Mathematica4初等數(shù)學(xué)部分

1、數(shù)學(xué)符號運算 20022-1-2第2章 Mathematica4.0軟件包初等數(shù)學(xué)部分 本章主要介紹Mathematica4中與初等數(shù)學(xué)有關(guān)的各種命令。例2-1 求近似值。例如圓周率Pi，我們在Mathematica4中輸入以下四種命令就將得到三種不同的結(jié)果：Pi 顯示結(jié)果Pi / N 顯示結(jié)果的16位近似數(shù)N Pi 顯示結(jié)果的16位近似值（包括整數(shù)位）N Pi, 200 顯示結(jié)果的200位近似值（包括整數(shù)位）注：NPi 給出Pi的16位小數(shù)近似值（包括整數(shù)位），屏幕只顯示小數(shù)點后面5位，如果將結(jié)果復(fù)制一下，就會看見16位小數(shù)近似值。另外，N Pi，m 給出指定的m位Pi的近似值。類似地有 N

2、 E，80 等等。例2-2 求一個數(shù)x的絕對值： Abs x 例2-3 （1）關(guān)于分?jǐn)?shù)和分式 通分：（1/2）+（1/3） 比較：（1/2）+（1/3）/N 命令Together f 表示將表達式f通分；Apartf 表示將有理分式f寫為不可約分式之和。例如：Cancelf 表示消掉有理分式f的公因子；ExpandAllf 表示將有理分式f的分子分母都展開為多項式；ExpandNumeratorf 表示將有理分式f的分子展開為多項式；ExpandDenominatorf 表示將有理分式f的分母展開為多項式；（2）多項式的展開。命令與格式如下：其中Expand f 表示將多項式f展開為級數(shù)形狀；

3、Coefficient f, x5 表示求多項式f中x5的系數(shù)。運行之后得到結(jié)果：（3）多項式的因式分解。命令與格式如下：f = 1 + 2x + x2;Factor f 運行之后得到結(jié)果：（1 + x ）2例2-4 求階乘。直接輸入 n!求組合數(shù)。輸入以下命令： Binomial n, k 求多元組合數(shù) 。輸入以下命令： Multinomial r1, r2, , rn 例如，下面的多元多項式的展開式中就會用到多元組合數(shù)：我們可以輸入以下命令求其中某一項的系數(shù)，比如： 運行之后就得到的系數(shù)：183783600例2-5 求和的公式。輸入以下命令，運行之后得到結(jié)果：例2-6 驗證不等式是否為真。

4、執(zhí)行下列程序若得到結(jié)果“ True”就表示此不等式成立，若得到結(jié)果“ False”就表示此不等式不成立。例2-7 求解不等式或不等式組第一步 打開子程序包 <<AlgebraInequalitySolve第二步 InequalitySolve 得到此不等式的解集：其中兩個豎線表示集合的并。又一例子：第二步 InequalitySolve 其中&&表示集合的交。執(zhí)行后得到此不等式組的解集：注：InequalitySolve命令只能求解多項式類型的不等式或不等式組。例2-8 求解代數(shù)方程及方程組。執(zhí)行并比較以下幾個命令：（1）Solve命令 注：Solve命令只能求解多

5、項式類型的方程或方程組。（2）SolveAlways命令SolveAlways a x + y + z = 1, x + a y + z = a, x + y + a z = a2 , x, y, z 執(zhí)行后得到： 表示解是空集。（3）Reduce命令Reduce a x + y + z = 1, x + a y + z = a, x + y + a z = a2 , x, y, z 表示用消元法求以上線性方程組的所有可能的解。（4）Eliminate命令Eliminate x + 2a = 1, -2x + y =9 , a 表示在方程組中消去參數(shù)a，得到結(jié)果：-9 + y = 2x又一個例

6、子：表示在方程組中消去參數(shù)x，運行之后得到結(jié)果：-y + y 2=0例2-9 求解超越方程及方程組第一步 先畫圖觀察第二步 求出數(shù)值近似解PlotLog10,x-Sinx,x,0,10FindRootLog10,x-Sinx=0,x,2.5FindRootLog10,x-Sinx=0,x,7.5FindRootLog10,x-Sinx=0,x,8.1例2-10 求一個數(shù)x的近鄰整數(shù)值Roundx 求距離x最近的整數(shù)值；Ceilingx 求距離x最近的、且大于x的整數(shù)值；（比較 x = -1.5, 1.5, -1.4, 1.4 時的區(qū)別）例2-11 求遞歸關(guān)系式。第一步 進入子程序軟件包 <

