作用的兩個因素是卡納普的數(shù)理邏輯講演,D.希爾伯特(Hilbert) 和 W 阿克曼(Ackermann)的專著?理論邏輯原理?(Grundzge der theoretischen Logik,1928).在這本書的 1928年版(即第二版)中著者列舉了一階謂詞演算的完全性這個未解決的問題.哥德爾把這一問題作為自己的 主攻方向.1929年夏季,當時只有23歲的哥德爾肯定地解決了這一問題：證實了一階謂詞 演算的完全性定

5、理.由此,在 1930年2月他獲得了博士學(xué)位.隨后,他進一步研究希爾伯 特方案,希望用有窮方法證實數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性問題,主要是關(guān)于算術(shù)、分析和集合論等系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性問題.1930年8月26日哥德爾向卡納普等人通告了他的不完全性結(jié)果,即 數(shù)論形式系統(tǒng)如果是協(xié)調(diào)的,那么它是不完全的,并且它的協(xié)調(diào)性在系統(tǒng)內(nèi)是不可證實的.1930年9月7日哥德爾在柯尼斯堡召開的數(shù)學(xué)討論會上第一次正式公布了他的上述結(jié)果.同年 10月23日在維也納科學(xué)院他也報告了他的上述結(jié)果.哥德爾的不完全性結(jié)果與希爾伯特的猜測相反,并且從根本原那么上否認了希氏方案.希氏學(xué)派的主要成員馮諾伊曼(vonNeumann)、P.伯奈斯(Be

6、rnays)先后熟悉到了哥德爾上述結(jié)果的巨大的潛在意義,希爾伯特也不得不重新修改了他的方案.從1930年起,哥德爾與馮諾伊曼、伯奈斯、E. F.策梅羅(Zermelo)、A.塔斯基(Tarski)等著名數(shù)理邏輯學(xué)家建立良好的關(guān)系.馮 諾伊曼出生于匈 牙利,比哥德爾僅大三歲,但他當時已在證實論、集合論、分析學(xué)和數(shù)學(xué)物理等方面作出了重要結(jié)果,因而名噪一時.伯奈斯是希爾伯特的助手與合作者,策梅羅是集合論公理系統(tǒng)的首創(chuàng)者,塔斯基是波蘭邏輯學(xué)家,由于他的形式語言真值概念的工作而成名.他們的交流促進了數(shù)理邏輯的開展,擴大了這一學(xué)科的影響,并使哥德爾開創(chuàng)的方向成了這一學(xué)科的主要傾向.在1933年3月經(jīng)過簡短

7、的教學(xué)實習(xí),哥德爾出任維也納大學(xué)的無薪水講師.同年 9 月30日赴美國講學(xué),作為普林斯頓高級研究院的客座成員,他報告了他的不完全性結(jié)果.同年12月哥德爾在美國數(shù)學(xué)會年會上報告了 “數(shù)學(xué)根底的現(xiàn)狀.1934年4月18日哥德爾在紐約哲學(xué)學(xué)會上的講演題目是“包含算術(shù)的任意形式系統(tǒng)內(nèi)不可判定命題的存在性.接著4月20日在華盛頓科學(xué)院講了“數(shù)學(xué)能夠證實協(xié)調(diào)性嗎同年5月26日至6月3日乘船返回歐洲.1935年5月在維也納大學(xué)他講授數(shù)理邏輯課程,其間曾于 6月19日在蒙格爾 的學(xué)術(shù)討論會上介紹他的證實長度的論文.1935年9月至12月哥德爾第二次訪問美國.10月間他向馮諾伊曼通報了他的選擇公理相對協(xié)調(diào)性證實

