2018年高考數(shù)學(xué)專題26含參不等式的存在性與恒成立問題黃金解題模板

1、專題 26 含參不等式的存在性與恒成立問題【高考地位】含參不等式的恒成立問題越來越受到高考命題者的青睞，由于新課標(biāo)高考對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強，這些不等式的恒成立問題往往與導(dǎo)數(shù)問題交織在一起，這在近年的高考試題中不難看出這個基本的命題趨勢. .解決這類問題的關(guān)鍵是揭開量詞隱含的神秘面紗還函數(shù)問題本來面目，在高考中各種題型多以選擇題、填空 題和解答題等出現(xiàn)，其試題難度屬高檔題. .【方法點評】方法一判別式法解題模板：第一步首先將所求問題轉(zhuǎn)化為二次不等式；第二步運用二次函數(shù)的判別式對其進(jìn)行研究討論;第三步得出結(jié)論. .使用情景：含參數(shù)的二次不等式例 1 1 設(shè)f (x)二x22mx 2，當(dāng)x T, ：)時

2、，f (x) _ m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【答索】-3J).【解析】設(shè)尸(力=/2磁+2酬，則當(dāng)xE-1)時，F(xiàn)(x)0恒成立：當(dāng)A = 4(JM-1XJ + 2)0E卩2m 0顯然成立當(dāng)A0時，如圖F(x)0恒成立的充要條件為：I. F1X1IA 0*F(1)蘭0解得一3 Em蘭一2。一也1 2綜上可得實數(shù)m的取值范圍為-3,1). .【點評】一般地，對于二次函數(shù)2f (x)二ax bx c(a = 0, x R), ,有 1 1)f (x)0對x xR恒成立a 0匸0；2)_a v 0f(x)c0對xR恒成立呂丿A 2x +m在區(qū)間-1上有解，轉(zhuǎn)化為 區(qū)間-1.1有解，因此只需滿足/0

3、有解的充要條件為a-,a-,則由p為真，為假可得a的取值范圍.試題解析：T西，花是方程壬噠-2 = 0的兩個實根，* * = = tataj=2 j| jq在=吋匕+JC)2佃花=J J 捉+8+8當(dāng)IHE1時，I碼巧Ln=3由不等式/ -3耳羽-卸對任意實數(shù)剛 1恒成立, 可得宀弘一323,Q6或必一1,若不等式a? + 2x-l0有解，則當(dāng)a 0時，顯然有解，當(dāng)a= 0時，ax22x-10有解,5當(dāng)a：0 0時，ax22x-1 0有解,:丄=4 4a 0，二-1：a a 0,2不等式ax 2x -10有解時a a-1, q假時a的范圍為a _ -1，由可得a的取值范圍為a二-1.考點：命題

4、真假性的應(yīng)用方法二分離參數(shù)法使用情景：對于變量和參數(shù)可分離的不等式解題模板：第一步首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；第二步 先求出含變量一邊的式子的最值；第三步由此推出參數(shù)的取值范圍即可得出結(jié)論 . .例 3 3 已知函數(shù)f xi；= kx2-1 nx，若f x 0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，則k的取值范圍是（）11 1 1 1A A.-el-elB B.丄 I IC C.1亠I I D D .I Ie，2e，e，2e2e，【答案】D D【解析】試題分析：由題意得AO在函數(shù)罡義域內(nèi)恒成立，即

5、 2 -kix0kix0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立很叱吟X X在翹癥義域內(nèi)恒成立，設(shè)（刃二嶂貝驚二號心就=趙一嚴(yán)叭當(dāng)xe（Q上函數(shù)X XX XXg（M里調(diào)遞増；當(dāng)血（需叔）上，函數(shù)員0單調(diào)遞減，所以當(dāng)&時，函數(shù)g（町取得最大值，此 時最大值如心士 所以實數(shù)上的取倩范圍是任皿卜故選亠考點：函數(shù)的恒成立問題.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的恒成立問題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、恒成立的分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)等知識點的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，試題有一定的思維深度，屬于中檔試題，解答中根據(jù)函數(shù)的恒 成立，利用分離

6、參數(shù)法構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵含參不等式分離參數(shù)后的形式因題、7因分法而異，因此解決含參不等式恒成立問題需把握住下述結(jié)論：(1 1 )f(x)：g(a)恒成立二f(x)max：g( a)； ( 2 2)f(x)空g(a)恒成立二f(xhax乞g( a； ( 3 3)f (x) . g(a)恒成立二f(xhng(a=)( 4 4)f(x)_g(a)恒成立二f (x)m_ g(a). .【變式演練 3 3】已知函數(shù)f (x .1 2x4xa在(-：,1上有意義，則a的取值范圍是_.3【答案】-一，.4【解析】固數(shù)才(對在(o,l上有意義，等價于1+廿+4匕0在(TO上恒成立，即EZ