7、;<DiscreteMathRSolve第二步 求解遞歸關(guān)系式。輸入以下命令：RSolve a n = 3a n-1 - 2a n-2 , a n , n 運行之后得到結(jié)果： a n -> - C1 + 22+n ( C1 + 2C2 ) 其中C1、C2是待定常數(shù)?；蛘咔蠼饩哂衅瘘c的遞歸關(guān)系式。輸入以下命令：RSolve a n = 3a n-1 - 2a n-2 , a 0 = 1, a 1 = 2 , a n , n 運行之后得到結(jié)果： a n -> 2n 例2-12-1 （1）求序列2n從n = 1到n = 15的值。輸入以下命令： Table n, 2n , n, 1

8、, 15 （2）求斐波那契（Fibonacci）數(shù)列Fibonaccin 從n = 1到n = 50的值。輸入以下命令：Table n, Fibonacci n , n, 1, 50 例2-12-2 Fibonacci預(yù)測（神秘數(shù)字預(yù)測）Fibonacci ( Leonado Pisano Fibonacci, 1170 - 1250 )預(yù)測在港、臺金融界稱為神秘數(shù)字預(yù)測，在歐美叫螺旋歷法（ Spiral Calendar ），此方法在金融預(yù)測方面比較流行，請大家批判性的了解以下內(nèi)容。記Fibonaocci數(shù)列為F1=1,F2=1, Fn = Fn-1 + Fn-2 ( n 3 )。美國人Ca

9、rolan創(chuàng)立螺旋歷法，令投資理論界大為震驚，此方法主要以月球周期為計算的基礎(chǔ)，類似中國的陰歷。在此方法中，月球周期Y = 29.53天，用它來計算重大事件的轉(zhuǎn)折點（此方法主要用在政治和經(jīng)濟領(lǐng)域）。方法如下：從一個重大事件發(fā)生的日期開始，對任何n 1，天后，都有可能發(fā)生重大轉(zhuǎn)折。例2-12-3 1917年11月7日，俄國共產(chǎn)黨攻占圣彼得堡的冬宮，天后有可能為轉(zhuǎn)折點，即1991年8月8日，實際上1991年8月19日蘇聯(lián)發(fā)生政變，隨后蘇共下臺，蘇聯(lián)解體。程序如下：<<MiscellaneousCalendarTableDaysPlus1917,11,7,Ceiling29.53Sqrt

10、Fibonaccin,n,1,50例2-12-4 1945年5月7日，德國在二戰(zhàn)中被打敗，宣布投降，從此一分為二，東德被蘇聯(lián)統(tǒng)治，西德被美國統(tǒng)治。天以后，即1990年12月5日可能為轉(zhuǎn)折點，實際上1990年12月2日是東西德統(tǒng)一后的第一個大選日，乃實際上的統(tǒng)一。另外，德國由分裂到統(tǒng)一的時間，剛好是蘇聯(lián)共產(chǎn)黨掌權(quán)時間的0.618倍。例2-12-5 柏林墻建于1961年8月12日，拆于1989年11月9日，近似等于天以后，只差27天。另外，柏林墻存在的時間約為德國分裂時間的0.618倍。例2-12-6 美國道.瓊斯工業(yè)股票指數(shù)的預(yù)測。美國人Carolan將螺旋歷法用于預(yù)測金融市場的轉(zhuǎn)折點，效果奇佳

11、。1927年4月1日，是春分后的第一個新月，兩年半后（），即1929年10月11日見頂，隨后走入股災(zāi)，于1929年10月29日走到股災(zāi)底部， 天以后，即1935年1月19日（冬至后的月圓），股市開始反轉(zhuǎn)。例2-12-7 1985年3月21日，為春分及新月之日，兩年半后（），即1967年10月2日見頂2746點，隨后走入股災(zāi)，于1987年10月20日走到股災(zāi)底部1616點， 天以后，即1993年1月8日（冬至后的月圓），股市開始反轉(zhuǎn)。例2-12-8 國際外匯市場英鎊的預(yù)測1。對英鎊來說，要反向預(yù)測（因為在國際外匯市場上，英鎊的報價與大多數(shù)幣種相比是反的）。從1995年3月15日（春分前的月圓）開

12、始，逆向反推。以前是1991年2月5日，實際上1991年2月6日高見2.0045點后大幅下跌，1991年7月5日見底1.5990，下跌近4000點。例2-12-9 國際外匯市場英鎊的預(yù)測2。以前是1991年12月23日，3天后1991年12月26日于1.8900見頂后大幅下跌，1992年3月20日見底1.6975，下跌近2000點。例2-12-10國際外匯市場英鎊的預(yù)測3。以前是1992年8月31日，2天后1992年9月2日于2.0100見頂后大幅下跌，見底1.4000，下跌近6000點。在Mathematica4軟件包中編程如下：Table n, Ceiling 29.53 , n, 1,