8、.由于健康原因,他向普林斯頓高 級研究院辭職回維也納治病,1936年他主要在治療疾病.1937年哥德爾在維也納大學(xué)講授公理集合論課程,并發(fā)現(xiàn)了廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對集合論公理協(xié)調(diào)性證實的關(guān)鍵步驟.1938年9月20日,哥德爾與安迪(Adele Nimbursky)女士結(jié)婚.安迪比哥德爾大六歲, 早在二1927年哥德爾才二21歲時他們就相愛了 = 安迪是位舞女并且曾經(jīng)結(jié)過婚,一對于他們的相 愛,哥德爾的父母竭力反對.盡管哥德爾的父親在1929年已病故,他們?nèi)酝七t了多年才結(jié)婚.婚后半個月,1938年10月6日哥德爾把妻子留在維也納,單獨應(yīng)邀第三次赴美國講學(xué),10月15日到達普林斯頓高級研究院.直至12

9、月他都在講述選擇公理、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對協(xié)調(diào)性結(jié)果,其間?美國科學(xué)院學(xué)報?(Proceedings of theNational Academy of Science ,UI. S. A, 24, pp. 556557)宣布 了他的結(jié)果.同年 12月28日哥德爾在美國數(shù)學(xué)學(xué)會第 45屆年會上報告了“廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的協(xié)調(diào)性. 1939年?美國科學(xué)院學(xué)報?(同上,25,PP. 220224)發(fā)表了哥德爾的論文“廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的協(xié)調(diào)性證實"(Consistency - prooffor the generalized continuum hypothesis).同年 6 月 14 日20 日,

10、哥德爾乘船由美國返回維也納.雖然,哥德爾當時已解決了幾項重大的數(shù)學(xué)問題,三次應(yīng)邀赴美國講學(xué), 他已成為世界知名的數(shù)理邏輯學(xué)家,但他在維也納大學(xué)仍然是一個無薪水的講師.9月25日他申請晉升為正規(guī)的講師,無人理采.這樣,哥德爾就不得不尋找到美國定居的途徑 了. 1940年1月哥德爾偕夫人安迪離開維也納到美國定居.1938年3月13日希特勒已吞并了奧地利,哥德爾離開納粹統(tǒng)治下的維也納使他從此有了一個進行研究工作的安定環(huán)境.從此,他再也沒有回過歐洲.1940年春,哥德爾到達普林斯頓高級研究院,成了該院的成員.同年普林斯頓大學(xué)出 版社出版了哥德爾的專著?廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的協(xié)調(diào)性?(The consiste

11、ncy of continuumhypothesis),這是根據(jù)他于1938至1939年在普林斯頓高級研究院講演的原稿整理的,全 名應(yīng)是?選擇公理、廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與集合論公理的相對協(xié)調(diào)性?(The consistency of theaxiom of choice and of thegeneralized cantinuum hypothesis with the axioms of set theo -ry) . 1941年4月他在耶魯大學(xué)的講演是“在什么意義下直覺主義邏輯是構(gòu)造的 (In what sense is intuitionistic logic construe tive ?

12、 )1942 年作出了 “在有窮類型論中選擇公理的獨立性證實(Proof of the independence of the axiom of choice infinite type theory) . 1944 年發(fā)表了 “羅素的數(shù)理邏輯(Russell / smathematicallogic) . 1946年在普林斯頓200周年紀念會上就數(shù)學(xué)問題作了講演.1947年發(fā)表了重要的數(shù)學(xué)哲學(xué)論文“什么是康托爾的連續(xù)統(tǒng)問題"(What is Cantor / s continuum problem ?)哥德爾在普林斯頓最親密的朋友是著名物理學(xué)家A.愛因斯坦(Einstein)和數(shù)理

13、經(jīng)濟學(xué)家O摩根斯頓(Morgenstern),他們經(jīng)常散步和閑談.1948年4月2日他們?nèi)艘黄鸬矫?國移民局,一起取得美國國籍,成為美國公民.哥德爾與愛因斯坦一直是最親密的朋友,直至愛因斯坦1955年去世.雖然他們兩人在性格上有很大的差異,愛因斯坦愛社交,活潑開 朗,而哥德爾嚴肅認真、相當孤獨,但是他們都是直接地全心全意地探求科學(xué)的本質(zhì).1943年后,哥德爾逐漸把注意力轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)哲學(xué)乃至一般的哲學(xué)問題.當然他也還不斷地關(guān)注邏輯結(jié)果,比方1958年他研究了有窮方法的擴充,1963年審閱并推薦了 P. J.科恩Cohen的重要論文“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨立性The independence of the