7、 D恒成立，記曆W*+(fi,即等價于口 如皿k Z1一因為ffW在(T0上是增函數(shù)、因此(對的最大值為g(l -所以4 A=g(y)=g(y)= -? ?于罡Q Q的取 斗33值范圍是0 0 工一二、故應(yīng)填-7，+)-4442【變式演練 4 4】若關(guān)于x的不等式x a -3a對任意實數(shù)x 0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()xA A. -1,4B BC.C.( -, -1 _ 4,)D D【答案】A A【解析】4x，即x= 2時等號成立，又關(guān)x4222于x的不等式x a 3 a對任意實數(shù)x 0恒成立，則a -3a一4,即a - 3a - 4一0,解得x一1乞a冬4，故選 A.A.考點：基本不等

8、式的應(yīng)用；不等式的恒成立問題方法二函數(shù)性質(zhì)法使用情景：對于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值較困難的類型解題模板：第一步首先可以把含參不等式整理成適當(dāng)形式如f (x, a)一0、f (x,a)：0等;第二步從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；第三步得出結(jié)論. .311例 4 4 已知函數(shù)f (X) =ax3 X?+1(XR),其中ao. .若在區(qū)間- -上，f(x)O恒成立，求a22 2(-：,-2一5,二)-2,5試題分析：由題意得，因為x 0，則x -x當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈捣秶敬鸢浮? : a5. o j SOx若住:2,則上 ,于是當(dāng)一-耳Oj當(dāng)0工 一時，fx)fx) 0所兒當(dāng)

9、0時，/(力有晨大值當(dāng)英=-時，有最小11”于是a a2a a/0近J5解得此門予或盤一f f因此2aa 5/o22綜合(1得0o5.【點評】對于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值或確界較困難的問題，我們可以把含參不等式整理成適當(dāng)f(x,a) _0恒成立：=g(a)_O； (2 2)如果f (x,a)有最大值g(a)，則f(x, a)：0恒成立=g(a)：O,f (x, a)乞0恒成立=g (a)込0【變式演練 5 5】已知函數(shù)f x =ex-ax,a 0.(1(1 )記f x的極小值為g a，求g a的最大值；(2(2)若對任意實數(shù) x x 恒有f x 0，求fa的取值范圍.【答案】(1 1)1

10、； (2 2)i,ee-e2.題過程中常常要用到如下結(jié)論：(1 1)如果f (x, a)有最小值g(a)，則f (x, a) 0恒成立=g(a) 0,形式如f (x,a) _0、f (x,a) 0等，然后從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值. .在解2解得009【解折】試題分析：（1）（昔助題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識求解C2）借助題設(shè)運用分類整合思想將不等式進(jìn)行等 價韓化再運用導(dǎo)數(shù)知識求解.試題解析：1）函數(shù)才（刃的定義域是（v 冋,f fr rjcjc）=&=&K K-a-at t令得elua,所以/（兀）的單調(diào)遞増區(qū)間是（In足加）；令/（x）0,得jculn

11、s所以/（丸）的單調(diào)遞減區(qū)間是（YoJz）j函數(shù)在xlud處取扱小值，g（農(nóng)） = /（無）軽屮飪=/（山alfJdg gr r（a a） - -l-（l+tafl） =-taa j當(dāng)0QQL Lg g（a a）在（0.1）上單調(diào)遞増；當(dāng) QA1 時，在口）上單調(diào)遞減，所以門=1是函數(shù)営何在 0 燉）上唯一的根大值點，也是最大值點，所以&S）嗣二耳（I）（2 2）當(dāng)x二0時，a .O,eXax_O恒成立，X當(dāng)x 0時，f x - 0，即ex- ax亠0，即a _exee x -eex -1令h x ,x 0,；,h x2xxx當(dāng)0：x：1時，h hx：0,當(dāng)x 1時，h hx 0,故h