13、50 運行后得到如下結(jié)果：其中每一項的第二個分量表示天數(shù)。若想每一項的第二個分量表示年數(shù)，則輸入以下命令： Table n, Ceiling 29.53/ 365 , n, 1, 50 運行后得到如下結(jié)果：例2-13 線性方程組的求解與應(yīng)用。據(jù)說呂洞賓、鐵拐李、漢鐘離、張果老、何仙姑、藍(lán)采和、韓湘子和曹國舅這八仙去朝見觀音。觀音菩薩拿出6720個仙桃招待八仙。每人分得一些桃子后，觀音說：請呂洞賓拿出他分得的桃子的一半給鐵拐李；然后，請鐵拐李拿出他所有桃子的1/3給漢鐘離；然后，請漢鐘離拿出他所有桃子的1/4給張果老；然后，請張果老拿出他所有桃子的1/5給何仙姑；然后，請何仙姑拿出她所有桃子的1

14、/6給藍(lán)采和；然后，請藍(lán)采和拿出他所有桃子的1/7給韓湘子；然后，請韓湘子拿出他所有桃子的1/8給曹國舅；然后，請曹國舅拿出他所有桃子的1/9給呂洞賓。最后，每人840個桃子。問：剛開始他們每人分得多少桃子？解：由題義，得到線性方程組如下：一般使用倒推法求解：最后每人840個桃子；在此之前，曹國舅拿出1/9送給了呂洞賓，所以，曹國舅有840/（1-1/9）=945個桃子，而呂洞賓有840-（945-840）=735個桃子，其他人840個桃子；在此之前，韓湘子拿出1/8送給了曹國舅，所以，韓湘子有840/（1-1/8）=960個桃子，而曹國舅有945-（960-840）=825個桃子，除呂洞賓7

15、35個桃子外，其他人840個桃子；如此類推，最后得到剛開始每人分得桃子如下：呂洞賓1470個桃子、鐵拐李525個桃子、漢鐘離700個桃子、張果老770個桃子、何仙姑798個桃子、藍(lán)采和812個桃子、韓湘子820個桃子、曹國舅825個桃子。若編程求解，很快就可得到結(jié)果：注：此方程組可簡化。例2-14-1 連分?jǐn)?shù)與佩爾（Pell）方程的最小正整數(shù)解。（1）連分?jǐn)?shù)表示法一個“既約”分?jǐn)?shù)（分子可以比分母大，但無公因子）可以表示成連分?jǐn)?shù)的形式。例如將表示成連分?jǐn)?shù)，程序如下：ContinuedFraction得到結(jié)果：0，1，1，1，5。這表示二次整系數(shù)方程的根叫做二次無理數(shù)。初等數(shù)論中已經(jīng)證明：一切二次

16、無理數(shù)表示成連分?jǐn)?shù)，都具有無窮循環(huán)節(jié)。例如將表示成連分?jǐn)?shù)，程序如下：ContinuedFraction得到結(jié)果：4，3，6。這表示其中3，6用花括號括起來，表示無窮循環(huán)節(jié)。反之，我們可以通過一個數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示形式求其正常形式。例如：FromContinuedFraction 1，2，3 得到結(jié)果：。這表示又例如，F(xiàn)romContinuedFraction 2, 1, 4, 2, 3 得到結(jié)果：。這表示：（2）佩爾（Pell）方程的最小正整數(shù)解古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes，公元前287前212年）曾提出一個所謂的“牲畜問題”，此問題最后歸結(jié)為求解一個二元二次的不定方程：X2 410

17、286423278424Y2 = 1這個方程的最小正整數(shù)解是名副其實的天文數(shù)字。17世紀(jì)，費爾馬重新提出求解不定方程X2 A*Y2 = 1的解的問題，其中A是正的非完全平方數(shù)。他提出此方程有無窮多組正整數(shù)解。同時他向所有的數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)：求出此方程的無窮多組正整數(shù)解。英國皇家學(xué)會的第一任會長布龍克爾勛爵（Lord Brouncker）給出了解，但他未能證明解有無窮多個。瓦利斯（J. Wallis，1616-1703）徹底解決了這個問題。佩爾（J. Pell，16111685）在他的一本著作中附錄了瓦利斯的結(jié)果。歐拉在他于1732年發(fā)表的一篇論文中錯誤地稱X2 A*Y2 = 1為Pell方程，這個錯