14、continuumhypothesis . 1973年評述了 A.魯賓遜Robinson創(chuàng)立的非標準分析.哥德爾這些工作對數(shù)理邏輯的開展都起 了重要的作用.1953年哥德爾晉升為普林斯頓高級研究院的教授.1951年哥德爾獲得愛因斯坦的首次獎,以后屢次獲得榮譽稱號,如哈佛、洛克菲勒等 著名大學(xué)的榮譽博士、英國皇家學(xué)會國外會員、法國研究院的通信成員.哥德爾于1966年還拒絕接受奧地利科學(xué)院授予他的榮譽成員稱號.1975年9月18日他獲得了美國總統(tǒng)獎,當時的總統(tǒng)是福特.哥德爾妻子安迪于1981年在普林斯頓去世,他們沒有子女.我們曾經(jīng)指出,哥德爾是亞里士多德Aristotle 和G. W萊布尼茨Lei

15、bniz以來最偉大的邏輯學(xué)家.但是,這決不僅僅是由于他的聰明才智所決定的,更重要的是數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)開展到20世紀所面臨的問題、面臨的任務(wù)并由此而出現(xiàn)了一大批優(yōu)秀的邏輯學(xué)家,哥德 爾是其中最突出的代表.19世紀在微積分根底工作中出現(xiàn)了A.柯西Cauchy、K.魏爾斯特拉斯Weierstrass 、R.戴彳i金Dedekind和G.康托爾Cantor這樣一批大數(shù)學(xué)家,他 們十分重視數(shù)學(xué)的邏輯嚴謹性.G.弗雷格Frege又建立適應(yīng)數(shù)學(xué)論證的謂詞演算,在邏輯學(xué)中首次引進全稱量詞和存在量詞的概念.1900年巴黎數(shù)學(xué)家大會上希爾伯特提出了23個未解決的數(shù)學(xué)問題,其中第一個問題是康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是否成立,第

16、二個問題是算術(shù)公理的協(xié)調(diào)性.他指出,在關(guān)于公理系統(tǒng)所能提出的問題中,最為重要的是：證實這些公理不互相矛盾,就是說,以它們?yōu)楦锥M行的有限步驟的邏輯推演,決不會導(dǎo)致矛盾的結(jié) 果.1900年前后,先后在康托爾集合論中發(fā)現(xiàn)幾個令人吃驚的悖論.這樣,出現(xiàn)了數(shù)學(xué)基 礎(chǔ)的危機,為解決這種危機,L. E. J.布勞威爾Brouwer提出了在數(shù)學(xué)中取消無窮對象、取消數(shù)學(xué)論證中無限制地使用排中律的直覺主義建議,由此形成了數(shù)學(xué)根底研究中的直覺主義學(xué)派.羅素提出了把數(shù)學(xué)復(fù)原為邏輯,形成了邏輯主義學(xué)派.羅素與A. N、懷特海Whitehead合著的?數(shù)學(xué)原理?Principia mathematica 一書中完全應(yīng)

17、用了數(shù)理邏輯的方 法,從一些邏輯概念和數(shù)學(xué)公理出發(fā)實際上推導(dǎo)出很大一局部數(shù)學(xué),而這是沿著弗雷格、G.皮亞諾Peano的思路開始的.希爾伯特強調(diào)數(shù)理邏輯在數(shù)學(xué)根底研究中的巨大作用,但他不 贊成邏輯主義,更反對直覺主義.在希爾伯特看來,悖論的根源不在于實無窮,而在于對實 無窮的錯誤熟悉.希爾伯特認為直覺主義否認實無窮,否認排中律等等,是對數(shù)學(xué)“這門科學(xué)大砍大殺,就會使數(shù)學(xué)“失去大局部最珍貴的財富.希爾伯特及其學(xué)派制定了一個保衛(wèi)數(shù)學(xué)建立其嚴謹根底的方案,人們稱之為希爾伯特方案.這一方案是要將數(shù)學(xué)理論進行形式 化處理,建立相應(yīng)的形式公理系統(tǒng),用有窮方法研究系統(tǒng)的完全性、協(xié)調(diào)性和判定性等問 題.這些形式