12、 x的最小值為h 1 = e,所以a乞e，故實數(shù)a的取值范圍是0,e丨f a=ea-e2,a 0,e 1，fai =ea-2a，由上面可知ea-2a_0恒成立，故fa在0,e 上單調(diào)遞增，所以f 0 = 1：f a乞f e二ee- e2，即f a的取值范圍是1,ee-e2考點：極值的概念及導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識的綜合運用.【變式演練 6 6】設(shè)函數(shù)f （x）二exT-X-ax2，若x_0時，f （x） _ 0,求a的取值范圍。1【答案】a豈丄2【解析】工-1-2皿，由方程/r(x) = 0不能求出極值臥 顯然，用例4的解法罡行不通的，但我 們注意到/(0) =0,故問題傳化為/(A)/(0)在兀巴0時

13、恒成立，即函數(shù)“0在*)為不減函數(shù)，于 是可通過求導(dǎo)判斷/(的單調(diào)性，再求出使/(x)/(0)成立的條件。由于自J1+廠當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時 成立，故/(x = -l-2xjt-2ax = (l-2)x?而當(dāng)1一2口巴0,即a-aU)(xU)A心是Oz)上的不減函數(shù)，/./(X)/|B寸，由l + x 0可得込八一i)=尸故當(dāng)孔(0他勿)時，/(x)o/(x)of frfHf(0)rfHf(0) = = o or r于 是為xE 也2tJ)時y(x) 0.綜合得aa2ln x在1,1,訟)上恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1 1)5x-4y-5x-4y-4=0(2 2)詳見解析(3 3)1，

14、；，；) )【解析】試題分析：(1 1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得f (2)為切線斜率，再根據(jù)點斜式求切線方程(2 2)求函數(shù)單調(diào)性，先2、a a -2-2 axax(2(2a)a), ,小、f f (x)(x) = = a a 2 227 7(a(a 0)0)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：x xx x，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點及符號變化規(guī)律，進(jìn)行分類討論：11當(dāng)Os旦時，fWQfWQ , ,因此在 Z和 03 上單調(diào)遞増j當(dāng)2時，導(dǎo)的數(shù)有兩個零點直耳先増再減再増（巧本題不宜變量分離，故直接研究函數(shù)曲）=6十上？晉2-加-2険貞小a a一=& -七-彳=（1）皿攔_勁X Xf先求導(dǎo)數(shù)於耳耳工，導(dǎo)國數(shù)有兩個零點% % m

15、m$ (a ) )x xf f (x)(x) , , X X xx2 2或 x%;x0,g(x)g(x)0,g(x)單調(diào)遞增,所以,時,g g (X)(X) ：0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞減,g g（x）在1，；），；）上的最小值為 g g（1）13【解析】不等式fg| + 為一+（*）,JLyvTLTL當(dāng) kMI 時,（町式即為一r+x3蘭土+農(nóng)蘭/兀+3,丘+ 一3/乂+3,x 2x 2c2= 2（當(dāng)x = 2時取等號），2 x2 x所以一2、.3空a乞2,47綜上a一2.故選A.16【考點】不等式、恒成立問題遵循分段處理原則，分別對x的兩種不同情況進(jìn)行討論，針對每種情況根據(jù)x的范圍，利

16、用極端原理，求出對應(yīng)的a的范圍|x| 2,x 1-2 2416393916 162 2JC2-x+3 =(x)2416 16A A39斗71-（“上時取等號,164（兀=時取等號“4當(dāng)x 1時，（* *）式為_x_x_32x 2_x_a_ 2x2x32-2.3(當(dāng)2 x時取等號），3【名師點睛】 首先滿足xf （x）色一+a轉(zhuǎn)化為xx-f (x) a乞f(x) -去解決,22由于涉及分段函數(shù)問題要【答案】A【解析】當(dāng)a =2、3時，函數(shù)圖象如圖所示，排除 C,DC,D 選項;試題分析：首先畫出國數(shù)才(力的圖象，當(dāng)“0時，莒仗)=寸+4的零點罡一加1,不會和函數(shù)/(有交點満足不等式恒成立，零點右

17、邊貞力jr x xk k = = - -? ?根據(jù)團(tuán)象分析，當(dāng)*0時，a2a2f f即0*2成立，同理，若口-上兀=0時一&玄2=a乏一2,即一2玉4 g(jc)1恒成立所以一2冬&冬2，故選A,【考點】1.1.分段函數(shù)；2.2.函數(shù)圖形的應(yīng)用；3.3.不等式恒成立【名師點睛】一般不等式恒成立求參數(shù)1.1.可以選擇參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題；2.2.也可以畫出兩邊的函數(shù)圖象，根據(jù)臨界值求參數(shù)取值范圍；3.3.也可轉(zhuǎn)化為F X0的問題，轉(zhuǎn)化討論求函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍X本題中的函數(shù) f f ( (x x ) )和 g g( (X X )=)= +a+a 都是比較熟