18、誤就沿襲至今。假設(shè)A是正的非完全平方數(shù)，則是二次無理數(shù)，它的連分?jǐn)?shù)循環(huán)節(jié)表示形式是：當(dāng)無窮循環(huán)節(jié)中數(shù)字的個數(shù)r是偶數(shù)時，取的近似分?jǐn)?shù)：得到解x、y，這就是Pell方程X2 A*Y2 = 1的解；當(dāng)無窮循環(huán)節(jié)中數(shù)字的個數(shù)r是奇數(shù)時，取的近似分?jǐn)?shù)：得到解x、y，這就是Pell方程X2 A*Y2 = 1的解。例2-14-2 公元650年左右，首創(chuàng)0不能作除數(shù)的印度數(shù)學(xué)家Brahmagupta（婆羅摩及塔）曾致力研究Pell方程a·x2 + 1 = y2,他說：“在一年里頭能解出X2 92Y2 = 1的人是一位數(shù)學(xué)家”。用Mathematica4.0編程求解如下：得到：。無窮循環(huán)節(jié)中數(shù)字的個

19、數(shù)共8個（即r = 8是偶數(shù)的情況），再輸入：FromContinuedFraction 9, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1 得到分?jǐn)?shù)：即x = 1151，y = 120是此Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整數(shù)解。例2-14-3 據(jù)說有人曾向英國數(shù)學(xué)家瓦利斯提出挑戰(zhàn)，要他解X2 313Y2 = 1，結(jié)果，他在一小時之內(nèi)就找到正確的答案。無窮循環(huán)節(jié)中數(shù)字的個數(shù)共17個（即r = 17是奇數(shù)的情況），再輸入：FromContinuedFraction 17，1，2，4，11，1，1，3，2，2，3，1，1，11，4，2，1，34，1，2，4，11，1，1，3，2，2，3，1，1

20、，11，4，2，1 得到分?jǐn)?shù)：即x = 32188120829134849，y = 1819380158564160是此Pell方程X2 313Y2 = 1的最小正整數(shù)解。（3）直接求解佩爾（Pell）方程的最小正整數(shù)解第一步 建立一個求解模塊。首先執(zhí)行以下程序：PellSolvem_Integer?Positive := Module cf, n, s ,cf = ContinuedFraction; n = Length Last cf ;If OddQ n , n = 2n ;s = FromContinuedFractionContinuedFraction, n ; Numerato

21、r s , Denominator s ;第二步，例如，求解Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整數(shù)解，直接輸入以下命令即可： PellSolve 92 得到結(jié)果： 1151，120 。即，x = 1151，y = 120是Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整數(shù)解。例2-14-4 阿基米德問題X2 410286423278424Y2 = 1，用現(xiàn)代計算機可以在幾分鐘之內(nèi)求解。程序如下： PellSolve 410286423278424 / Timing運行之后，可以知道運算時間和結(jié)果，但是得到的結(jié)果太大，不在此收錄，讀者自己計算即可。另外，我們可以用以下命令求出此Pell方程解

22、的位數(shù)：a = PellSolve 410286423278424 ;w1 = Last RealDigits a 1 ;Print“w1 = ”,w1w2 = Last RealDigits a 2 ;Print“w2 = ”,w2其中a = PellSolve 410286423278424 運行的結(jié)果是得到Pell方程的最小正整數(shù)解 a = x, y ,此處a的第一個分量a 1 = x, 第二個分量a 2 = y；命令RealDigits a 1 運行的結(jié)果是得到x = a 1 的位數(shù)；RealDigits a 2 運行的結(jié)果是得到y(tǒng) = a 2 的位數(shù)。運行后得到：x = a 1 的位

23、數(shù)是w1 = 103273位，y = a 2 的位數(shù)是w2 = 103266位。例2-15 數(shù)據(jù)表的排順序問題。a = 2，-9，3，5，4，8，-3，1，7 ；Sort a，Greater 此命令將數(shù)據(jù)序列a從大到小重新排列。a = 2，-9，3，5，4，8，-3，1，7 ；Sort a，Less 此命令將數(shù)據(jù)序列a從小到大重新排列。另外，可以自己編程序?qū)?shù)據(jù)序列a從小到大重新排列（比較以下程序）：a = 2，-9，3，5，4，8，-3，1，7 ；b = Sorta，Greaterd = Table bj, j, 9, 1, -1 例2-16 數(shù)據(jù)表的統(tǒng)計問題。 （1）把數(shù)據(jù)表中的元素加起來