18、公理系統(tǒng)共同的邏輯根底是謂詞演算,當時已證實了謂詞演算的可靠性或稱一致性,即任一邏輯定理在所有的解釋或稱賦值下都是真的稱之為普遍有效的.但是,謂詞演算是否具有完全性呢也就是說,謂詞演算中普效命題是否是邏輯定理呢這是 1920年前后人們關(guān)注的一未解決的重大問題,直至1928年在前述的希爾伯特與阿克曼的專著第二版中仍然是末獲得解決的問題.1929年哥德爾肯定地解決了這一問題,證實了謂詞演算的完全性定理.這一結(jié)果,對于希爾伯特方案是一有力的支持,由于它說明了希爾伯特所依據(jù)的邏輯根底是既可靠又完全的一門獨立的數(shù)學(xué)理論.哥德爾完全性定理在謂詞演算的語法概念與語義概念之間架起了一座橋梁.這里語法概念指形式

19、系統(tǒng),語義概念指數(shù)學(xué)模型. 這就是說,哥德爾定理是在形式系統(tǒng)與數(shù)學(xué)模型之間 架起了一架橋梁.形式系統(tǒng)的一合式公式或稱命題,也稱語句集合S叫做協(xié)調(diào)的,如果此系統(tǒng)內(nèi)不存 在一合式公式 A,使彳導(dǎo)從S出發(fā)公式A與A的否認式A都是可證的.S不是協(xié)調(diào)的就叫它是不協(xié)調(diào)的.一不空集合M及M上定義的關(guān)系、函數(shù)等一起可以構(gòu)成一結(jié)構(gòu).形式系統(tǒng)的一命題A,在Z構(gòu)M上做解釋,對于這一解釋而言,命題A經(jīng)解釋后在結(jié)構(gòu) M中是真的,就稱結(jié)構(gòu)M為A的一模型.假設(shè)S中每一命題經(jīng)解釋后在結(jié)構(gòu) M中都是真的,就稱M是S的一模型.顯 然,結(jié)構(gòu)、解釋、模型都是語義概念.依據(jù)上述概念,哥德爾完全性定理是說：對于謂詞演 算的任一命題集合

20、S而言,都有： S是協(xié)調(diào)的當且僅當 S有模型.這里所講的謂詞演算是一階古典謂詞演算,也稱為狹謂詞演算,“一階是相對“高階而言的,即量詞的變域是個體域,而不能是謂詞,也不能是函數(shù)詞,“古典是相對“直覺主義或“各種非經(jīng)典或非標準而言的. |哥德爾完全性定理是當代模型論的根本定理之一,由它導(dǎo)出了一系列重要結(jié)果.還應(yīng)當指出,哥德爾完全性定理是對形式系統(tǒng)的整體特征性定理而不是系統(tǒng)內(nèi)的形式定理,這種定理稱之為元定理或元數(shù)學(xué)定理.根據(jù)希爾伯特方案和當時人們的思想觀念, 元定理應(yīng)局限在有窮方法內(nèi)給出證實,排中律與無窮過程是不能被使用的然而這一定理 是很強的,用有窮方法是不可能給出證實的.哥德爾看出了這一問題,

21、 大膽地采用無窮方法找出問題的答案,給出了定理的證實對此哥德爾曾在致王浩的信中說道,他解決了完全二| 性在于他的哲學(xué)思想先進, 不拘泥于有窮方法,而并不是他的數(shù)學(xué)技巧比別人高明見WangHao, From mathematics to philosophy.在哥德爾晚年,王浩是他的最好的朋友之一,他 們之間就數(shù)學(xué)根底和哲學(xué)問題有許多內(nèi)容深刻的交談.哥德爾不完全性定理是更令人吃驚的.如前指出,不完全性是指形式算系統(tǒng)而言的,也可以說是指皮亞諾算術(shù)系統(tǒng) P而言的.哥德爾證實：如果P是協(xié)調(diào)的,那么有一算術(shù)的形式命 題A即A為P中一命題,并且A與A在P中都不可證實的.這與希爾伯特的猜測完全相反.希爾伯特