18、悉的函數(shù)， 考場中比較快速的方法是就是代入端點，畫出2函數(shù)的圖象，快速準(zhǔn)確，滿足題意時f f (x(x ) )的圖象恒不在函數(shù) y y = =上+a+a 下方,2【答案】D D【解析】設(shè), , y y = = ax-aax-at t由題知存在唯一的整數(shù)心使得噸)在直線尸。-口的下方.因為典(2兀+1),所以當(dāng)貳氣時，0(力6當(dāng)時，如Q,Q,所以當(dāng)x = -|時, 工13X= 0B寸旳)“1,1,S S(l)(l) = = Q Qt t直線y二樂。恒過(1,0)斜率且滄，故-ag(0-ag(0 = = -h-h解得故選D.2e2e1) - ax a, ,其中，若存在唯一的整數(shù)x0，使333(A)

19、(A)卜 ,1) (B)(B)卜,2e2e4(C)(C) 2e，;)(D)2e，1)17【考點定位】本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題【名師點睛】對存在性問題有三種思路，思路1:1:茲變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個酗(或參數(shù)大于某個函 數(shù)片則參數(shù)該于該函數(shù)的最犬值(大于該函數(shù)的最小值),思路“數(shù)形結(jié)合利聞導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的團(tuán)像 與性質(zhì)，再畫出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確走蔘數(shù)范圍，若驚國數(shù)團(tuán)像不易做，?；癁橐粋€國數(shù)存在一點 在另一個函數(shù)上方，用圈像解；思路肌分類討論，本題用的就是思路比.x24.4.【20152015 高考四川，文 1515】已知函數(shù)f( (x) ) = 2 2

20、,g( (x) )=x+ax( (其中aR).).對于不相等的實數(shù)xi,X2,設(shè)m=f(Xi)f(X2),n=g(Xi)g(X2)，現(xiàn)有如下命題：捲x2捲_x21對于任意不相等的實數(shù)Xi,X2,都有 mm0 0；2對于任意的a及任意不相等的實數(shù)xi,X2，都有n0 0；3對于任意的a,存在不相等的實數(shù)xi,X2，使得m= n；4對于任意的a,存在不相等的實數(shù)xi,X2，使得m=-n. .其中真命題有 _ ( (寫出所有真命題的序號 ).).【答案】【解析】對于，因為f(x) ) = 2 2Xln2 2 0 0 恒成立，故正確對于，取視=一8,即當(dāng)m的4時錯誤對于，令，（對=威力，即2Vrt2=

21、2x+a記蚣）=2Frt2-2t貝U#x）=2Y/rt2y-2存在M（0, 1）,使得阪）=0,可知函數(shù)廉）先減后增，有最小值因此，對任意的勵厳二H不一定成立.錯誤對于，由/（X）-*（）,即2ft2=-2xa令 蚣）=2血2+2x則甘=2=2 礎(chǔ)十 2 20恒成立即蚣）是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng) L + 8 時，城X）f + 8當(dāng) L_8 時，蚣）-co因此對任青的Q,Q,存在y=ay=a與函數(shù)A（對有交點、正確【考點定位】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運算等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)與方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，考查分析問題和解決能提的能力 【名師點睛】本題首先要正確認(rèn)識m n的幾何意義，它

22、們分別是兩個函數(shù)圖象的某條弦的斜率，因此，借助導(dǎo)數(shù)研究兩個函數(shù)的切線變化規(guī)律是本題的常規(guī)方法，解析中要注意“任意不相等的實數(shù)XI,X2”與切線斜率的關(guān)系與差別，以及“都有”與“存在”的區(qū)別，避免過失性失誤屬于較難題25.5.【20162016 高考新課標(biāo) 1 1 卷】已知函數(shù)f x二x2 exa x1有兩個零點. .（I I）求a的取值范圍；（IIII）設(shè)xi, ,X2是f x的兩個零點，證明：x x1xx： 2 2 . .【答案】（0,二）【解析】試題分折；（D求導(dǎo)根抿?qū)Ш瘮?shù)的符號來確定,壬要要根抿?qū)Ш瘮?shù)零魚來分類孑QD僧組第一問的結(jié)論來證明* 由里週性可知畫+花2尊價干丿 （召） :/ （