24、：a = x，y，z ；Apply Plus, a 執(zhí)行后得到結(jié)果：x + y + z （2）統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中指定的元素的個數(shù)：a = p, p, q, p, q, q, p ;Count a, p 表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)表a中元素p的個數(shù)。執(zhí)行后得到結(jié)果：4。 （3）求數(shù)據(jù)表中大于某個數(shù)的元素：mm = -1, 2, 3, - 4, 5, 1.2 ;Select mm, # > 2 & 執(zhí)行后得到數(shù)據(jù)表mm中所有大于2的元素： 3, 5 。 （4）兩個1維數(shù)據(jù)表合并為一個2維數(shù)據(jù)表。例如，兩個1維數(shù)據(jù)表分別為a、b：a = 1, 2, 3 ; b = x, y, z :c = Thread

25、a, b 執(zhí)行后得到結(jié)果： 1, x , 2, y , 3, z （5）求數(shù)據(jù)表中元素的個數(shù)：d = 1.2, 2.3, -4.2, 2.5, 3.1, 6.4, 7.2, 2.3 ;Length d 執(zhí)行以上程序，就能得到結(jié)果：8。例2-17 三角函數(shù)式的化簡 TrigReduce (Cosx)4 得到結(jié)果：，即 例2-18 關(guān)于整數(shù)（1）求素數(shù)求第k個素數(shù)： Prime k 例如：Table Prime k , k, 1, 13000 / /Timing在筆者的計算機上執(zhí)行后0.38秒得到前13000個素數(shù)。Mathematica4.0軟件包最多可以求出第1013個素數(shù)。例如求第1011個

26、素數(shù)： Prime 得到結(jié)果：2760727302517，這是一個共13位的素數(shù)。（2）求一個整數(shù)含多少個數(shù)字。例如，求2002含多少個數(shù)字： RealDigits 2002 運行后得到結(jié)果： 2, 0, 0, 2 , 4 。這表示2002的數(shù)字是 2, 0, 0, 2 ，共有4位。（3）將一個十進制數(shù)n轉(zhuǎn)化為其它進制的數(shù)，使用命令RealDigits n, b 。例如， RealDigits 12345, 8 執(zhí)行后得到結(jié)果： 3, 0, 0, 7, 1 , 5 。這表示（12345）10 = （30071）8 ，即十進制的數(shù)12345等于八進制的數(shù)30071。（4）任意進制數(shù)字之間的互換。

27、十進制數(shù)字轉(zhuǎn)化為其他進制的數(shù)字，例如r進制（），命令格式是：BaseForm十進制數(shù)字，r 例如將十進制數(shù)2002轉(zhuǎn)化為8進制數(shù)， BaseForm 2002, 8 運行后得到結(jié)果：37228其他進制的數(shù)字，例如r進制（），轉(zhuǎn)化為p進制的數(shù)字，命令格式為：BaseForm r 數(shù)字, p 例如將16進制的數(shù)字20轉(zhuǎn)化為10進制的數(shù)字： BaseForm 16 20, 10 運行后得到結(jié)果：32例如將16進制的數(shù)字20轉(zhuǎn)化為8進制的數(shù)字： BaseForm 16 20, 8 運行后得到結(jié)果：408例如將10進制的數(shù)字10轉(zhuǎn)化為11進制的數(shù)字： BaseForm 10, 11 運行后得到結(jié)果：例如

28、將10進制的數(shù)字11轉(zhuǎn)化為12進制的數(shù)字： BaseForm 11, 12 運行后得到結(jié)果：例2-19 Do的循環(huán)功能設(shè)，求f8 。（1）Do的1-重循環(huán)：在Mathematica4.0中編程序如下f = 0.6321;Do f = 1-n*f, n, 8 Print“ f8 = ”, f 得到結(jié)果： f8 = - 0.728（2）Do的2-重循環(huán)：在Mathematica4.0中編程序如下Do f = 0.6321;Do f = 1-n*f, n, k , Print“ f ”, k, “ = ”, f , k, 1, 9 得到結(jié)果：f 1 = 0.3679, f2 = 0.2642, f3 = 0.2074, f4 = 0.1704, f5 = 0.148, f6 = 0.112,f7 = 0.216, f8 = - 0.728, f9 = 7.552例2-20 表的其它功能的應(yīng)用。 （1）選取表的前后部分。 假設(shè)a是一個表，選取a的前面部分，使用Fist命令a = 1, 2, x, y ;First a 運行后得到結(jié)果： 1, 2 。 假設(shè)a是一個表，選取a的后面部分，使用Last命令a = 1, 2, x, y ;Last a 運行后得到結(jié)果： x, y 。 （2）應(yīng)用舉例。問：800！算出來的結(jié)果中含有多