22、猜測,不僅形式數(shù)學(xué)系統(tǒng)的根底邏輯一一謂詞演算是完全的,而且每一個形式數(shù)學(xué)系統(tǒng)也是完全的,特別是皮亞諾算術(shù)系統(tǒng) P也應(yīng)當是完全的,它的命題集合總是可以一分為二, 一局部是P的定理集合即其中每一元都是 P的定理,不妨把定理集合記為 T,另一局部是 P的可駁集合即其中每一元都是 P的否認理,即它的否認式是 P的定理,不妨把 P的可駁 集合記為R.希爾伯特猜測,系統(tǒng) P的命題集合恰好就是 T與R的并集合：TU R這就是 說,皮亞諾公理系統(tǒng)巳完全刻畫了算術(shù)系統(tǒng).但是,哥德爾否認了希爾伯特的猜測,從而否定了希爾伯特方案.哥德爾具體地嚴謹?shù)刈C實了存在一命題A, A和它的否認式 都不在T中,也不在R中.也就是

23、說,P的命題集合不可能根據(jù)其元 即命題是可證可駁的原那么分為 兩局部,這是一重大的結(jié)果.哥德爾怎樣獲得這一結(jié)果呢為了證實上述定理,哥德爾區(qū)分了形式系統(tǒng)內(nèi)外的幾個層次和它們間的聯(lián)系.第一步, 形式系統(tǒng)的概念是使用無數(shù)學(xué)概念建立起來的.這些元數(shù)學(xué)概念是假設(shè)干個符號的規(guī)定、轉(zhuǎn)換和說明.第二步,是把元數(shù)學(xué)概念通過配數(shù)方法 這一方法也是哥德爾給出的 給出算術(shù)化處 理,用自然數(shù)的函數(shù)與關(guān)系把它們描述出來,并證實這些函數(shù)與關(guān)系的機械性質(zhì),即它們是遞歸函數(shù)與遞歸關(guān)系. 第三步,證實遞歸函數(shù)與遞歸關(guān)系在形式數(shù)論系統(tǒng)內(nèi)都是數(shù)詞可表達 的.哥德爾通過這些精湛的數(shù)學(xué)技巧,從錯綜復(fù)雜的聯(lián)系中弄清 “命題A在P中是可證的

24、、“公式序列P是命題 A在P中的一證實等關(guān)于形式系統(tǒng) P的元數(shù)學(xué)概念都可以算術(shù)化為關(guān) 于自然數(shù)間的關(guān)系與函數(shù). 并且它們又都是在 P中可表達的,從而他構(gòu)造了他的定理所要求 的命題AP,并得到了上述不完全性定理的證實.由此,哥德爾證實：AP,與AP在P中都是不可證實的,從語法上講, AP與AP都是不可證的,而從語義上,AP與AP必然有一個是真的事實上由哥德爾的構(gòu)造過程可知,AP是真的.因此,哥德爾第一次澄清了真與可證是兩個不同的概念.對于形式系統(tǒng)而言, 可證性是一個較為機械的思維過程,而真理性那么是一個能動的和超窮的思維過程,二者不能混為一談.此外,命題AP對自己也是有所斷定的,這就反對了羅素與

25、懷特海關(guān)于命題不能對自己有所斷定的意見.上述哥德爾不完全性定理在文獻中常稱為哥德爾第一不完全性定理.哥德爾還證實了另一個定理,文獻中稱之為第二不完全性定理,這一定理是說,如果系統(tǒng)P是協(xié)調(diào)的,那么它的協(xié)調(diào)性在系統(tǒng) P中是不可證實的.它的證實是通過把“P是協(xié)調(diào)的這一元數(shù)學(xué)概念加以算術(shù)化,然后在 P中形式化,得到它的形式公式可記為“ con(P)我們再把第一定理的證明,即 (*) “假設(shè)P是協(xié)調(diào)白1那么 AP是不可證的加以形式化,也就是把(*)的整個證實在系統(tǒng) P內(nèi)形式化,那么我們應(yīng)獲得 (*)P con(P) 一 AP.現(xiàn)在,設(shè)P con(P),這時,由(*)叫將獲得PAP,這就得到與第一定理相矛