23、2-花-花）C0.設(shè)噥帀宼1一0-2爐*則tx） = （x-lX-x-er） .則當(dāng)工時,t而畧故當(dāng)“1時T（x）0 .從而19烈旳）=/（2-花）2.試題解析；(I)f (x) =(x -1)ex2a(x -1) = (x - 1)(ex2a).(i i )設(shè)a =0, ,則f (x) =(x 2)ex, ,f (x)只有一個零點.(iiii )設(shè)a 0, ,則當(dāng)x (-：,1)時, ,f(x)：0; 當(dāng)x (1,：)時, ,f(x)0.所以f(x)在(-：，1)上單調(diào)遞減,在(1/：)上單調(diào)遞增.又f (1) - -e,f (2) =a,取b滿足b：0 0 且b bln,則2a223f(b

24、) (b-2) a(b-1)二a(b b) 0,故f(x)存在兩個零點.(iiiiii )設(shè)a 0, ,由f (x) =0得x =1或x = I n( 2a).e若a,則In(-2a)乞1,故當(dāng)x (1, ：)時，f (x) 0,因此f (x)在(1,：)上單調(diào)遞增又當(dāng)x乞1時,f (x)：0,所以f (x)不存在兩個零點.e若a,則In(-2a)1,故當(dāng)x (1,ln(-2a)時,f (x)：0； 當(dāng)x x(In(-2a),：)時,f (x)0.因此2f(x)在(1,ln (-2a)單調(diào)遞減,在(In (-2a),單調(diào)遞增.又當(dāng)x叮時，f(x)：0,所以f (x)不存在兩個零點.綜上,a的取

25、值范圍為(0,七).(11)不妨設(shè)由(I)知坷E(YOj)：花E仏驅(qū)),2-耳在上單調(diào)遞減所CU +冷 2等價于/(X0 +嗆1)2=6所決/(2可-空 I設(shè)Sx)SLEtg(x)g(x)0 -從而膽 G 二乳2-花)(x+當(dāng)x x(0,1)或xf/(x)0,(x)單調(diào)遞增;M_2X* T)(1) 0：a：當(dāng)x -f/(x) : 0,(2)a = 2時,(0/:)內(nèi),(3)a 2時,當(dāng)x(o F)或XE(1,Xc)時，fx)。，f (x)單調(diào)遞增；當(dāng)x xw w ( (2,1)時，f/(x)cO,f (x)單調(diào)遞減 a綜上所述，當(dāng)aO時，函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,=)內(nèi)單調(diào)遞

26、減;當(dāng)0：a：2時，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減, a當(dāng)a = 2時，f (x)在(0, ：)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a2,f (x)在(0, J2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(J?,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在Ya a a在(丿三*)內(nèi)單調(diào)遞增;1a23(U)由(I ) 0口=1時，一廣(刃一“號-(1弓申 篇一Sx+斗- ) jJC1,2；x則才(-/(力=g(x) + ft(x) J由了3 = 0可得倉QHg(】)=1,當(dāng)且僅當(dāng)】時取得尊號酬(恥曲于X設(shè)韓Q =則曲)在K“誼單調(diào)翻L商以在U上祥衽孔覦XEQL&)吋，處0“*貳2)巧 沁C)6所以瞬M(r)在(1馮上單調(diào)刪孑在(,2)上

27、單調(diào)圏J&由干6(D=kA(2)-因此臥力上械2*當(dāng)目僅JC= 2K#號所以 /(1)+/1，函數(shù)g x=f x -2有且只有 1 1 個零點，求ab的值?！敬鸢浮?1 1)0 04 4( 2 2)1 1【解析】試題分析：(1)(1)根據(jù)指數(shù)間倒數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程(2丫 -2梵201=0 ,求方程扌艙根 據(jù)指數(shù)間平方關(guān)系211+ 2-=(+2-1/-2,將不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，再利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng) 函數(shù)最宦 即+4的最小歯 最后根擔(dān)基本不等式求最值 先分析導(dǎo)函數(shù)零點情況：唯一零點兀，再確走原函數(shù)單調(diào)變化趙勢：先減后増，從而結(jié)合圖像確走唯一零點必在極值點兀取得，而5(0 =