26、盾的結(jié)論.從而就得到了第二定理的證實.哥德爾的上述結(jié)果對邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)特別是數(shù)學(xué)根底產(chǎn)生了巨大的影響,使邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)根底學(xué)在新的起點上獲得了新的開展,揭示了機械的與非機械的思維活動的根本性質(zhì),論證了形式系統(tǒng)的邏輯標準與局限性問題,這些都是人類熟悉史上的重大結(jié)果對于機械的思維 活動,哥德爾在證實不完全性定理時,采用了遞歸方法并開展詳盡的論述.根據(jù)J.埃爾布朗(Herbrand)和哥德爾的意見,S. C.克林(Kleene)對一般遞歸函數(shù)理論作了深入的研究, A.丘奇(Church)建立入演算理論,A. M圖靈(Turing)建立另一種機械性思維過程,以描 述算法,現(xiàn)在人們稱之為圖靈機器.人們很快就

27、證實：上述幾種機械性思維過程的概念和理論都是等價的,可以相互轉(zhuǎn)換的.近年來,人們進一步發(fā)現(xiàn)了一系列可以相互轉(zhuǎn)換的算法概 念與理論,并且愈來愈展現(xiàn)出他們在計算機領(lǐng)域內(nèi)的巨大作用.關(guān)于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對于集合論通常公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性證實以及在證實過程中所創(chuàng)立的 可構(gòu)成性方法,是哥德爾的又一重大奉獻.連續(xù)統(tǒng)問題是康托爾首先提出的,這涉及到無窮集合、無窮基數(shù)中一些根本問題.在許多無窮集合的比擬中,以什么為標準呢康托爾提出 按一一對應(yīng)來區(qū)分集合的“大小,與自然數(shù)集合有一一對應(yīng)關(guān)系的集合稱為可數(shù)集合,諸 如此種集合的基數(shù)定義為,把所有具有基數(shù)為的集合收集在一起所組成的哪個集合的基數(shù) 為,以此類推,可以獲得無窮基

28、數(shù)序列：其中“為任意的序數(shù).另一方面,實數(shù)集合的基數(shù),也就是自然數(shù)集合的所有子集合所 構(gòu)成的哪個集合的基數(shù)為2,康托爾證實它大于,然而它究竟等于式(1)中哪個基數(shù)呢因為式(1)是一嚴格遞增的基數(shù)序列,并且2大于,因此,就有1878年康托爾猜測式(2)中的等號應(yīng)當成立.也就是說,他猜測:就是康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè).1883年,康托爾在他的論文“關(guān)于無窮線性點集合(5) (berunendliche lineare Punktmannigfaltig keiten 5, Mathematische Annalen , 21(1883) , pp 545 586)中,希望不久將能夠公布他的猜測的嚴格證實

29、.隨后,他還一再聲 明將公布他的證實.但是,直至 1918年1月6日康托爾去世,他也沒有把他的證實公布于 眾.大概是他發(fā)現(xiàn)了原來的證實有錯誤而未公開發(fā)表.1900年夏季在巴黎舉行的第二次國際數(shù)學(xué)家代表大會上,希爾伯特做了題為?數(shù)學(xué)問題» (Mathematische Probleme, Archivder Mathematik und Physik , Series 3, 1, pp. 44 63, 213237)的演說,提出了前面曾經(jīng)說過的23個未解決的問題,向 20世紀的數(shù)學(xué)家們提出挑戰(zhàn).其中第一個問題就是 “證實連續(xù)統(tǒng)假設(shè) .他說：“康托爾關(guān)于這種集合的研究,提出了一個似乎很合

30、理的定理,可是盡管經(jīng)過堅持不懈的努力,還是沒有人能夠成功地證實這條定理.這一定理就是：每個由無窮多個實數(shù)組成的系統(tǒng),亦即實數(shù)集合R的無窮子集合(或點集合),或者與自然數(shù)1, 2, 3,組成的集合對等(即有一一對應(yīng)的關(guān)系),或者與 全體實數(shù)組成的集合對等,從而與連續(xù)統(tǒng)(即一條直線上的點的全體)相對等；因此,就對等關(guān)系而言,實數(shù)的無窮子集合只有兩種：可數(shù)集合和連續(xù)統(tǒng).他接著又說：“由這條定理,立即可以得出結(jié)論：連續(xù)統(tǒng)所具有的基數(shù),緊接在可數(shù)集合的基數(shù)之后；所以,這一定理的證實,將在可數(shù)集合與連續(xù)統(tǒng)之間架起一座新的橋梁. 1925年,已經(jīng)63歲、身患多種病的希爾伯特又提出了試圖證實連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的大綱,

31、這就是他1926年的論文“論無窮 (berdas Unendiche , Mathematische Annalen , 95, pp. 161 190).遺憾的是他的證實有漏洞, 證實是錯誤的.這一切都說明連續(xù)統(tǒng)問題是很有意義的、難度很大的問題.1934年波蘭學(xué)者W 謝爾品斯基(Sierpinski) 出版他的專著?連續(xù)統(tǒng)假設(shè)?(Hypothese du continu),揭示了在分析數(shù)學(xué)中有 12個數(shù)學(xué)命題與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等價,有81個命題是它的直接推論.這就更突出了它的重大意義.對于這一問題,哥德爾所取得的重大進展是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與集合論的通常公理系統(tǒng)(包括選才i公理)是協(xié)調(diào)的,也就是說,集合論

32、的通常的公理系統(tǒng)(包括選擇公理)推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否認式.在證實過程中,哥德爾引進了可構(gòu)成集合、可構(gòu)成公理等 重要概念.對于任意一集合 S而言,集合S1叫做S的可定義子集合,如果有一公式(x1 , xn, x)和S的元素a1,an,使得S1= x|x SA (a1 ,am, x) 成立,令S,為S的所有可定義子集合所組成的集合.令 L0= , (4 . 1) La+1=(La) z, (4 . 2)一集合x叫做是可構(gòu)成的,如果存在一序數(shù)a ,使得x La.可構(gòu)成公理是說,每一集合都是可構(gòu)成的,常常記做V=L.哥德爾首先證實通常集合論公理(不包括選擇公理)都在L中成立,然后證實,可構(gòu)成公理蘊涵選

33、擇公理與連續(xù)假設(shè).文獻中常把選擇公理記做AC(Axiom of Choice 的縮寫),連續(xù)統(tǒng)假設(shè)記做CH(ContinuumHypothesis 的縮寫),并且把通常的集合論公理系統(tǒng)理解為策梅羅-弗倫克爾(Zermelo Fraenkel)系統(tǒng)(通常簡記為 ZF,不包括選擇公理,當把它理解為包括選擇公理時,也常記 做ZFC).使用上述記號,就有 V=Lf ACA CH (5)在ZF中可證實.第三步,哥德爾還證實了：V=L在L中成立.從而就得到了選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在 L中成立.由于V=L并非是一真命題,只是在L中真,所以AC與CH也并非 真命題,它們只是在L中真.哥德爾的結(jié)果給人們一種寬慰,

34、不會由于使用選擇公理增加不可靠性,也就是說,人們使用ZF公理所建立的數(shù)學(xué)理論沒有矛盾時,再進一步地使用選擇公理,即在使用ZFC時所建立的數(shù)學(xué)理論也沒有矛盾.哥德爾建立的 AC與ZF的相對協(xié)調(diào)性證實也是一項重大結(jié)果.哥德爾的結(jié)果還有更廣泛的結(jié)論,這就是在L中不僅CH成立,而且廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)(Generalized Continuum Hypothesis ,?？s寫為 GCH也成立.其中 GCH是F.豪斯多夫 (Hausdorff)在1908年提出的,對于任意的序數(shù)a,應(yīng)有等式成立.事實上,康托爾在1883年也曾說應(yīng)有成立.顯然,式3與7都是式6的特殊形式.哥德爾在前邊提到的1940年的專著中 證