28、/(0)-2- + -2 = 0,因此極值點兀必等于劉 迸而求出於的值本題難點在證明兀=(b弦可利用反通去：若00 , ,貝何尋找出一個區(qū)間(那花“由5C)0結(jié)合零點存在定理可得 函數(shù)存在昇一零點 與題青矛盾，苴中可取逝=不勻%3若0,同理可得.JhiJhi1試題解析：( (1 1)因為a=2,b，所以f(x)=2_2：21方程f (x) =2，即2x- - 22 =2=2，亦即(2x)2-2 2x0，所以(2x-1)2= 0，于是2x=1，解得x = 0. .2由條件知f (2x) =22x 2x=(2x 2)2-2 =(f (x)2-2. .因為/(2x)(x)-6對于JCER恒成立，且所

29、以也gH+4對于恒成立./JC)= 4；a(A4= 4；fgfg/(0)所以/Mp q.q.(I(I )求使得等式F(x) = =x2-2-2ax+4+4a-2-2 成立的x的取值范圍;(II(II ) (i i)求F(x)的最小值 m(m(a)；于是ln aln b=1，故ln a In b = 0，所以ab =1. .(iiii )求F(x)在區(qū)間0,60,6上的最大值 M(M(a). .0,3_a _2、一234 8a,3 _ a：4【答案】(I I)12,2a; (llll ) (i i)m(a)詔_; (iiii) )M(a),_a2+4a_2,a 2 + 72.2,4【解折】試題分

30、析： 分別對丄1和就A1兩種情況討論 F(x),F(x),進(jìn)而可得使得等式F(x)F(x) = = x-2ax+4x-2ax+4-2咸立 的尤的取11范圍$H) i)先求函數(shù)/(丸) =2*1|,g(x)=xg(x)=x1 1-2ax-l-4a-2-2ax-l-4a-2的最小值，再根SF(x)SF(x)的 定義可得F(好的最小值(ii)分SimOJt22Jc0?當(dāng)K A1B寸”fjc22x + 4i32)2 x1| = (x2)(X-243).所乩 使得等式2+力-2成立的尤的dl范圍為2.2a.(llll ) (i i )設(shè)函數(shù)f (x )=2 x1,g (x ) = x22ax + 4a

31、- 2，貝U2fXmin二f 1，g Xmin二ga= a4a- 2,27所兒 由F（力的定義知剛3）=niiiiy,即0,3M必2+蔬nta）=-/a? + - 2衛(wèi)2+ J2（ii） ojc2a寸，F(xiàn)（x）/（x）max/（O）t/（2） = 2=F（2）,2jrF（6）J所以，”、考點：1 1 函數(shù)的單調(diào)性與最值；2 2、分段函數(shù)；3 3、不等式.【思路點睛】 (I I)根據(jù)x的取值范圍化簡F x,即可得使得等式F x=yx=yx- 2ax - 4a - 2成立的x的取值 范圍； (IIII)( i i )先求函數(shù)f x和g x的最小值，再根據(jù)F x的定義可得ma；( iiii )根據(jù)x

32、的取值范 圍求出F x的最大值，進(jìn)而可得二Ia.9.9.【20162016 年高考四川理數(shù)】設(shè)函數(shù)f( (x)=)=ax2- -a-ln-lnx,其中a R.R.(I)討論f( (x) )的單調(diào)性；11 _x(n)確定a的所有可能取值，使得f(x) e在區(qū)間(1 1, + +8)內(nèi)恒成立(e=2.718(e=2.718為自然對數(shù)的 底數(shù)).).1 1【答案】(I)當(dāng)x(0,=)時，f(x)000,f (x)單J2aV2a1 1調(diào)遞增；(n)a?C,a?C, ?).?).【解析】試題分析：(I )對/S 求導(dǎo)，對盤進(jìn)行討論，研究廣 S 的正負(fù)，可判斷函魏的單調(diào)性；(II)要證明不等式f(x)-e

33、f(x)-e在(1,用)上恒成立基本方法是設(shè)槍)=/)CLXHII當(dāng)工1時 麻0=如-丄+2-嚴(yán)，負(fù)=0的解不易確定因此結(jié)合(】的結(jié)論縮小的范圍，設(shè)X X X*X*蘭匸二 并is(x)=e2-1-xl通過研究K力的單調(diào)性得Q1時，(x)0,從而JC0這樣得出0不合題意，又0口1,且)V也不合題亂從而噸，此時考慮畑亠三+士4得29(x)x-l+-l07得此時鳳功單調(diào)遞増，從而有A(X)/J(1)-0,得出結(jié)論-XXX試題解析：12ax3_1(I I)f (x) = 2ax(x 0).xxa乞0時，f(x)000,f (x)單調(diào)遞增. .-2a(IIII )令g(x)= =丄-丄,s(x)= =e

34、xJ- x. .x e則s(x)= =ex4-1. .而當(dāng)x 1時，s(x)00,所以s(x)在區(qū)間(1+：)內(nèi)單調(diào)遞增又由s(1)=0=0,有s(x)00, 從而當(dāng)x 1時，f (x)0.0.J2af (x)0 1 fl寸，xx + = -: 0jXX*JC X* xhXJ因此，砲在區(qū)間Q+O0單調(diào)遞増一又因為散00所獲當(dāng)時丿A(x)- /&)-g(x)0 ,即/(Jf)恒成立.綜上 fl I + 考點：導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問題 【名師點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計算能力.求

35、函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求f (x),解方程f (x) = 0,再通過f (x)的正負(fù)確定f(x)的單調(diào)性；要證明函數(shù)不等式f(x) g(x)，一般證明f(x)-g(x)的最小值大于 0 0,為此要研究函數(shù)h(x)二f (x)-g(x)的單調(diào)性本題中注意由于函數(shù)h(x)有極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍比較新穎，學(xué)生不易想到有一定的難度.10.10.【20152015 高考福建，文 2222】已知函數(shù)f(x)=l nx-G2( (I) )求函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間；(n)證明：當(dāng)x 1時，f x：x1；(川)確定實數(shù)k的所有可能取值，使得存在x01，當(dāng)X，(1,x0)時

36、，恒有f x k x-1(1+Q由有才(士/(I) =8從而取士)0,0a-0aQxQi +x/5. J?得002 2I故/（劉的單調(diào)遞増區(qū)間是III)令F(x) = /(x)-(x-l), xefO.-Ko).則有F（R =匕三當(dāng)無鞏】,他）日寸，F(xiàn)（x）0,所以.F（力在L塚）上單調(diào)遞減, 故Sx10寸，F(xiàn)(x)l時，/(x)x-l.（IIIIII ）由（IIII ）知，當(dāng)k=1=1 時，不存在x01滿足題意.當(dāng)k 1時，對于x 1，有f x：x -1：k x -1，則f x : k x -1，從而不存在當(dāng)k1 1時，令G x j=f x -k x1,i0,：,21-x 1 - k x 1

37、則有G x =-x，1-k二xx由G x =0得，x?1 k x 1 = 0.tiG(l)=Ol即綜上，在的取倩范圍是（TO）.【考點定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.1滿足題意.【名師點睛】利用導(dǎo)數(shù)判斷或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過不等式f (x) . 0或f (x)：0求解，但是要兼顧定義域；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點， 解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意f (x)g(x)與f (X)ming(X)max不等價，f(x)ming(x)max只是f(X)g ( X)的特例，但是也可以利用它來

38、證明，在 20142014 年全國I卷理科高考 2121 題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù).【反饋練習(xí)】1 1 .【河南省中原名校2017-20182017-2018 學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題】已知關(guān)于x的不等式4ax24ax 1 - 0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是()A.A.10,1B.B.0,1)C.C.(0,1)D.D.(0,1【答案】B B【解析】a =0時，符合題意，aO時，關(guān)于x的不等式4ax2 4ax T 0的解集為R,只需a 0216a -

39、16a 0=0：a 1，綜上可知實數(shù)a的取值范圍是0,1，選 B.B.2 2 【廣西柳州高級中學(xué)、南寧市第二中學(xué)20182018 屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】已知函數(shù)f x二X，ex x：g x =ln X 2 -4ea，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)x，使f X0?-g x=3成立，則實數(shù)a的值為()A.A.-ln2 -1B.B.-1 ln2C.C.-ln2D.D.ln2【答案】A A【解析】令f x) - g (x)1- In (x-2) Ye1宀1I令I(lǐng)n (x+2)fy-1 - -=- ,x+2JC+2故尸x-ln (x+2)在(-2, - 1)上是減函數(shù)， y有最小值-而 尹屮3(當(dāng)

40、且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立”故x=a+ln2= 1,艮卩 4 一1一ln2舌文選:A *333 3【四川省南充高級中學(xué)20182018 屆高三上學(xué)期第三次檢測數(shù)學(xué)(文)試題】已知函數(shù)f x二衛(wèi)xlnx,Xg x =X3-X2-5，若對任意的為，X2：g,2，都有f% g g X X2- 2成立，貝U實數(shù)a的取值范圍是A.A.11,亠B.B.0,亠C.C. - -：，：，0 0 D.D. -：，一1【答案】A A【解折】f(x)g(x)+2f(x)g(x)+2令= (x+2 = x3x13f貝= 3,2x2xf fWJ/(x) = -+nxh所xlux7令p(x) =xxlnx,貝|杖(尤)