35、實白是V=LfAOAGCH他的結(jié)果較之更為廣泛.哥德爾創(chuàng)立的可構(gòu)成方法開辟了集合論研究的新方法、新方向,文獻中常稱為內(nèi)模型方法.1940年以后人們對它進行了系統(tǒng)的研究,獲得了極小內(nèi)模型等重要結(jié)果,在這些結(jié)果 與方法的根底上,P. J.科恩Cohen1963年創(chuàng)立了力迫方法,證實了廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)、選 擇公理相對于通常集合論公理的獨立性結(jié)果.當我們用符號"表示“推不出時,哥德爾的定理就是：而科恩的定理是:這就是100多年以來,人們對選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的主要結(jié)果.康托爾提出的連續(xù)統(tǒng)的勢到底等于什么呢或者說,2到底是無窮基數(shù)序列式1中哪一個呢這仍然是一個未解決的重大的數(shù)學(xué)問題.關(guān)于這一點,

36、哥德爾早在 1947年的哲學(xué)性論文“什么是康托爾的 連續(xù)統(tǒng)問題" What is Cantor / s Continuum prob - lem ?中就指出：“康托爾連續(xù)統(tǒng)問 題,不管采取什么哲學(xué)觀點,不可否認地至少保持這個意義：去發(fā)現(xiàn)它是否有一個答案,如果有,那么是什么答案,是能從所引用的系統(tǒng)中所陳述的公理推導(dǎo)出來的. 1“自然,如果按這個方法解釋, 那么假定公理白協(xié)調(diào)性對于康托爾猜測就先驗地存在 著三種可能性：它是可證實,或者是可否證的,或是不可判定的.哥德爾的結(jié)果說明不可能是“否證的,科恩的結(jié)果說明不可能是被“證實的,因此,就是“不可判定的 了.哥德爾著重指出, 從所采取的集合

37、論公理對康托爾猜測的不可判定 性的證實,“決不是問題的解決 .它仍然是當代數(shù)學(xué)的一大難題.這在某種程度可歸之于純數(shù)學(xué)的困難.此外,哥德爾說：“看來這里還含有更深刻的原因,并且只有在對它們中出現(xiàn)的詞項如“集合、“一一對應(yīng),等等和支配這些詞項的使用的公理的意義進行比數(shù)學(xué)通常作的更深刻的分析,才能得到這些問題的完全解決.在哥德爾看來,如果我們所解釋的 集合論的原始詞項的意義被認為是正確的話,那么就可以得出,集合論的概念和定理描述了某個完全確定的實在即論域,在其中康托爾猜測必然或者是真的,或者是假的.“因此,從今天所采取的公理得出康托爾猜測的不可判定性,只是意味著這些公理沒有包括那個實在的完全描述. 他又說：“可能存在就其證實的結(jié)果來說是如此豐富的其它公理,它照亮整個領(lǐng)域并產(chǎn)生這樣強有力的解決問題的方法并且,只要是可能的,甚至可以構(gòu)造地解決它們,使得不管它們是否是內(nèi)在必須的,至少應(yīng)在如同任何已經(jīng)完全建立的物理理論同等的意義上 接受它的. 哥德爾在分析了與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有關(guān)的許多數(shù)學(xué)命題之后指出：H“與大量的蘊涵連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否認似乎真的命題相反,沒有一個的似乎真的命題蘊涵連續(xù)統(tǒng)假設(shè). 因此,在新的系統(tǒng)中,“有可能否證康托爾猜測 .哥德爾40年前的論斷,仍然是當今集合論學(xué)者關(guān)心的課題.以S.斯拉Shelab為代表的一批學(xué)