41、=1一2血兀一尤,fl(x)=-21nx-3；則在區(qū)間-7上，(x) = -21nx-3xf(x )恒成立，則不等式x2f丄l-f(x)A0的解集為()X丿A.A.1,：B.B.- -:,1,1 C.C.2,2, ： D.D.- -：,2,2【答案】A A122a一旦1，填a-亠。【解祈】令商戶型，則対二給型JCJC/.r（x）-/Ws(x)x j艮卩疋糸1古攵選A點睛：本題首先需結(jié)合已知條件構(gòu)造邏數(shù)，拓后考查利用導(dǎo)數(shù)尹斷函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性和國 數(shù)值的大小關(guān)系，判斷自變量的大小關(guān)系一6 6 【浙江省名校協(xié)作體 2017-20182017-2018 學(xué)年高二上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題】已知函

42、數(shù)f x = ax22x 1，若對任意x壬R, f f （x）蘭0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】a_上匚12【解析】當(dāng)a=0=0 時，f f（x x）=2x+1,f=2x+1,ff f（x x）=4x+3=4x+3 不滿足大于等于 0 0 恒成立，不符。當(dāng)a : 0時，f x二a x21111，令f x 0，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】1,5 （或1：a乞5）【解析】利用一元二玄方程根的分布去解決，設(shè)，（劉=,-2-2）莖+。，當(dāng)A =2一也cO時，即1垃:4時，對xeRxeR恒成立；當(dāng)燈=1時，/（-1）=0 ,不合題意F當(dāng)口 =4時,f f（2 2） = = 0 0符合題竜；A0或

43、i41 a a25252 /j 7當(dāng)A0時扌打譏“，即，即：45蘭5J JIVya5a5/（5）0a2JX-1=2=2r r當(dāng)且僅當(dāng)工二丄，即兀=1時取等號，即才(力的最小值是2由X XX X X XX XTF夕* X 1 Vg(x)=g(x)=J則g*x)=g*x)=2二r-丿由得00gx)0e(刃 總得xixi此時函數(shù)龍利咸函數(shù)，即當(dāng)*1時，童兇取得根大值同時也是最犬值(i)=-，貝q孚聲總j j(花(1) 若曲線y = f x在x =1處的切線與y軸垂直，求y = f x的最大值；(2)若對任意的0乞捲：X2，都有f X2x22-21 n2 : f xixi2-21 n2，求a的取值【答

44、案】f Xmax=0-：,1 1e1 =2-e = 0,a二2令g x = f x = 2ax -ex x，貝 U Ug x = 2a -ex x，可知函數(shù)g x在-:：,1上單調(diào)遞增，在1,1,，：，：上單調(diào)遞減，所以f xmaf 1 -0. .(2 2)由題意可知函數(shù)h x = f x，x2-2l n2 =axx2-2 In2 -ex x在 0=0= 上單調(diào)遞減,從而h hx =2ax 2-21 n2 -ex x一0在0,=：上恒成立， 令F x二2ax 2-21 n2 Lex，則F x = 2a -ex,【解析】( (1 1)9 9 .【廣東省百校聯(lián)盟 20182018 屆高三第二次聯(lián)考

45、數(shù)學(xué)文試題】函數(shù)f x二ax2-exaR. .當(dāng)aLaL吋，F(xiàn)p（x）0,所沁數(shù)”力在上單調(diào)遞減，則WM=（0） = l-21n20?當(dāng)時，嚴(yán)（葢）=2。一宀0,得1込，所以翅數(shù)尸（時在何論）上單調(diào)遞増，在迪2企燉）2上單調(diào)遞減，貝ij F（X）BJI= F（ln2） = 2dD2 + 2-2h2-2zj0,即 2aln2a-2a2aln2a-2a 21n2-221n2-2 , ,通過求函數(shù)y y = = nx-xnx-x的導(dǎo)數(shù)可知它在1,-KD）單調(diào)遞増，故ial,ia 0 0,則心號當(dāng)一.時，J J ； 一 -；當(dāng)時 H H . .所以 f f x x 在（0 0, 1 1）上單調(diào)遞增；在 -+01上單調(diào)遞減，所以函數(shù) 匚在：二處取得極大值. .r/ （億必 + ）n因為函數(shù)一 -在區(qū)